绝对值题型归纳总结

绝对值题型归纳总结一、知识梳理
模块一绝对值的基本概念
模块二零点分段法（目的：去无范围限定的绝对值题型）
模块三几何意义
例题分析
题型一 绝对值代数意义及化简
【例1】 ⑴ 下列各组判断中，正确的是 ( )
A ．若a b =，则一定有a b =
B ．若a b >，则一定有a b > C. 若a b >，则一定有a b > D ．若a b =，则一定有()2
2a b =- ⑵ 如果2a ＞2b ，则 ( )
A ．a b >
B ．a ＞b
C ．a b <
D a ＜b ⑶ 下列式子中正确的是 ( )
A ．a a >-
B ．a a <-
C ．a a ≤-
D ．a a ≥- ⑷ 对于1m -，下列结论正确的是 ( )
A ．1||m m -≥
B ．1||m m -≤
C ．1||1m m --≥
D ．1||1m m --≤ ⑸若220x x -+-=，求x 的取值范围．
【解析】 ⑴ 选择D ．⑵ 选择B ．
⑶ 我们可以分类讨论，也可以用特殊值法代入检验，对于绝对值的题目我们一般需要代正数、负数、0，3种数帮助找到准确答案．易得答案为D ．
⑷ 我们可以用特殊值法代入检验，正数、负数、0，3种数帮助找到准确答案C ． ⑸ ()22x x -=--，所以20x -≤，即2x ≤．
【变1】 已知：⑴52a b ==，，且a b <；⑵()2
120a b ++-=，分别求a b ，的值 【解析】 因为55a a ==±，，因为22b b ==±，，又因为a b <，所以22a b =-=±，
即52a b =-=，或52a b =-=-，
⑵由非负性可知12a b =-=，
【例2】 设a b c ，，为整数，且1a b c a -+-=，求c a a b b c -+-+-的值 【解析】 因为a b c ，，为整数，且1a b c a -+-=
故a b -与c a -一个为0，一个为1，从而()()1b c b a a c -=-+-=，原式2=
【例3】 （1）已知1999x =，则2245942237x x x x x -+-++++= ．
（2）满足2()()a b b a a b ab -+--=（0ab ≠）有理数a 、b ，一定不满足的关系是（ ）
A ． 0ab <
B ． 0ab >
C ． 0a b +>
D ． 0a b +<
（3）已知有理数a 、b 的和a b +及差a b -在数轴上如图所示，
化简227a b a b +---． a-b
a+b
【解析】 （1）容易判断出，当1999x =时，24590x x -+>，2220x x ++>，
所以 224594223710819982x x x x x x -+-++++=-+=- 这道题目体现了一种重要的“先估算+后化简+再代入求值”的思想． （2）为研究问题首先要先将题干中条件的绝对值符号通过讨论去掉， 若a b ≥时，222()()()()0a b b a a b a b a b ab -+--=---=≠， 若a b <时，2222()()()()2()a b b a a b a b b a a b ab -+--=-+-=-=，
从平方的非负性我们知道0ab ≥，且0ab ≠，所以0ab >，则答案A 一定不满足． （3）由图可知01a b <-<，1a b +<-，
两式相加可得：20a <，0a <进而可判断出0b <，此时20a b +<，70b -<， 所以227a b a b +---(2)2()(7)7a b a b =-+--+-=-．
【变2】 若1998m =-，则22119992299920m m m m +--+++= ． 【解析】
211999(11)999199819879990m m m m +-=+-=⨯->， 222999(22)999199819769990m m m m ++=+-=⨯+>，
故22(11999)(22999)2020000m m m m +--+++=．
【变3】 若0.239x =-，求131********x x x x x x -+-++-----
--的值．
【解析】 法1：∵0.239x =-，则
原式(1)(3)(1997)(2)(1996)x x x x x x =-----
--++++
+-
135199721996x x x x x x x =-+-+-+-
-+++-+
+-
1(32)(54)(19971996)=+-+-+
+-
111999=+++=
法2：由x a b <≤，可得x b x a b a ---=-，则 原式(1)(32)(19971996)x x x x x x =--+---+
+---
111999=+++=
【点评】解法二的这种思维方法叫做构造法．这种方法对于显示题目中的关系，简化解题步骤有着重要作用．
【例4】 已知2020y x b x x b =-+-+--，其中02020b b x <<，≤≤，那么y 的最小值为 【解析】 ()()20202040y x b x x b x b x b x =-+--+---=--++=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，当20x =，y 的最小
值为20
【例5】 若24513a a a +-+-的值是一个定值，求a 的取值范围.
