磐安县高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学

磐安县高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学
一、选择题
1． 圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ） A ． B ．12+ C ．
12
2
+ D ．122+ 2． 有下列说法：
①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适．
②相关指数R 2来刻画回归的效果，R 2值越小，说明模型的拟合效果越好．
③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好．
其中正确命题的个数是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3．
下面是关于复数的四个命题：
p 1：|z|=2， p 2：z 2=2i ，
p 3：z 的共轭复数为﹣1+i ， p 4：z 的虚部为1． 其中真命题为（ ）
A ．p 2，p 3
B ．p 1，p 2
C ．p 2，p 4
D ．p 3，p 4
4． 函数y=x+xlnx 的单调递增区间是（ ） A ．（0，e ﹣2）
B ．（e ﹣2，+∞）
C ．（﹣∞，e ﹣2）
D ．（e ﹣2，+∞）
5． 已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为4cm ，高为10cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱 柱的侧面，绕行两周到达点1A 的最短路线的长为（ ）
A ．16cm B
． C
． D ．26cm
6． 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ） A ．0.35 B ．0.25 C ．0.20 D ．0.15
7． 如图，空间四边形ABCD 中，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，则等（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 设等比数列{a n }的公比q=2，前n 项和为S n ，则=（ ）
A ．2
B ．4
C ．
D ．
9． 若圆心坐标为()2,1-的圆在直线10x y --=上截得的弦长为，则这个圆的方程是（ ） A ．()()2
2
210x y -++= B ．()()2
2
214x y -++= C ．()()2
2
218x y -++= D ．()()2
2
2116x y -++=
10．若函数()y f x =的定义域是[]
1,2016，则函数()()1g x f x =+的定义域是（ ）
A ．(]
0,2016 B ．[]0,2015 C ．(]1,2016 D ．[]1,2017
11．已知△ABC 中，a=1，b=，B=45°，则角A 等于（ ）
A ．150°
B ．90°
C ．60°
D ．30°
12．下列图象中，不能作为函数y=f （x ）的图象的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．△ABC 中，，BC=3，，则∠C=
．
14．如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则成绩较为稳定（方差较小）的运动员是 ．
15．已知1,3x x ==是函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>两个相邻的两个极值点，且()f x 在32
x = 处的导数302f ⎛⎫
'< ⎪⎝⎭，则13f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
___________．
16．函数
的单调递增区间是 ．
17．定义在R 上的函数)(x f 满足：1)(')(>+x f x f ，4)0(=f ，则不等式3)(+>x x e x f e （其 中为自然对数的底数）的解集为 .
18．不等式的解为 ．
三、解答题
19．甲、乙两位选手为为备战我市即将举办的“推广妈祖文化•印象莆田”知识竞赛活动，进行针对性训练，近8次的训练成绩如下（单位：分）： 甲 83 81 93 79 78 84 88 94 乙 87 89 89 77 74 78 88 98
（Ⅰ）依据上述数据，从平均水平和发挥的稳定程度考虑，你认为应派哪位选手参加？并说明理由； （Ⅱ）本次竞赛设置A 、B 两问题，规定：问题A 的得分不低于80分时答题成功，否则答题失败，答题成功可获得价值100元的奖品，问题B 的得分不低于90分时答题成功，否则答题失败，答题成功可获得价值300元的奖品．答题顺序可自由选择，但答题失败则终止答题．选手答题问题A ，B 成功与否互不影响，且以训练成绩作为样本，将样本频率视为概率，请问在（I ）中被选中的选手应选择何种答题顺序，使获得的奖品价值更高？并说明理由．
