高考数学 房山区2012年高三第一次模拟试题参考答案(文)

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房山区2015年高三第一次模拟试题
高三数学(文科)
参考答案
一、选择题（每题5分，共40分）
二、填空题（每题5分，共30分）
9．(0,1)-; 10.61
; 11. 60137
； 12. 5-，⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,21 ; 13. [04]， 14. 2
3
三、解答题（写出必要的文字说明，计算或证明过程。

共80分）
15.（本小题共13分）
解：（I ）根据已知11=a ，21+=+n n a a 即d a a n n ==-+21， ………………2分 所以数列}{n a 是一个等差数列，12)1(1-=-+=n d n a a n ………………4分 （II ）数列}{n a 的前n 项和2
n S n = ………………6分 等比数列}{n b 中，111==a b ，322==a b ，所以3=q ，1
3-=n n b ……………9分
数列}{n b 的前n 项和21
33131-=--=n n
n T ……………11分
n n S T ≤即221
3n n ≤-，又*N n ∈，所以1=n 或2 ……………13分
16．（本小题共13分）
解：(I)由图象知A ＝2，T ＝8＝2π
ω，
∴ω＝π
4，得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π
4x ＋φ.
由π
4×1＋φ＝2k π＋π2⇒φ＝2k π＋π
4，Z k ∈
又|φ|<π2，∴φ＝π
4.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π
4 ……………6分
(II)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π
4
∵x ∈1
[6,]3--，
∴5
[,]4446x π
ππ
π
+∈-，
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∴当5
444x πππ
+=-，即6x =-时 (x)f 当442x π
π
π
+=-，即3x =-时 (x)f 取得最大值为2- ……………13分
17.（本小题共13分）
解：（Ⅰ）由条形图可得，来自A ，B ，C ，D 四个区域的家长共有200人， ……………1分 其中来自A 区域的家长为40人， ……………2分 由分层抽样可得从A 区域的家长问卷中抽取了 420040
20=⨯份. ……………4分
设事件M =“家长甲被选中进行问卷调查”， ……………5分 则.10404
)(==M P . ……………6分
(II) 由图表可知，来自A ，B ，C ，D 四区域的家长分别接受调查的人数为4，5，6，5.
其中不满意的家长人数分别为1，1，0，2个 . ………7分 记来自A 区域不满意的家长是a ；来自B 区域不满意的家长是b ；
来自D 区域不满意的家长是c ，d. ………8分 设事件N=“从填写不满意的家长中选出2人，至少有一人来自区域D ” …………9分 从填写不满意的学生中选出2人，共有
(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)6个基本事件， ……10分 而事件N 有(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)5个基本事件， ………11分 故()65
=N P . ………13分
18.（本小题共14分）
证明：（I ）设M 为BE 的中点,连结FM ，AM
∵F 为EC 的中点
∴FM ∥BC ，1
2FM BC =
∵AD ∥BC ，2BC AD =
∴四边形AMFD 是平行四边形
∴AM ∥DF ………6分 又DF ⊄平面EAB ，AM ⊂平面EAB
∴DF ∥平面EAB
(II)∵AD ∥BC ，090DAB ∠=
∴BC ⊥AB
又侧面EAB ⊥底面ABCD ，侧面EAB I 底面ABCD AB =,AB ⊂平面ABCD
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∴BC ⊥平面EAB ,又AM ⊂平面EAB
∴BC ⊥AM
∵△EAB 是正三角形，F 为EC 的中点
∴BE ⊥AM
又BC I BE B =,BC ⊂平面EBC ,BE ⊂平面EBC
∴AM ⊥平面EBC
∵AM ∥DF
∴DF ⊥平面EBC …………………14分
19.（本小题共13分）
解：（Ⅰ）1
()=f x a x '- …………………2分
(1)=+1f a -，=(1)=1l k f a '-，所以切线 l 的方程为
(1)=(1)l y f k x --，即=(1)y a x -． …………………4分 （Ⅱ）)(x f 定义域为()+∞,0
1
()=f x a x '-x ax
-=1
（1）当0=a 时，()01
>='x x f ，)(x f 在()+∞,0为增函数
（2）当0≠a 时， 令01=-x ax
得，0=x 或a x 1
=
①当0<a 时，)(x f 在()+∞,0为增函数
②当0>a 时，)(x f 在⎪⎭⎫
⎝⎛a 1,0上是增数，在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1
a 是减函数 …………………9分
（Ⅲ）令()=()(1-)=ln +1>0F x f x a x x x x --，，则1
1
()=1=(1)()=0=1.
F x x F x x x x ''--， 解得
(1)<0F ，所以>0x ∀且1x ≠，()<0F x ，()<(1)f x a x -，
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即函数=()(1)y f x x ≠的图像在直线 l 的下方． ……………13分
20.（本小题共14分）
解：（Ⅰ）∵点Q 到椭圆左右焦点的距离和为4.
∴24a =，2a =. 又1
2c e a ==，∴1c =，2223b a c =-=.
∴椭圆W 的标准方程为：22
143x y +=
…………………5分
（Ⅱ）∵直线1l 、2l 经过点(0,1)且互相垂直，又A 、B 、C 、D 都不与椭圆的顶点重合 ∴设1l ：1y kx =+，2l ：1
1y x k =-+；点11(,)A x y 、22(,)B x y 、(,)E E E x y 、(,)F F F x y 由221
143y kx x y
=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得
22(34)880k x kx ++-=
∵点(0,1)在椭圆内，∴△0> ∴122834k
x x k +=-+， ∴12
24234E x x k
x k +==-+，23
134E E y kx k =+=+ ∴34E
OE E y k x k
==- 同理3314
4()F
OF F y k
k x K ==-=- ∴9
16OE OF k k ⋅=-
…………………14分。