2016初一数学竞赛(B班)培训资料：特殊三角形(含答案)
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导专题05三角形的再认识
专题05三角形的再认识专题解读】在平而几何中，三角形是一种最简单、最基本的图形.我们知道，任何多边形都可分割成若干个三角形.由此可见三角形的基础性：借助三角形的学习我们可以了解到多边形的相关知识.所以说, 对三角形的认识，既是几何学习的入门，也是进一步学习其他几何知识的基础.为此，我们有必要牢固掌握三角形的有关特征.思维索引例1.在厶ABC中，ZBAC=a°t BD、CE是、ABC的高，BD、CE所在直线交于点0 （点O与4、B、<?都不重合），根据题意画出图形，并求ZDOE的度数.（用含a的代数式表示）例2.如图1, 一副三角板的两个直角重叠在一起，Z4 = 30° , ZC=45° , ACOD固泄不动，Z\AOB 绕着0点顺时针旋转a。
（0°<«<180°>（1） ______________________________________________________________ 若AAOB绕着0点旋转图2的位置，若ZBOD=60。
,则上4OC = _______________________________________ :（2）若0°<a<90°,在旋转的过程中ZBOD+ZAOC的值会发生变化吗？若不变，请求岀这个左值；（3）若90°<a<180°,问题（2）中的结论还成立吗？说明理由：（4）将△403绕点O逆时针旋转a度（0<a<180°）,问当a为多少度时，两个三角形至少有一组边所在直线垂直？（请直接写出所有答案）.例3.如图1, D为直线ABk一点，AADC=\2^ .将一把直角三角尺的直角顶点放在点D处，边DE任射线上，另一边DF在直线A3的下方，英中ZDFE=30° .（1）将图1中的三角尺绕点D逆时针旋转至图2,使一边DE在的内部，且恰好平分ZBDC,则ZCDF的度数为 _______ :（2）将图1中的三角尺绕点D按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第秒时，边EF恰好与直线DC垂直：在第 _______ 秒时，直线DF恰好平分ZADC.（3）将图1中的三角尺绕点D逆时针族转，使DF在ZADC的内部，请探究ZADE与ZFDC之间的数量关系式.并说明理由.素养提升1.等腰三角形的两边长分别为2和4,则该等腰三角形的周长为（）A. 8 或10B. 8 C・ 10 D・ 6 或122.两根木棒长分別为5cm和7cm,要选择第三根，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒长为偶数，则组成方法有（）A. 3种B. 4种C. 5种D. 6种3・给岀下列4 个条件：①+ ®ZA=ZB=2ZCx③④ZA：ZB：2ZC =1： 2： 3,其中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个4.若a、b、c是△AEC*的三边的长，则化简| a —b —c | | b—c—a | + | a + b —c|的结果是（）A・ a+b+c B・—a + 3b—c C・a + b~c D・2b~2c5・如图，/\ABC的角平分线3D、4E相交于F, ZC=9O°, EG"AB、且3G丄EG于G,下列结论：①ZBEG = 2ZDBA；②平分ZABGx③乙CDB = ZGBD；④Z DE4 = - Z BGE•其中正确的结论是2（）第5题图第10题图6.已知三角形的三边长为整数，且周长为12cm,则符合条件的三角形的个数是 ___________ 个.7・任厶ABC中，AD. CE分别是的髙，且SD=2, CE=4,贝＞jAB:BC= __________________ ・8.一个三角形的两边长为8^0 10,则它的最短边a的取值范围是__________ :它的最长边b的取值范用是 ______ ・A. @@B.②④C. ®®④D. ©®③④9.已知在△SBC中，ZA=45° ,高线BD和髙线CE所在的直线交于点H,则ZBHC的度数是 ___________ ・10.阅读材料，并填表：在△ABC中，有一点巾，当0、4、B、C没有任何三点在同一直线上时，可构成三个不重叠的小三角形（如图）.当AABC内的点的个数增加时，若其它条件不度，三角形内互不重叠的小三角形的个数情11・如图，小明欲从A地去3地，有三条路可走，①4-3 ©A-D-B③4-C-B.（1） _____________________________________________________________________________ 在没有其他因素的情况下，我们可以肯泄小明会走路线①，理由是______________________________________ :（2）小明是不会走路线③，因为路线③路程最长，即AC+BOAD+BD,你能通过推理加以说明吗?第11题图12.在△ABC中，AB=AC. P是上任意一点.（1）如图①，若P是3（?边上任意一点，PF丄AB于点F, PE丄M于点E, 3D为厶4眈的髙线，请探求PE, PF与ED之间的数疑关系：（2）如图②，若P是眈的延长线上一点，PF丄加于点F, PE丄AC于点E,仞是心眈的髙线，请探求PE, PF与仞之间的数量关系.图①图②图② 图③13. 在中，ZACB=90° , 3D 是的角平分线，P 是射线AC h 任意一点（不与4、D 、C 三点重合），过点P 作PQ 丄&瓦 垂足为0交直线反？于E ・（1） 如图①，当点P 在线段AC 上时，说明ZPDE=ZPED.（2） 作ZCPQ 的角平分线交直线于点F,则PF 与ED 有怎样的位置关系？画出图形并说明理由. 14. 如图①，将一副直角三角板放在同一条直线加上，其中ZENM=30° , Z£CD=45°・（1） 将图①中的三角尺ECD 沿SB 的方向平移至图②的位置，使得点E 与点N 重合，CD 与MN 相交 于点F,则ZCFN= __________ :（2） 将图①中的三角尺ECD 绕点E 按顺时针方向旋转，使一边ED 在ZMEN 的内部，如图③，且ED 恰好平分上MEN, CD 与MN 相交于点F,求ZCFN 的度数；（3） 将图①中的三角尺ECD 绕点E 按每秒15°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在 第秒时，边仞恰好与边MN 平行：在第 _________ 秒时，直线CD 恰好与直线MN 垂直.专题05三角形的再认识思维索引】例 1. ZDOE=a 。
初中数学竞赛专项训练之三角形的四心及性质、平移、旋转、覆盖附答案
初中数学竞赛专项训练之三角形的四心及性质、平移、旋转、覆盖一、填空题：1、G 是△A BC 的重心，连结AG 并延长交边BC 于D ，若△ABC 的面积为6cm 2， 则△BGD 的面积为（ ）A. 2cm 2B. 3 cm 2C. 1 cm 2D. 23 cm 22、如图10-1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，∠C 的平分线与∠B 的外角的平分线交于E 点，则∠AEB 是（ ） A. 50° B. 45° C. 40° D. 35°3、在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝20°，如图10-2，将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转角α到∠A ’C ’B ’的位置，其中A ’、B ’分别是A 、B 的对应点，B 在A ’B ’上，CA ’交AB 于D ，则∠BDC 的度数为（ ） A. 40° B. 45° C. 50° D. 60°4、设G 是△ABC 的垂心，且AG ＝6，BG ＝8，CG ＝10，则三角形的面积为（ ） A. 58 B. 66 C. 72 D. 845、如图10-3，有一块矩形纸片AB CD ，AB ＝8，AD ＝6，将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，△CEF 的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 86、在△ABC 中，∠A ＝45°，BC ＝a ，高BE 、CF 交于点H ，则AH ＝（ ）A.a 21 B. a 22C. aD. a 2 7、已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，A 1、B 1、C 1分别是点I 关于BC 、CA 、AB 的对称点，若点B 在△A 1B 1C 1的外接圆上，则∠ABC 等于（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°8、已知AD 、BE 、CF 是锐角△ABC 三条高线，垂心为H ，则其图中直角三角形的个数是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12二、填空题1、如图10-4，I 是△ABC 的内心，∠A ＝40°，则∠CIB ＝＿＿2、在凸四边形ABCD 中，已知AB ∶BC ∶CD ∶DA ＝2∶2∶3∶1，且∠ABC ＝90°，则∠DAB 的度数是＿＿＿＿＿3、如图10-5，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝12，将矩形ABCD 沿对角线对折，图10-1B 图10-2 D A EB C AD E B C F图10-3 图10-4A BCD E D ’图10-5然后放在桌面上，折叠后所成的图形覆盖桌面的面积是＿＿＿＿＿＿＿4、在一个圆形时钟的表面，OA 表示秒针，OB 表示分针（O 为两针的旋转中心）若现在时间恰好是12点整，则经过＿＿＿＿秒钟后，△OAB 的面积第一次达到最大。
初中数学竞赛专题选讲 解三角形(含答案)
初中数学竞赛专题选讲（初三.16）解三角形一、内容提要1. 由三角形的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解三角形.2. 解直角三角形所根据的定理 (在Rt △ABC 中，∠C=Rt ∠). ① 边与边的关系： 勾股定理－－－－――c 2=a 2+b 2. ② 角与角的关系：两个锐角互余－－－－∠A+∠B=Rt ∠ ③ 边与角的关系：（锐角三角函数定义）SinA=c a ， CosA=c b , tanA=b a , CotA=ab. ④ 互余的两个角的三角函数的关系：Sin(90－A)= CosA ， Cos(90－A)= SinA ， tan(90－A)= CotA, Cot(90－A)= tanA. ⑤；余弦、余切随着角度的增大而减小（即减函数）.3. 解斜三角形所根据的定理 (在△ABC 中)① 正弦定理：SinCcSinB b SinA a ===2R. (R 是△ABC 外接圆半径). ② 余弦定理： c 2=a 2+b 2－2abCosC ； b 2=c 2+a 2－2ca CosB ； a 2=c 2+b 2－2cbCosA. ③ 互补的两个角的三角函数的关系：Sin(180－A)= sinA ， Cos(180－A)= － cosA ， tan(180－A)=－cotA ， cotA(180－A)=－tanA. ④ S △ABC ＝21absinC=21bcsinA=21casinB.4. 与解三角形相关的概念：水平距离，垂直距离，仰角，俯角，坡角，坡度，象限角，方位角等. 二、例题例1. 已知：四边形ABCD 中，∠A ＝60，CB ⊥AB ，CD ⊥AD ，CB ＝2，CD ＝1.求：AC 的长.解：延长AD 和BC 相交于E ，则∠E ＝30.在Rt △ECD 中，∵sinE=CECD, ∴CE=30sin 1=1÷21＝2. EB ＝4. 在Rt △EAB 中， ∵tanE=EBAB,∴AB=EBtan30。
非学科数学学培训-特殊三角形分类讨论(资料附答案)
自学资料一、等腰三角形【知识探索】1．等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称为“等腰三角形的三线合一”）；（3）等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线．2．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形是等腰三角形．简称：等角对等边．【错题精练】例1．下面给出几种三角形，其中是等边三角形的个数有（）个①有两个内角为60°的三角形②外角都相等的三角形③一边上的高也是这边上中线的三角形④有一个角是60°的三角形．第1页共18页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训A. 4B. 3C. 2D. 1【解答】解：①有两个内角为60°的三角形，由三角形的内角和定理得到第三个角为60°，可得此三角形三内角相等，即三角形为等边三角形，本选项符合题意；②若一个三角形三外角都相等，可得出三内角相等，故此三角形为等边三角形，本选项符合题意；③一边上的高也是这边上中线的三角形为等腰三角形，不一定为等边三角形，本选项不合题意；④有一个角是60°的三角形不一定为等边三角形，例如：Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，∠C=30°，则是等边三角形的个数有2个．故选：C．【答案】C例2．问题：探索等腰三角形-腰上的高与底边所成的角与顶角的关系．（1）为了解决这个问题，我们可从特殊情形入手，如图（1），△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD是AC边上的高，则∠DBC=______；（2）猜想，∠A与∠DBC的关系是______；（3）对上述猜想，请利用图（1）给予证明．【解答】解：（1）如图1：△ABC中，AB=AC，BD是边AC上的高．∵∠A=40°，且AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°-40°）÷2=70°；∵在Rt△BDC中，∠BDC=90°，∠C=70°；∴∠DBC=90°-70°=20°．故答案为：20°；（2）根据以上的解答猜想：∠A=2∠DBC．（3）∵在△ABC中，AB=AC，BD是边AC上的高，∴∠ABC=∠ACB=（180°-∠A）÷2=90°-第2页共18页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训2∠A，∴在Rt△BDC中，∠DBC=90°-（90°-12∠A）=12∠A，即∠A=2∠DBC．【答案】20°∠A=2∠DBC例3．如图，已知直线PQ⊥MN于点O，点A，B分别在MN，PQ上，OA=1，OB=2，在直线MN或直线PQ上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则这样的C点有______个．【解答】解：使△ABC是等腰三角形，当AB当底时，则作AB的垂直平分线，交PQ，MN的有两点，即有两个三角形．当让AB当腰时，则以点A为圆心，AB为半径画圆交PQ，MN有三点，所以有三个．当以点B为圆心，AB为半径画圆，交PQ，MN有三点，所以有三个．所以共8个，故答案为：8第3页共18页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训第4页 共18页 自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练 非学科培训【答案】8例4．已知△ABC 的三条边长分别为4，4，6，在△ABC 所在平面内画一条直线，将△ABC 分割成两个三角形，使其中有一个边长为4的等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）条．A. 3B. 4C. 5D. 6【解答】解：如图所示：当AC=CD=4，AB=BG=4，AF=CF ，AE=BE 时，都能得到符合题意的等腰三角形．故选：B ．【答案】B例5．等腰三角形的周长是25cm ，一腰上的中线将周长分成的两部分的差为5cm ，则此三角形的底边长为______．【解答】解：设等腰三角形的腰长是x ，底边长是y ，根据题意得{2x +y =25x −y =5或{2x +y =25y −x =5解得{x =10y =5或{x =203y =353， ∵5+10＞10，203+203＞353， ∴此等腰三角形的底长分别是5或353．故答案是5或353．【答案】5或353例6．等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶角的度数是（ ）A. 30°B. 60°C. 30°或150°D. 不能确定【解答】解：本题分两种情况讨论：（1）当BD在三角形内部时，AB，∠ADB=90°，∵BD=12∴∠A=30°；（2）当BD在三角形外部时，∵BD=1AB，∠ADB=90°，2∴∠DAB=30°，∠ABC=180°-∠DAB=30°=150°．故选：C．【答案】C例7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则底角为______．【解答】解：当等腰三角形为锐角三角形时，如图1，由已知可知，∠ABD=30°，又BD⊥AC，∴∠ADB=90°，∴∠A=60°，∴∠ABC=∠C=60°．当等腰三角形为钝角三角形时，如图2，由已知可知，∠ABD=30°，又BD⊥AC，∴∠DAB=60°，∴∠C=∠ABC=30°．故答案为：60°或30°．【答案】60°或30°例8．一个等腰三角形一个内角是另一个内角的2倍，则这个三角形底角为（）A. 72°或45°B. 45°或36°C. 36°或45°D. 72°或90°第5页共18页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训【解答】解：①设三角形底角为x，顶角为2x，则x+x+2x=180°，解得：x=45°，②设三角形底角为2x，顶角为x，则2x+2x+x=180°，解得：x=36°，∴2x=72°，综上所述，这个三角形底角为72°或45°，故选：A．