2019年高考物理双基突破 专题23 同步卫星和多星精讲

专题二十三 同步卫星和多星（精讲）
一、同步卫星
1．同步卫星的七个一定
同步卫星的轨道平面、周期、角速度、高度、速率、绕行方向、向心加速度都是一定的。

（1）同步卫星的周期等于地球的自转周期。

即同步卫星的周期为定值，大小为T =24h ＝8.64×10s 。

（2）同步卫星离地面的高度是唯一的。

由万有引力提供向心力，即()
()2
2
2Mm
G
m R h T R h π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
+得h R =。

即可计算出同步卫星离地面的高度为h ＝3.6×107
m 为一定值。

（3）同步卫星的线速度是唯一确定的。

由线速度的定义得到()
2R h v T
π+=
，算得同步卫星的线速度
（即环绕速度，但不是发射速度）v ＝3.08km/s 为一定值，但它小于第一宇宙速度。

（4）同步卫星只能位于赤道上空。

卫星运行的圆形轨道必须与地球的赤道平面重合，这是因为同步卫星所需的向心力为地球对它的万有引力，其方向必指向地心；另一方面因为同步卫星相对地球表面静止不动，它的轨道平面与地轴垂直，因此，同步卫星的轨道平面只能是赤道平面，同步卫星的运行轨道只能是圆。

（5）卫星在轨道上的位置也是确定的。

每颗同步卫星都定点在世界卫星组织规定的位置上。

因为所有同步卫星都在同一个确定轨道上，以相同的线速度、周期、角速度、向心加速度做匀速圆周运动，决不能没有秩序、杂乱无章。

（6）向心加速度大小一定：所有同步卫星由于到地心距离相同，所以，它们绕地球运动的向心加速度大小都相同，约为0.23 m/s 2。

（7）向心加速度一定：由G Mm R ＋h
2
＝ma n 得a n ＝
GM R ＋h
2
＝g h ＝0.23 m/s 2
，即同步卫星的向心加速
度等于轨道处的重力加速度。

覆盖全球信号只需三颗卫星：由数学知识以及上面的数据可算出一颗同步卫星可覆盖大于三分之一的地球面积，所以，均匀分布的三颗同步卫星就可覆盖全球。

2．同步卫星的发射—发射过程经历以下三个阶段： （1）变轨原理及过程
①为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到达200km —300 km 的圆轨道1上。

围绕地球做圆周运动，这条轨道称为“停泊轨道”；
2
②当卫星穿过赤道平面A 点（近地点）时，二级点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供在轨道1上做圆周运动的向心力，使卫星做离心运动，沿一条较大的椭圆轨道运行，进入椭圆轨道2。

地球作为椭圆的焦点，当到达远地点B 时，恰为赤道上空3600km 处，这条轨道称为“转移轨道”。

沿轨道1和2分别经过A 点时，加速度相同；
③当卫星到达远地点B （远地点）时，开动卫星发动机（再次点火加速）进入同步圆形轨道3，并调整运行姿态从而实现电磁通讯，这个轨道叫“静止轨道”。

同步卫星的发射有两种方法，一是直接发射到同步轨道；二是先将卫星发射至近地圆形轨道1运行，然后点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆形轨道3运行。

（2）两类变轨比较
（3）变轨过程各物理量分析
①速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v 1、v 3，在轨道Ⅱ上过A 点和B 点时速率分别为
v A 、v B 。

在A 点加速，则v A >v 1，在B 点加速，则v 3>v B ，又因v 1>v 3，故有v A >v 1>v 3>v B 。

②加速度：因为在A 点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A 点，卫星的加速度都相同，同理，经过B 点加速度也相同。

③周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T 1、T 2、T 3，轨道半径分别为r 1、r 2（半长轴）、
3
r 3，由开普勒第三定律r 3
T
2＝k 可知T 1<T 2<T 3。