【解析】 要想使24513a a a +-+-的值是一个定值，就必须使得450a -≥，且130a -≤，
原式245(13)3a a a =+---=，即14
35a ≤≤时，原式的值永远为3.
【例6】 abcde 是一个五位自然数，其中a 、b 、c 、d 、e 为阿拉伯数码，且a b c d <<<，则
a b b c c d d e -+-+-+-的最大值是 ．
【解析】 当a b c d e <<<≤时，a b b c c d d e e a -+-+-+-=-，当9e =，1a =时取最大值8
当a b c d <<<，且a e >时，2a b b c c d d e d a e -+-+-+-=--，当9d =，1a =，
0e =时取得最大值17．所以a b b c c d d e -+-+-+-的最大值是17．
【例7】 设,,a b c 为非零实数，且0a a +=，ab ab =，0c c -=．化简b a b c b a c -+--+-． 【解析】 0a a +=，a a =-，0a ≤；ab ab =，0ab ≥；0c c -=，c c =，0c ≥
所以可以得到0a <，0b <，0c >；
()()()b a b c b a c b a b c b a c b -+--+-=-++----=．
【变4】 已知a a =-，0b <，化简
2
2442
(2)24323
a b a b a b b a +-
-+++--． 【解析】 ∵a a =-，∴0a ≤，又∵0b <，∴240a b +<，
∴24(24)2(2)a b a b a b +=-+=-+，∴2
2242(2)2
(2)(2)2a b a b a b a b a b
+-+-=
=+++
又∵20a b +<，∴4442(2)2a b a b a b
-=-=
+-++ 又∵230a -<，∴22221
43(23)242424323
b a a b a b a b b a -
=-=-==
++-++++-- ∴原式24132222a b a b a b a b
=-
++=
++++ 题型二 关于
a a
的探讨应用
【例8】 已知a 是非零有理数，求23
23a a a a a a
++的值.
【解析】 若0a >，那么23231113a a a a a a ++=++=；若0a <，那么23
231111a a a a a a
++=-+-=-.
【例9】 已知a b c ，，是非零整数，且0a b c ++=，求
a b c abc
a b c abc
+++
的值 【解析】 因为a b c ，，是非零有理数，且0a b c ++=，所以a b c ，，中必有一正二负，不妨设
000a b c ><<，，，则原式()()11110a b c abc
a b c abc
=
+++=+-+-+=-- 【解析】
【变5】 三个数a ，b ，c 的积为负数，和为正数，且ab ac bc a b c x a b c ab ac bc
=
+++++， 求321ax bx cx +++的值.
【解析】
a ，
b ，
c 中必为一负两正，不妨设0a <，则0,0b c >>； 1111110ab ac bc
a b c x a b c ab ac bc
=+++++=-++--+=，所以原式＝1.
【变6】 a ，b ，c 为非零有理数，且0a b c ++=，则
a b b c c a a b
b c
c a
+
+
的值等于多少？
【解析】 由0a b c ++=可知a ，b ，c 里存在两正一负或者一正两负；
a b b c c a b c a
a b c a b
b c
c a
a b b c c a
++=
⋅+⋅+⋅ 若两正一负，那么1111b c a
a b c a b b c c a
⋅+⋅+⋅=--=-； 若一正两负，那么1111b c a
a b c a b b c c a ⋅+⋅+⋅=--=-． 综上所得
1a b b c c a a b
b c
c a
++=-．
【变7】 如果000a b c a b c a b c +->-+>-++>，，，则2002
2002
2002
a b c a b c ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫-+ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
值等于（ ）
A ．1
B ．1-
C ．0
D ．3
【解析】 易知2002
2002
2002
111a b c a b c ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=== ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
，，，所以原式1=，故选择A
【例10】 如果20a b +=，求
12a a
b b
-+-的值． 【解析】 由20a b +=得2b a =-，进而有
1222a a a a b a a a ===⋅--⋅，122a a a
b a a
==-⋅- 若0a >，则11
1212322a a b b -+-=-+--=， 若0a <，则
111212322
a a
b b -+-=--+-=．
【例11】 设实数a ，b ，c 满足0a b c ++=，及0abc >，若||||||