【答案】A例9．如图：已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=36°，在直线AC上找点P，使△ABP是等腰三角形，则∠APB的度数为______．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=36°，∴当AB=BP1时，∠BAP1=∠BP1A=36°，当AB=AP3时，∠ABP3=∠AP3B=12∠BAC=12×36°=18°，当AB=AP4时，∠ABP4=∠AP4B=12×（180°-36°）=72°，当AP2=BP2时，∠BAP2=∠ABP2，∴∠AP2B=180°-36°×2=108°，∴∠APB的度数为：18°、36°、72°、108°．故答案为：72°或18°或108°或36°【答案】72°或18°或108°或36°例10．如图，在△ABC中，∠A=60°，BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，点D是BC的中点，BE，CF交于点M．（1）如果AB=AC，求证：△DEF是等边三角形；（2）如果AB≠AC，试猜想△DEF是不是等边三角形？如果△DEF是等边三角形，请加以证明；如果第6页共18页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训△DEF不是等边三角形，请说明理由；（3）如果CM=4，FM=5，求BE的长度．【答案】（1）证明：∵∠A=60°，AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∵BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，∴E、F分别是AC、AB边的中点，又∵点D是BC的中点，EF=12BC，DE=12AB，DF=12AC，∴EF=ED=DF，∴△DEF是等边三角形；（2）解：△DEF是等边三角形．理由如下：∵∠A=60°，BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠ABE=∠ACF=90°-60°=30°，在△ABC中，∠BCF+∠CBE=180°-60°-30°×2=60°，∵点D是BC的中点，BE⊥AC，CF⊥AB，∴DE=DF=BD=CD，∴∠BDF=2∠BCF，∠CDE=2∠CBE，∴∠BDF+∠CDE=2（∠BCF+∠CBE）=2×60°=120°，∴∠EDF=60°，第7页共18页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训∴△DEF是等边三角形；（3）解：∵∠A=60°，BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠ABE=∠ACF=90°-60°=30°，∴BM=2FM=2×5=10，ME=12CM=12×4=2，∴BE=BM+ME=10+2=12．例11．如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿线段AB向点B运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿折线B-C-A运动，且速度为每秒2cm，当点Q到达点A时，P、Q两点同时停止运动，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟，△PQB能形成等腰三角形？（2）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间（只要直接写出答案）．【答案】解：（1）由题意可知AP=t，BQ=2t，∵AB=8，∴BP=AB-AP=8-t，当△PQB为等腰三角形时，则有BP=BQ，，即8-t=2t，解得t=83秒后△PQB能形成等腰三角形；∴出发83（2）在△ABC中，由勾股定理可求得AC=10，当点Q在AC上时，AQ=BC+AC-2t=16-2t，所以CQ=AC-AQ=10-（16-2t）=2t-6，当BQ=BC=6时，如图1，第8页共18页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训第9页 共18页 自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌 非学科培训过B 作BD ⊥AC ，则CD=12CQ=t-3，在Rt △ABC 中，可求得BD=245，在Rt △BCD 中，由勾股定理可得BC 2=BD 2+CD 2，即62=（245）2+（t-3）2，解得t=335或t=-35＜0（舍去）； 当CQ=BC=6时，则2t-6=6，解得t=6，当CQ=BQ 时，则∠C=∠QBC ，∴∠C+∠A=∠CBQ+∠QBA ，∴∠A=∠QBA ，∴QB=QA ，∴CQ=12AC=5，即2t-6=5，解得t=5.5，综上可知当△BCQ 为等腰三角形时，t=335或t=6或t=5.5．【举一反三】1．等腰三角形腰长为2cm ，底边长为2√3cm ，则顶角为______，面积为______．【解答】解：如图，作AD ⊥BC 于D ，∴BD=DC=√3cm ，∴AD=√AB 2−BD 2=√22−（√3）2=1cm ，∴∠B=30°，∴顶角为180°-30°-30°=120°，三角形的面积=12×2√3×1=√3cm 2．故答案为：120°；√3cm 2．【答案】120°√3cm 2．2．如图，下列4个三角形中，均有AB=AC ，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（ ）A. ①③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④【解答】解：由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”，①中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°和36°，72°72°，能；②不能；③显然原等腰直角三角形的斜边上的高把它还分为了两个小等腰直角三角形，能；④中的为36°，72，72°和36°，36°，108°，能．故选：C．【答案】C3．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，CD是△ABC的角平分线．若在边AC上截取CE=CB，连接DE，则图中等腰三角形共有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【解答】解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBC=1∠ABC=36°，2∴∠A=∠ABD=36°，∴BD=AD，∴△ABD是等腰三角形；在△BCD中，∵∠BDC=180°-∠DBC-∠C=180°-36°-72°=72°，∴∠C=∠BDC=72°，∴BD=BC，第10页共18页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训∴△BCD是等腰三角形；∵BE=BC，∴BD=BE，∴△BDE是等腰三角形；∴∠BED=（180°-36°）÷2=72°，∴∠ADE=∠BED-∠A=72°-36°=36°，∴∠A=∠ADE，∴DE=AE，∴△ADE是等腰三角形；∴图中的等腰三角形有5个．故选：D．【答案】D4．等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（）A. 顶角B. 底角C. 顶角的一半D. 底角的一半【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC，则AE平分∠BAC，∠A，∴∠2=12∵BD⊥AC，∴∠1+∠C=90°，又∠2+∠C=90°，∴∠1=∠2，∠A，∴∠1=12即等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半，故选：C．【答案】C5．等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是（）A. 80°或40°B. 65°或50°C. 80°或65°D. 80°或50°【解答】解：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65度．故选：B．【答案】B6．在△ABC中，AB=AC，BD是高．若∠ABD=40°，则∠C的度数为______．【解答】解：①当为锐角三角形时：∠BAC=90°-40°=50°，（180°-50°）=65°；∴∠ACB=12②当为钝角三角形时：∠BAC=90°+40°=130°，∴∠ACB=1（180°-130°）=25°；2故答案为：65°或25°．【答案】65°或25°7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒√2cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，当△PQC 为以QC为底边的等腰三角形的时候，时间t的值为多少？【答案】解：过点P作PN⊥BC于点N，PM⊥AC于点M，设Q点运动的时间为t秒，△PQC成为以QC为底边的等腰三角形，则PQ=PC，∴QN=NC，∵点P从点A出发，沿AB方向以每秒√2cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，∴AP=√2t，BQ=t，∵∠BCA=90°，AC=BC=6cm，∴∠B=∠A=45°，∴AM=PM=t，∴BQ=QN=NC=PM=t，∴BC=3t=6，解得：t=2．1．下列能断定△ABC为等腰三角形的是（）A. ∠A=30°，∠B=60°B. AB=AC=2，BC=4C. ∠A=50°，∠B=80°D. AB=3、BC=7，周长为13【解答】解：A、∵∠A=30°，∠B=60°，∴∠C=180°-∠A-∠B=90°，即∠A≠∠B≠∠C，∴△ABC不是等腰三角形，故本选项错误；B、∵AB=AC=2，BC=2，∴2+2=4，即三条线段不能组成三角形，故本选项错误；C、∵∠A=50°，∠B=80°，∴∠C=180°-∠A-∠B=50°，即∠A=∠C，∴△ABC是等腰三角形，故本选项正确；D、∵AB=3，BC=7，周长是13，∴AC=13-3-7=3，∵3+3＜7，∴三条线段不能组成三角形，故本选项错误；故选：C．【答案】C2．已知△ABC中，AB=AC，∠B=50°，则∠C的度数为（）A. 50°B. 65°C. 80°D. 50°或65°【解答】解：∵AB=AC，∴∠C=∠B=50°，故选：A．【答案】A3．等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少20°，则这个等腰三角形的顶角度数是______．【解答】解：设另一个角是x，表示出一个角是2x-20°，①x是顶角，2x-20°是底角时，x+2（2x-20°）=180°，解得x=44°，所以，顶角是44°；②x是底角，2x-20°是顶角时，2x+（2x-20°）=180°，解得x=50°，所以，顶角是2×50°-20°=80°；③x与2x-20°都是底角时，x=2x-20°，解得x=20°，所以，顶角是180°-20°×2=140°；综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是44°或80°或140°．故答案为：44°或80°或140°．【答案】44°或80°或140°4．如果过等腰三角形的一个顶点的直线将这个等腰三角形分成两个等腰三角形，那么这个等腰三角形的顶角的度数为______度．【解答】解：设该等腰三角形的底角是x；①当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形，则AC=BC，AD=CD=BD，设∠A=x°，则∠ACD=∠A=x°，∠B=∠A=x°，∴∠BCD=∠B=x°，∵∠A+∠ACB+∠B=180°，∴x+x+x+x=180，解得x=45，则顶角是90°；②如图，AC=BC=BD，AD=CD，设∠B=x°，∵AC=BC，∴∠A=∠B=x°，∵AD=CD，∴∠ACD=∠A=x°，∴∠BDC=∠A+∠ACD=2x°，∵BC=BD，∴∠BCD=∠BDC=2x°，∴∠ACB=3x°，∴x+x+3x=180，x=36°，则顶角是108°．③当过底角的角平分线把它分成了两个等腰三角形，则有AC=BC，AB=AD=CD，设∠C=x°，∵AD=CD，∴∠CAD=∠C=x°，∴∠ADB=∠CAD+∠C=2x°，∵AD=AB，∴∠B=∠ADB=2x°，∵AC=BC，∴∠CAB=∠B=2x°，∵∠CAB+∠B+∠C=180°，∴x+2x+2x=180，x=36°，则顶角是36°．④当∠A=x°，∠ABC=∠ACB=3x°时，也符合，如图AD=BD，BC=DC，∠A=∠ABD=x，∠DBC=∠BDC=2x，则x+3x+3x=180°，x=180°7，因此等腰三角形顶角的度数为36°或90°或108°或180°7．故答案为：36°或90°或108°或180°7．【答案】36°或90°或108°或【答案】180°75．若等腰三角形一腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（）A. 75°或15° B. 75° C. 15° D. 75°或30°【解答】解：当等腰三角形是锐角三角形时，如图1所示∵CD⊥AB，CD=12AC，∴sin∠A=CDAD =1 2，∴∠A=30°，∴∠B=∠ACB=75°；当等腰三角形是钝角三角形时，如图2示，∵CD⊥AB，即在直角三角形ACD中，CD=12AC，∴∠CAD=30°，∴∠CAB=150°，∴∠B=∠ACB=15°．故其底角为15°或75°．故选：A．【答案】A6．如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）当点M、N运动______秒时，M、N两点重合；（2）当点M、N运动______秒后，M、N与△ABC中的某个顶点可得到等腰三角形．【解答】解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，x×1+12=2x，解得：x=12，故当点M、N运动12秒时，M、N两点重合；故答案为：12；（2）①当M在AC上，N在AB上时，有AM=AN，△AMN为等边三角形，符合题意，即t=12-2t，解得t=4；有MN=BN，△AMN为等腰三角形，符合题意，即（2t）2=（6-2t）2+[√3（6-t）]2，解得t1=10-2√13，t2=10+2√13（舍去）；②当M、N均在AC上时，有BM=BN，△BMN为等腰三角形，符合题意，则CM=AN，即12-t=2t，解得t=8；③当M、N均在BC上时，N点已经追过M点，有AM=AN，△AMN为等腰三角形，符合题意，则CM=BN，即t-12=36-2t，解得t=16．故答案为4，8，16．【答案】124，8，16。
初中数学特殊三角形(等腰三角形、等边三角形、30°直角三角形)常考题及答案解析
特殊三角形（等腰三角形、等边三角形、30°直角三角形）常考题及答案解析1．（2020秋•喀什地区期末）下列说法错误的是（）A．等腰三角形的两个底角相等B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合C．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等D．等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍2．（2020秋•顺城区期末）已知等腰三角形的周长为17cm，一边长为4cm，则它的腰长为（）A．4cm B．6.5cm C．6.5cm或9cm D．4cm或6.5cm 3．（2017•海南）已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）条．A．3B．4C．5D．6 4．（2019•白银）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝．5．（2013•凉山州）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是．6．（2020秋•五常市期末）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE．（1）求证：AB＝AC；（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．7．（2019秋•龙岩期末）如图，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°，若EF＝2，则DF＝（）A．3B．4C．5D．6 8．（2006•烟台）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）A．25°B．30°C．45°D．60°9．（2020秋•慈溪市期中）已知：如图，AB＝BC，∠A＝∠C．求证：AD＝CD．10．（2014秋•青山区期中）已知：如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF．求证：△DEF是等边三角形．11．（2018秋•六合区期中）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，DE ∥BC交AB于点E．（1）求证：△ADE是等边三角形．（2）求证：AE＝AB．12．（2017•裕华区校级模拟）已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD＝BE＝CF．请你说明△DEF是正三角形．13．（2012秋•姜堰市校级期中）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC ＝α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）△COD是什么三角形？