高中数学3.1和角公式3.1.3两角和与差的正切优化训练新人教B版必修4201710024118

3.1.3 两角和与差的正切
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1tan 21
1.与相等的是（）
1tan 21
A.tan66°
B.tan24°
C.tan42°
D.tan21°
tan 45t an
21
1tan 45tan
21
解析：由两角差的正切公式，原式=
答案:B
=tan（45°-21°)=tan24°.
1
1
2.
t an
75
tan
75
的值是（）
A. 3
B.3
C.
3
3
D.
3
3 1
1
解析：
答案:B
tan
tan 75
75
tan 45t an
75
1tan 45tan
75
=tan（45°+75°)=tan120°=-tan60°=3.
3.(2006河北唐山二模，9)在△ABC中，C=45°，则（1-tanA）（1-tanB）等于（）
A.1
B.-1
C.2
D.-2
解析：(1-tanA)(1-tanB)=1+tanAtanB-(tanA+tanB)
=1+tanAtanB-tan(A+B)(1-tanAtanB)
=1+tanAtanB-tan135°(1-tanAtanB)=2.
答案:C
tan12tan 33tan
53t an 23
4. =_____________，
1tan12tan 331tan
53tan 23
tan
12tan 33
解析：tan(1233)tan451,
1tan12tan 33
=____________.
tan
53tan 23
tan(5323)tan30
1tan 53tan 23
3
3
答案:1
3
3
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
12
1.已知tanα=,tan（α-β）=
，则tan（2α-β）的值是（）25
191
A. B. C. D.
4812
12
解析：∵tanα=,tan（α-β)=
,
251 8
21
tan(tan
)
52∴tan（2α-β)=tan[（α-β)+α]=
1tan()tan
1()
21
52答案:C
1
12
.
1
1
tan
2.已知23
1tan
，则cot（
4
-α）等于（）
A.23
B. 32
C.23
D.23
tan tan
1
tan
4
解析：由tan()2
3
1tan4
1tan tan
4
1
1
所以cot（.
-α)=23
423
tan()
4
答案:A
3.锐角△ABC中，tanA·tanB的值是（）
,
A.不小于1
B.小于1
C.等于1
D.大于1
解析：由于△ABC为锐角三角形，∴tanA、tanB、tanC均为正数.
∴tanC＞0.
∴tan[180°-（A+B)]＞0.
tan A tan
B
∴tan（A+B)＜0，即
1tan A tan
B
而tanA＞0，tanB＞0，
∴1-tanAtanB＜0,即tanAtanB＞1.
＜0.
答案:D
1
4.若tanα=，则tan（α+）=_____________.
24
1
解析：∵tanα=,
2
1
tan tan 1
42
∴tan（α+)=
=3.
1 4
1tan tan
11
42
答案:3
5.函数y=tan（2x- )+tan（2x+ ）的最小正周期是_____________.
4 4
解析：y=tan（2x- )+tan（2x+ )
44
tan2x 1tan =
1
2x
tan
2x
1
tan
1
2x
(tan
2x
1)
2
(tan
2x
1t an
2
2x 1)
2
4tan2x
1t an
2
2x =2tan4x.
答案：
4
1 6.已知tan（+α）=
，
求
42
1
解:∵tan（+α)=
,
422
cos (sin
1
tan
c os)
的
值.
2
1
tan
∴
1tan
1
2
,得tanα=-3.
∴
2cos (sin cos)2cos2(tan 1)2cos2
(31)
1tan 1tan
31
=4cos2α
=
4cos
4
2
sin cos
2tan
22
1
4
(3)
2
1
2
5
.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.在△ABC中，已知tanA、tanB是方程3x2+8x-1=0的两根，则tanC等于（）
A.2
B.-2
C.4
D.-4
解析：由于tanA、tanB是3x2+8x-1=0的两根，得
tan
tan
8
A tan B
,
3
1
A tan B
,
3
tan A tan
B
∴tan（A+B)=
1tan A tan
B
∴tanC=-tan（A+B)=2.
答案:A
8
3
1
1
()
3
=-2.
2.设tanα=
3
A.
4
1
2
1
，tanβ=，且α、β角为锐角，则α+β的值是（）
3
3
B. 或
C.
D.
444
5
4
解析：由tanα=
1
2
，tanβ=
1
3
tan tan
,得tan（α+β)=
1tan
tan
11
23
11
1
23
=1.又α、β均是
锐角,∴α+β=答案:C 4
.
