第二章 单自由度系统

M
,
1 r 2 2 2r2
放大因子
Mx
r2
me (1 r 2 )2 (2r)2
MX me
放大因子和相位差与频率比的关系曲线
r 1 MX 1
me 2

2
r 0
MX 0 me
0
r MX 1
me

系统产生共振 Bmax 2.5 cm

cx

kx

0
Mx cx kx me 2 sint
Mx cx kx F0 sint
3．方程求解
xt X sint
xt X sint
X
me 2

(k M 2 )2 (c)2
tan

2r
1 r2
m er 2
方程的解
xt xh t xs t
Aent sind t
F
sint
k 2m 2 2c2
Ae
结论：
nt
s
in

d
t




F
sint
k 2m 2 2c2
1.系统发生的运动是频率为 d 的简谐振动xh t和
1,2


c 2m

c 2 k 2m m
方程的通解
x t B1e1t B2e2t
x t B1e1t B2e2t
B1 B2 由施加于系统的初始条件确定。
特征值 1 2
取决于

c
2

k
2m m
当其为零时，有
c0 2m
（单位脉冲）
对于弱阻尼系统，在初始条件
x0

0,

x0


F
m
下的自由振动为
x(t )


^
F

m
d

e nt 0
源自文库
sin d t
t 0 t0
引入脉冲响应函数 ht ，
则系统对 t 0
， 2 n
Be
t
0
(2


2 n
)
Be
t
0
方程的解取决于
2


2 n

0
（系统的特征方程 或频率方程）
1 jn 2 j（n 系统的特征值或固有值）
方程特解 x1 t B1e jnt x2 t B2e jnt
，
通解
xt x1t x2 t B1e jnt B2e jnt
§2.1概述
1．单自由度系统 理论模型
2．叠加原理 几个激励函数共同作用产生的总响应是各个
响应函数的总和。
§2.2无阻尼自由振动
一．物理模型
二、数学模型
mx kx 0
三．方程求解
令

2 n

k m
，代入运动方程，得
x


2 n
x

0
设 xt Bet
B2 e t

A
结论：
x
2 0

x
2 0

2 n
，
tg

n x0
x 0
n
k m
1、线性系统自由振动振幅的大小，只决定于初
始条件和系统本身的固有频率
2、线性系统自由振动的频率，只决定于系统本身参 数与初始条件无关，叫系统的固有频率或无阻尼固有 频率。
§2.3能量法
系统的动能T与势能U之和称为系统的机械 能。在没有阻尼的情形下，系统没有能量损 失，机械能将守恒，即
y Y sin t
mx k(x y) c(x y) 0

mx cx kx c y ky
3．方程求解
xt X sint
X Y
1 2r2
(1 r 2 )2 (2r)2
tan

1
r
2r 3 2 4
2r
第二章 单自由度系统
本章主要内容 1．无阻尼自由振动 2．能量法 3. 有阻尼自由振动 4. 简谐激励作用下的强迫振动 5. 简谐激励强迫振动理论的应用 6. 非简谐激励作用下的系统响应
本章重点与难点 1. 建立无阻尼自由振动运动方程、求解 2. 能量法 3. 简谐激励作用下的强迫振动运动方程、
求解 4．简谐激励强迫振动理论的应用 5．非周期激励作用下的系统响应
1.物理模型
2.评价指标
经弹簧传递给地基的力
经阻尼传递给地基的力
Fs ks kX sint
.
Fd c x cX cost
传递地基的力的最大值或振幅 FT kX2 cX 2 kX 1 2r2
F X
k 1 r 2 2 2r2
X Y
1 2r2
1 r 2 2 2r 2
评价消极隔振效果的指标为位移传递系数
TD

X Y

1 2r2 1 r 2 2 2r2
位移传递系数和力传递系数的表达式完全一样。因此，在设计
积极隔振装置或消极隔振装置时所遵循的准则是相同的。
令 TF TD T f 叫做传递系数
当转速继续增加直到机器的振幅达 到稳定状态，测得此时的振幅为
B 0.4cm
（1）试求系统的阻尼比
（2）若 m 15 kg e 10 cm
k 950 N / cm 求当转速 n 450 r / min
时机器的振动幅值。
三．基础运动引起的强迫振动
1．物理模型
m
x
c
k
k
2
2
y
2．数学模型
2
放大因子
X Y
1 2r 2 (1 r 2 )2 2r 2
r0
r 2
X 1 Y
与 无关。
0
r 1
0
放大因子和相位差与频率比的关系曲线
0 r 1 0 r 0
r


0
2
满载时为 m1 1000 kg
空载时为 m2 250 kg
不论阻尼比为多少，
只有在 r 2 才有隔振效果； 对于某个给定的
r 2
当阻尼比减小时， 传递系数也减小
传递系数随阻尼比和频率比变化的关系曲线
§2.7非简谐激励作用下的系统响应
一．周期激励作用下的强迫振动 对于线性系统，叠加原理成立，即各激励
力共同作用所引起的系统稳态响应为各激励力单 独作用时引起的系统各稳态响应的总和。因此对 于线性系统在受到周期激励作用时，系统稳态响 应的计算就很简单。
F 1 2r2
FT 1 r2 2 2r2
评价积极隔振效果的指标是力传递系数
TF