说明理由；（2）若AO＝n2+1，AD＝n2﹣1，OD＝2n（n为大于1的整数），求α的度数；（3）当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？14．（2000•内蒙古）如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连接CE，DE．求证：EC＝ED．15．（2020秋•连山区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝60°，AD＝2，则BD＝（）A．2B．4C．6D．816．（2020秋•肇州县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AE＝6cm，则AC＝（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 17．（2020秋•朝阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝11，∠BAC＝120°，AD是△ABC 的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（）A．4.5B．5C．5.5D．618．（2020秋•抚顺县期末）右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°，则DE长为．19．（2020秋•宽城区期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD＝2，则AD等于（）A．10B．8C．6D．420．（2020秋•无棣县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上一动点，连接AP，则AP的长度不可能是（）A．4B．4.5C．5D．721．（2020秋•云县期中）如图，点D是AB的中点，DE⊥AC，AB＝7.2，∠A＝30°，则DE＝（）A．1.8B．2.4C．3.6D．4.822．（2020秋•北碚区校级期中）如图，已知∠AOB＝60°，P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝5，则ON的长度是（）A．9B．6.5C．6D．5.523．（2020秋•天宁区校级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，动点P 在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（）A．6个B．5个C．4个D．3个24．（2020秋•连江县期中）如图，等边△ABC中，AB＝4，点P在边AB上，PD⊥BC，DE ⊥AC，垂足分别为D、E，设PA＝x，若用含x的式子表示AE的长，正确的是（）A．2﹣x B．3﹣x C．1D．2+x 25．（2020秋•赣榆区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD是△ABC 的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长是（）A．5B．2C．4D．326．（2019秋•勃利县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D 作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（）①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝EF+CF．A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④27．（2019春•秦淮区期末）如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内任意一点，D、E、F分别是AC、AB、BC边上的三点，且PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC．若PF+PD+PE＝a，则△ABC的边长为（）A．a B．a C．a D．a28．下列说法中，正确的个数是（）①三条边都相等的三角形是等边三角形；②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；③有两个角为60°的三角形是等边三角形；④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形A．1个B．2个C．3个D．4个29．（2020•和平区三模）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且BD＝CD．点E，F分别在边AB，AC上，且∠EDF＝90°，M为边EF的中点，连接CM交DF于点N．若DF∥AB，则CM的长为（）A．B．C．D．30．（2020秋•天心区期中）下列说法错误的是（）A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等C．等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合D．三个角都相等的三角形是等边三角形．31．（2019春•杏花岭区校级期中）关于等边三角形，下列说法中错误的是（）A．等边三角形中，各边都相等B．等腰三角形是特殊的等边三角形C．两个角都等于60°的三角形是等边三角形D．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形32．（2019•城步县模拟）一个六边形的六个内角都是120°（如图），连续四条边的长依次为1，3，3，2，则这个六边形的周长是（）A．13B．14C．15D．16 33．（2018•柳州一模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝60°，∠D＝90°，AB＝2，则CD长的取值范围是（）A．＜CD＜B．CD＞2C．1＜CD＜2D．0＜CD＜34．（2018秋•罗庄区期中）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画出射线OB，则∠AOB＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°参考答案与试题解析1．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．【分析】根据等腰三角形的性质即可判断A；根据三角形的高、角平分线、中线的定义和等腰三角形的性质即可判断B；根据角平分线的性质即可判断C；根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质即可判断D．【解答】解：A．等腰三角形的两底角相等，故本选项不符合题意；B．等腰三角形的两个底角的高、角平分线和中线不一定互相重合，故本选项符合题意；C.过O作OM⊥AB于M，OQ⊥AC于Q，ON⊥BC于N，∵O是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，∴OM＝ON，ON＝OQ，∴OM＝ON＝OQ，即三角形的两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故本选项不符合题意；D.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠EAC＝∠B+∠C，∴∠EAC＝2∠B，即等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．2．【考点】三角形三边关系；等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】分两种情况讨论：当4cm为腰长时，当4cm为底边时，分别判断是否符合三角形三边关系即可．【解答】解：①若4cm是腰长，则底边长为：20﹣4﹣4＝12（cm），∵4+4＜12，不能组成三角形，舍去；②若4cm是底边长，则腰长为：＝6.5（cm）．则腰长为6.5cm．故选：B．【点评】此题考查等腰三角形的性质与三角形的三边关系．此题难度不大，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．3．【考点】等腰三角形的判定．【专题】三角形．【分析】根据等腰三角形的性质，利用4作为腰或底边长，得出符合题意的图形即可．【解答】解：如图所示：当AC＝CD，AB＝BG，AF＝CF，AE＝BE时，都能得到符合题意的等腰三角形（AD，AE，AF，AG分别为分割线）．故选：B．【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论得出是解题关键．4．【考点】等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解．【解答】解：①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：＝50°∴特征值k＝＝②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°∴特征值k＝＝综上所述，特征值k为或故答案为或【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A的度数，要分∠A是顶角和底角两种情况，以免造成答案的遗漏．5．【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【专题】压轴题；分类讨论．【分析】先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．【解答】解：根据题意得，x﹣4＝0，y﹣8＝0，解得x＝4，y＝8，①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，∵4+4＝8，∴不能组成三角形，②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，能组成三角形，周长＝4+8+8＝20，所以，三角形的周长为20．故答案为：20．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．6．【考点】等腰三角形的判定．【专题】几何图形．【分析】（1）首先过点A作AF⊥BC于点F，由AD＝AE，根据三线合一的性质，可得DF＝EF，又由BD＝CE，可得BF＝CF，然后由线段垂直平分线的性质，可证得AB＝AC．（2）根据等腰三角形的判定解答即可．【解答】证明：（1）过点A作AF⊥BC于点F，∵AD＝AE，∴DF＝EF，∵BD＝CE，∴BF＝CF，∴AB＝AC．（2）∵∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，∠BAE＝∠BEA，∠ADC＝∠DAC，∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC，【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．7．【考点】等边三角形的判定与性质．【专题】数形结合；三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】过点E作EG⊥BC，交BC于点G，先证明△ABC是等边三角形，再证明∠AFE ＝90°，然后利用等腰三角形的“三线合一”性质及角平分线的性质定理求得EG的长，随后利用含30度角的直角三角形的性质求得DE的长，最后将EF与DE相加即可．【解答】解：如图，过点E作EG⊥BC，交BC于点G∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∴∠AEF＝30°，∴∠AFE＝90°，即EF⊥AB，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴EG＝EF＝2，在Rt△DEG中，DE＝2EG＝4，∴DF＝EF+DE＝2+4＝6；方法二、∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝30°＝∠CDE，∴BE＝DE，∠BFD＝90°，∴BE＝2EF＝4＝DE，∴DF＝DE+EF＝6；故选：D．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”性质及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．8．【考点】等边三角形的判定与性质．【分析】先根据图形折叠的性质得出BC＝CE，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出CE＝AE＝BE，进而可判断出△BEC是等边三角形，由等边三角形的性质及直角三角形两锐角互补的性质即可得出结论．【解答】解：△ABC沿CD折叠B与E重合，则BC＝CE，∵E为AB中点，△ABC是直角三角形，∴CE＝BE＝AE，∴△BEC是等边三角形．∴∠B＝60°，∴∠A＝30°，故选：B．【点评】考查直角三角形的性质，等边三角形的判定及图形折叠等知识的综合应用能力及推理能力．9．【考点】等腰三角形的判定与性质．【专题】几何图形．【分析】连接AC，根据等边对等角得到∠BAC＝∠BCA，因为∠A＝∠C，则可以得到∠CAD＝∠ACD，根据等角对等边可得到AD＝DC．【解答】证明：连接AC，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA．∵∠BAD＝∠BCD，∴∠CAD＝∠ACD．∴AD＝CD．【点评】重点考查了等腰三角形的判定方法，即：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．10．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】由△ABC是等边三角形，AD＝BE＝CF，易证得△ADF≌△BED，即可得DF＝DE，同理可得DF＝EF，即可证得：△DEF是等边三角形．【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∵AD＝BE＝CF，∴AF＝BD，在△ADF和△BED中，，∴△ADF≌△BED（SAS），∴DF＝DE，同理DE＝EF，∴DE＝DF＝EF．∴△DEF是等边三角形．【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．11．【考点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】几何图形．【分析】（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质证明即可．（2）根据等边三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°．∴△ADE是等边三角形．（2）∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC．∵BD平分∠ABC，∴AD＝AC．∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD．∴AE＝AB．【点评】此题考查等边三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质和平行线的性质解答．12．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据等边△ABC中AD＝BE＝CF，证得△ADE≌△BEF≌△CFD即可得出△DEF 是等边三角形．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，且AD＝BE＝CF，∴AE＝BF＝CD，又∵∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴△ADE≌△BEF≌△CFD（SAS），∴DE＝EF＝FD，∴△DEF是等边三角形．【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形判定，根据已知得出△ADE≌△BEF≌△CFD是解答此题的关键．13．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】分类讨论．【分析】（1）根据旋转的性质可得CO＝CD，∠OCD＝60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形解答；（2）利用勾股定理逆定理判定△AOD是直角三角形，并且∠ADO＝90°，从而求出∠ADC＝150°，再根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得α＝∠ADC；（3）根据周角为360°用α表示出∠AOD，再根据旋转的性质表示出∠ADO，然后利用三角形的内角和定理表示出∠DAO，再分∠AOD＝∠ADO，∠AOD＝∠DAO，∠ADO＝∠DAO三种情况讨论求解．【解答】解：（1）△COD是等边三角形．理由如下：∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴CO＝CD，∠OCD＝60°，∴△COD是等边三角形；（2）∵AD2+OD2＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2＝AO2，∴△AOD是直角三角形，且∠ADO＝90°，∵△COD是等边三角形，∴∠CDO＝60°，∴∠ADC＝∠ADO+∠CDO＝90°+60°＝150°，根据旋转的性质，α＝∠ADC＝150；（3）∵α＝∠ADC，∠CDO＝60°，∴∠ADO＝α﹣60°，又∵∠AOD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，∴∠DAO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝180°﹣190°+α﹣α+60°＝50°，∵△AOD是等腰三角形，∴①∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，解得α＝125°，②∠AOD＝∠DAO时，190°﹣α＝50°，解得α＝140°，③∠ADO＝∠DAO时，α﹣60°＝50°，解得α＝110°，综上所述，α为125°或140°或110°时，△AOD是等腰三角形．