课件7：3.1.2 空间向量的数乘运算

解：(1)因为P是C1D1的中点， 所以A→P＝A→A1＋A→1D1＋D→1P＝a＋A→D＋21D→1C1 ＝a＋c＋12A→B＝a＋c＋12b. (2)因为 N 是 BC 的中点， 所以A→1N＝A→1A＋A→B＋B→N＝－a＋b＋12B→C＝－a＋b＋12A→D ＝－a＋b＋21c.
(3)因为M是AA1的中点， 所以M→P＝M→A＋A→P＝12A→1A＋A→P ＝－21a＋(a＋c＋12b)＝12a＋21b＋c， 又N→C1＝N→C＋C→C1＝12B→C＋A→A1＝21A→D＋A→A1＝12c＋a， 所以M→P＋N→C1＝21a＋12b＋c＋a＋12c＝23a＋12b＋32c.
位于平面 ABC 内的充要
t，使O→P＝O→A＋ta，其中 a 叫作直线 l 条件是存在有序实数对
推
的方向向量，如图所示. 论
(x，y)，使A→P＝xA→B＋
yA→C，或对空间任意一点
若在 l 上取A→B＝a，则式子O→P＝O→A＋ta O 来说，有O→P＝O→A＋
可化为O→P＝O→A＋tA→B
xA→B＋yA→C
3．对共面向量的两点说明： (1)共面向量是指平行同一个平面的向量．共面向量可 以平移到同一个平面内．共面向量所在的直线可能相 交、平行或异面． (2)向量的“自由性”：空间任意两向量都是共面的． 方向相同，大小相等的向量都相等．只要能平移到同 一平面上的向量都是共面向量．
1．对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定
【解析】因为点 C 在线段 AB 上，所以A→B与B→C方向相反， 又因为|AB|＝5，|BC|＝3，所以A→B＝－53B→C，故 λ＝－35. 【答案】－35
5．已知 A，B，C 三点不共线，O 为平面 ABC 外一 点，若由O→M＝－2O→A＋O→B＋λO→C确定的点 M 与 A， B，C 共面，则 λ＝________．
解：(1)因为O→A＋O→B＋O→C＝3O→M， 所以O→A－O→M＝(O→M－O→B)＋(O→M－O→C)， 所以M→A＝B→M＋C→M＝－M→B－M→C，
所以向量M→A，M→B，M→C共面． (2)由(1)向量M→A，M→B，M→C共面，三个向量的基 线又有公共点 M，所以 M，A，B，C 共面，即点 M 在平面 ABC 内．
3.1.2 空间向量的数乘运算
1.掌握空间向量的数乘运算(重点)． 2.掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用( 重点、难点)． 3．体会向量共线、向量共面与直线位置关系之间 的转化．
1．空间向量的数乘运算 (1)定义：实数λ与空间向量a的乘积λ·a，称为向量 的数乘运算． (2)向量a与向量λa的关系．
类型 2 向量共线问题 典例 2 如图所示，已知空间四边形 ABCD，E， H 分别是边 AB，AD 的中点，F，G 分别是 CB, CD 上的点，且C→F＝23C→B，C→G＝23C→D.利用向量法求证 四边形 EFGH 是梯形．
证明：因为 E，H 分别是边 AB，AD 的中点， 所以A→E＝12A→B，A→H＝12A→D， E→H＝A→H－A→E＝12A→D－12A→B＝12(A→D－A→B)＝12B→D ＝12(C→D－C→B)＝2132C→G－32C→F＝43(C→G－C→F)＝34F→G. 所以E→H∥F→G且|E→H|＝34|F→G|≠|F→G|，又 F 不在 EH 上， 所以四边形 EFGH 是梯形．
类型 3 向量共面问题 典例 3 如图所示，已知 P 是平行四 边形 ABCD 所在平面外一点，连接 PA，PB，PC，PD，点 E，F，G，H 分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA 的重心， 应用向量共面定理证明：E，F，G，H 四点共面.
解：分别延长 PE，PF，PG，PH 交对边于 M，N， Q，R. 因为 E，F，G，H 分别是所在三角形的重心， 所以 M，N，O，R 为所在边的中点， 顺次连接 M，N，Q，R，所得四边形为平行四边形， 且有P→E＝23P→M，P→F＝32P→N，P→G＝32P→Q，P→H＝23P→R，
(1)M→P＝xM→A＋yM→B； (2)对空间任一点 O，O→P＝O→M＋xM→A＋yM→B； (3)对空间任一点 O，O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→M(x＋y ＋z＝1)； (4)P→M∥A→B(或P→A∥M→B，或P→B∥A→M)．
类题尝试 已知 A，B，C 三点不共线，平面 ABC 外的一点 O 满足O→M＝13O→A＋31O→B＋13O→C. (1)判断M→A，M→B，M→C三个向量是否共面； (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内．
A.2O→A－O→B
B.－O→A＋2O→B
C.23O→A－13O→B
D.－31O→A＋23O→B
【解析】由已知得 2(O→C－O→A)＋(O→B－O→C)＝0， 所以O→C＝2O→A－O→B. 【答案】A
4．点 C 在线段 AB 上，且|AB|＝5，|BC|＝3，A→B＝λB→C， 则 λ＝________．
【解析】M 与 A，B，C 共面，则O→M＝xO→A＋yO→B＋zO→C， 其中 x＋y＋z＝1，结合题目有－2＋1＋λ＝1，即 λ＝2. 【答案】2
类型 1 空间向量的数乘运算(自主研析) 典例 1 如图所示，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，设A→A1＝a，A→B＝b，A→D ＝c，M，N，P 分别是 AA1，BC，C1D1 的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量： (1)A→P；(2)A→1N；(3)M→P＋N→C1.
