山东省枣庄第八中学南校区15—16学年高一3月单元检测数学试题(附解析)

山东省枣庄第八中学南校区15—16学年高一3月单元检测
数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．下列说法中，正确的是（ ） A ．第二象限的角是钝角
B ．第三象限的角必大于第二象限的角
C ．－831°是第二象限角
D ．－95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角 【答案】D
考点：象限角的定义.
2．若sin cos 0θθ>，则θ在（ ） A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限
D ．第二、四象限
【答案】B 【解析】
试题分析：由sin cos 0θθ>，可知θsin 、θcos 应同号，故选B. 考点：三角函数的定义. 3．下列说法正确的是（ ）
A ．共线向量的方向相同
B ．零向量是0
C ．长度相等的向量叫做相等向量
D ．共线向量是在一条直线上的向量 【答案】B
试题分析：共线向量即为平行向量，方向可以不同，且不一定在同一条直线上，故A 、D 不正确；长度相等、方向相同的向量为相等向量，故C 不正确；而零向量表示为，故选B. 考点：平面向量基本概念．
4.设角α的终边上有一点P(4，－3)，则2sin cos αα+的值是（ ） A ． -
25 B ． 25 C ．-25或2
5
D ．1 【答案】A
考点：三角函数的定义. 5．454sin
cos tan()363
πππ-=（ ）
A ．-
B ．
C ．
D 【答案】A 【解析】 试
题
分
析
：
454sin
cos tan()363
πππ-=)3tan ()6cos (3sin )3tan()6cos()3sin(π
ππππππππ-⋅-⋅-=---+
4
3
332323-
=⋅⋅-
=. 考点：诱导公式．
6．若cos cos θθ=|，tan tan θθ=-，则
2
θ
的终边在（ ）
A ．第一、三象限
B ．第二、四象限
C ．第一、三象限或x 轴上
D ．第二、四象限或x 轴上
【解析】
试题分析：由已知，0cos >θ，0tan ≤θ，则θ终边在第四象限，即πθππ
k k 222
≤<+-
，
Z k ∈，故πθ
ππ
k k ≤<
+-
24
，故当1,0=k 时，可得2
θ
终边在第二、四象限或x 轴上.
考点：任意角的三角函数.
【易错点睛】本题主要考查任意角的三角函数，属基础题.通过条件的分析可知0cos >θ，
0tan ≤θ，学生容易在tan tan θθ=-上分析出错，写成0tan <θ，从而使得所取角不充
分，当θ终边在第四象限，可得πθππ
k k 222
≤<+-，应注意角的任意性和终边的周期性
变化，避免仅仅写为πθππ
k k ≤<+-
2
或02
≤<-
θπ
.
7．如果函数()sin()(02)f x x πθθπ=+<<的最小正周期是T ，且当2x =时取得最大值，那么（ ） A ．2,2
T π
θ== B ．1,T θπ== C ．2,T θπ== D ．1,2
T π
θ==
【答案】A
考点：三角函数的性质.
8．若sin 2x π⎛⎫
-=
⎪⎝⎭
，且2x ππ<<，则x 等于（ ） A.4
3
π B. 76π C. 53π D. 11
6
π 【答案】B 【解析】
试题分析：由sin 2x π⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
，得23cos -=x ，又2x ππ<<，所以=x 76π. 考点：诱导公式.
9．将函数sin y x =的图象向左平移(02)ϕϕπ≤≤个单位长度后，得到sin 6y x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
的图象，
则ϕ＝（ ） A.
6
π
B.
56π C. 76π D. 116
π 【答案】D 【解析】
试题分析：当函数sin y x =的图象向左平移(02)ϕϕπ≤≤个单位长度后，所得函数解析式为
)sin(ϕ+=x y ，由已知，可得)26sin()6sin()sin(πππϕ+-=-=+x x x ，故=ϕ11
6
π.
考点：三角函数图象的变换. 10．函数tan ()1cos x
f x x
=
+的奇偶性是（ ）
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．既不是奇函数也不是偶函数 【答案】A
考点：三角函数奇偶性.