3.若tan110°=a，则tan50°的值为（）
a 1 A.
3
3a
3
B.
1
a
3a
a
1
C.
3
3a
a
1
D.
3
3a
3
解析：tan110°=tan（60°+50°)=
13
tan
50
tan
50
=a，
∴3+tan50°=a- 3atan50°.
∴tan50°（1+ 3a)=a- 3.
3
a
1
∴tan50°=
3
3a
.
tan110
3
另：tan50°=tan（110°-60°)=
13
tan110
a
1
3
3a
.
答案:A
4.设tanα和tanβ是方程mx2+（2m-3）x+（m-2）=0的两根，则tan（α+β）的最小值是（）
15
4
A.
B.
3
4
3
C.
D.不确
定
4
解析：∵tanα和tanβ是mx2+（2m-3)x+（m-2)=0的两根，
2m
3
tan tan
,
m
∴
m2
tan tan ,
m
m 0,
(2m 3)24m(m
2)
0.
9
∴m≤，且m≠0.
4
2m 3
tan tan 2m 3
m
tan（α+β)=
m
1tan tan2
m2
1
m
3
2
.
∴当m=
答案:C
9
4
3
.
4
时，tan（α+β)的最小值为
5.在△ABC中，若（1+cotA）（1+cotC）=2，则log2sinB=______________.
tan A
1
tan C1
解析：由（1+cotA)（1+cotC)=2,得=2，
tan A
tan C ∴（tanA+1)（tanC+1)=2tanAtanC.
∴1+tanA+tanC=tanAtanC.
∴tan（A+C)=-1.又A、B、C是△ABC的内角,
∴A+C=3
4.∴B=
4
.∴sinB=
2
2
.
1
.
2
∴log2sinB=
1
答案:
2
tan 20
tan
20 6.计算：tan
tan
40
40
tan120
tan120
=________________.
解析：∵tan60°=tan（20°+40°)
4
tan 20 t an 40
=
1 tan 20
tan 40
,∴tan20°+tan40°=3-3tan20°tan40°. ∴
tan tan 20
tan 20
tan
4040
tan120 tan120
3
33
t an 20tan 40 tan 40 tan 20
3
=1. 答案:1
7.计算：tan72°-tan12°- 3 tan72°tan12°=______________. 解析：原式=tan(72°-12°)·(1+tan72°tan12°)- 3 tan72°tan12°= 3 . 答案:
3
8.(2005高 考 全 国 卷 Ⅱ,文 17)已 知 α 为 第 二 象 限 角 ， sinα= 5
cosβ=
，求 tan （2α-β）的值.
13
3 解：∵α 为第二象限角且 sinα= ，
5
4 3
∴cosα=
，tanα= . 5 4
5
又 β 为第一象限角且 cosβ=
，
13
12
12 ∴sinβ=
,tanβ= .
13
5
3 5
， β 为 第 一 象 限 角 ， 3 12
tan tan
4 5
∴tan （α-β)=
1 tan tan
1
(
) 3 12 4 5
63 16
. 3 63
tan
tan(
) 4 16
∴tan （2α-β)=tan ［α+（α-β)］=
204 253
.
1tan tan()
1()
363
416
9.设tanα、tanβ是方程x2-3x-3=0的两实根，求sin2(α+β)-3sin（α+β）cos（α+β）-3cos2(α+β)的值.
解：由题意,得tanα+tanβ=3，tanαtanβ=-3,
tan tan
1tan tan ∴tan(α+β)=3 4 .
∴sin2(α+β)-3sin（α+β)cos（α+β)-3cos2(α+β)
= s in(
2)
3sin(
)cos(
sin2()
c os(
2
)3cos2
(
)
)
t an(
2
)
3
tan(
)
1
tan(
2
)
3
5
33
()
233 44
3.
3
()1
2
4
10.在锐角△AB C中化简：tan A
2
tan
B
2
+tan
B
2
tan
C
2
+tan
C
2
tan
A
2
.
解:∵A+B+C=π,
A B C
∴,
22
B
C A
∴,
222
A B B C C A
∴tan tan +tan tan +tan tan
222222
A B C B
=tan （tan +tan )+tanvtan
2222
A B C B C
C
=tan ·tan（1-tan tan )+tan
22222
C A B C B
=tan cot ·（1-tan tan )+tan tan 22222
B C B C
=1-tan tan +tan tan =1.
2222tan
C
2
C
2
6。