卷积定理证明

卷积定理证明
卷积定理是数字信号处理中的重要定理，它表明了时域卷积可以转换为频域乘积。

具体的定理表述如下：
设x(n)、y(n)为有限长离散时间信号，它们的长度为N，Z为离散时间复频率单位周期，那么它们的离散卷积为：
x(n)*y(n)=∑（k=0~N-1）x(k)y(n-k) (1)
其离散傅里叶变换为：
DFT[x(n)*y(n)]=X(k)Y(k)
(2)
其中X(k)和Y(k)分别为x(n)和y(n)的DFT系数。

证明：
为了证明卷积定理，我们需要用到离散傅里叶变换（DFT）的性质：
DFT[∑（n=0~N-1）x(n)y(n)]=X(k)Y(k)
也就是说，如果我们将时域中的卷积转换为频域中的乘积，那么对于一个周期N 的离散序列，在频域中的DFT变换结果是两个序列的DFT系数的乘积。

这一性质是离散傅里叶变换的基本理论之一，在这里不再做深入的讨论。

我们现在考虑两个序列x(n)和y(n)的卷积，它的离散傅里叶变换为：
DFT[x(n)*y(n)]=∑（k=0~N-1）DFT[x(k)y(n-k)]
根据DFT的性质，我们可以将上面的式子改写为：
DFT[x(n)*y(n)]=∑（k=0~N-1）X(k)Y(n-k)
进行下面的变换：
∑（k=0~n）X(k)Y(n-k)+∑（k=n+1~N-1）X(k)Y(n-k)
根据卷积的定义，式子左侧的第一项实际上就是x(n)和y(n)的卷积，因此可以将它改写为：
∑（k=0~n）x(k)y(n-k)
同样，式子左侧的第二项可以改写为：
∑（k=0~N-1）x(k)y(n-k)-∑（k=0~n）x(k)y(n-k)
因此，前一项等式右侧就是DFT[x(n)*y(n)]，后一项可以继续变换为：∑（k=n+1~N-1）x(k)y(n-k)
这样就得出了卷积定理的证明：
∑（k=0~N-1）X(k)Y(n-k)=DFT[x(n)*y(n)]。