复数基础知识

一、虚数的由来
利用二次方程式解的公式，√b2−4ac<0时，出现负数，这是发现虚数单位的根源
二、虚数的定义
虚数用英文名表述为imaginary number,故取其英文名首字母i命名，i称为虚数单位（imaginary unit）并定义
i=√−1i2=−1
三、复数的定义
对于a+bi的形式表示称为复数（complex number）
若a不等于0，b等于0，则复数不存在，只有实数a;
若a等于0，b不等于0，则复数则为纯虚数;
若a不等于0，b等于0，则a+bi为一般复数
四、共轭复数
a+bi与a-bi 称为共轭复数
五、复数的运算
1、复数的加减
z1=a+biz2=c+di
z1+z2=(a+c)+(b+d)i
z1−z2=(a−c)+(b−d)i
2、复数的乘法
z1∗z2=ac+adi+bci+bdi2=(ac−bd)+(ad+bc)i
3、复数的除法
z1 z2=a+bi
c+di
=(a+bi)(c−di)
(c+di)(c−di)
=ac−adi+bci−bdi2
c2−d2i2
=(ac+bd)+(bc−ad)i
c2+d2
=ac+bd
c2+d2
+bc−ad
c2+d2
i#利用共轭复数的算法4、复数的幂
z12=(a+bi)2=a2+2abi+b2i2=a2−b2+2abi
六、复数的极坐标表示
对于复数a+bi，|z|=√a2+b2,称为复数z的绝对值;
令|z|=r，∠zox=θ，则复数可转换为z=a+bi=r(a
r +b
r
i)的形式，根据三角函数定义a
r
=cosθ,b
r
=sinθ,
则复数的表示方式可以转换为：
z=r(cosθ+isinθ)#称为复数的极坐标七、复数的指数形式表示
八、德.莫依尔定理
使用极坐标可以简单方便的计算复数的积的运算。

z1∗z2=(cosθ1+isinθ1)∗(cosθ2+isinθ2)=cosθ1∗cosθ2−sinθ1sinθ2+(cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2)i 根据三角函数的加法定理
z1∗z2=cos(θ1+θ2)+sin(θ1+θ2)i
对于n个复数相乘，同样有类似的规律：
z1∗z2∗z3∗…∗z n=cos(θ1+θ2+⋯+θn)+isin(θ1+θ2+⋯+θn）
当θ1=θ2=⋯=θn=θ时，z n=cosnθ+isinnθ（n为正整数、负整数以及0都成立），该公式称为德.莫依尔定理
当n为复数时，则有
e n=e x+iy=e x(cosy+isiny)。