a b c
x a b c =
++
，111111
()()()y a b c b c a c a b
=+++++，那么代数式23x y xy ++的值为______．
【解析】 由0a b c ++=及0abc >，知实数a ，b ，c 中必有两个负数，一个正数，从而有1x =-．
又111111()()()y a b c b c a c a b =+++++=3a b c
a b c
---++=-，则231692x y xy ++=--+=．
【例12】 有理数a b c ，，均不为零，且0a b c ++=，设a b c x b c
a c
a b
=
+
+
+++，则代数式
20042007x x -+的值为多少？
【解析】 由0a b c ++=易知a b c ，，中必有一正两负或两正一负，不妨设000a b c ><<，，或
000a b c <>>，，
所以1a b c x a b a c a b =--=+++或者1a b c x b c a c a b
=-++=-+++，所以1x =，所以原式2004=
【变8】 有理数a b c ，，均不为零，且0a b c ++=，设a b c x b c
a c
a b
=
+
+
+++，则代数式
19992000x x -+的值为多少？
【解析】 由0a b c ++=易知a b c ，，中必有一正两负或两正一负，不妨设000a b c ><<，，或000a b c <>>，，
所以1a b c x a b a c a b =
--=+++或者1a b c
x b c a c a b
=-++=-+++，
所以当1x =时，原式1902= 当1x =-时，原式2098=
【变9】 已知a 、b 、c 互不相等，求
()()()()()()()()
()()
()()
a b b c b c c a c a a b a b b c b c c a c a a b ------+
+
------的值．
【解析】 由题意可得()()()0a b b c c a ---≠且()()()0a b b c c a -+-+-=，把a b -，b c -，c a
-当成整体分类讨论：① 两正一负，原式值为1-；② 两负一正，原式值为1-．
【例13】 若有理数m 、n 、p 满足
1m n p m n p ++=，求
23mnp
mnp
的值． 【解析】 由
1m n p m
n
p
+
+
=可得：有理数m 、n 、p 中两正一负，所以0mnp <，所以
1mnp
mnp
=-，
222
333
mnp mnp mnp mnp =⋅=-．
【变10】 有理数a ，b ，c ，d 满足1abcd abcd
=-，求
a b c d a b c d
+++的值．
【解析】由
1abcd abcd
=-知0abcd <，所以a ，b ，c ，d 里含有1个负数或3个负数：
若含有1个负数，则
2a b c d a
b
c
d
+
+
+
=；若含有3个负数，则
2a b c d a
b
c
d
+
+
+
=-．
题型三 零点分段讨论法
【例14】 化简523x x ++-．
【解析】 先找零点.50x +=，5x =- ； 3
2302
x x -==
，，零点可以将数轴分成三段． 当3
2x ≥，50x +>，230x -≥，52332x x x ++-=+；
当3
52
x -<
≤，50x +≥，230x -<，5238x x x ++-=-； 当5x <-，50x +<，230x -<，52332x x x ++-=--．
【变11】 化简：121x x --++.
【解析】 先找零点.10x -=，1x =．10x +=，1x =-．
120x --=，12x -=，12x -=或12x -=-，可得3x =或者1x =-；
综上所得零点有1，-1，3 ，依次零点可以将数轴分成四段．
⑴ 3x ≥，10x ->，120x --≥，10x +>，12122x x x --++=-； ⑵ 13x <≤，10x -≥，120x --<，10x +>，1214x x --++=； ⑶ 11x -<≤，10x -<，120x --<，10x +≥，12122x x x --++=+； ⑷ 1x <-，10x -<，120x --<，10x +<，12122x x x --++=--．
【变12】 求12m m m +-+-的值．
【解析】 先找零点，0m =，10m -=，20m -=，解得0m =，1，2．
依这三个零点将数轴分为四段：0m <，01m ≤<，12m ≤<，2m ≥． 当0m <时，原式()()1233m m m m =-----=-+；
当01m ≤<时，原式()()123m m m m =----=-+； 当12m ≤<时，原式()()121m m m m =+---=+； 当2m ≥时，原式()()1233m m m m +-+-=-．
【例15】 已知2x ≤，求32x x --+的最大值与最小值．
【解析】 法1：根据几何意义可以得到，当2x ≤-时，取最大值为5；当2x =时，取最小值为3-．
法2：找到零点3、2-，结合2x ≤可以分为以下两段进行分析： 当22x -≤≤时，323212x x x x x --+=---=-，有最值3-和5；
