2020年高考数学：运用正、余弦定理解决实际问题

2020年高考数学：运用正、余弦定理解决实际问题
某货轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军护卫舰在A 处获悉后，测得该货轮在北偏东45º方向距离为10海里的C 处，并测得货轮正沿北偏东105º的方向、以每小时9海里的速度向附近的小岛靠拢．我海军护卫舰立即以每小时21海里的速度前去营救，则护卫舰靠近货轮所需的时间是____________小时． 【参考答案】
2
3
【试题解析】由题意可画出示意图如图所示，
假设经过t 小时在B 处护卫舰靠近了货轮，
则可得10AC =，9BC t =，21AB t =，120ACB =︒∠，
所以在ABC
△中，由余弦定理可得2
2
2
(21)10(9)t t =+-2109cos120t ⨯⨯⨯︒，解得
23
t =
．
【解题必备】（1）解三角形应用题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解三角形，得到实际问题的解，求解的关键是将实际问题转化为解三角形问题．
（2）运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤：
①分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图（一个或几个三角形）；
②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型；
③求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解； ④检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解．
1．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，
，则，两点的距离为________．
2．如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处，第一种是从A沿直线步行到C，第二种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到某旅客选择第二种方式下山，山路AC长为1260m，从B处步行下山到C处，，经测量，，，求索道AB的长．
1．【答案】
【解析】由已知ACD
△中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，∴∠DAC=15°，
由正弦定理得
80sin150
40
sin15
4
AC
︒
===
︒
，
在BCD
△中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，∴∠DBC=30°，
由正弦定理
sin sin
CD BC
CBD BDC
=
∠∠
，
得
BC
sin80sin15
160sin1540
1
sin
2
CD BDC
CBD
⋅∠⨯︒
===︒=
∠
，在ABC
△中，由余弦定理得AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•cos∠ACB
＝
，
解得：AB，
则两目标A，B 间的距离为．
故答案为．
2．【解析】在ABC
△中，12
cos
13
A=，
3
cos
5
C=，
5
sin
13
A
∴=，
4
sin
5
C=，
则
()()5312463 sin sinπsin sin cos cos sin
13513565
B A
C A C A C A C
⎡⎤
=-+=+=+=⨯+⨯=⎣⎦
，
由正弦定理
sin sin AB AC C B =得sin 12604
1040m 63sin 565
AC C AB B
==⨯=，
则索道AB 的长为1040m ．。