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质，勾股定理逆定理，等腰三角形的性质，（3）用α表示出△AOD的各个内角是解题的关键，注意要分情况讨论．14．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】证明题；压轴题．【分析】首先延长BD至F，使DF＝BC，连接EF，得出△BEF为等边三角形，进而求出△ECB≌△EDF，从而得出EC＝DE．【解答】证明：延长BD至F，使DF＝BC，连接EF，∵AE＝BD，△ABC为等边三角形，∴BE＝BF，∠B＝60°，∴△BEF为等边三角形，∴∠F＝60°，在△ECB和△EDF中∴△ECB≌△EDF（SAS），∴EC＝ED．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定等知识，作出辅助线是解决问题的关键．15．【考点】含30度角的直角三角形．【专题】计算题；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】根据同角的余角相等求出∠BCD＝∠A＝60°，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC、AB的长，然后根据BD＝AB﹣AD计算即可得解．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠BCD+∠ACD＝90°，∠A+∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠A＝60°，∴∠ACD＝∠B＝30°，∵AD＝2，∴AC＝2AD＝4，∴AB＝2AC＝8，∴BD＝AB﹣AD＝8﹣2＝6．故选：C．【点评】本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，同角的余角相等的性质，熟记性质是解题的关键．16．【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EA，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B＝15°，根据三角形的外角的性质求出∠AEC＝30°，根据直角三角形的性质计算．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴EB＝EA，∴∠EAB＝∠B＝15°，∴∠AEC＝30°，∴AC＝AE＝3（cm），故选：D．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．17．【考点】等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，从而可得到∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE＝∠EAB＝30°，从而可推出AD＝DF，根据直角三角形30度角的性质即可求得AD的长，即得到了DF 的长．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE＝∠EAB＝30°．∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°．∴∠DAF＝∠F＝30°，∴AD＝DF．∵AB＝11，∠B＝30°，∴AD＝5.5，∴DF＝5.5故选：C．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，能求出AD＝DF是解此题的关键．18．【考点】含30度角的直角三角形．【专题】推理填空题．【分析】根据直角三角形的性质求出BC，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵∠A＝30°，BC⊥AC，∴BC＝AB＝3.7，∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE∥BC，∵点D是斜梁AB的中点，∴DE＝BC＝1.85m，故答案为：1.85m．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．19．【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．【专题】计算题；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】先由直角三角形的性质求出∠ABC的度数，由AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，垂足为E，可得BD＝AD，由∠A＝30°可知∠ABD＝30°，故可得出∠DBC ＝30°，根据CD＝2可得出BD的长，进而得出AD的长．【解答】解：连接BD，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°．∵AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，∴AD＝BD，DE⊥AB，∴∠ABD＝∠A＝30°，∴∠DBC＝30°，∵CD＝2，∴BD＝2CD＝4，∴AD＝4．故选：D．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及含30°角的直角三角形的性质．熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．20．【考点】垂线段最短；含30度角的直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】在Rt△ABC中，利用“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”可求出AB的长，由点P是BC边上一动点结合AC，AB的长，即可得出AP长的取值范围，再对照四个选项即可得出结论．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，∴AB＝2AC＝6．∵点P是BC边上一动点，∴AC≤AP≤AB，即3≤AP≤6．故选：D．【点评】本题考查了含30度角的直角三角形以及垂线段最短，通过解含30度角的直角三角形，求出AB的长是解题的关键．21．【考点】含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【分析】求出AD的长，再根据含30°角的直角三角形的性质得出DE＝AD，即可求出答案．【解答】解：∵点D是AB的中点，AB＝7.2，∴AD＝AB＝3.6，∵DE⊥AC，∴∠DEA＝90°，∵∠A＝30°，∴DE＝AD＝1.8，故选：A．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，能根据含30°角的直角三角形的性质得出DE＝AD是解此题的关键．22．【考点】等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】过P作PC⊥MN于C，先由等腰三角形的性质得CM＝CN＝2.5，再由含30°角的直角三角形的性质求出OC的长，然后由OC+CM求出ON的长即可．【解答】解：过P作PC⊥MN于C，如图所示：∵PM＝PN，MN＝5，∴CM＝NC＝MN＝2.5，在Rt△OPC中，∠AOB＝60°，∴∠OPC＝30°，∴OC＝OP＝4，则ON＝OC+CM＝4+2.5＝6.5，故选：B．【点评】本题考查的是含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握含30°角的直角三角形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．23．【考点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．【分析】根据等腰三角形的判定和含30°的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：如图所示：以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2，以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3，边AC和BC的垂直平分线都交于点P3位置，因此出现等腰三角形的点P的位置有4个，故选：C．【点评】此题考查等腰三角形的判定，关键是根据等腰三角形的判定和含30°的直角三角形的性质解答．24．【考点】列代数式；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】利用等边三角形的性质可得AB＝BC＝AC＝4，∠B＝∠C＝60°，再利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝4，∠B＝∠C＝60°，∵PD⊥BC，DE⊥AC，∴BD＝PB，CE＝CD，∵P A＝x，∴BP＝4﹣x，∴BD＝PB＝2﹣x，∴CD＝4﹣（2﹣x）＝2+x，∴CE＝1+x，∴AE＝4﹣（1+x）＝3﹣x，故选：B．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．25．【考点】平行线的性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，从而可得到∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE＝∠EAB＝30°，从而可推出AD＝DF，根据直角三角形30度角的性质即可求得AD的长，即得到了DF 的长．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE＝∠EAB＝30°，∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°，∴∠DAF＝∠F＝30°，∴AD＝DF，∵AB＝6，∠B＝30°，∴AD＝AB＝3，∴DF＝3，故选：D．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，能求出AD＝DF是解此题的关键．26．【考点】等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】由在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，易证得∠DCA＝∠DAC，继而可得①∠DCB＝∠B正确；由①可证得AD＝BD＝CD，即可得②CD＝AB正确；易得③△ADC是等腰三角形，但不能证得△ADC是等边三角形；由若∠E＝30°，易求得∠FDC＝∠FCD＝30°，则可证得DF＝CF，继而证得DE＝EF+CF．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°，∵∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∠DCB＝∠B；故①正确；∴CD＝BD，∵AD＝CD，∴CD＝AB；故②正确；∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，但不能判定△ADC是等边三角形；故③错误；∵若∠E＝30°，∴∠A＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝60°，∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠EDC＝∠BCD＝∠B＝30°，∴CF＝DF，∴DE＝EF+DF＝EF+CF．故④正确．故选：B．【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及直角三角形的性质．注意证得D是AB 的中点是解此题的关键．27．【考点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形．【分析】延长EP交BC于点G，延长FP交AC于点H，证出四边形AEPH、四边形PDCG 均为平行四边形，得出PE＝AH，PG＝CD．证出△FGP和△HPD也是等边三角形，得出PF＝PG＝CD，PD＝DH，得出PE+PD+PF＝AH+DH+CD＝AC即可．【解答】解：延长EP交BC于点G，延长FP交AC于点H，如图所示：∵PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC，∴四边形AEPH、四边形PDCG均为平行四边形，∴PE＝AH，PG＝CD．又∵△ABC为等边三角形，∴△FGP和△HPD也是等边三角形，∴PF＝PG＝CD，PD＝DH，∴PE+PD+PF＝AH+DH+CD＝AC，∴AC＝a；故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．28．【考点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】三角形．【分析】根据等边三角形的判定、轴对称的性质即可判断；【解答】解：①三条边都相等的三角形是等边三角形；正确．②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；正确．③有两个角为60°的三角形是等边三角形；正确．④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形；正确．故选：D．【点评】本题考查等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、轴对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．29．【考点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据等边三角形边长为2，在Rt△BDE中求得DE的长，再根据CM垂直平分DF，在Rt△CDN中求得CN，最后根据线段和可得CM的长．【解答】解：∵等边三角形边长为2，BD＝CD，∴BD＝，CD＝，∵等边三角形ABC中，DF∥AB，∴∠FDC＝∠B＝60°，∵∠EDF＝90°，∴∠BDE＝30°，∴DE⊥BE，∴BE＝BD＝，DE＝，如图，连接DM，则Rt△DEF中，DM＝EF＝FM，∵∠FDC＝∠FCD＝60°，∴△CDF是等边三角形，∴CD＝CF＝，∴CM垂直平分DF，∴∠DCN＝30°，DN＝FN，∴Rt△CDN中，DN＝，CN＝，∵M为EF的中点，∴MN＝DE＝，∴CM＝CN+MN＝+＝，故选：C．【点评】本题主要考查了三角形的综合应用，解决问题的关键是掌握等边三角形的性质、平行线的性质、线段垂直平分线的判定等．熟练掌握这些性质是解题的关键．30．【考点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质和判定逐个进行分析判断，即可得到答案．【解答】解：A．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，故本选项不合题意；B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等，故本选项不合题意；C．等腰三角形顶角的角平分线，底边的中线，高相互重合，说法错误，故本选项符合题意；D．三个角都相等的三角形是等边三角形，故本选项不合题意；故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质定理是解题的关键．31．【考点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．。
初中数学竞赛专题三：特殊三角形(word 无答案)
初中数学竞赛公益讲座：特殊三角形一、基础知识：1）等腰三角形：对称性；底边上的高、中线和角平分线三线合一。
2）正三角形：旋转中的不变性，60度和120度；重心、外心、内心、垂心四心合一；内部任何一点到三边的距离和为定值；……3）直角三角形：勾股定理；代数化与数形结合；射影定理；斜边中线；共圆；4）特殊的直角三角形：等腰直角三角形—对称性，旋转不变性；含30 度角的直角三角形—30度角所对直角边是斜边的一半，包含一个等边三角形和一个顶角为120度的等腰三角形。
二、例题分析例1、如下左图，在四边形ABCD中，∠B=135度，∠C=120度，AB=2，BC=4-2，CD=4，求AD的长度。
例2、如上右图，四边形ABCD，对角线AC、BD交于点E，I是△BEC的内心，BD⊥AC，且BD=AC=BC，M是BC的中点，求证：IM⊥AD，AD=2IM.例3、如下左图△ABC中，AB=AC，在AB边上有两点P和Q，在AC边上有两点R和S，且PQ=RS，M和N分别是PR和QS的中点，求证：MN⊥BC。
例4、如上右图，等腰△ABC中，AB=AC，BE=CD，BD=CF，作∠C的平分线交DF于点G，DG=3，BC=16，若∠BED=2∠D FC，求BE的长。
例5、如下左图，等边△ABC的边长为4，D是AC边上的动点，连接BD，以BD为斜边向上作等腰直角三角形BDE，连接AE，求AE长的最小值。
例6、如上右图，△ABC中，∠B AC=60度，∠AT C=∠B TC=∠CT A=120度，M 是BC的中点，求证：2AM=TA+TB+TC。
例7、如下图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，DF⊥AB于点F，A E⊥CF于点E且交DF于点M，求证，M是DF的中点。