当2x <-时，32325x x x x --+=-++=；综上可得最小值为3-，最大值为5． 【变13】 已知04a ≤≤，那么23a a -+-的最大值等于 ． 【解析】 （法1）：我们可以利用零点，将a 的范围分为3段，分类讨论
（先将此分类讨论的方法，而后讲几何意义的方法，让学生体会几何方法的优越性） （1）当02a ≤≤时，2352a a a -+-=-，当0a =时达到最大值5； （2）当23a <≤时，231a a -+-=
（3）当34a <≤时，2325a a a -+-=-，当4a =时，达到最大值3 综合可知，在04a ≤≤上，23a a -+-的最大值为5
（法2）：我们可以利用零点，将a 的范围分为3段，利用绝对值得几何意义分类讨论，
很容易发现答案：当0a =时达到最大值5．
【变14】 如果122y x x x =+-+-，且12x -≤≤，求y 的最大值和最小值 【解析】 当10x -<≤时，有12223y x x x x =+-+-=+，所以13y <≤；
当02x ≤≤时，有12232y x x x x =+-+-=-，所以13y -≤≤ 综上所述，y 的最大值为3，最小值为1-
题型四绝对值非负性
【例16】 若7
322102
m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋. 【解析】 3m =-，72n =
，12p =，3232
p n m +=-＋. 【变15】 已知a 、b 、c 都是负数，并且0x a y b z c -+-+-=，则 0xyz ． 【解析】 根据绝对值的非负性可知x a =，x b =，z c =，所以0xyz abc =<． 【变16】 已知非零实数a 、b 、c 满足a b c ++()2
420a b c +-+=，那么
a b
b c
+=- 【解析】 由非负性可得到0a b c ++=①，且420a b c -+=②，①+②得到530a c +=，
所以35a c =-，代入①可得到：25b c =-．所以3255
5275
c c
a b b c c c --+==---． 【例17】 已知a
为实数，且满足200a a -=，求2200a -的值
【解析】 由题意可知：201a ≥
，所以可得200a a -=
，即200=，所以
2201200a -=，所以原式的值为201
【变17】
a 、
b 同时满足①2(2)|1|1a b b b -++=+；②|3|0a b +-=．那么ab = ． 【解析】 因为|1|1b b ++≥，而完全平方式非负，所以20a b -=，且1b +非负．
又因为|3|0a b +-=，所以30a b +-=，观察可知2a =，1b =，所以2ab =．
【例18】 若a 、b 、c 为整数，且19
95
1a b
c a
-+-=，求c a a b b c -+-+-的值．
【解析】 法一：根据题意：19
a b -，95
c a -为非负整数， 分类讨论：
①若0a b -=，1c a -=，则1b c a c -=-=，此时原式＝2； ②若1a b -=，0c a -=，则1b c b a -=-=，此时原式＝2．
法二：从总体考虑，a b -、c a -一个为0，一个为1，也就是a 、b 、c 有两个相同，另一个和他们相差1．故三者两两取差的绝对值应该有2个1和1个0，所以2c a a b b c -+-+-=．
【例19】 求满足1ab a b ++=的所有整数对()a b ，
【解析】 因为1ab a b ++=，且00ab a b +≥，≥，a b ，均为整数
所以可得01ab a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩⑴或者1
0ab a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩⑵，由⑴可得01ab a b =⎧⎨+=⎩或01ab a b =⎧⎨+=-⎩
又因为a b ，均为整数，所以312412340011
1010a a a a b b b b ====-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨===-=⎩⎩⎩⎩，，， 由⑵得10ab a b =⎧⎨+=⎩或1
0ab a b =-⎧⎨+=⎩，所以5656
1111a a b b ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩， 综上可得：共有6对，分别是：()()()()()()011001101111----，，，，，，，，，，，
【变18】 若,,x y z 为整数，且2003
2003||
||1x y z x -+-=，则||||||z x x y y z -+-+-的值是多少?
【解析】 2003||0,||0x y x y -≥-≥,同理2003||0z x -≥，所以一个为0，一个为1，也就是说,,x y z 有
两个相同，另一个和他们相差1.故三者两两取差的绝对值应该有2个1和1个0，所以||||||z x x y y z -+-+-=2. 当然也可以分类讨论，更利于学生接受.
【例20】 设a 、b 是有理数，则9a b ++有最小值还是最大值？其值是多少？ 【解析】 根据绝对值的非负性可以知道0a b +≥，则99a b ++≥，有最小值9.