11．在(0,2)π内，使sin cos x x >成立的x 取值范围为（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛2π ，4π∪⎪⎭⎫
⎝⎛4π5 ，π
B ．⎪⎭⎫
⎝⎛π ，4
π C ．⎪⎭⎫ ⎝
⎛4π5 ，4π
D ．⎪⎭⎫ ⎝
⎛π ，4π∪⎪⎭⎫ ⎝⎛23π ，4π5 【答案】C 【解析】
试题分析：作出三角函数x y sin =及x y cos =在)2,0(π的图象，如图，图中蓝色为正弦曲线，红色为余弦曲线，可知在区间)2,0(π内，当)4
5,4(
π
π∈x 时，sin cos x x >.
考点：三角函数的图象.
【方法点睛】本题主要考查三角函数值的分布，属容易题.由于比较大小的函数为基本函数
x y sin =及x y cos =，可作出相应图象，通过图象上函数值的分布判断函数值的大小；另
本题也可利用三角函数线的比较，作出正弦线及余弦线，通过正弦线与余弦线反映取值情况，进而进行角度范围的确认. 12
．函数()cos f x x =
在()0,+∞内（ ）
A ．没有零点
B ．有且仅有一个零点
C ．有且仅有两个零点
D ．有无穷多个零点 【答案】
B
考点：函数零点.
【方法点睛】本题主要考查函数的零点，属于容易题.解函数零点问题，一般可分为三种途径确定函数的零点或函数零点的个数，一是直接画出函数图象，利用图象与x 轴的交点确定
零点，二是通过令函数值0)(=x f ，解出或判断根的个数得到零点；三是利用函数与方程的关系，将零点问题转化为两函数交点问题，通过交点的个数或交点的横坐标确认零点.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题4分，满分16分．） 13．已知1
sin ,(,0)232
ππ
αα⎛
⎫+=∈- ⎪⎝
⎭，则tan α＝________. 【答案】22-
考点：1、诱导公式；2、同角三角函数的基本关系.
14．函数3cos (0)y x x π=≤≤的图象与直线y ＝－3及y 轴围成的图形的面积为________． 【答案】π3 【解析】
试题分析：由下图可知，根据三角函数图象对称性，可知所求图形面积为矩形面积的一半，又矩形面积为π6，故所求图形面积为π3.
考点：三角函数图象对称性.
15．四边形ABCD 是边长为1的正方形，则AB AD -＝________． 【答案】2
【解析】
试题分析：由DB AD AB =-,得211||||2
2=
+==-.
考点：平面向量线性运算.
【思路点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，属于容易题.由三角形法则可知，在正方形ABCD 中，+=，即=-，可得||||DB AD AB =-，又因为正
方形边长为1，且以BD 为对角线，由勾股定理得211||2
2=
+=DB .
16．给出下列命题： ①函数2
cos 3
2y x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭是奇函数；
②存在实数x ，使sin cos 2x x +=；
③若,αβ是第一象限角且α<β，则tan tan αβ<； ④8
x π
=
是函数5sin 24
y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的一条对称轴； ⑤函数sin 23y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象关于点,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
成中心对称． 其中正确命题的序号为__________． 【答案】①④
考点：三角函数图象与性质.
【方法点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质.对函数)sin(ϕω+=x A y 或
)cos(ϕω+=x A y ，当函数取得最值时，函数取得对称轴，由于函数图象对称中心均在函
数的图象上，且为x 轴上的交点，故当θ=x 时，对称中心为)0,(θ，依次可确认函数的对
称轴与对称中心.
三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．(12分)已知方程sin(3)2cos(4)απαπ-=-，求
()sin()5cos(2)
32sin sin 2παπαπαα-+-⎛⎫--- ⎪⎝⎭
的值．
【答案】4
3
-
．
考点：三角函数诱导公式. 18．(12分)已知3
()sin 2,62
f x x x R π⎛⎫=+
+∈ ⎪⎝
⎭． （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调减区间；
（3）函数()f x 的图象可以由函数sin 2()y x x R =∈的图象经过怎样变换得到？ 【答案】（1）π；（2）]3
2,6
[π
ππ
π+
+k k （Z k ∈）；（3）变换见解析. 【解析】
试题分析：（1）由ωπ
2=
T 可得；（2）由函数x y sin =单调递减区间为]2
32,2
2[π
ππ
π+
+
k k ，Z k ∈，可知当∈+
62π
x ]2
32,22[π
ππ
π+
+
k k ，Z k ∈时，函数)(x f 单调递减，由此解
出x 的取值范围；（3）函数sin 2()y x x R =∈的图象上所有点先向左平移12
π
个单位，得函
数)6
2sin()12
(2sin π
π
+
=+
=x x y ，再向上平移
2
3
个单位，即得函数3()sin 2,62f x x x R π⎛
⎫=++∈ ⎪⎝
⎭.
