相似三角形”8“字模型(含详细答案)-经典

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授课课时：课时
是△ ABC中BC边上的高线，则有
AB BC AC
AB BC AC
AH
k ---------
A H
（k为相似比）•进而可得ABC
ABC
1
BC AH
2
1
BC AH
2
BC AH
B C AH
k2
•
那么
8字形
图①8字型，结论:
AO BO AB
OD CO CD
4 •相似三角形周长的比等于相似比.
AB BC AC
△ ABC与厶ABC相似，则有————---- k（ k为相似比）•应用比例的等比性质有
AB BC AC
AB BC AC AB BC AC
--- ------ ------ ------------------ k •
AB BC AC AB B C AC
5 •相似三角形面积的比等于相似比的平方.
△ ABC与厶ABC相似，AH是厶ABC中BC边上的高线，AH
、相似三角形的判定
1 •平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.
2 •如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.可简单说成: 两角对应
相等，两个三角形相似.
3 •如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.
4 .如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似.可简单地说成: 三边对应
成比例，两个三角形相似.
5 •如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，这两个直角
三角形相似.
6 •直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）
7 •如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似; 如果它
们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似.
三、相似证明中的基本模型
【例1】.如图，在？ABCD中，F是AD延长线上一点，连接BF交DC于点E,则图中相似三角形共有（）
AE ,交BC 于点F ,
•••念EF 与△ADC 只有一个角相等，
•••念EF 与△ACD 不一定相似，故选项 D 错误，符合题意.
故选：D.
【练习1】.如图，E 为？ABCD 的DC 边延长线上一点，连 则图
中与厶ABF 相似的三角形共有 2 个. 【解答】解：•••四边形 ABCD 是平行四边形，
•••AB //CD , AD //BC,
z.^ABF S ©EF ,A CEFS 念ED ,
z.^ABF s 念ED .
•••图中与A ABF 相似的三角形是：△ CEF,^AED .
故答案为：2
【练习2】.如图，在？ABCD 中，AC , BD 相交于点0,点
E 是OA 的中点，连接 BE 并延长交AD 于点F, 已知S ZAE
F =4，则下列结论：① △ACD ，其中一定正确的是 ①②③ （填序号） 【解答】解：/•在？ABCD 中，A0= =AC,
② S ZBCE =36; •••点E 是0A 的中点,
•••AE 亠E, '/AD //BC, z.^AFE s©BE , •丄』二 •BC = □= 3，
BC 的延长线于P ,求证:
••AD=BC ,
•••AF= AD ,
3
•••丄二；故①正确；
FD 2
•••S*=4, 「=（二）2=_,
.••S ZBCE =36;故②正确;
..坠臺丄 .%AE F =1_
S AABE 3，
•••S ZABE =12，故③正确; ••BF 不平行于CD , •••念EF 与A ADC 只有一个角相等, •••念EF 与△ACD 不一定相似，故④错误, 故答案为：①②③.
【练习3】.如图，在平行四边形 ABCD 中，E 、F 分别是AD 、CD 边上的点，连接 BE 、AF ，
他们相交于 G,
延长BE 交CD 的延长线于点 H ，则图中的相似三角形共有
4 对.
【解答】解：.四边形 ABCD 是平行四边形，
•••AB //CD , AD //BC,
•••念BG S /FH G , A ABE s/DHE ^ZCHB ,
•••图中的相似三角形共有 4对.
故答案为：4.
【练习4】.在厶ABC 中，DB=CE , DE 的延长线交
【解答】解：过点 C 作CG//DP 交AB 于G, .AD _AE BD _BP
……订，.一-，
8
AD?BP=AE ?CP .
AO DF AD a
"CO _ AC"2V5a ，
，DF= —-
5 5
PF= —a ，所以 tan /BPC =
4 q
.•.PC —上一理，
过D 作DF 丄AC,垂足为F ，设AD=a ，贝U A0=4a ,
••OA=0B，点C 为OB 中点， • C0=2a ,
在 RtSCO 中,AC=小「 「| _「=2 ，a,