三、练习题1、如下左图，在△ABC中，AD和BE是中线，且∠C AD=∠C BE=30度，求证：△ABC是正三角形。
2、如上右图，在△ABC中，AB≠AC，AD是角平分线，E、F分别在AB、AC上，且BE=CF，连接EF，分别取EF、BC的中点M、N，连接MN，求证：MN⫽AD3、如下左图，在△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC=2，线段BC上一动点P从C点开始运动，到B点停止，以AP为边在AC的右侧作等边△APQ，求点Q的运动轨迹的长度。
中考复习特殊三角形(含答案)-
特殊三角形◆考点链接1．等腰（等边）三角形的判定定理与性质定理．2．直角三角形的判定与性质．3．勾股定理的应用．◆典例精析【例题 1】判断题：（正确的画“∨” ，错误的画“×” ）（ 1）若三角形中最大的内角是 60°，那么这个三角形是等边三角形；（）（ 2）等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形分成两个等腰三角形；（）（ 3）等腰三角形两腰上的高相等；（）（ 4）等边三角形的三条高相等；（）（ 5）等腰三角形的角平分线垂直且平分对边；（）（ 6）顶角相等的两个等腰三角形全等．（）评析：本题主要考查等腰三角形的性质与判定．（ 1）三角形有一角为 60°时，另两角和是 120°，若其中之一小于 60°，必有另一个大于 60°，与最大角为 60°相矛盾．（2）等腰三角形一腰上的中线不一定等于腰长的一半．（ 3）（ 4）应用等腰（等边）三角形的性质，通过三角形面积的不同表示方法可证明．（ 5）当等腰三角形腰和底不相等时，底角的平分线不垂直平分对边．（ 6） ?和等腰三角形底边平行的直线截得的等腰三角形与原三角形顶角相等，但不全等．答案：（1）∨ （2）× （3）∨ （4）∨ （ 5）× （6）×评析：有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形，等腰三角形的“三线合一”在等边三角形中就都成立，这是因为在等边三角形中，每个顶点都可以视作等腰三角形的顶点．【例题 2】（1）已知： a、b、c 为△ ABC三边，且满足a2+b2+c2+50=60a+8b+10c，试判断△ ABC的形状．（ 2）如图，△ ABC中， CD⊥AB，垂中为 D点，且 CD2=AD·BD，求证：△ ABC?为直角三角形．解题思路：由三角形的三边的数量关系来判断三角形是否是直角三角形，或用于构造直角三角形证明两直线垂直，一般与勾股定理和代数式、方程相结合，综合运用．特别是由一个等式求三角形的三边长时，往往把等式化为 A 2+B 2+C2=0 的形式，再由A=0 ，B=0 ，C=0，求得三角形三边的长，再用于计算或判断．222（ 1）解：∵ a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ，2 2 2∴ a -6a+9+b -8b+16+c -10c+25=0 ，222∴（ a-3）2+（b-4）2+（c-5）2=0，∴ a-3=0，b-4=0， c-5=0 ，222∴a=3，b=4，c=5，∴a+b=c ，∴△ ABC 为直角三角形．（ 2）证明：∵ CD⊥AB ，2 2 2 2 2 2∴AD 2+DC2=AC2，DB2+DC2=BC2．2 2 2 2 2 2∴AC 2+BC 2=AD 2+DB 2+2DC 2，∵ DC 2=AD·DB ，2 2 2 2 2 2∴ AC 2+BC 2=AD 2+DB 2+2AD·DB= （ AD+DB ）2=AB 2．∴△ ABC为直角三角形．评析：（1）对于原等式关键处是化为A2+B2+C2=0 的形式，对常数项拆项的依据是一次项系数的一半的平方．（ 2）本题的解答在于反复应用勾股定理及其逆定理， ?先分别在 Rt△ACD和 Rt△BCD中使用勾股定理，再依据已知条件，进而求得AC2+BC 2=AB 2，?利用勾股定理的逆定理判定△ ABC为直角三角形．【例题 3】（北京）如图，一根长 2a 的木棍（ AB），斜靠在与地面（ OM）垂直的墙（ ON）上，设木棍的中点为P，若木棍 A 端沿墙下滑，且 B 端沿地面向右滑行．（1）请判断木棍滑动的过程中，点 P 到点 O的距离是否变化，并简述理由．2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值．解题思路：（1）木棍在滑动过程中， OP始终是 Rt△ AOB斜边中线，故为斜边AB?的一半，而 AB的长为定长，所以 OP不变．（ 2）木棍在滑动的过程中，斜边上的高在发生变化，因为 AB 为定值，当高最大时，△ AOB的面积为最大，所以当 OP⊥AB（即 OA=O）B ?时，?△ AOB面积最大．解：（ 1）不变．理由：在直角三角形中，因为斜边AB?的长不变， ?由性质有斜边中线OP长不变．2）当△ AOB的斜边 AB上的高 h 等于中线 OP时，△ AOB的面积最大，如图，若 h 与OP不相等，则总有 h<OP，故根据三角形面积公式，有 h 与 OP相等时，△ AOB的面积最大．S△AOB = 1 AB·h= 1×2a·a=a2．此时，22所以△ AOB 的面积最大值为 a2．评析：（ 1）在变化过程中，要抓住不变量，建立起所求量与不变量的关系．（2）要求面积的最大值转化为三角形底不变，高是变量，即找出高的变化的最大值即得．◆探究实践【问题 1】已知△ ABC的两边 AB、AC长是关于 x 的一元二次方程 x 2-（ 2k+3）x+k 2+3k+2=0 的两个实数根，第三边 BC的长为 5．（ 1）k 为何值时，△ ABC是以 BC为斜边的直角三角形；（ 2）k 为何值时，△ ABC是等腰三角形，并求△ ABC的周长．解题思路：（1）用根与系数的关系、勾股定理建立方程求解， ?再用判别式和根与系数的关系检验．（ 2）用求根公式和等腰三角形的性质求解．解：（1）根据一元二次方程根与系数的关系和勾股定理，可列方程组：AC AB 2k 3AC AB k 23k 2AC 2AB252, 2 2 2∵AC +AB =（AC+AB ） -2AC·AB ．22∴25=（2k+3）2-2（ k 2+3k+2 ），∴ k 1=-5 ， k2=2 ．当 k=-5 时，方程的两根为负值，不合题意，舍去．∴k=2，△ ABC是以 BC为斜边的直角三角形．22（2）∵△ =（2k+3）2-4（k2+3k+2）=1>0，方程有两个不相等的实数根，∴ AC≠ AB．22当 AB=BC 或 AC=BC 时，将 x=5 代入方程 x2-（2k+3） x+k 2+3k+2=0 ，k=3，k=4．2k=3时，方程为 x2-9x+20=0，x1=4，x2=5．△ABC 的周长为 14．2k=4 时，方程为 x -11x+30=0，x1=5， x2=6．△ABC 的周长为 16．评析：这是一道综合题，涉及知识较多，一元二次方程的解法，一元二次方程根与系数关系，根的判别式，勾股定理，因为没指明等腰三角形的底和腰，不要漏解．另外，求解以后要检验，如三角形的边不能为负值，那么方程的解为负值即不合题意舍去，再如，求出的三边是否满足三角形三边之间的关系定理，不满足的也要舍去．【问题2】如下左图，图①是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为 a 和 b，斜边的长为 c ．图②是以 c 为直角边的等腰直角三角形， ?请你开动脑筋将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．（1）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形；（2）用这个图形证明勾股定理；（ 3）假设图①中的直角三角形有若干个，你能运用（1）?中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图（无需证明）．12解题思路：由所给出的三个图形拼成直角梯形，抓住面积来证明勾股定理．解：（1）如上右图是所拼的图形，它是直角梯形．2)∵ S 梯形= a+b）（a+b）a+b) 2，121 12 1 2又∵ S 梯形 = ab ×2+ c 2=ab+ c 2， 22211∴ （ a+b ） 2=ab+ c 2，整理得 a 2+b 2=c 2． 22 （ 3）拼出能证明勾股定理的图形． （图略） 评析：这是考察学生综合能力的一个题目，证明勾股定理的方法很多，而本题给出了 三个直角三角形，分析直角三角形的边，用面积关系得出勾股定理的一种证明方法． ◆中考演练一、填空题二、选择题1．如图 2，△ ABC 中， AB=AC ，点 D 在 AC 边上，且 BD=BC=A ，D 则∠ A 的度数为（）．A ． 30°B ．36°C ． 45°D ． 70°2．下 列命题中，错误的是（ ）．A ．等边三角形的各边相等， 各角相等B ．等边三角形是一个轴对称图形C ．等边三角形是一个中心对称图形D ．等边三角形有一个内切圆和一个外接圆3．如图 3，在△ ABD 中，∠ D=90°， C 为 AD 上一点，则 x 可能是（ ）． A ．10° B ． 20° C ．30°D ．40°1．等腰三角形的两边长分别为 2cm 和 5cm ，则它的周长为 cm ． 2． 山西）在△ ABC 中，如图 1，AB=AC ，E 是 AB 的中点，以点 E 为圆心， EB 为半径画弧 交 BC 于点 D ，连接 ED 并延长到点 F ，使 DF=DE ，连接 FC ， 若∠ B=70°，则∠ F= 度．3． 等腰三角形的两外角之比为 5：2，则该等腰三角形的底角为 (3)三、解答题1．如图，已知，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是 AB中点， E、F?分别在AC、BC2．如图，△ ABC中，∠ ACB=90°， AC=BC，AE是 BC边上的中线，过 C作CF⊥AE，垂足为F，过 B 作 BD⊥BC交 CF的延长线于 D．1）求证： AE=CD：（ 2）若 AC=12cm，求 BD的长．◆实战模拟一、填空题1．底角为 15°，腰长为 a 的等腰三角形的面积是_2． ?等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，?则这个等腰三角形的顶角度数为3．如图， D 为等边三角形 ABC内一点， DB=DA，BP=AB，∠DBP=∠DBC，则∠ BPD的度数是 _ ．上，且 ED⊥ FD，求证：S 四边形EDFC =1S△ABC．2二、选择题1．（宿迁）如图 6的三角形中，若 AB=AC，?则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（）．2．如图，等边△ ABC 中， BD=CE ， AD 与 BE 相交于点 P ，则∠APE 的度数是（ ）．A ．45°B ． 55°C ．60°D ．75° 3．三角形两边的长为6 和 8，第三边长为方程 x 2-16x+60=0 的一个实 数根，则该三角形的面积是（ ）．A ．24B ．24 或 8 5C ．48D ．8 5三、解答题1．（兰州）如图所示，在△ ABC 中， D 、E 分别是 AC 、AB 上的点， BD 与 CE 相交于 O 点，给 出下列四个条件：①∠ EBO=∠DCO ；②∠ BEO=∠CDO ；③ BE=CD ；④ OB=OC ． （1）上述四个条件中， 哪两个条件可以判定△ ABC 是等腰三角形．（ ?用序号数写出所 有情况）（ 2）选择（ 1）中的一种情况，证明△ ABC 是等腰三角形．1）（ 2）（3） B 1）（3）（4）3）（ 4）D ．（1）2．（吉林）如图，在 Rt△ABC和 Rt △ DEF中，∠ABC=90°， AB=4， BC=6，∠ DEF=90°， DF=EF=4．（ 1）移动△ DEF，使边 DE与 AB重合（如图①）．再将△ DEF 沿 AB?所在直线向左平移，使点 F 落在 AC上（如图②），求 BE的长．（2）将图②中的△ DEF绕点 A顺时针旋转，使点 F 落在 BC 上，连接 AF（如图③）．请找出图中的全等三角形，并说明它们全等的理由．（不再添加辅助线，不再标注其他字母）答案:中考演练一、1．12 2 ．40° 3 ． 30°二、1．B 2 ．C 3 ． B三、1．连结 CD，证△ ADE≌△ CDF2 ．（1）证△ AEC≌△ CDB （2）6cm实战模拟12一、1． a2 2 ．30°或 150° 3 ． 30°4二、1．D 2 ．C 3 ． B三、1．①③，①④，②③，②④（2）略842 ．（1）BE=AB-AE=4- = ，Rt△AEF≌△ FBA，证略．33。
特殊三角形培优测试题(含答案)
特殊三角形培优测试卷考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名一、选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分）1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =60°，AC =6，将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转得到△A 'B 'C '，此时点A '恰好在AB 边上，则点B '与点B 之间的距离为（ ）A. 12 B ． 6 C ．26 D ．36（第1题） （第3题） （第4题） 2．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是( )A ． 两个锐角对应相等B ． 一条直角边和一个锐角对应相C ． 两条直角边对应相等D ． 一条直角边和斜边对应相等3．如图，△ABC 中，∠B =90°，∠C =30°，AB =1，将△ABC 绕顶点A 旋转180°，点C 落在点C ′处，则CC ′的长为（ ）A ． 24B ． 4C ．32 D ． 52 4．如图，在△ABC 中，AB =AC ，△ADE 的顶点D ，E 分别在BC ，AC 上，且∠DAE =90°，AD =AE ．若∠C +∠BAC =145°，则∠EDC 的度数为（ ）A ． 17．5°B ． 12．5°C ． 12°D ． 10° 5．如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC ，垂足为D ，E 是边BC 的中点，AD =ED =3，则BC 的长为（ ）A. 23 B ． 33 C ． 6 D ． 26（第5题） （第6题） （第8题） （第9题）6．如图，等边三角形ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，点E 在线段AD 上，∠EBC =45°，则∠ACE 等于（ ） A ． 15° B ． 30° C ． 45° D ． 60°7．若△ABC 三边长a ，b ，c 满足0)5(1252=-+--+-+c a b b a ，则△ABC 是（ ）A ． 等腰三角形B ． 等边三角形C ． 直角三角形D ． 等腰直角三角形8．如图所示，△ABC是边长为20的等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F，则BE+CF=（）A． 5 B． 10 C． 15 D． 20 9．如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在AC，BC上，且AD＝CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE 于点F．若PF＝3，则BP＝( )A． 6 B． 5 C． 4 D． 3 10．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，下列结论：①AC﹣BE=AE；②点E在线段BC的垂直平分线上；③∠DAE=∠C；④BC=4AD，其中正确的个数有（）A． 1 个B． 2 个C． 3 个D． 4 个11．在△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上高AD=12，则BC的长为（）A． 25 B． 7 C． 25或7 D．不能确定12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（）A．B．C．D．（第12题）（第13题）（第14题）二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）13．如图，把三角形纸片折叠，使点B，C都与点A重合，折痕分别为DE，FG，得到∠AGE＝30°，若AE＝EG＝32 cm，则BC的长为________cm．14．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别是边BC、AC上一点，且AD=AE，∠BAD=74°，则∠CDE 的度数为________．15．如图，，若的顶点在射线上，且，点在射线上运动，当是锐角三角形时，的取值范围是________．（第15题）（第16题）（第17题）（第18题）16．如图，点C在AB上，△DAC、△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，则下列结论：①AE=DB；②CM=CN；③△CMN为等边三角形；④MN//BC；正确的有________（填序号）17．如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，若将△APB绕着点B逆时针旋转60度后得到△CQB，则∠APB的度数是________．18．在锐角△ABC中，BC=8，∠ABC=30°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN 的最小值是________．三、解答题（本大题有7小题，共66分）19．（6分）如图，在钝角△ABC中，BC=9，AB=17，AC=10，AD⊥BC于D，求AD的长．20．（6分）在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．21．（10分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，BC=12，CD=AC=16，M、N分别是对角线BD、AC的中点．