20．已知函数f （x ）=log 2（x ﹣3）， （1）求f （51）﹣f （6）的值；
（2）若f（x）≤0，求x的取值范围．
21．等差数列{a n} 中，a1=1，前n项和S n满足条件，
（Ⅰ）求数列{a n} 的通项公式和S n；
（Ⅱ）记b n=a n2n﹣1，求数列{b n}的前n项和T n．
22．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲．
已知函数f（x）＝|x＋1|＋2|x－a2|（a∈R）．
（1）若函数f（x）的最小值为3，求a的值；
（2）在（1）的条件下，若直线y＝m与函数y＝f（x）的图象围成一个三角形，求m的范围，并求围成的三角形面积的最大值．
23．甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5道不同的题目，其中选择题3道，判断题2道，甲、乙两人各抽一道（不重复）．
（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？
（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
24．已知函数f（x）=2x2﹣4x+a，g（x）=log a x（a＞0且a≠1）．
（1）若函数f（x）在[﹣1，3m]上不具有单调性，求实数m的取值范围；
（2）若f（1）=g（1）
①求实数a的值；
②设t1=f（x），t2=g（x），t3=2x，当x∈（0，1）时，试比较t1，t2，t3的大小．
25．已知函数f（x）=•，其中=（2cosx，sin2x），=（cosx，1），x∈R．
（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）=2，a=，且sinB=2sinC，求△ABC的面
积．
26．根据下列条件，求圆的方程：
（1）过点A（1，1），B（﹣1，3）且面积最小；
（2）圆心在直线2x﹣y﹣7=0上且与y轴交于点A（0，﹣4），B（0，﹣2）．
磐安县高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】B 【解析】
试题分析：化简为标准形式()()1112
2
=-+-y x ，圆上的点到直线的距离的最大值为圆心到直线的距离加半
径，22
2
11=--=
d ，半径为1，所以距离的最大值是12+，故选B.
考点：直线与圆的位置关系 1
2． 【答案】C
【解析】解：①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，正确．
②相关指数R 2来刻画回归的效果，R 2值越大，说明模型的拟合效果越好，因此②不正确．
③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，正确．
综上可知：其中正确命题的是①③． 故选：C ．
【点评】本题考查了“残差”的意义、相关指数的意义，考查了理解能力和推理能力，属于中档题．
3． 【答案】C
【解析】解：p
1：|z|==
，故命题为假；
p 2：z 2=
=
=2i ，故命题为真；
，∴z 的共轭复数为1﹣i ，故命题p 3为假；
∵
，∴p 4：z 的虚部为1，故命题为真．
故真命题为p 2，p 4 故选：C ．
【点评】本题考查命题真假的判定，考查复数知识，考查学生的计算能力，属于基础题．
4． 【答案】B
【解析】解：函数的定义域为（0，+∞）
求导函数可得f ′（x ）=lnx+2，令f ′（x ）＞0，可得x ＞e ﹣2
，
∴函数f （x ）的单调增区间是（e ﹣2
，+∞）
故选B ．
5． 【答案】D 【解析】
考点：多面体的表面上最短距离问题．
【方法点晴】本题主要考查了多面体和旋转体的表面上的最短距离问题，其中解答中涉及到多面体与旋转体的侧面展开图的应用、直角三角形的勾股定理的应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，学生的空间想象能力、以及转化与化归思想的应用，试题属于基础题．
6．【答案】B
【解析】解：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，
在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191、271、932、812、393，共5组随机数，
∴所求概率为．
故选B．
7．【答案】C
【解析】解：∵M、G分别是BC、CD的中点，
∴=，=
∴=++=+=
故选C
【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，其中将化为++，是解答本题的关键．
8．【答案】C
【解析】解：由于q=2，
∴
∴；
故选：C．
9．【答案】B
【解析】
考点：圆的方程.1111]
10．【答案】B
【解析】
11．【答案】D
【解析】解：∵，B=45°
根据正弦定理可知
∴sinA==
∴A=30°
故选D．
【点评】本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．