④机械能：在一个确定的圆（椭圆）轨道上机械能守恒。

若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E 1、
E 2、E 3，则E 1<E 2<E 3。

（4）卫星变轨的判断及处理思路方法 ①要增大卫星的轨道半径，必须加速； ②当轨道半径增大时，卫星的机械能随之增大。

（5）卫星变轨问题的判断：
①卫星的速度变大时，做离心运动，重新稳定时，轨道半径变大。

②卫星的速度变小时，做近心运动，重新稳定时，轨道半径变小。

③圆轨道与椭圆轨道相切时，切点处外面的轨道上的速度大，向心加速度相同。

（6）特别提醒:“ 三个不同”
①两种周期——自转周期和公转周期的不同。

②两种速度——环绕速度与发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度。

③两个半径——天体半径R 和卫星轨道半径r 的不同。

考法1 卫星轨道渐变时各物理量的变化分析
【题1】（多选）2016年10月19日，神舟十一号飞船与天宫二号空间实验室成功进行了自动交会对接，航天员景海鹏、陈冬进入天宫二号。

对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气。

下列说法正确的是
A ．为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
B ．如不加干预，在运行一段时间后，天宫二号的动能可能会增加
C ．如不加干预，天宫二号的轨道高度将缓慢降低
D ．航天员在天宫二号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用 【答案】
BC
考法2 卫星轨道突变前后各物理量的变化分析
【题2】我国发射了一颗地球资源探测卫星，发射时，先将卫星发射至距离地面50 km 的近地圆轨道1上，然后变轨到近地点距离地面50 km 、远地点距离地面1 500 km 的椭圆轨道2上，最后由轨道2进入半
径为7 900 km的圆轨道3，轨道1、2相切于P点，轨道2、3相切于Q点。

忽略空气阻力和卫星质量的变化，则以下说法正确的是
A．该卫星从轨道1变轨到轨道2需要在P处点火加速
B．该卫星在轨道2上稳定运行时，P点的速度小于Q点的速度
C．该卫星在轨道2上Q点的加速度大于在轨道3上Q点的加速度
D．该卫星在轨道3的机械能小于在轨道1的机械能
A
【答案】
A．飞船变轨前后的机械能守恒
B．对接后飞船在圆轨道上运动的速度小于第一宇宙速度
C．宇航员在空间实验室内可以利用杠铃举重来锻炼身体
D．分离后飞船在原轨道上通过减速运动，再逐渐接近地球表面
【答案】BD
4
5
【题4】如图所示，假设月球的半径为R ，月球表面的重力加速度为g 0，飞船沿距月球表面高度为3R 的圆形轨道Ⅰ运动，到达轨道的A 点．点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B 再次点火进入月球近月轨道Ⅲ，绕月球做匀速圆周运动．下列判断正确的是
A ．飞船在轨道Ⅰ上的运行速率v ＝
g 0R
2
B ．飞船在A 点处点火变轨时，动能增加
C ．飞船从A 到B 运行的过程中机械能增大
D ．飞船在轨道Ⅲ绕月球运动一周所需的时间T ＝πR g 0
【答案】A
【解析】飞船在轨道Ⅰ上，万有引力提供向心力：GMm R 2＝m v 2
4R ；在月球表面，万有引力等于重力得：
GMm R 2＝mg 0，解得：v ＝
g 0R
2
，故A 正确；飞船在A 点处点火变轨时，是通过向行进方向喷火，做减速运动，向心进入椭圆轨道，所以动能是减小的，B 错误；飞船点火后，从A 到B 运行的过程中，只有重力做功，机
械能不变，故C 错误；飞船在轨道Ⅲ绕月球运动，万有引力提供向心力，有：GMm R 2＝m 4π2T 2R ，又GMm
R
2＝mg 0，
解得：T ＝2π
R
g 0
，故D 错误；故选A 。

3．一般卫星与同步卫星运行轨道的区别
（1）由于卫星作圆周运动的向心力必须由地球给它的万有引力来提供，所以所有的地球卫星包括同步卫星，其轨道圆的圆心都必须在地球的的球心上。