又 r Rt A ADF s Rt △XCO ,
PF=AC - AF - PC=2 L ；%
(3 )与( 2)的方法相同，设AD =a ，求出DF = J a ，
【练习7】.已知线段 OA 丄OB ，C 为OB 上中点，D 为AO 上一点，连
AC 、BD 交于P 点. (1 )如图1，当OA=OB 且D 为AO 中点时，求話的值；
AD 1
(2)如图2，当OA=OB ，时，求△ BPC 与△ACO 的面积之比.
A0 4
【解答】解：(1 )过C 作CE //OA 交BD 于E ，
• ZBCEs/BOD ，
…而麺
••C 为OB 上中点，
1
•••CE= —OD ，
DF 1
PF = 2
tan ZBPC=tan ZFPD= •••D 为AO 中点,
•AF =
•••ZECP S/DAP ,
.AP 二ACL?；■pc=cir ；
(2)过C作CE//OA交BD于E,过P作PF丄OB交OB于F,
••QD=3x ,
•••/BCE S/BQD , C 为 OB 上中点,
vZECP S/D AP ,
Is
由勾股定理可知 BD=5x , DE=—x,
• PD二2,
•琏-PD百'
PD=AD=x ,
_ |1212 2
PF=K S A BPC=
5
S ZACO=4X2,
弘BPC』
S AACO '
图②反8字型，结论：
AO BO △旦、四点共圆
CO DO CD
【例3】•如图，不能判定△AOB 和ADOC相似的条件是
A . AO?CO=BO?DO
B .二-二
C ./A= Z
D D ./B= ZC
EO CD
【解答】解：A、能判定•利用两边成比例夹角相等.
B、不能判定.
C、能判定•两角对应相等的两个三角形相似.
D、能判定•两角对应相等的两个三角形相似.
故选：B.
【练习1】.如图，在四边形 ABCD中，对角线 AC与BD相交于点O, AC平分Z DAB，且Z DAC= ZDBC , 那么下列结论不一定正确的是（）
A . A AOD s/BOC
B . A AOB ^ZDO
C C . CD=BC
D . BC?CD=AC ?OA
【解答】解：A '•••/DAC= ZDBC , ZAOD= ZBOC ,
•••@0D s/Boc，故此选项正确，不合题意;
B、TZAOD s/BOC ,
A0_0D|
B0= CO,
AO B0|
0D= CO,
又 v/AOB= Z COD ,
S/DOC，故此选项正确，不合题意;
C、TZAOB s/DOC , •••ZBAO= ZODC , •/AC 平分Z DAB ,
•••ZDAC= ZBAC , •••ZBAC= ZBDC , •/ZDAC= ZDBC , •••zCDB= Z CBD ,
则△ABC s 公EF ; (2 )若/E= ZB ，则△ABC s^\EF .
故答案为：AF : AC ,Z B .
•••CD=BC，故此选项正确，不合题意;
D 、无法得出BC?CD=AC ?0A ，故此选项错误，符合题意.
故选：D.
【练习 2】.如图，(1 )若 AE : AB= AF : AC ，则△ ABC s 公EF ; (2 )若Z E= ZB ，则△ABC s 念EF.
【解答】解：(1 )若AE : AB=AF : AC ,
图③双8字型，结论:
【例4】如图，AB//CD,点E为AB上一点，点F为CD上一点，求证:
【例5】.如图，在平行四边形 ABCD中（AB M BC）,直线EF经过其对角线的交点0,且分别交 AD、BC于点M、N，交BA、DC的延长线于点 E、F,下列结
论：① AO=BO :②OE=OF ;
③厶EAM S/EBN:④"AO也/CNO，其中正确的是( )
A .①②B.②③C .②④D .③④
【解答】解：①平行四边形中邻边垂直则该平行四边形为矩形，故本题中AC M BD，即AO MBO,故①错误；
②T AB //CD ,
•••ZE= ZF,
又•••/EOA= ZFOC , AO=CO
• △DE 也zCOF ,
•••OE=OF，故②正确；
③T AD //BC,
z.ZEAM S/EB N，故③正确；
④•••△AOE也zCOF，且△ FCO和加“。

不全等，
故A EAO和加“。

不全等，故④错误，
即②③正确.
故选：B.
20 .如图，在△ ABC中，E为高AD上的动点，F是点D关于点E的对称点(点 F在高AD上，且不与 A、D 重合).过点F作BC的平行线与AB交于P，与AC交于Q，连接PE并延长交直线BC于点N，连接QE并延长交直线BC于点M，连接PM、QN .
(1 )试判断四边形 PMNQ的形状，并说明理由；
(2)若要使四边形 PMNQ是一个矩形，则△ ABC还应满足什么条件？请说明理由；
(3)若BC=10，AD=6，则当点E在何处时，四边形 PMNQ的面积与厶APQ的面积相等？
【解答】解：(1 )四边形PMNQ是平行四边形.
••PQ //MN，•••ZEPQ= ZENM ；Z EQP= /EMN，
• ZPEQs/NEM，
VED 丄 MN，EF± PQ，
课堂小结:
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