高考理科数学(北师大版)一轮复习课件第四章第3讲第1课时两角和与差的正弦余弦和正切公式

＝ 55，故选 B.
3．已知
α∈π2，π，sin
α＝
5 5.
(1)求 sinπ4＋α的值；
(2)求 cos56π－2α的值．
解：(1)因为 α∈π2，π，sin α＝ 55，
所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－255，
故 sinπ4＋α＝sin
π 4cos
α＋cos
π 4sin α
＝
22×－2
解析：因为 α 是第三象限角，所以 sin α＝－
1－cos2α＝－35，所以
sinα＋π4＝－35×
2 2
＋－45× 22＝－7102.
答案：－7102
2． sin 347°cos 148°＋sin 77°·cos 58°＝________． 解析：sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°
15°＝ 3cos 15°－2sin 15°·sin 30°＝ 3cos 15°－sin 15°＝2cos(15°＋30°)＝
2cos 45°＝ 2.故选 D.
法二：因为 cos 15°＝
6＋ 4
2，sin 15°＝
6－ 4
2，所以
3cos 15°－4sin215°·cos 15°
＝
3×
6＋ 4
2－4×
A．－121
B．121
11 C. 2
D．－121
()
解析：选 A.因为 sin α＝35，α∈π2，π， 所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－45， 所以 tan α＝csions αα＝－34. 因为 tan(π－β)＝12＝－tan β，所以 tan β＝－12， 则 tan(α－β)＝1t＋antaαn－αttaannββ＝－121.
tan α＋tan β T(α＋β)：tan(α＋β)＝_1_－__t_a_n_α_t_a_n__β______
α，β，α＋β≠π2＋kπta，nkα∈－Zta.n β T(α－β)：tan(α－β)＝_1_＋__ta_n__α_t_a_n_β__
α，β，α－β≠π2＋kπ，k∈Z.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 S2α：sin 2α＝2_s_i_n_α_c_o_s_α_． C2α：cos 2α＝_co_s_2_α_－__s_in_2_α__＝__2_c_o_s_2α_－__1______＝___1_－__2_s_in_2_α_____．
解析：因为 tan 60°＝tan(20°＋40°)＝1t－anta2n0°20＋°ttaann4400°°， 所以 tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°) ＝ 3－ 3tan 20°tan 40°， 所以原式＝ 3－ 3tan 20°tan40°＋ 3tan 20°tan 40°＝ 3. 答案： 3
5
5＋
22×
55＝－
10 10 .
(2)由(1)知
sin
2α＝2sin
αcos
α＝2×
55×－2 5 5＝－45，cos
2α＝1－2sin2α＝1－2×
552
＝35，
所以 cos56π－2α＝cos
5π 6 cos
2α＋sin
5π 6 sin 2α
＝－
23×35＋12×－45
＝－4＋130
3 .
三角函数公式的应用策略 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征． (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．
C＝π4，cos
C＝
2 2.
【答案】
1 (1)4
2 (2) 2
角度二 公式的变形用 (1)化简cossi1n02°35c°os－8120°＝________．
(2)化简 sin2α－π6＋sin2α＋π6－sin2α 的结果是________．
【解析】 (1)cossi1n02°35c°os－8120°＝c1o－s 1c0o2°s 7s0in°1－0°12 ＝ －1212sicnc0o°s 5s0in°20°＝12ssiinn4400°°＝12.
答案：12
和差公式的灵活运用(多维探究)
角度一 变角问题 (1)设 α，β 都是锐角，且 cos α＝ 55，sin(α＋β)＝35，则 cos β＝________．
(2)已知 cos(75°＋α)＝13，则 cos(30°－2α)的值为________．
【解析】 (1)依题意得 sin α＝ 1－cos2α＝255， 因为 sin(α＋β)＝35<sin α 且 α＋β>α， 所以 α＋β∈π2，π，所以 cos(α＋β)＝－45. 于是 cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45× 55＋35×255＝2255.
＝
2sin 10°cos 10°
1 42cos
10°－
3 2 sin
10°
＝
4sin(s3i0n°20－°10°)＝14.
(2)由 tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得1t－antaAn＋AttaannBB＝－1，
即 tan(A＋B)＝－1，又 A＋B∈(0，π)，
所以
A＋B＝34π，则
2tan α T2α：tan 2α＝___1_－__t_a_n_2_α______ α≠π4＋k2π，且α≠kπ＋π2，k∈Z.
常用结论
记准四个必备结论
(1)降幂公式：cos2α＝1＋c2os
2α，sin2α＝1－c2os
2α .
(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.
④升幂缩角变形：1＋cos α＝2cos2α2， 1－cos α＝2sin2α2； ⑤公式变形：cos α＝s2isnin2αα，sin α＝2sicnos2αα.