（2）同步卫星是跟地球自转同步，故其轨道平面首先必须与地球的赤道圆面相平行。

又因做匀速圆周运动的向心力由地球给它的万有引力提供，而万有引力方向通过地心，故轨道平面就应与赤道平面相重合。

（3）一般卫星的轨道平面、周期、角速度、线速度、轨道半径都在一定的范围内任取。

而同步卫星的
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周期、角速度、线速度、轨道半径都是确定的。

二者的质量（动能、势能、机械能）都不确定。

二、双星和多星 1．双星
（1）定义：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点（公共圆心）做周期相同的匀速圆周运动的行星组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示。

它们在宇宙中往往会相距较近，质量可以相比，它们离其它星球都较远，因此其它星球对它们的万有引力可以忽略不计。

（2）双星的特点
①“向心力等大反向”——各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即两星做匀速圆周运动的向心力相等，都等于两者之间的万有引力，故F 1＝F 2，且方向相反，分别作用在两颗行星上，是一对作用力和反作用力。

所以有
Gm 1m 2L 2＝m 1ω 21r 1，Gm 1m 2L
2＝m 2ω
2
2r 2。

②“周期、角速度相同”——两颗星做匀速圆周运动的周期及角速度都相同，即T 1＝T 2，ω1＝ω2。

③“距离不变”——两星之间的距离不变，且两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，r 1＋r 2＝L 。

④“半径反比”——圆心在两颗行星的连线上，且r 1＋r 2＝L ，两颗行星做匀速圆周运动的半径与行星的质量成反比，即m 1m 2＝r 2
r 1
，与星体运动的线速度成反比。

⑤若在双星模型中，图中L 、m 1、m 2、G 为已知量，双星的运动周期T ＝2π
L 3
G m 1＋m 2。

⑥若双星运动的周期为T ，双星之间的距离为L ，G 已知，双星的总质量m 1＋m 2＝4π2L
3T 2G
，即双星系统
的周期的平方与双星间距离的三次方之比只与双星的总质量有关，而与双星个体的质量无关。

（3）在处理双星问题时要特别注意以下几个问题：
①由于双星和该固定点总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必相等，即双星做匀速圆周运动的角速度必相等，因此周期也必然相同。

②由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等，由F=mr ω2
可得
m r 1
∝，可得L m m m r L m m m r 2
1122121,+=+=
，即固定点离质量大的星较近。

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③列式时须注意：万有引力定律表达式中的r 表示双星间的距离，按题意应该是L ，而向心力表达式中的r 表示它们各自做圆周运动的半径，在本题中为r 1、r 2，千万不可混淆。

当我们只研究地球和太阳系统或地球和月亮系统时（其他星体对它们的万有引力相比而言都可以忽略不计），其实也是一个双星系统，只是中心星球的质量远大于环绕星球的质量，因此固定点几乎就在中心星球的球心。

可以认为它是固定不动的。

（4）模型条件： ①两颗星彼此相距较近。

②两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动。

③两颗星绕同一圆心做圆周运动。

（5）解答双星问题应注意“两等”“两不等”
①双星问题的“两等”：它们的角速度相等；双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等的。

②“两不等”：双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离；由m 1ω2
r 1＝m 2ω2
r 2知由于m 1与m 2一般不相等，故r 1与r 2一般也不相等。

【题5】质量不等的两星体在相互间的万有引力作用下，绕两者连线上某一定点O 做匀速圆周运动，构成双星系统．由天文观察测得其运动周期为T ，两星体之间的距离为r ，已知引力常量为G .下列说法正确的是
A ．双星系统的平均密度为3π
GT
2
B ．O 点离质量较大的星体较远
C ．双星系统的总质量为4π2r
3
GT
2
D ．若在O 点放一物体，则物体受两星体的万有引力合力为零 【答案】
C
法求出双星系统的平均密度，故A 错误，C 正确。

