卷积定理证明
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卷积定理证明
卷积定理是数字信号处理中的重要定理,它表明了时域卷积可以转换为频域乘积。
具体的定理表述如下:
设x(n)、y(n)为有限长离散时间信号,它们的长度为N,Z为离散时间复频率单位周期,那么它们的离散卷积为:
x(n)*y(n)=∑(k=0~N-1)x(k)y(n-k) (1)
其离散傅里叶变换为:
DFT[x(n)*y(n)]=X(k)Y(k)
(2)
其中X(k)和Y(k)分别为x(n)和y(n)的DFT系数。
证明:
为了证明卷积定理,我们需要用到离散傅里叶变换(DFT)的性质:
DFT[∑(n=0~N-1)x(n)y(n)]=X(k)Y(k)
也就是说,如果我们将时域中的卷积转换为频域中的乘积,那么对于一个周期N 的离散序列,在频域中的DFT变换结果是两个序列的DFT系数的乘积。
这一性质是离散傅里叶变换的基本理论之一,在这里不再做深入的讨论。
我们现在考虑两个序列x(n)和y(n)的卷积,它的离散傅里叶变换为:
DFT[x(n)*y(n)]=∑(k=0~N-1)DFT[x(k)y(n-k)]
根据DFT的性质,我们可以将上面的式子改写为:
DFT[x(n)*y(n)]=∑(k=0~N-1)X(k)Y(n-k)
进行下面的变换:
∑(k=0~n)X(k)Y(n-k)+∑(k=n+1~N-1)X(k)Y(n-k)
根据卷积的定义,式子左侧的第一项实际上就是x(n)和y(n)的卷积,因此可以将它改写为:
∑(k=0~n)x(k)y(n-k)
同样,式子左侧的第二项可以改写为:
∑(k=0~N-1)x(k)y(n-k)-∑(k=0~n)x(k)y(n-k)
因此,前一项等式右侧就是DFT[x(n)*y(n)],后一项可以继续变换为:∑(k=n+1~N-1)x(k)y(n-k)
这样就得出了卷积定理的证明:
∑(k=0~N-1)X(k)Y(n-k)=DFT[x(n)*y(n)]。