FT F

1 2r2 1 r 2 2 2r2
二．消极隔振
消极隔振是为了减少外界的振动对设备的影响而采 取的隔振措施， 1．物理模型
2．评价指标
隔振后系统稳态响应振幅为
放大因子随频率比变化的曲线
r 0 M 1
阻尼对振幅的影响很小
r M 0
阻尼对振幅的影响很小
r 1 0 M
当系统中存在阻尼时，振幅是有 限的，其出现最大值时的频率为
rmax 1 2 2
M max
2
1
1 2
3．强迫振动和激励力之间的相位差


arctan k
k 2m 2 2c2

X0
1
2

2 n
2


4
2 2 n2

F
k
1
2

2 n
2

2c2
k2

X0
1 r 2 2 2r2
X0

F k
r n
X
1
M
X 0
1 r 2 2 2r2

0

m

x

k
x

x



0

m x kx 0
当系统的动能最大时，势能最小；当动能
最小时，势能最大。若把势能的基点取为
平衡位置，则该点的势能为零，为最小值，
动能为最大。而在速度为零的一点上，动
能为零，势能最大。动能和势能的最大值
相等，即
Tmax U max
这一关系是求无阻尼振动系统固有频率的 重要准则。
一．物理模型
二．数学模型
mx Fx Fcx mg k(x st ) cx mg
mx cx kx 0
三．方程求解
设 x Bet
代入有阻尼自由振动方程式，得系统的特征方程或
频率方程 m2 c k 0
方程的两个根（特征值或固有值）
xt X sint
在简谐激励力的作用下，系统将产生一个 与激励力相同频率的简谐振动，但滞后一
个相角 。这是线性振动理论的一个重
要结果。
强迫振动的性质和特点：
1. 强迫振动的振幅和相角与初始条件无关，只决定 于构成系统的物理参数和激励力的特点。
2. 强迫振动的振幅
F X
2． 1或 c 2 mk（临界阻尼）
3． 1或 c 2 mk（ 大阻尼）
§2.5 简谐激励作用下的强迫振动
一．简谐激励力作用下的强迫振动
1．物理模型
2．数学模型
mx cx kx F sin t
mx cx kx F sin t
3．方程求解
k 350kN / m
满载时其相对阻尼比 1 0.5
， v 100km/ h
道路简化为简谐波形，表示为
xs

sin
2
l
z
l 5m
求汽车的拖车在满载和空载时的振幅之比。
§2.6简谐激励强迫振动理论的应用
减振措施： 1．抑制振源强度 2．消振 3．隔振
一．积极隔振
积极隔振是把振源与地基隔离开来以减小它对 周围的影响而采取的措施。
T U 常量
d (T U ) 0 dt
应用上式可得到系统的运动方程和固有频率。
某一时刻 位移为 xt

，速度为 xt
T 1 mx 2 2
U ，

x mg
0

k st
d

1 2
kx2
d dt

1 2
m

x2

1 2
kx2

方程的通解由两部分构成：对应的齐次方程的通解和非齐次该方程的一个特解。
对于欠阻尼系统，齐次方程的通解为 xh t Ae nt sin(d t )
方程的特解为 xs t Xe jt
X
F
k 2m 2 2c2
arctan c k 2m
频率为 的简谐振动xs t 的组合运动； 2.由于阻尼的存在，xh t 和 xs t的合成运动也只
在有限的时间内存在，这一振动过程叫做瞬态 振动或过渡过程
3.系统持续的振动只有与外激励力有关的响
应xs t，叫做稳态振动、稳态响应或强迫振动。
在谈到强迫振动时，通常都是指稳态响应，
系统稳态响应的表达式为 xt X sint
k m
n
c0 2 mk 临界阻尼系数
阻尼比 c c c c0 2 mk 2mn
mx cx kx 0
利用系统的阻尼比和无阻尼固有频率可以
将有阻尼自由振动方程写为


x
2
n
x

2 n
x

0
有三种可能情形：
1． 1或 c 2 mk （欠阻尼或弱阻尼）
B1 B2 cosnt jB1 B2 sin nt
B1 B2 应为共轭复数
所以 xt D1 cosnt D2 sin nt
t 0 x x0，x x0 则 D1 x0

D2

x0
n
对于确定的初始条件，单自由度无阻尼自
由振动的通解为 x Asin( nt )
例：如图所示系统作简谐振动，求系统的固 有频率 （答案）
r 例：如图所示，质量为 m ，半径为 的
圆柱体，在半径为 R 的圆弧槽上作无滑
动的滚动。求圆柱体在平衡位置附近作微
小振动的固有频率。
§2.4有阻尼自由振动
阻尼产生的根源有多种，不同的来源产生 的阻尼力其变化规律也不相同。常见是一 种粘性阻尼，其阻尼力与物体运动速度大 小成正比，方向与速度方向相反。
c 2m

2r
arc
tan 1

r
2
0 r 1
0 r 1
0
r 1 0
r 1 r 1
2
相位差随频率比变化的曲线
二．旋转不平衡质量引起的强迫振动
1．物理模型
2．数学模型
(M

m) x
m
d2 dt 2
(x

e s in t )
把该周期激励展成傅立叶级数，把级数的每 一项看作一简谐激励，确定其稳态响应；把所有 简谐稳态响应加起来，就得到系统对周期激励的 稳态响应。
二．非周期激励作用下的系统响应
^
at
at
F a F(t)dt a Fdt
a t
I lim Fdt Fdt 1 t0 a