①求证：MN⊥AC；②求MN的长．22．（10分）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，求：（1）CD的长；（2）△ABC的角平分线AE交CD于点F，交BC于E点，求证：∠CFE=∠CEF．23．（10分）阅读下列材料，解答问题：定义：线段AD把等腰三角形ABC分成△ABD与△ACD（如图1），如果△ABD与△ACD均为等腰三角形，那么线段AD叫做△ABC的完美分割线．（1）如图1，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，AD为△ABC的完美分割线，且BD<CD，则∠B=________，∠ADC=________．（2）如图2，已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BE为△ABC的角平分线，求证：BE为△ABC完美分割线．（3）如图3，已知△ABC是一等腰三角形纸片，AB=AC，AD是它的一条完美分割线，将△ABD沿直线AD折叠后，点B落在点B1处，AB1交CD于点E，求证：DB1=EC．24．（12分）如图1，（）绕点顺时针旋转得，射线交射线于点．（1）与的关系是________；（2）如图2，当旋转角为60°时，点，点与线段的中点恰好在同一直线上，延长至点，使，连接．①写出与的关系，请说明理由；②如图3，连接，若，，求线段的长度．25．（12分）在中，，，于点．（1）如图1，点，分别在，上，且，当，时，求线段的长；（2）如图2，点，分别在，上，且，求证：；（3）如图3，点在的延长线上，点在上，且，求证：．答案：一、选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分）1.D2. A3.B4.D5.D6.A7.C8. B9. A 10. D 11.C 12.A二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）13.解：4 ＋614.37°15.16.①②③④17.150°18. 4三、解答题（本大题有7小题，共66分）19.解：设AD=x，BD=y，在直角△ADB中，AB2=x2+y2，在直角△ADC中，AC2=x2+（y﹣BC）2，解方程得y=15，x=8，即AD=820.解：作AD⊥BC于D，如图所示：设BD = x，则．在Rt△ABD中，由勾股定理得：，在Rt△ACD中，由勾股定理得：，∴，解之得：．∴．∴.21.①证明：如图，连接AM、CM，∵∠BAD=∠BCD=90°，M是BD的中点，∴AM=CM=BM=DM= BD，∵N是AC的中点，∴MN⊥AC；②解：∵∠BCD=90°，BC=12，CD=16，∴BD= =20，∴AM= ×20=10，∵AC=16，N是AC的中点，∴AN= ×16=8，∴MN= =8．22.（1）解：由题意得，S△ABC= ×AB×CD= ×AC×BC，∴×CD×10= ×6×8，解得CD= .（2）解：∵∠ACB=90°，∴∠CAE+∠CEF=90°，∵CD是AB边上的高，∴∠FAD+∠AFD=90°，∵AE是∠CAB的平分线，∴∠CAE=∠FAD，∴∠CEF=∠AFD，又∵∠AFD=∠CFE，∴∠CFE=∠CEF.23.（1）36º；72º（2）证明：∵AB=AC∴∠ABC=∠C=∵BE为△ABC的角平分线∴∴∠ABE=∠A∴AE=BE∵∠BEC=180º–∠C–∠CBE=72º∴∠BEC=∠C∴BE=BC∴△ABE、△BEC均为等腰三角形∴BE为△ABC的完美分割线．（3）证明：∵AD是△ABC的一条完美分割线∴AD=BD，AC=CD∴∠B=∠BAD，∠CAD=∠CDA∵∠B+∠BAD+∠ADB=180º，∠ADB+∠CDA=180º∴∠CDA=∠B+∠BAD=2∠BAD∴∠CAD=2∠BAD∵∠BAD=∠B1AD∴∠CAD=2∠B1AD∵∠CAD=∠B1AD+∠CAE∴∠B1AD=∠CAE∵AB=AC∴∠B=∠C∵∠B=∠B1∴∠B1=∠C∵AB=AB1∴AB1= AC∴△AB1D≌△ACE∴DB1=CE24. （1）（2）解：①或，理由：如图2，连接，由旋转知，，，，∴是等边三角形，∴，∵，∴∽，∴，∵是的中点，∴，∵，，∴≌（），∴，∴，∴，∴或，故答案为：或；②由①知，，，∴，∴，∵，，∴，由①知，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴在中，，，在中，，∴，∴.25. （1）解：，，，，，，，，，，，，由勾股定理得，，即，解得，，（2）解：，，，在和中，，（3）解：过点作交的延长线于，，则，，，，，，在和中，，，，．。
特殊三角形专项训练(二)(北师版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：看到直角和30°角想什么？问题2：看到直角和直角三角形斜边上的中线或中点想什么？问题3：看到等腰三角形想什么？①等腰三角形两腰__________，两个底角__________；②等腰三角形“三线合一”．问题4：等腰直角三角形两直角边_______，两底角都是________．问题5：已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．求证：．你是怎么思考的？特殊三角形专项训练（二）（北师版）一、单选题(共8道，每道12分)1.已知：如图△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=4cm．则BC的长为( )A.16cmB.12cmC.10cmD.8cm答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形2.如图，在Rt△ABC中，已知，∠ACB=90°，∠B=15°，AB边的垂直平分线交AB于E，交BC于D，且BD=12cm，则AC的长是( )A.12cmB.10cmC.9cmD.6cm答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：垂直平分线相关定理3.如图，已知等边△ABC，点D是AB的中点，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FE⊥BC，垂足为E．若△ABC的边长为8，则BE=( )A.4B.5C.6D.7答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：等边三角形4.如图，△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的平分线，DF∥AB交AE延长线于F，则DF的长为( )A.2B.4C.5D.6答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D在BC上，E为AB的中点，AD，CE相交于F，且AD=DB．若∠B=20°，则∠DFE的度数为( )A.40°B.45°C.60°D.120°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半6.如图，在△ABC中，BD，CE是△ABC的两条高，AB=，AC=3，CE=，则BD=( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：等积公式7.如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点D在BC边上，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC 于F，若DE=5cm，△ABC的面积为122cm2，则DF的长为( )A.9cmB.10cmC.11cmD.12cm答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：等积公式8.如图，AD∥BC，AC⊥BC于C，BD和AC相交于E，且DE=2AB．若∠BAC=21°，则∠DBC的度数为( )A.21°B.22°C.23°D.24°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
(完整版)课后练习19特殊三角形
第4题图课后练习19特殊三角形第2课时直角三角形A 组1. （2016兰州模拟）下列说法中，不正确的是（ ）A .三个角的度数之比为 1 : 3 : 4的三角形是直角三角形B •三个角的度数之比为 3 : 4: 5的三角形是直角三角形C .三边长度之比为 3 : 4 : 5的三角形是直角三角形D .三边长度之比为 9： 40 : 41的三角形是直角三角形2. （2015襄阳模拟）如图，在△ ABC 中，/ B = 30°, BC 的垂直平分线交 AB 于点E ,垂足为D , CE 平分/ ACB.若BE = 2,贝U AE 的长为（）A. .' 3 B . 1 C. .'23. （2016眉山模拟）如图是第24届国际数学家大会会徽, 而成，如果大正方形的面积是 13,小正方形的面积是1,直角三角形的短直角边为 a ,较长 直角边为b ,那么（a + b ）2的值为（）4. （2016贺州模拟）如图，将圆桶中的水倒入一个直径为 40cm ，高为55cm 的圆口容器 中，圆桶放置的角度与水平线的夹角为水的深度至少应为（） A . 10cm B . 20cm由4个全等的直角三角形拼合 A . 13 B . 19C . 25D . 169 （45度.若使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中D .35cmC.30cm第8题图5. （2016枣庄模拟）如图，已知/ MON = 60°, OP 是/ MON 的角平分线，点 A 是OP 上一点，过点A 作ON 的平行线交 OM 于点B, AB = 4.则直线AB 与ON 之间的距离是（）6. （2016 湘西州模拟）如图，已知 OP 平分/ AOB ,Z AOB = 60°, CP = 2, CP // OA ,& （2016盐城模拟）如图，等边三角形 ABC 中，D , E 分别为AB , BC 边上的两动点,且总使AD = BE , AE 与CD 交于点F , AG 丄CD 于点G ,则 —= AFB . 2C . 2 ；3 PD 丄OA 于点 DM 的长是（ ） 7. （2016 泰安模拟）如图，在5X 5的正方形网格中，以 AB 为边画直角△ ABC ，使点C 在格点上，满足这样条件的点 C 的个数为（ ）D ,9. （2016 •泽模拟）如图，以Rt △ ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜 边AB = 4，则图中阴影部分的面积为 __________________10. （2016滨州模拟）分别在以下网格中画出图形.⑴在网格中画出一个腰长为 ，10，面积为3的等腰三角形;⑵在网格中画出一个腰长为 ，10的等腰直角三角形.第10题图11. （2016丹东模拟）如图，已知四边形 ABCD 中，/ B = 90°, AB = 3, BC = 4, CD = 12, AD = 13,求四边形 ABCD 的面积.第9题图12. （2016荆门模拟）如图1,在厶ABC 中，AB = AC ,点D 是BC 的中点，点 E 在AD(1)求证：BE = CE ;⑵如图2,若BE 的延长线交 AC 于点F ，且BF 丄AC ,垂足为F ,/ BAC = 45°,原题设其他条件不变.求证：△ AEF ◎△ BCF.第12题图13. （2016潍坊）木杆AB 斜靠在墙壁上，当木杆的上端 A 沿墙壁NO 竖直下滑时，木杆 的底端B 也随之沿着射线OM 方向滑动.下列图中用虚线画出木杆中点P 随之下落的路线,其中正确的是（14. （2016锦州模拟）数学活动课上，老师在黑板上画直线I 平行于射线AN （如图）,让同上. 图I学们在直线I 和射线AN 上各找一点B 和C ,使得以A 、B 、C 为顶点的三角形是等腰直角三 角形.这样的三角形最多能画 ___________________ 个.第14题图C 组15. 如图1 , △ ABC 的边BC 在直线I 上，AC 丄BC ,且AC = BC ; △ EFP 的边FP 也在 直线I 上，边EF 与边AC 重合，且EF = FP.第15题图⑴如图1,请你写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系；⑵将△ EFP 沿直线I 向左平移到图2的位置时，EP 交AC 于点0,连结AP , BO.猜想 并写出B0与AP 所满足的数量关系和位置关系，并说明理由；⑶将△ EFP 沿直线I 继续向左平移到图 3的位置时，EP 的延长线交 AC 的延长线于点 0,连结AP , B0.此时，B0与AP 还具有 ⑵中的数量关系和位置关系吗？请说明理由.参考答案第2课时直角三角形A 组 1 1.B 2.B 3.C 4.D 5.C 6.C 7.C 8迈 9.8第10题图•••/ B = 90°,「仏ABC 为直角三角形，又T AB = 3, BC = 4,•••根据勾股定理得： AC= AB 2 + BC 2= 5,又T CD = 12, AD = 13,二 AD 2= 132= 169, CD 2+ AC 2= 122+ 52= 144 + 25= 169,.・. CD 2+ AC 2 = AD 2,「.A ACD 为直角三角形，/ ACD = 90°，贝V S 四边形 ABCD = S A 1 1 1 1ABC + S A ACD = ?AB • BC + $AC • CD = 2X 3 X 4+ g 5 X 12= 36.故四边形 ABCD 的面积是 36.12. (1)略；(2)先判定△ ABF 为等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的两直角边 相等可得AF = BF ，再根据同角的余角相等求出/ EAF =/ CBF ，然后利用“角边角”证明 △ AEF 和△ BCF 全等即可.•••/ BAC = 45°, BF 丄AF , •△ ABF 为等腰直角三角形，• AF =BF.T AB = AC ,点 D 是 BC 的中点，• AD 丄 BC ，• / EAF + Z C = 90°,T BF 丄 AC ,「./ EAF = Z CBF ,/ CBF + Z C = 90°,「./ EAF = Z CBF ，在△ AEF 和△ BCF 中， AF = BF ,/ AFE = Z BFC = 90°,• △ AEF BA BCF(ASA).13. D 14.315. (1)AP = AB , AP 丄 AB ; (2)延长 BO 交 AP 于 H 点，如图 2.K EPF = 45°,「.AAC = BC ,10. (1)如图1所示: k ___ J[|■ E______ 1 _________ ! ________ 1M i f f * 'ijr L ____ " - i△ L⑵如图2所示:10•连结AC ,如图所示:第11题图OPC 为等腰直角三角形，••• OC = PC ,V 在厶ACP 和厶BCO 中/ACP =Z BCO ,.・.A ACPCP = CO ,◎ △ BCO(SAS) ,••• AP = BO , / CAP = Z CBO ，而/ AOH = Z BOC , AHO = Z BCO = 90°,(3)BO 与AP 满足 AP = BO , AP I BO •理由如下：延长 OB 交AP 于点H ，如图3,T /EPF = 45°,「./ CPO = 45°,.・.A CPO 为等腰直角三角形，• OC = PC ,：在厶 APC 和AC = BC ,△ BOC 中， / ACP =Z BCO ,「.A APCBOC(SAS ,「. AP = BO ,/ APC =Z COB , 而CP = CO ,/ PBH =/ CBO ，• / PHB = / BCO = 90°,. BO 丄AP.即BO 与AP 所满足的数量关系为 相等，位置关系为垂直.。
特殊三角形(直角三角形)人教版(含答案).docx
学生做题前请先回答以下问题问题1:问题2：30。
角所对的直角边是直角三角形斜边上的中线等于BC = -AB问题3：已知：如图，在RtA ABC中，ZC=90°, ZA=30°.求证：2.你是怎么思、考的？特殊三角形（直角三角形）人教版一、单选题（共9道，每道□分）2.如图,在RtA ABC中，ZACB=90°, AB=4, CD是AB边上的中线,则CD的长为（A.lB.2C.3D.8答案:B解题思路：在Rt△九BC中，Z.4C5=90°, CD是九8边上的中线, 可知CD = ^AB f '：AB=4, ；・CD=2・故选B.试题难度：三颗星知识点：直角三角形2.如图是屋架设计图的一部分，其中ZA=30°,点D 是斜梁AB 的中点，BC, DE 垂直于横梁 AC, AB=16m,则 DE 的长为（ ）答案:B解题思路：•：BC, QE 垂直于横梁川C,・•・乙DEA=/BCA=9y,・・・D 为斜梁九8的中点，九8=16,・•・ ZD = ±13=1x16 = 8, 2 2在 Rt △且DE 中，Z.4=30°, AD=8・•・ Z)£=l.W=-x8 = 4(m)・ 2 2故选B.3.如图，在RtA ABC 中，ZACB=90°, D 是AB 的中点，过点C 作EF 〃AB, 若ZBCF=35°,则ZACD 的度数是（）A.65°C.45°D.35°难度：三颗星知识点：直角三角形A.2mB.4mC.6mD.8mB.55°答案：B解题思路：\'EFl)AB f・•・乙B=ZBCFT 乙BCF=3T・・・Z5=35°在RtAACB中，仞是斜边•站上的中线/. CD=BD•I ZBCD=/B=35。
•・• Z-4C5=90°・•・ZACD=ZACB-ZBCD=55O故选B・试题难度：三颗星知识点：直角三角形4.如图，在△ABC44, ZA=60°, BE±AC,垂足为E, CF丄AB,垂足为F, BE, CF交于点M.若CM=4, FM=5,则BE 等于（）A.14B.13C.12D.9答案：C解题思路：如图,答案:C 解题思路:\'BE1AC, CF1AB, ・・・ZQFW90。
2016年中考数学总复习全程考点训练16特殊三角形(含解析)