12．【答案】B
【解析】解：根据函数的定义可知，对应定义域内的任意变量x只能有唯一的y与x对应，选项B中，当x ＞0时，有两个不同的y和x对应，所以不满足y值的唯一性．
所以B不能作为函数图象．
故选B．
【点评】本题主要考查函数图象的识别，利用函数的定义是解决本题的关键，注意函数的三个条件：非空数集，定义域内x的任意性，x对应y值的唯一性．
二、填空题
13．【答案】
【解析】解：由，a=BC=3，c=，
根据正弦定理=得：
sinC==，
又C为三角形的内角，且c＜a，
∴0＜∠C＜，
则∠C=．
故答案为：
【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，正弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，同时注意判断C的范围．
14．【答案】甲．
【解析】解：【解法一】甲的平均数是=（87+89+90+91+93）=90，
方差是=[（87﹣90）2+（89﹣90）2+（90﹣90）2+（91﹣90）2+（93﹣90）2]=4；
乙的平均数是=（78+88+89+96+99）=90，
方差是=[（78﹣90）2+（88﹣90）2+（89﹣90）2+（96﹣90）2+（99﹣90）2]=53.2；
∵＜，∴成绩较为稳定的是甲．
【解法二】根据茎叶图中的数据知，
甲的5个数据分布在87～93之间，分布相对集中些，方差小些；
乙的5个数据分布在78～99之间，分布相对分散些，方差大些；
所以甲的成绩相对稳定些．
故答案为：甲．
【点评】本题考查了平均数与方差的计算与应用问题，是基础题目．
15．【答案】1 2
【解析】
考
点：三角函数图象与性质，函数导数与不等式．
【思路点晴】本题主要考查两个知识点：三角函数图象与性质，函数导数与不等式.三角函数的极值点，也就是最大值、最小值的位置，所以两个极值点之间为半周期，由此求得周期和ω，再结合极值点的导数等于零，可求出ϕ.在求ϕ的过程中，由于题目没有给定它的取值范围，需要用302f ⎛⎫
'< ⎪⎝⎭
来验证.求出()f x 表达式后，就可以求出13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭
.1 16．【答案】 [2，3） ．
【解析】解：令t=﹣3+4x ﹣x 2
＞0，求得1＜x ＜3，则y=
，
本题即求函数t 在（1，3）上的减区间．
利用二次函数的性质可得函数t 在（1，3）上的减区间为[2，3）， 故答案为：[2，3）．
17．【答案】),0(+∞ 【
解
析
】
考点：利用导数研究函数的单调性.
【方法点晴】本题是一道利用导数判断单调性的题目,解答本题的关键是掌握导数的相关知识,首先对已知的不
等式进行变形,可得()()01>-'+x f x f ,结合要求的不等式可知在不等式两边同时乘以x
e ,即
()()0>-'+x x x e x f e x f e ,因此构造函数()()x x e x f e x g -=,求导利用函数的单调性解不等式.另外本题也可以构造满足前提的特殊函数,比如令()4=x f 也可以求解.1
18．【答案】 {x|x ＞1或x ＜0} ．
【解析】解：
即
即x（x﹣1）＞0
解得x＞1或x＜0
故答案为{x|x＞1或x＜0}
【点评】本题考查将分式不等式通过移项、通分转化为整式不等式、考查二次不等式的解法．注意不等式的解以解集形式写出
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（I）记甲、乙两位选手近8次的训练的平均成绩分别为、，方差分别为、
．，
．…
，
．…
因为，，所以甲、乙两位选手的平均水平相当，但甲的发挥更稳定，故应派甲参加．…
（II）记事件C表示为“甲回答问题A成功”，事件D表示为“甲回答问题B成功”，则P（C）=，P（D）=，
且事件C与事件D相互独立．…
记甲按AB顺序获得奖品价值为ξ，则ξ的可能取值为0，100，400．
P（ξ=0）=P（）=，P（ξ=100）=P（）=，P（ξ=400）=P（CD）=．
0 100 400
所以甲按AB顺序获得奖品价值的数学期望．…
记甲按BA顺序获得奖品价值为η，则η的可能取值为0，300，400．
P（η=0）=P（）=，P（η=300）=P（）=，P（η=400）=P（DC）=，
η
0 300 400
所以甲按BA顺序获得奖品价值的数学期望．…
因为Eξ＞Eη，所以甲应选择AB的答题顺序，获得的奖品价值更高．…
【点评】本小题主要考查平均数、方差、古典概型、相互独立事件的概率、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想、分类与整合思想．
20．【答案】
【解析】解：（1）∵函数f（x）=log2（x﹣3），
∴f（51）﹣f（6）=log248﹣log23=log216=4；
（2）若f（x）≤0，则0＜x﹣3≤1，
解得：x∈（3，4]
【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，对数的运算性质，解答时要时时注意真数大于0，以免出错．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，