考点：1、三角函数周期性、单调性；2、三角函数图象变换.
19．(12分)在△ABC 中，sin cos A A +=
，求tan A 的值． 【答案】32--． 【解析】
试题分析：由sin cos A A +=
两边平方，得21cos sin 2-=A A ，由此进一步求解
A A cos sin -的值，进而联立方程，解出A sin 及A cos ，最后解出A tan .
试题解析：∵sinA ＋cosA ＝
2
，① 两边平方，得2sin A cos A ＝12-
，从而知cos A <0，∴∠A ∈,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
∴sin A －cos A 2②
由①②，得sin A cos A
∴tan A ＝sin A
cos A ＝－2考点：同角三角函数的基本关系.
20．(本小题满分12分)设函数()sin(2)(0)f x x ϕπϕ=+-<<，()y f x =图像的一条对称轴是直 线8
x π
=
．
（1）求φ；
（2）画出函数y ＝f(x)在区间[0，π]上的图像．
【答案】（1）4
3π
-
；（2）图象见解析.
(2)由(1)知y ＝sin 324
x π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
，列表如下：
描点连线，可得函数y ＝f(x)在区间[0，π]上的图像如下．
考点：1、三角函数的性质；2、三角函数作图.
21．(12分)已知函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图象过点,012P π⎛⎫
⎪⎝⎭，图象与P 点最近的一 个最高点坐标为,53π⎛⎫ ⎪⎝⎭
. （1）求函数解析式；
（2）求函数的最大值，并写出相应的x 的值；
（3）求使0y ≤时，x 的取值范围．
【答案】（1）)62sin(5π
-=x y ；（2）最大值为5，)(3Z k k x ∈+=π
π；（3）
)(12
125Z k k x k ∈+≤≤-ππππ.
(2)函数的最大值为5，此时2x －
6π＝2k π＋2π (k ∈Z)． ∴x ＝k π＋3
π (k ∈Z)． (3)∵5sin 26x π⎛⎫-
⎪⎝⎭≤0， ∴2k π－π≤2x －6
π≤2k π(k ∈Z)． ∴k π－512π≤x ≤k π＋12
π (k ∈Z)． 考点：1、求三角函数解析式；2、三角函数的性质.
【方法点睛】本题主要考查三角函数求解解析式和性质.其中ω一般借助图象上反映的周期进行求解，如对称中心与相邻最值点之间为T 41，两对称中心之间为T 21等，ϕ一般可将图象经过的点坐标代入解析式解得，A 主要利用函数的最大值或最小值.在对性质的求解时，一般将解析式中ϕω+x 视为x y sin =中的“x ”，进而利用正弦函数的性质进行求解.
22．(14分)已知函数2()2tan 1,f x x x x θ⎡=+-∈-⎣，其中,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
. （1）当6π
θ=-时，求函数的最大值和最小值；
（2）求θ的取值范围，使()y f x =在区间⎡-⎣上是单调函数(在指定区间为增函数或减函数称为该
区间上的单调函数)．
【答案】（1）3
32；（2）)2,4[]3,2(ππππ --.
试题解析：(1)当θ＝－
6
π时，
考点：1、二次函数的最值；2、二次函数的单调性；3、正切函数函数值分布.
【思路点睛】本题主要考查二次函数的最值及单调性.通过对解析式的变形，将解析式化为顶点式，可得函数对称轴及顶点坐标，结合自变量限制区间，可得函数的最大、最小值；当
二次函数在闭区间内为单调函数，则其对称轴应在区间的左侧或右侧（包括端点），故
1tan -≤-θ或3tan ≥-θ，又,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，由此结合正切曲线解出θ的取值范围.。