第8章(444)

8.1 状 态 方
8.1.1
在状态变量分析法中， 首先需要选择一组描述系统的 关键性变量， 这组关键性变量称为描述系统的状态变量。 状态变量的选择必须使系统在任意时刻t的每一输出都可由 系统在t
为了说明状态变量和状态方程的概念， 首先分析图8.1 所示的包含两个动态元件的二阶系统， 输入us (t)为电压源， 输出为uL(t)
c11 c12 c1n
C

c21
c22

c2n


,
cq1
cq2

cqn
d11 d12 d1p

D
d 21


d 22

d2 p


dq1 dq2 dqp
第八章 系统的状态变量分析
对于线性时不变系统， 它们都是常量矩阵， 其中Cq×n矩 阵， 称为输出矩阵， D为q×p矩阵，
式(8.4)是以uC(t)和iL(t)为变量的代数方程组。 由式(8.4) 可知， 任一时刻t(t≥t0)的输出uL(t)可由该时刻的uC(t)、 iL(t)及 输入us(t)
第八章 系统的状态变量分析
这里, uC(t0)和iL(t0)为该电路在t=t0时刻的状态。 由电路 理论可知， uC(t0)和iL(t0)反映了系统的储能情况， 是系统过 去历史的总结。 uC(t)和iL(t)为描述系统状态随时间t变化的 变量， 即状态变量。 那么， 由t=t0时的状态和t≥t0的输入可 确定系统在t≥t0
xn (t)
a12 a22
an2
a1n

a2n



am

x1(t)

x2 (t
)


b11 b21


xn (t) bp1
b12 b22 bp2

b1p
b2 p
f1(t)

f
2
(t
)
第八章 系统的状态变量分析
随着系统的复杂化， 输入与输出有时是多个的， 这时 采用系统外部描述法就比较复杂， 甚至是困难的。 另一方 面， 随着现代控制理论的发展， 使人们对所控制的系统不 再只满足于研究系统输出量的变化， 而同时需要研究系统 内部的一些变量的变化规律， 以便设计系统的结构和控制 系统的参数， 以达到最优控制的目的。 这时系统外部描述 法已难以适应要求， 需要有一种能有效地获得描述系统内 部状态的方法，
第八章 系统的状态变量分析
从数学模型上看， 输入-输出法用一个n阶微分方程或差 分方程来描述系统， 方程中的变量只限于输出变量和输入 变量两个。 而状态变量分析法用一组(n个)一阶微分方程或 差分方程来表征一个n阶系统。 这为方程中变量的选择带来 很大的灵活性， 并为从不同的角度反映系统的内部状态提 供了可能。 因此， 状态变量分析法便于研究系统的内部特 征及分析多输入-多输出系统， 同时便于利用计算机对一阶 微分(或差分)方程组进行计算处理。 此外， 非线性或时变 系统也可用状态变量法进行分析。
对于一般情况而言， 连续动态系统在某一时刻t0的状 态， 是描述该系统所必需的最少的一组数x1(t0)， x2(t0)， …， xn(t0), 根据这组数和t≥t0时给定的输入就可以唯一地确定在 t≥t0的任一时刻的状态及输出。 这组描述系统状态随时间变 化所必需的数目最少的一组变量x1(t)、x2(t)、 …、 xn(t), 就 称为系统的状态变量。 状态变量

R1 L
iL (t)

1 L
us (t)
当输出为uL(t)时， uL(t)=-uC(t)-R1iL(t)+us(t)
(8.3) (8.4)
第八章 系统的状态变量分析
式(8.3)是以uC(t)和iL(t)为变量的一阶微分方程组。 对于 图8.1所示的二阶电路， 若已知电容初始电压uC(t0)和电感初 始电流iL(t0)(设初始时刻为t=t0)及t≥t0时的输入us(t), 即可完 全确定方程组在t≥t0时的解uC(t)和iL(t)
f
p
(t)

(8.6)
第八章 系统的状态变量分析
式中， 各系数aij、 bij是由系数参数所决定， 对于线性时不 变连续系统它们都是常数， 对于线性时变系统它们是时间
将式(8.6)

x 1 (t) a11
x


2

(t)



a21
an1




bnp f p (t)
(8.7)
第八章 系统的状态变量分析
上式可简记为

x(t) Ax(t) Bf (t)
(8.8)
式中, x (t)、 (t)、 f (t)分别是状态矢量、 状态矢量的一阶导
数和激励(输入)矢量， A、 B分别是系数矩阵， 且有
第八章 系统的状态变量分析
图8.1 二阶系统电路图
第八章 系统的状态变量分析
由电路理论可知， 电容两端电压和流过电感中的电流 是电路的变量， 所以可以选uC(t)、 iL(t)为状态变量。 由于
iC
(t
)

C
duC (t dt
)
uL1(t)

L
diL (t) dt
(8.1)
则由KCL(基尔霍夫电流定律)和KVL(基尔霍夫电压定律)可
第八章 系统的状态变量分析
输入-输出分析法和状态变量分析法都是分析、 研 究系统特性的基本方法， 只是分析的角度不同。 一个 是从系统外部特性进行分析， 而另一个则是对系统内 部变量进行分析研究， 两种方法互为补充。 本章仅研 究线性时不变系统状态方程的建立、 求解以及可控制 性和可观测性。
第八章 系统的状态变量分析

x1 (t )

g1 ( x1 (t ),
x2 (t),,
xn
(t),
f1 (t ),
f2
(t),,
f
p
(t))



x2 (t) g2 (x1(t), x2 (t),, xn (t), f1(t), f2 (t),, f p (t))



xn
(t)