1．(一题多解) 3cos 15°－4sin215°cos 15°＝
1 A.2 C．1
B．
2 2
D． 2
()
解析：选 D.法一： 3cos 15°－4sin215°cos 15°＝ 3cos 15°－2sin 15°·2sin 15°cos
(2)cos(75°＋α)＝sin(15°－α)＝13， 所以 cos(30°－2α)＝1－2sin2(15°－α)＝1－29＝79. 【答案】 (1)2255 (2)79
(3)公式变形：tan α±tan β＝tan(a±β)(1∓tan αtan β)．
(4)辅助角公式：asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)(其中 sin φ＝ a2b＋b2，cos φ＝ a2a＋b2)．
二、教材衍化
1．若 cos α＝－45.α 是第三象限的角，则 sinα＋π4＝________．
2．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知 α∈0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则 sin α＝
()
A.15
B．
5 5
3 C. 3
D．2
5 5
解析：选 B.由 2sin 2α＝cos 2α＋1，得 4sin αcos α＝1－2sin2α＋1，即 2sin αcos α＝1－sin2α.
因为 α∈0，π2，所以 cos α＝ 1－sin2 α，所以 2sin α 1－sin2 α＝1－sin2 α，解得 sin α
且对任意角 α，β 都成立．
(× )
二、易错纠偏 常见误区 (1)不会逆用公式，找不到思路； (2)不会合理配角出错； (3)忽视角的范围用错公式．
1．化简：sin
sin 65°·
50° 1－cos
50°＝________．
解析：原式＝ cos
cos 25°
40° 1－cos
50°
＝ cos
cos 40° 25°· 2sin
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)存在实数 α，β，使等式 sin(α＋β)＝sin α＋sin β 成立．
(√ )
(2)对任意角 α 都有 1＋sin α＝sinα2＋cosα22. (3)y＝3sin x＋4cos x 的最大值是 7.
(√ ) (× )
(4)公式 tan(α＋β)＝1t－antaαn＋αttaannββ可以变形为 tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，
第四章 三角函数、解三角形
第3讲 简单的三角恒等变形 第1课时 两角和与差的正弦、余弦 和正切公式
数学
01
基础知识 自主回顾
02
核心考点 深度剖析
03
高效演练 分层突破
一、知识梳理
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C(α－β)：cos(α－β)＝___c_o_s_α_c_o_s_β_＋__s_i_n_α_s_i_n_β_________． C(α＋β)：cos(α＋β)＝____c_o_s_α__co_s__β_－__s_in__α_s_in__β_______． S(α＋β)：sin(α＋β)＝___s_in__α_c_o_s_β_＋__c_o_s_α_s_i_n_β_________． S(α－β)：sin(α－β)＝__s_in__α_c_o_s_β_－__c_o_s_α__si_n_β__________．
法二：因为 θ∈0，π2且 sinθ－π4＝102， 所以 cosθ－π4＝7102， 所以 tanθ－π4＝17＝t1a＋n tθa－n θ1， 所以 tan θ＝43. 故 tan 2θ＝1－2tatannθ2θ＝－274. 答案：－274
和差公式的直接应用(自主练透)
1．已知 sin α＝35，α∈π2，π，tan(π－β)＝12，则 tan(α－β)的值为
6－ 4
22×
6＋ 4
2＝
6＋ 4
2×(
3－2＋
3)＝
6＋ 4
2×(2
3－2)
＝ 2.故选 D.
2．计算coss2in15151°0°－ssinin2201°55°的值为________．
解析：cossin2115150°°－ssiinn22105°5°＝sin
70°sin 20° cos 310°
三角函数公式的逆用与变形用(多维探究)
角度一 公式的逆用 (1)化简1－sin3t1a0n°10°＝________．
(2)在△ABC 中，若 tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则 cos C＝________．
【解析】
(1)
sin 10° 1－ 3tan 10°
＝
sin 10°cos 10° cos 10°－ 3sin 10°
＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58°
＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58°
＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°
＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝ 22.
答案：
2 2
3． tan 20°＋tan 40°＋ 3tan 20°·tan 40°＝________．
25°＝
cos 40° ＝
2 2 sin
50°
2.
答案： 2
2．若 tan α＝3，tan(α－β)＝2，则 tan β＝________． 解析：tan β＝tan[α－(α－β)] ＝1＋tatnanα－α·tatna(nα(－α－β)β) ＝1＋3－3×2 2＝17. 答案：17
3．已知 θ∈0，π2，且 sinθ－π4＝102，则 tan 2θ＝________． 解析：法一：sinθ－π4＝ 102， 得 sin θ－cos θ＝15，① θ∈0，π2，①平方得 2sin θcos θ＝2245， 可求得 sin θ＋cos θ＝75，所以 sin θ＝45，cos θ＝35， 所以 tan θ＝43，tan 2θ＝1－2tatannθ2θ＝－274.
(2)二倍角正、余弦公式的常见变形方式 ①配方变形：1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2； ②因式分解变形：cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝cos2 α－sin2α＝(cos α＋sin α)(cos α－ sin α)； ③降幂扩角变形：cos2α＝1＋c2os 2α，sin2α＝1－c2os 2α；
(2)原式＝1－cos22α－π3＋1－cos22α＋π3－sin2α
＝1－12cos2α－π3＋cos2α＋π3－sin2α
＝1－cos 2α·cos π3－sin2α
＝1－cos22α－1－c2os 2α＝12.
【答案】
(1)－1
1 (2)2
(1)和差角公式的常见变形 ①sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β； ②cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β； ③tan α±tan β＝tan(α±β)·(1∓tan αtan β)．