充要 条件
对于空间任意两个向量 a，b(b 线，则向量 p 与 a，b
≠0)，a∥b 的充要条件是存在 共面的充要条件是存
实数 λ 使 a＝λb
在唯一的有序实数对
(x，y)，使 p＝xa＋yb
如果 l 为经过点 A 且平行于已知非零向
量 a 的直线，那么对于空间任一点 O，
如图所示，空间一点 P
点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数
是( )
A．共面向量
B．共线向量
C．不共面向量
D．既不共线也不共面的向量
【解析】2a－b与a，b共面．
Байду номын сангаас
【答案】A
2．设空间四点 O，A，B，P 满足O→P＝mO→A＋nO→B，其 中 m＋n＝1，则( ) A．点 P 一定在直线 AB 上 B．点 P 一定不在直线 AB 上 C．点 P 可能在直线 AB 上，也可能不在直线 AB 上 D.A→B与A→P的方向一定相同
1．判定两向量共线就是寻找 x 使 a＝xb(b≠0)成立，为 此可结合空间图形并运用空间向量运算法则化简出 a ＝xb，从而得 a∥b. 2．由证E→H＝λF→G可得 EH∥FG，另注意|E→H|＝|λ||F→G|. 3．(1)利用向量共线还可证明点共线，证明点共线， 只需证明对应的向量共线．
(2)证明空间任意三点 P，A，B 共线可通过下列 结论来证明： ①P→A＝λP→B； ②对空间任一点 O，O→P＝O→A＋tA→B； ③对空间任一点 O，O→P＝xO→A＋yO→B(x＋y＝1)．
变式训练 如图所示，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，M，N 分别是 C1D1，AB 的中点，E 在 AA1 上且 AE＝2EA1，F 在 CC1 上且 CF＝12FC1，判断M→E与N→F是 否共线．
解：由已知可得， M→E＝M→D1＋D→1A1＋A→1E＝12B→A＋C→B＋13A→1A ＝－N→B＋C→B＋13C→1C＝C→N＋F→C＝F→N＝－N→F， 所以M→E与N→F共线．
λ 的范围
方向关系
模的关系
λ＞0
方向与 a 同向 λa 的模是 a
λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 的模的|λ|
λ＜0
方向与 a 反向
倍
温馨提示 1．注意实数与向量的积的特殊情况，当λ＝0时，λa ＝0；当λ≠0时，若a≠0时，有λa≠0. 2．实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算， 比如：λ＋a，λ－a无意义．
因为 MNQR 为平行四边形， 所以E→G＝P→G－P→E＝23P→Q－32P→M＝23M→Q ＝23(M→N＋M→R)＝32(P→N－P→M)＋32(P→R－P→M) ＝2332P→F－32P→E＋2332P→H－23P→E＝E→F＋E→H. 所以由共面向量定理得 E，F，G，H 四点共面．
1．(1)利用向量法证明四点共面，实质上是证明向量 共面问题，解题的关键是熟练地进行向量表示，恰当 应用向量共面的充要条件； (2)解题过程中要注意区分向量所在的直线的位置关系 与向量的位置关系． 2．对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立 来证明四点共面：
(3)空间向量的数乘运算满足的运算律． ①分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb； ②结合律：λ(μa)＝(λμ)a.
2．共线向量与共面向量
比较项
共线(平行)向量
共面向量
定义
表示空间向量的有向线段所在 平行于同一个平面的
的直线平行或重合，则这些向 向量叫作共面向量
量叫作共线向量或平行向量
若两个向量 a，b 不共
1．利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三 角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知 向量． 2．运用空间向量的数乘运算律可使运算简便，注意 与实数的有关运算律区别清楚，实数的运算律中是实 数与向量的乘积，不是向量与向量的乘法运算．
变式训练 如图所示，在平行六面体
ABCD-A1B1C1D1 中，M 为 AC 与 BD 的交
1．空间向量的线性运算法则与平面向量相同，在空间 向量的加法运算中，如下事实常帮助我们简化运算： (1)首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起 点指向末尾向量的终点的向量，求若干个向量的和， 可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和； (2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们 的和为0.
点，若A→1B1＝a，A→1D1＝b，A→1A＝c，则下列向量
中与B→1M相等的是( )
A.－12a＋21b＋c C.12a－21b＋c
B.12a＋12b＋c D.－21a－12b＋c
【解析】B→1M＝B→1B＋B→M＝A→1A＋12B→D ＝A→1A＋21(B→1A1＋B→1C1)＝－12a＋21b＋c. 【答案】A
【解析】已知m＋n＝1，则m＝1－n， O→P＝(1－n)O→A＋nO→B＝O→A－nO→A＋nO→B⇒O→P－O→A ＝n(O→B－O→A)⇒A→P＝nA→B. 因为A→B≠0，所以A→P和A→B共线，即点 A，P，B 共线． 【答案】A
3．已知 O，A，B 是平面上的三个点，直线 AB
上有一点 C，满足 2A→C＋C→B＝0，则O→C等于( )
温馨提示 1．向量共线定理可分解为以下两个命题： ①a∥b(b≠0)⇒存在唯一实数 λ，使得 a＝λb； ②存在唯一实数 λ，使得 a＝λb(b≠0)，则 a∥b.
2．若对于空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，有 向量关系O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C成立，且 x＋y＋z＝1，则 P，A，B，C 四点共面，这一结论常用来判定空间中四个 点共面．
2．利用向量的数乘运算可以判定两个向量共线、 三个向量共面问题，进而解决几何中的点共线、点 共面、线面平行等问题．
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