gn
(x1(t),
x2
(t),,
状态矢量的所有可能值的集合称为状态空间。 在状态 空间中， 状态矢量端点随时间变化而描出的路径称为状态 轨迹。
第八章 系统的状态变量分析
8.1.2 状态方程的一般形式
设有一个多输入、 多输出的n阶连续系统， 它有p个输 入f1(t), f2(t), …, fp(t), q个输出y1(t), y2(t), …, yq(t), 系统的n个状 态变量记为x1(t), x2(t), …, xn(t), 则该系统状态方程的一般形
d12 d 22 dq2

d1 p d2p


f1 (t ) f2 (t)





dqp f p (t)
(8.9)
第八章 系统的状态变量分析
y (t)=Cx (t)+Df (t)
(8.10)
式中, y (t)=［y1(t) y2(t) … yp(t)］T是输出矢量，C、 D分别 是系数矩阵， 且有


b22
bp1 bp2
a1n

a2n



am

b1p

b2 p


bnp
第八章 系统的状态变量分析
对于线性时不变系统，A、 B都是常量矩阵， 其中A为 n×n方阵， 称为系统矩阵， B为n×p矩阵， 称为控制矩阵。
如果系统有q个输出y1(t), y2(t), …, yq(t), 那么， 它 们中的每一个都是用状态变量和激励表示的代数方程， 其矩 阵形式可写为
x(t) [x1(t)


x(t) [x1 (t)
f (t) [ f1(t)
x2 (t) xn (t)]T


x 2 (t) xn (t)]T
f2 (t) f p (t)]T
a11 a12 A a21 a22
an1 an2
b11 b12

B
b21



x 2 (t) a21x1(t) a22 x2 (t) a2n xn (t) b21 f1(t) b22 f2 (t) b2 p f p (t)



xn
(t)

an1x2
(t)

an2
x2
(t)

am
xn
(t)

bn1
f1 (t )

bn2
f2
(t)

bnp
第八章 系统的状态变量分析
上述关于状态变量和状态方程的基本概念， 可以推广 到具有多输入、 多输出的n阶系统。
n阶系统应有n个状态变量来描述系统在任意时刻的状态, 以这n个状态变量做分量构成一个矢量x (t)， 称为系统的状 态矢量。 例如, 图8.1中的状态变量uC(t)和iL(t), 可以看 做是二维矢量x (t)=［x1(t) x2(t)］T的两个分量x1(t)和x2(t)的坐 标。
x (k+1)=Ax (k)+Bf (k) y (k)=Cx (k)+Df (k)
(8.11) (8.12)
第八章 系统的状态变量分析
在系统某一时刻的值x1(t0), x2(t0), …, xn(t0), 称为系统在该 时刻的状态。
第八章 系统的状态变量分析
式(8.3)的一组一阶微分方程称为状态变量方程， 简称为 状态方程, 它描述了系统状态变量的一阶导数与状态变量自身 以及系统输入之间的关系。 式(8.4)的代数方程称为输出方程, 它描述了系统输出与状态变量和系统输入之间的关系。 通常
Hale Waihona Puke y1(t) c11
y2 (t)


c21

y p (t) cq1
c12 c22

cq2


c1n
c2n


cqn
x1(t)

x2 (t
)


d11 d 21


xn (t) dq1
第八章 系统的状态变量分析
第八章 系统的状态变量分析
8.1 状态方程 8.2 状态方程的建立 8.3 状态方程的求解 8.4 系统的可控制性与可观测性 8.5 系统的状态变量分析的MATLAB实现
第八章 系统的状态变量分析
在前面的章节中讨论了系统的时域、 频域及复频域的分 析， 其分析方法都是着眼于系统的输入和输出(激励与响应) 之间的关系， 这种分析系统的方法称为输入-输出法或称端 口法。 输入-输出法只关心系统的输入端和输出端的有关变 量， 不研究系统内部的具体变化情况， 因而不便于研究与 系统内部情况有关的各种问题(如系统的可控制性、 可观测 性等)， 对于这种只研究系统输入与输出物理量随时间或随 频率变化规律的方法，
C
duC (t) dt

iL (t)

uC (t) R2
L
diL (t) dt

us
(t)

R1iL
(t)

uC
(t)
(8.2)
第八章 系统的状态变量分析
duC (t) dt


1 CR2
uC (t)

1 C
iL (t)
diL (t) dt


1 L
uC (t)
式(8.8)和式(8.10)是线性时不变连续系统状态方程和输出方 程的一般形式。 应用状态方程和输出方程的概念， 可以研究许
类似地， 对于线性离散系统， 也可以写出系统的状态方程
设一个n阶多输入 - 多输出线性离散系统， 它的p个输入为
f1(k), f2(k), …, fp(k), q个输出为y1(k), y2(k), …, yq(k), 将系统的 n个状态变量记为x1(k),x2(k), …, xn(k)， 则其状态方程和输出方程
状态变量的选择并不是唯一的， 对于同一个系统, 选择不 同的状态变量可得出不同的状态方程。 但是对于一个n阶系统， 无论如何选择状态变量， 它们的数目都是一定的， 都是描述 该系统所必需的最少数目的一组变量， 其数目等于系统的阶 数n。
以上论述同样适用于离散系统， 只要将连续时间变量t换 为离散变量k(相应的t0换成k0)。
xn
(t),
f1(t),
f2 (t),,
f
p
(t))
(8.5)
第八章 系统的状态变量分析

式中， xi (t)=dxi(t)/dt 由于在连续时间系统中， 状态变量是连续时间函数， 因此对于线性的因果系统， 在任意时刻， 状态变量的一 阶导数是状态变量和输入的线性函数， 式(8.5)

x1 (t) a11x1(t) a12 x2 (t) a1n xn (t) b11 f1(t) b12 f2 (t) b1p f p (t)