根据mr 1＝Mr 2可知，质量大的星体离O 点较近，故B 错误。

因为O 点离质量较大的星体较近，根据万有引力定律可知若在O 点放一物体，则物体受质量大的星体的万有引力较大，故合力不为零。

故D 错误。

【题6】如图所示，质量分别为m 和M 的两个星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速圆周运动，星球
A 和
B 两者中心之间的距离为L 。

已知A 、B 的中心和O 点始终共线，A 和B 分别在O 点的两侧。

引力常量为
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G 。

（1）求两星球做圆周运动的周期。

（2）在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A 和B ，月球绕其轨道中心运行的周期记为T 1。

但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期为T 2。

已知地球和月球的质量分别为5.98×1024
kg 和7.35×1022
kg 。

求T 2与T 1两者的平方之比。

（结果保留3位小数）
【答案】（1）2π
L 3
G M
＋m
（2）1.012
联立解得R ＝
m
M ＋m L ，r ＝M
M ＋m
L 对A ，根据牛顿第二定律和万有引力定律得GMm L 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2M
M ＋m
L 解得T ＝2π
L 3
G M ＋m。

（2）由题意，可以将地月系统看成双星系统，由（1）得T 1＝2π
L 3
G M ＋m
若认为月球绕地心做圆周运动，则根据牛顿第二定律和万有引力定律得GMm L 2＝m ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2πT 22
L
解得T 2＝2π
L 3
GM
所以T 2与T 1的平方之比为T 22T 12＝M ＋m M ＝5.98×1024＋7.35×1022
5.98×10
24
＝1.012。

【题7】2016年2月11日，美国科学家宣布探测到引力波，证实了爱因斯坦100年前的预言，弥补了爱因斯坦广义相对论中最后一块缺失的“拼图”。

其实，孤立的恒星与一颗行星组成的系统就是一个双星系统。

如图所示，恒星a 、行星b 在万有引力作用下，绕连线上一点O 以相同的周期做匀速圆周运动。

现测得行星b 做圆周运动的半径为r b ，运动的周期为T ，
a 、
b 的距离为l ，已知万有引力常量为G ，则
9
A ．恒星a 的质量为4π2r b
3
GT
2
B ．恒星a 与行星b 的总质量为4π2l 3
GT
2
C ．恒星a 与行星b 的质量之比为
l －r b
r b
D ．恒星a 的运动可以等效于绕静止在O 点、质量为4π2
r b
3
GT
2的天体做半径为（l －r b ）的圆周运动
【答案】
B
即M 2＝
4π2l 2
l －r b GT 2；对M 2：G M 1M 2l 2＝M 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫2πT 2r b ，即M 1＝4π2l 2
r b GT 2；
则恒星a 与行星b 的总质量为M 1＋M 2＝4π2l 2
GT 2（l －r b ＋r b ）＝4π2l 3
GT 2.恒星a 与行星b 的质量之比为M 1M 2＝
r b
l －r b
恒星a 的运动可以等效于绕静止在O 点、质量为M 的天体做半径为（l －r b ）的圆周运动，由万有引力定律
和牛顿第二定律得
GMM 1
l －r b
2＝M 1（
2πT
）2（l －r b ），即M ＝4π2
l －r b
3
GT 2
综上所述，选项B 正确，A 、C 、D 错误。

2．“多星”模型
（1）多星定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。

（2）“多星”问题
①多颗行星在同一轨道绕同一点做匀速圆周运动，每颗行星做匀速圆周运动所需的向心力由其它各个行星对该行星的万有引力的合力提供。

②每颗行星转动的方向相同，运行周期、角速度和线速度大小相等。

③注意利用几何知识求半径。

（3）三星模型：
①如图所示，三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动，另外两颗行星围绕它做圆周运动。

这三颗行星始终位于同一直线上，中心行星受力平衡。

运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：Gm 2
r 2＋
Gm 2
r 2
＝ma 。

两行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。

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②如图所示，三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动。

每颗行
星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供。

Gm 2
L
2×2×cos 30°＝ma 其中L ＝2r cos
30°。

三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。

【题8】由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式，三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O 在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图为A 、B 、C 三颗星体质量不相同时的一般情况）。