全程考点训练16 特殊三角形一、选择题1．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，其中不能构成直角三角形的是(C ) A ．3，4，5 B ．6，8，10 C.3，2, 5 D ．5，12，13【解析】 ∵(3)2＋22＝7≠(5)2，∴不能构成直角三角形．故选C.(第2题)2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 上一点，CD ＝AD ，AB ＝BD ，则∠B 的度数为(B ) A ．30° B ．36° C ．40° D ．45°【解析】 设∠B ＝x .∵AB ＝AC ，∴∠C ＝∠B ＝x . ∵CD ＝AD ，∴∠CAD ＝∠C ＝x .∵AB ＝BD ，∴∠BAD ＝∠BDA ＝∠CAD ＋∠C ＝2x . ∴∠BAC ＝3x .∵∠BAC ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴3x ＋x ＋x ＝180°， 解得x ＝36°，即∠B ＝36°.(第3题)3．如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为Q .若BF ＝2，则PE 的长为(C )A ．2B ．2 2 C. 3 D ．3【解析】 ∵△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，∴∠EBP ＝∠QBF ＝30°. 又∵BF ＝2，FQ ⊥BP ，∴BQ ＝BF ·cos 30°＝ 3. ∵FQ 是BP 的垂直平分线，∴BP ＝2BQ ＝2 3. 在Rt△BEP 中，∵∠EBP ＝30°，∴PE ＝12BP ＝ 3.4．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A ，B ，C ，D 的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E 的面积是(C )A ．13B ．26C ．47D ．94【解析】 由勾股定理，得S E ＝32＋52＋22＋32＝9＋25＋4＋9＝47.(第4题)(第5题)5．如图，在△ABC 中，以B 为圆心，BC 长为半径画弧，分别交AC ，AB 于D ，E 两点，并连结BD ，DE .若∠A ＝30°，AB ＝AC ，则∠BDE 的度数为(C )A ．45°B ．52.5°C ．67.5°D ．75°【解析】 由BC ＝BD ＝BE ，得∠ACB ＝∠BDC ，∠BDE ＝∠BED . 又∵AB ＝AC ，∠A ＝30°，∴∠ABC ＝∠C ＝75°， ∴∠DBC ＝30°，∴∠ABD ＝∠ABC －∠DBC ＝45°， ∴∠BDE ＝12(180°－∠ABD )＝67.5°.6．如图，如果把△ABC 的顶点A 先向下平移3格，再向左平移1格到达点A ′，连结A ′B ，则线段A ′B 与线段AC 的关系是(D )(第6题)A ．垂直B ．相等C ．平分D ．平分且垂直【解析】 如解图，将点A 先向下平移3格，再向左平移1格到达点A ′，连结A ′B ，与线段AC 交于点O .(第6题解)∵A ′O ＝OB ＝2，AO ＝OC ＝22， ∴线段A ′B 与线段AC 互相平分．又∵∠AOA ′＝45°＋45°＝90°，∴A ′B ⊥AC . ∴线段A ′B 与线段AC 互相垂直平分．故选D. 二、填空题7．若等腰三角形的两条边长分别为7 cm 和14 cm ，则它的周长为__35__cm. 【解析】 ①当14 cm 为腰，7 cm 为底时，此时周长为14＋14＋7＝35(cm)；②当14 cm 为底，7 cm 为腰时，则两短边之和等于第三边，无法构成三角形，故舍去． 故其周长是35 cm.8．已知等腰三角形ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，且AD ＝12BC ，则△ABC 底角的度数为15°或45°或75°．【解析】 分三种情况：①如解图①，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD .∵AD ＝12BC ，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴底角为45°；(第8题解)②如解图②，∵AB ＝BC ，AD ＝12BC ，∴AD ＝12AB .∵AD ⊥BC ，∴∠ABD ＝30°，∴∠BAC ＝∠C ＝15°，即底角为15°；③如解图③，∵AB ＝BC ，AD ＝12BC ，∴AD ＝12AB .∵AD ⊥BC ，∴∠B ＝30°，∴∠BAC ＝∠C ＝75°，即底角为75°. 综上所述，底角为15°或45°或75°.9．如图，已知矩形ABCD ，把矩形沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，连结DE ，BE .若△ABE 是等边三角形，则S △DCE S △ABE ＝13．(第9题)(第9题解)【解析】 如解图，过点E 作EM ⊥AB 于点M ，交DC 于点N . ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ∥DC ，AB ＝DC . 又∵MN ⊥AB ，∴∠NMB ＝∠MNC ＝90°， ∴四边形MNCB 也是矩形． ∴MN ＝BC ，EN ⊥DC .∵△ABE 是等边三角形，点B 和点E 关于直线AC 对称， ∴∠EAC ＝∠BAC ＝30°.设AB ＝AE ＝BE ＝2a ，则BC ＝2a ·tan30°＝233a ，∴MN ＝233a .∵△ABE 是等边三角形，EM ⊥AB ， ∴AM ＝12AB ＝a .在Rt△AEM 中，由勾股定理，得EM ＝（2a ）2－a 2＝3a . ∴EN ＝EM －MN ＝33a .∵△DCE 的底DC 和△ABE 的底AB 相等，∴S △DCE S △ABE ＝EN EM ＝33a 3a ＝13.(第10题)10．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，BC ＝3.D 是BC 边上一动点(不与点B ，C 重合)，过点D 作DE ⊥BC 交直线AB 于点E ，将∠B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处．当△AEF 为直角三角形时，BD 的长为1或2．【解析】 分情况讨论：①当点F 在线段BC 上时，要使△AEF 为直角三角形，则必有∠AFE ＝90°. 由折叠的性质，得BE ＝EF ，∠BFE ＝∠B ＝30°，∴∠AEF ＝60°，∴∠EAF ＝30°，∴AE ＝2EF ＝2BE ，∴AB ＝3BE . 在Rt△ABC 中，∵∠C ＝90°，∠B ＝30°，BC ＝3， ∴AB ＝2 3，∴BE ＝23 3.∵DE ⊥BC ，∠B ＝30°，∴BD ＝32BE ＝1. ②当点F 在线段BC 的延长线上时，要使△AEF 为直角三角形，则必有∠EAF ＝90°，同理可得BD ＝2.11．如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt△ABC 中，若直角边AC ＝6，BC ＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长(图②中的实线)是76．(第11题)【解析】 BD ＝122＋52＝13，BE ＝6，∴风车的外围周长＝4×(13＋6)＝76. 三、解答题(第12题)12．如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC上，△DEF为等腰直角三角形，∠DEF＝90°，AD＋CD＝10，AE＝2，求AD的长．【解析】∵△DEF为等腰直角三角形，∠DEF＝90°，∴DE＝EF，∠AED＋∠BEF＝90°.∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠B＝90°，∠AED＋∠ADE＝90°.∴∠ADE＝∠BEF.∴△DAE≌△EBF(ASA)，∴AE＝BF＝2.设AD＝x，则CD＝10－x，DE2＝x2＋22，DF2＝(10－x)2＋(x－2)2.在Rt△DEF中，∵DF2＝DE2＋EF2＝2DE2，∴(10－x)2＋(x－2)2＝2(x2＋22)，解得x＝4，即AD＝4.(第13题)13．如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，EF∥AC.(1)求证：BE＝AF.(2)若∠ABC＝60°，BD＝6，求四边形ADEF的面积．【解析】(1)∵DE∥AB，EF∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形，∠ABD＝∠BDE，∴AF＝DE.∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBE，∴∠DBE＝∠BDE，∴BE＝DE.∴BE＝AF.(第13题解)(2)过点D 作DG ⊥AB 于点G ，过点E 作EH ⊥BD 于点H ，如解图． ∵∠ABC ＝60°，BD 是∠ABC 的平分线， ∴∠ABD ＝∠EBD ＝30°， ∴DG ＝12BD ＝3.∵BE ＝DE ，EH ⊥BD ， ∴BH ＝DH ＝12BD ＝3，∴BE ＝BHcos 30°＝23，∴AF ＝BE ＝23，∴四边形ADEF 的面积＝AF ·DG ＝23×3＝6 3.14．一个等腰三角形花圃的面积为30 m 2，其一边长为10 m ，求该等腰三角形花圃的另两边长． 【解析】 (1)当底为10时，∵面积＝60，∴高为6， ∴腰＝62＋52＝61；(2)当腰为10时，∵面积＝60，∴腰上的高为6，①当为锐角三角形时，102－62＝8，则腰被分成8与2两段，∴底边＝62＋22＝210； ②当为钝角三角形时，102－62＝8，∴底边＝62＋（10＋8）2＝610.15．如图，已知△ABC 是等边三角形，D 是边BC 上的一点，以AD 为边作等边三角形ADE ，过点C 作CF ∥DE 交AB 于点F .(第15题)(1)若点D 是边BC 的中点(如图①)，求证：EF ＝CD .(2)在(1)的条件下直接写出△AEF 和△ABC 的面积比．(3)若D 是边BC 上的任意一点(除点B ，C 外，如图②)，那么(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【解析】 (1)∵D 是等边三角形ABC 的边BC 上的中点， ∴AD ⊥BC ，∠BAD ＝∠DAC ＝30°. 又∵△AED 是等边三角形， ∴∠EAB ＝∠BAD ＝30°，AB ⊥ED . ∵ED ∥FC ，∴CF ⊥AB .∵AD 和CF 都是等边三角形ABC 的高，∴AD ＝CF . ∴ED ＝AD ＝CF .又∵CF ∥DE ，∴四边形EFCD 是平行四边形， ∴EF ＝DC .(2)∵S △AEF ＝12EF ·12AD ＝18BC ·AD ＝14S △ABC ，∴S △AEF ∶S △ABC ＝1∶4.(3)仍然成立．证明如下： 连结BE .∵△ABC 与△ADE 均为等边三角形， ∴AE ＝AD ，AB ＝AC ，∠EAD ＝∠BAC ＝60°. ∴∠EAB ＋∠BAD ＝∠CAD ＋∠BAD ， ∴∠EAB ＝∠CAD . ∴△AEB ≌△ADC (SAS )，∴BE ＝CD ，∠ABE ＝∠ACD ＝60°＝∠ADE . ∵CF ∥DE ，∴∠FCB ＝∠EDB ，∴180°－∠FCB －60°＝180°－∠EDB －60°， 即∠BFC ＝∠CDA .又∵BC ＝CA ，∠B ＝∠ACD ， ∴△BFC ≌△CDA ，∴BF ＝CD ＝BE ，∴△EBF 是等边三角形， ∴EF ＝BE ＝CD .。
特殊三角形-练习题(含答案)
特殊三角形-练习题(含答案)本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March特殊三角形综合练习卷一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列图形中，不一定是轴对称图形的是 ( )A．线段 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．圆2．若等腰三角形的两边长分别为4和9，则周长为( )A．17 B．22 C．13 D．17或223．如果三角形一边上的高平分这条边所对的角，那么此三角形一定是 ( )A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形4．小明将两个全等且有一个角为60°的直角三角板拼成如图所示的图形，其中两条较长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是 ( )A．4 B．3 C．2 D．15．如图，已知在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，BD⊥AC，DE⊥BC，D，E为垂足，下列结论正确的是( )1BD D．BC=2BDA．AC=2AB B．AC=8EC C．CE=26．有四个三角形，分别满足下列条件：(1)一个角等于另外两个内角之和；(2)三个内角之比为3：4：5；(3)三边之比为5：12：13；(4)三边长分别为5，24，25．其中直角三角形有 ( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．如图，EA⊥AB，BC⊥AB，AB=AE=2BC，D为AB的中点，有以下判断：①DE=AC；②DE⊥AC；③∠CAB=30°；④∠EAF=∠ADE．其中正确结论的个数是 ( )A．1 B．2 C．3 D．48．如图，以点A和点B为两个顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作出 ( )A．2个 B．4个 C．6个 D．8个9．如图所示，已知△ABC中，AB=6，AC=9，AD⊥BC于D，M 为AD上任一点，则MC2=MB2等于 ( )A．9 B．35 C．45 D．无法计算10．若△ABC是直角三角形，两条直角边分别为5和12，在三角形内有一点D，D到△ABC各边的距离都相等，则这个距离等于 ( )A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题(每小题4分，共24分)11．已知等腰三角形中顶角的度数是底角的3倍，那么底角的度数是________．12．已知等腰△ABC的底边BC=8cm，且|AC-BC|=2cm，那么腰AC的长为__________．13．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条小路，他们仅仅少走了_______步路，(假设2步为1m)，却踩伤了花革．14．如图，在△ABC中，AB=5cm，BC=12cm，AC=13cm，那么AC边上的中线BD的长为______cm．15．已知，如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，不添加辅助线,请你写出三个正确结论：(1)____________；(2)_____________；(3)_____________．16．已知，如图，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点0，E，F分别是边AD，DC上的点，若AE=4cm，FC=3cm，且0E⊥0F，则EF=______cm．三、解答题(共66分)17．(6分)如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，添加一个条件，使DE=DF．18．(6分)如图，已知∠AOB=30°，0C平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥0A 交OB于D，PE⊥OA于E，如果OD=4，求PE的长.19．(6分)如图，△ABC是等边三角形，ABCD是等腰直角三角形，其中∠BCD=90°，求∠BAD的度数．20．(8分)如图，E为等边三角形ABC边AC上的点，∠1=∠2，CD=BE，判断△ADE的形状．21．(8分)如图所示，已知：在△ABC中，∠A=80°，BD=BE，CD=CF．求∠EDF的度数．22．(10分)如图，已知点B，C，D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形，BE交AC于点F，AD交CE于点H．(1)说明：△BCE≌△ACD；(2)说明：CF=CH；(3)判断△CFH的形状并说明理由．23．(10分)如图，已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点分别在相互平行的三条直线l1,l2,l3上，且l1,l2之间的距离为2，l2,l3之间的距离为3，求AC的长．24．(12分)如图(1)所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B，C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．说明：(1)BD=DE+EC：(2)若直线AE绕点A旋转到图(2)位置时(BD＜CE)，其他条件不变，则BD与DE，EC的关系又怎样?请写出结果，不必写过程．(3)若直线AE绕点A旋转到图(3)时(BD＞CE)，其余条件不变，问BD 与DE ，CE 的关系如何?请直接写出结果．参考答案第2章水平测试1．C 2．B 3．A 4．B 5．B 6．C 7．C 8．C 9．C l0．A ll ．36° 12．6cm 或12cm 13．4 14．6.5 l5．解：答案不唯一，∠E=30°，∠ABD=∠DBC=30°，BD ⊥AC 等 l6．5 17．解：BD=CE 或BE=CF 说明△BDE ≌△CDF 18．解：作PF ⊥OB 于F ，∴PF=PE ∵OC 平分∠AOB∴∠l=∠2 ∵PD ∥0A ∴∠2=∠3 ∴∠l=∠3 ∴PD=OD=4 ∴PE=PF=21PD=2 19．解：∵△ABC 是等边三角形 ∴AC=BC ∵△BCD 是等腰直角三角形，∠BCD=90°∴BC=CD ∴AC=CD ∴∠CAD=∠ADC=2180A ∠-︒ =230180︒-︒ =75°∴∠BAD=∠CAD+∠BAC=75°+60°= l35°20．解：∵△ABC 为等边三角形 ∴⎪⎭⎪⎬⎫=∠=∠=BE CD AC AB 21⇒△ABE ≌△ACD ∴AE=AD ∴∠DAE=∠BAC=60°∴△ADE 为等边三角形 21．解：∵BD=BE ∴∠l=∠2=2180B ∠-︒ ∵CD=CF∴∠3=∠4=2180C ∠-︒ ∵∠EDF+∠2+∠3=180°∴∠EDF=180°-(∠2+∠3)= 180°-（2180B ∠-︒+23180∠-︒ ）=21（∠B+∠C ）=21(180°-∠A)= 21（180°-80°）=50° 22．解：(1) ∵△ABC 和△CDE 都是正△ ∴BC=AC ，∠BCE=∠ACD=120° CE=CD ∴△BCE ≌△ACD(SAS)(2)∵△BCE ≌∠ACD ∴∠CBF=∠CAH 又∵BC=AC ，∠BCF=∠ACH=60°∴△BCF ≌∠ACH(ASA) ∴CF=CH(3) △CFH 是等边三角形，理由：∵CF=CH ，∠FCH=60°∴△CFH 是等边三角形23．解：分别过A，C作AE⊥l3，CD⊥l3，垂足分别为E，D 由题意可知AE=3，CD=2+3=5 又∵AB=BC，∠ABE=∠BCD ∴Rt△AEB≌△CBD(AAS) ∴AE=BD=3 ∴CB2=BD2+CD2=32+52=34 ∴AC2=AB2+CB2=34×2=68 ∵AC＞0 ∴AC=68=17224．解：(1) ∵△ABC为等腰直角三角形∴∠BAE+∠EAC=90°∵BD⊥AE，CE⊥AE ∴∠ADB=∠AEC=90°∠BAE+∠ABD=90°∴∠EAC=∠ABD∵AB=AC ∴△ABD≌△CAE ∴BD=AE，AD=EC ∴BD=AD+DE=EC+DE (2)BD=EC+DE仍成立 (3)BD=EC+DF仍成立。