由=4得=4，
所以a2=3a1=3且d=a2﹣a1=2，
所以a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1，
=
（Ⅱ）由b n=a n2n﹣1，得b n=（2n﹣1）2n﹣1．
所以T n=1+321+522+…+（2n﹣1）2n﹣1①
2T n=2+322+523+…+（2n﹣3）2n﹣1+（2n﹣1）2n②
①﹣②得：﹣T n=1+22+222+…+22n﹣1﹣（2n﹣1）2n
=2（1+2+22+…+2n﹣1）﹣（2n﹣1）2n﹣1
=2×﹣（2n﹣1）2n﹣1
=2n（3﹣2n）﹣3．
∴T n=（2n﹣3）2n+3．
【点评】本题主要考查数列求和的错位相减，错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．此方法是数列求和部分高考考查的重点及热点．
22．【答案】
【解析】解：（1）f（x）＝|x＋1|＋2|x－a2|
＝⎩⎪⎨⎪
⎧－3x ＋2a 2－1，x ≤－1，
－x ＋2a 2
＋1，－1＜x ＜a 2
，3x －2a 2
＋1，x ≥a 2
，
当x ≤－1时，f （x ）≥f （－1）＝2a 2＋2， －1＜x ＜a 2，f （a 2）＜f （x ）＜f （－1）， 即a 2＋1＜f （x ）＜2a 2＋2， 当x ≥a 2，f （x ）≥f （a 2）＝a 2＋1，
所以当x ＝a 2
时，f （x ）min ＝a 2＋1，由题意得a 2＋1＝3，∴a ＝±2. （2）当a ＝±2时，由（1）知f （x ）＝ ⎩⎪⎨⎪
⎧－3x ＋3，x ≤－1，－x ＋5，－1＜x ＜2，3x －3，x ≥2，
由y ＝f （x ）与y ＝m 的图象知，当它们围成三角形时，m 的范围为（3，6]，当m ＝6时，围成的三角形面积
最大，此时面积为1
2
×|3－（－1）|×|6－3|＝6.
23．【答案】
【解析】（本小题满分12分）
解：（1）甲、乙两人从5道题中不重复各抽一道，共有5×4=20种抽法 记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A ， 则事件A 含有的基本事件数为3×2=6…（4分） ∴
，
∴甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是
…（6分）
（2）记“甲、乙二人中至少有一人抽到选择题”为事件B ， 其对立事件为“甲、乙二人都抽到判断题”，记为事件C ， 则事件C 含有的基本事件数为2×1=2…（8分） ∴，
∴
，…（11分）
∴甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是．…（12分）
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件、对立事件概率计算公式的合理运用．
24．【答案】
【解析】解：（1）因为抛物线y=2x2﹣4x+a开口向上，对称轴为x=1，
所以函数f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，
因为函数f（x）在[﹣1，3m]上不单调，
所以3m＞1，…（2分）
得，…（3分）
（2）①因为f（1）=g（1），所以﹣2+a=0，…（4分）
所以实数a的值为2．…
②因为t1=f（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，
t2=g（x）=log2x，
t3=2x，
所以当x∈（0，1）时，t1∈（0，1），…（7分）
t2∈（﹣∞，0），…（9分）
t3∈（1，2），…（11分）
所以t2＜t1＜t3．…（12分）
【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．25．【答案】
【解析】解：（1）f（x）=•=2cos2
x+sin2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，
令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，
解得﹣+kπ≤x≤+kπ，
函数y=f（x）的单调递增区间是[﹣+kπ，+kπ]，
（Ⅱ）∵f（A）=2
∴2sin（2A+）+1=2，即sin（2A+）=…．
又∵0＜A＜π，∴A=．…
∵a=，
由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc=7 ①…
∵sinB=2sinC∴b=2c ②…
由①②得c2=．…
∴S△ABC=．…
26．【答案】
【解析】解：（1）过A、B两点且面积最小的圆就是以线段AB为直径的圆，
∴圆心坐标为（0，2），半径r=|AB|==×=，
∴所求圆的方程为x2+（y﹣2）2=2；
（2）由圆与y轴交于点A（0，﹣4），B（0，﹣2）可知，圆心在直线y=﹣3上，
由，解得，
∴圆心坐标为（2，﹣3），半径r=，
∴所求圆的方程为（x﹣2）2+（y+3）2=5．。