若A 星体质量为2m 、B 、C 两星体的质量均为m ，三角形的边长为a ，求：
（1）A 星体所受合力大小F A ； （2）B 星体所受合力大小F B ； （3）C 星体的轨道半径R C ； （4）三星体做圆周运动的周期T 。

【答案】（1）23G m 2a 2（2）7G m 2a 2（3）7
4a （4）π
a
3
Gm
则合力大小为F A ＝F BA ·cos 30°＋F CA ·cos 30°＝23G m 2
a
2。

（2）同上，B 星体所受A 、C 星体引力大小分别为F AB ＝G m A m B r 2＝G 2m 2a 2F CB ＝G m C m B r 2＝G m 2
a
2
方向如图，
【题9】由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式，三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O 在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图示为A 、B 、C 三颗星体质量不相同时的一般情况）。

若A 星体质量为2m ，B 、
C 两星体的质量均为m ，三角形的边长为a ，求：
（1）A 星体所受合力大小F A ； （2）B 星体所受合力大小F B ； （3）C 星体的轨道半径R C ； （4）三星体做圆周运动的周期T 。

【答案】（1）23G m 2a 2 （2）7G m 2a 2 （3）7
4a （4）π
a 3
Gm
【解析】（1）由万有引力定律，A 星体所受B 、C 星体引力大小为F CA ＝F BA ＝G m A m B r 2＝G 2m 2
a
2＝F CA ，方向如右
图所示，
则合力大小为F A ＝2F CA cos30°＝23G m 2
a
2。

（3）通过分析可知，圆心O 在中垂线AD 的中点，则R C ＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫12a 2
， 可得R C ＝
7
4
a 。

（或由对称性可知OB ＝OC ＝R C ，cos∠OBD ＝F Bx F B ＝DB OB ＝12a
R C ，得R C ＝7
4
a ）。

（4）三星体运动周期相同，对C 星体，由F C ＝F B ＝7G m 2a 2＝m ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2πT
2
R C ，
可得T ＝π
a 3
Gm。

（4）“四星”模型 ①如图所示，
四颗质量相等的行星位于正方形的四个顶点上，沿外接于正方形的圆轨道做匀速圆周运动，Gm 2
L
2×2×cos
45°＋
Gm
22L
2
＝ma ，其中r ＝2
2
L 。

四颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。

②如图所示：
三颗质量相等的行星位于正三角形的三个顶点，另一颗恒星位于正三角形的中心O 点，三颗行星以O
点为圆心，绕正三角形的外接圆做匀速圆周运动。

Gm 2L 2×2×cos 30°＋GMm
r
2＝ma 。

其中L ＝2r cos 30°。

外
围三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小均相等。

ⅰ．其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动。

ⅱ．另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中点O ，外围三颗星绕O 做匀速圆周运动。

【题10】（多选）宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。

设四星系统中每个星体的质量均为m ，半径均为R ，四颗星稳定分布在边长为a 的正方形的四个顶点上。

已知引力常量为G 。

关于宇宙四星系统，下列说法错误的是
A ．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动
B ．四颗星的轨道半径均为a
2
C ．四颗星表面的重力加速度均为Gm R
2
D ．四颗星的周期均为2πa 2a
＋2Gm
【答案】ACD
【题11】（多选）宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。

设四星系统中每个星体的质量均为m ，半径均为R ，四颗星稳定分布在边长为a 的正方形的四个顶点上。

已知引力常量为G 。

关于宇宙四星系统，下列说法错误的是
A ．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动
B ．四颗星的轨道半径均为a
2
C ．四颗星表面的重力加速度均为Gm R
2
D．四颗星的周期均为2πa
2a
＋2Gm
【答案】AD
（5）紧抓四点解决双星、多星问题
①双星或多星的特点、规律，确定系统的中心以及运动的轨道半径。

②星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供。

③星体的角速度相等。

④星体的轨道半径不是天体间的距离。

要利用几何知识，寻找两者之间的关系，正确计算万有引力和向心力。