七年级数学思维创新班讲义第九讲 特殊三角形(一)
七年级数学思维创新班讲义第九讲特殊三角形（一）=====================================================================【知识概要】等腰三角形和直角三角形都是特殊的三角形，它们既具备一般三角形的性质，又具各自特有的性质，这些特性在几何证明中有着极为重要的应用价值，本讲主要讲解等腰三角形以及特殊的等腰三角形即等边三角形和等腰直角三角形，其中等腰三角形的性质包括:①等腰三角形是轴对称图形，底边上的高所在的直线是它的对称轴；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高“三线合一”；③等边三角形是更为特殊的等腰三角形，它的各边相等，各角均为600，通过图形的旋转等方法容易找到解题的关键所在；④等腰直角三角形，也为特殊的等腰三角形，底边上的中线，将等腰直角三角形分成两个小的等腰直角三角形，得到线段和角的转换，这往往是解题的关键。
【例题解析】例1、如图，△ABC中，AB＝4，AC＝3,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB，MN经过点O，与AB、AC相交于点M、N,且MN∥BC.求:△AMN的周长等于多少?例2、如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝BD＝ED＝EA，求∠A的度数，例3、如图，△ABC中，AB＝AC，BD＝CF，BE＝CD，已知G为EF中点，求证：DG⊥EF.例4、如图，∠BAD＝∠CAD，DA＝DB，AC＝12AB，求证：DC⊥AC.例5、如图，点E在△ABC的外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠1＝∠2＝∠3＝36°, AC＝AE，求∠B的度数，例6、如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，线段BC上有一动点G，GE⊥AC于E，GF⊥AB于F，AB上的高为CD.(1)图1，当G在BC上运动时，求证：GE＋GF＝CD；(2)图2，当G运动到BC延长线上时，试判断GE、GF，CD间关系，并加以证明.图1图2【巩固练习】1、如图，点D在AC上，点E在AB上，AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝BE，设∠DBE＝a.(1)试用a表示∠DEA、∠DCB,∠DBC；(2)求a的度数.2、如图，D、E分别在BA、BC延长线上，AB＝AC，AD＝AE.求证：DE⊥BC.3、如图，点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE.求证：BD＝CE.4、如图，AC＝AD，BC＝BE,∠DCE＝45°.求证:AC⊥BC.5、已知，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F，求证：AF＝EF.6、如图，直角梯形ABCD，CD∥AB,AB＝AC,AE⊥AC,且AE＝AD，连BE交AC于F.求证：BF＝EF.。
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2016初一数学竞赛（B班）培训资料：特殊三角形初一（）班姓名：学号：.【知识梳理】一、等腰三角形1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2．性质：(1)具有三角形的一切性质；(2)两底角相等(等边对等角)；(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)；(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°．要点：等边三角形中高线，中线，角平分线三线合一，共有三条.3．判定：(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．要点：(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；(2)等边三角形是特殊的等腰三角形．二、直角三角形1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．2．性质：(1)直角三角形中两锐角互余；(2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半；(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°；(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方；(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形；(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.要点：（1）直角三角形中，S Rt△ABC=ch=ab，其中a、b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高；（2）圆内接三角形，当一条边为直径时，该三角形是直角三角形．3．判定：(1)两内角互余的三角形是直角三角形；(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形；(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边．【综合练习】一、选择题1．已知等边△ABC的边长为a，则它的面积是（）A．a2B．a2 C．a2D．a2）5．如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE=a,则下列说法正确的个数有（）2 )a；③△BC'D是等腰三角形；④△CED的周长等于①DC'平分∠BDE ；②BC长为(2BC的长。
A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题6．如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.恒成立的有___________ ___(把你认为正确的序号都填上).7. 如图，ABC ∆是等边三角形，BC BD 90CBD ==∠， ，则1∠的度数是________。
8. 若直角三角形两直角边的和为3，斜边上的高为5，则斜边的长为 .9. 如图，已知正方形ABCD 的边长为2，△BPC 是等边三角形，则△CDP 的面积是_________；△BPD 的面积是_________.10．如图，P 是正三角形 ABC 内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10.若将△PAC 绕点A 逆时针旋转后，得到△P ′AB ，则点P 与点P ′ 之间的距离为____ _____，∠APB=______ ___.三、解答题11．如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 、E 、F 分别在BC 、AB 、AC 边上，且BE=CF ，AD+EC=AB ．（1）求证：△DEF 是等腰三角形； （2）当∠A=40°时，求∠DEF 的度数；（3）△DEF 可能是等腰直角三角形吗？为什么？（4）请你猜想：当∠A 为多少度时，∠EDF+∠EFD=120°，并请说明理由．12．如图，D 是边长为4cm 的等边△ABC 的边AB 上的一点，作DQ ⊥ AB 交边BC 于点Q ，RQ ⊥ BC 交边AC 于点R ，RP ⊥ AC 交边AB 于点E ，交QD 的延长线于点P ． （1）请说明△ PQR 是等边三角形的理由；（2）若BD =1.3cm ，则AE =_________cm （填空）（3）如图，当点E 恰好与点D 重合时，求出BD 的长度．CA 1DB2 313. 已知：在△ABC中，∠ABC=90°，点E在直线AB上，ED与直线AC垂直，垂足为D，且点M为EC中点，连接BM，DM．（1）如图1，若点E在线段AB上，探究线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系，并直接写出你得到的结论；（2）如图2，若点E在BA延长线上，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；（3）若点E在AB延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系．14．①如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点,P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．证明：在边AB上截取AE=MC，连ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．∴∠NMC=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB=∠MAE．（下面请你完成余下的证明过程）②若将①中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2）,N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．③若将①中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X”，请你做出猜想：当∠AMN=_____________°时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）15. 如图，点O事等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD,则△COD是等边三角形；(1)当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？(2)求证：△COD是等边三角形（3）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由。
BD16. 如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM. ⑴ 求证：△AMB ≌△ENB ；⑵ ①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM ＋BM ＋CM 的最小值为时，求正方形的边长.17．如图，ABC ∆中，100=∠=A AC AB ，，BD 平分ABC ∠。
求证：BC BD AD =+。
18．如图，已知ABC 是等边三角形，E 是AC 延长线上一点，选择一点D 使得ΔCDE 是等边三角形，如果M 是线段AD 的中点，N 是线段BE 的中点，求证：ΔCMN 是等边三角形。
【答案与解析】一、选择题1.【答案】D.2.【答案】B.【解析】此题采取排除法做．（1）AB=AE，所以△ABE是等腰的，等腰三角形底角∠AEB不可能90°，所以AC⊥BD不成立．排除A，D；（2）∵AC平分∠DAB，AB=AE，AC=AD．∴△DAE≌△CAB，∴BC=DE成立，排除C．3.【答案】D．【解析】三角形ABC是等腰三角形，且∠BAC=90°，所以∠B=∠C=45°，又DE⊥BC，所以∠DEC=∠C=45°，所以△EDC是等腰三角形，BD=AB，所以△ABD是等腰三角形，∠BAD=∠BDA，而∠EAD=90°-∠BAD，∠EDA=90°-∠BDA，所以∠EAD=∠EDA，所以△EAD是等腰三角形，因此图中等腰三角形共4个．4.【答案】B.【解析】根据题意证得AB=AE，BD=DE，DE=EC．据此可以对以下选项进行一一判定．选B.5.【答案】A.6.【答案】B.【解析】当把完全重合的含有30°角的两块三角板拼成的图形有三种情况：（1）当把60度角对的边重合，且两个直角的顶角也重合时，所成的图形是等边三角形；（2）当把30度角对的边重合，且两个直角的顶角也重合时，所成的图形是等腰三角形；（3）当斜边重合，且一个三角形的30度角的顶点与另一个三角形60度角的顶点重合时，所成的图形是矩形，矩形也是平行四边形．选B二、填空题7．【答案】①②③⑤.【解析】提示：证△ACD≌△BCE, △ACP≌△BCQ.8．【答案】50°.9．【解析】设直角边为a,b,斜边为c ，则a +b =3，222a b c +=，1122ab c =⨯5，代入即可.10．【答案】1， .【解析】∵△BPC 是等边三角形，∴∠PCD=30° 做PE ⊥CD,得PE=1，即△CDP 的面积是=12×2×1=1； 根据即可推得BCDBPDBPCPCDSSSS+=+.11．【答案】6 ，150°.12．【答案】.三、解答题13.【答案与解析】图1中有BM=DM，∠BMD=2∠BCD；图2中∠BCD不存在，有BM=DM；图3中有BM=DM，∠BMD=360°-2∠BCD．解法同（2）．14.【答案与解析】(1) 证明：如图1，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°，∴∠EAB+∠AEB=90°.∵∠EOB=∠AOF＝90°,∴∠FBC+∠AEB=90°，∴∠EAB=∠FBC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF．(2) 解：如图2,过点A作AM//GH交BC于M，过点B作BN//EF交CD于N,AM与BN交于点O/，则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形，∴EF=BN,GH=AM，∵∠FOH＝90°, AM//GH，EF//BN, ∴∠NO/A=90°,故由(1)得, △ABM≌△BCN，∴AM=BN，∴GH=EF=4．(3) ①8．②4n．15.【答案与解析】（1）∵AE=MC,∴BE=BM, ∴∠BEM=∠EMB=45°,∴∠AEM=1355°,∵CN平分∠DCP，∴∠PCN=45°，∴∠AEM=∠MCN=135°在△AEM和△MCN中：∵∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN（2）仍然成立．在边AB上截取AE=MC，连接ME∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°，∴∠ACP=120°．∵AE=MC，∴BE=BM∴∠BEM=∠EMB=60°∴∠AEM=120°．∵CN平分∠ACP，∴∠PCN=60°，∴∠AEM=∠MCN=120°∵∠CMN=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠BAM∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN（3）16.【答案与解析】⑴∵△ABE是等边三角形，∴BA＝BE，∠ABE＝60°.∵∠MBN＝60°，∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.即∠BMA＝∠NBE.又∵MB＝NB，∴△AMB≌△ENB（SAS）.⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小.②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小.理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，∴AM＝EN.∵∠MBN＝60°，MB＝NB，∴△BMN是等边三角形.∴BM＝MN.∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长.⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF＝90°－60°＝30°.设正方形的边长为x，则BF ＝x，EF ＝.在Rt△EFC中，∵EF2＋FC2＝EC2，∴（）2＋（x＋x）2＝.解得，x ＝（舍去负值）.∴正方形的边长为.11。