教师可在此多多拓展形式！
【变19】 代数式24()a b -+最大值为 ，取最大值时，a 与b 的关系是____________ 【解析】 4，互为相反数； 【例21】 已知210ab a +++=，求
()()()()
()()
1
1
1
...112219941994a b a b a b +
++
-+-+-+的值
【解析】 由210ab a +++=得12a b =-=，
所以
()()()()
()()
1
1
1
...112219941994a b a b a b +
++
-+-+-+
111
...233419951996=----
⨯⨯⨯ 997
1996
=-
【例22】 若3x y -+与1999x y +-互为相反数，求
2x y
x y
+-的值 【解析】 根据相反数的意义，我们可以知道：319990x y x y -+++-=
所以必然有30x y -+=且19990x y +-=， 解方程组可得： 19991001x y y +==，
所以原式219991001
10003
x y x y y x y x y ++++=
===---- 利用绝对值几何意义求两点间距离
a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．
a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离．
【例23】 m n -的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离．
⑴x 的几何意义是数轴上表示 的点与 之间的距离；
->，
=，<）
； ⑵21-的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则
21-= ；
⑶3x -几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间距离，若31x -=，则
x = ．
⑷2x +的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若
22x +=，则x =
⑸当1x =-时，则22x x -++= ．：
【解析】 ⑴ x ，原点；=；⑵1；⑶x ，3，2或4；⑷x ，2-，0或4-；⑸4
【变20】 （1）如图表示数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别
为p ，q ，r ，s ．若10p r -=，12p s -=，9q s -=， 则q r -= ．
（2）不相等的有理数,,a b c 在数轴上的对应点分别为A ，B ，C ，如果
a b b c a c -+-=-，那么点A ，B ，C 在数轴上的位置关系是（ ）
A ．点A 在点
B ，
C 之间 B ．点B 在点A ，C 之间 C ．点C 在点A ，B 之间
D ．以上三种情况均有可能
【解析】 （1）7；（2）B
【变21】 （1）阅读下面材料：点A 、B 在数轴上分别表示的数是a 、b ，A 、B 两点之间的
距离表示为AB ，特别地，当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如 图1，则0AB OB b a b ==-=-；当A 、B 两点都不在原点时：如图2，点A 、B 都 在原点的右边，AB OB OA b a b a a b =-=-=-=-；如图3，点A 、B 都在原点 的左边，()AB OB OA b a b a a b a b =-=-=---=-=-.如图4，点A 、B 在原点 的两边，AB OA OB a b a b a b =+=+=-=-。

s
r q
p
图1 图2
图3 图4 回答下列问题：
①数轴上表示2-和5-的两点之间的距离是_____，数轴上表示1和3-的两点之间的距离是_____；
②数轴上表示数x 和1-的两点A 和B 之间的距离可表示为AB =_____，如果 2.5AB =，那么x 的值是_____；
（2）当代数式12x x +++取最小值时，相应的x 的取值范围是_____． 【解析】（1）① 3；4
②1x +；1.5或 3.5- （2）21x --≤≤
利用绝对值几何意义求代数式的最值
a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．
a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离．
【例24】 利用绝对值的几何意义完成下题：
已知2x =，利用绝对值的几何意义可得2x =±； 若21x +=，利用绝对值的几何意义可得1x =-或3-．
已知125x x -++=，利用绝对值在数轴上的几何意义得x = ． 利用绝对值的几何意义求12x x -++的最小值 ．
52x x ++-的最小值为 ． 214x x x ++-+-的最小值 ．
7326x x x x ++++-+-的最小值 ． 归纳： 若1221n a a a +<<<，当x 时，1221n x a x a x a +-+-+
+-取得最小值．
若122n a a a <<
<，当x 满足 时，122n x a x a x a -+-+
+-取得最小值．
【解析】 2x =或3x =-；3；7； 6；18；1n x a +=；1n n a x a +≤≤． 【点评】 若1221n a a a +<<
<，当1n x a +=时，1221n x a x a x a +-+-+
+-取得最小值．
若122n a a a <<
<，当1n n a x a +≤≤时，122n x a x a x a -+-+
+-取得最小值．
【变22】 如图，在一条数轴上有依次排列的5台机床在工作，现要设置一个零件供应站P ，使
这5台机床到供应站P 的距离总和最小，供应站P 建在哪？最小值为多少？
【解析】 设供应站P 在数轴上所对应的数x ，则5台机床到供应站P 的距离总和为
(1)1248x x x x x --+-+-+-+-，当2x =时，原式值最小为12． 即供应站P 建在点C 处，这5台机床到供应站P 的距离总和最小为12．
【变23】 如图所示，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A 、B 、C 、D 、E 、F 到城市的
距离分别为4、10、15、17、19、20千米，而村庄G 正好是AF 的中点．现在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，活动中心应建在什么位置？
城市
【解析】 因村庄G 是AF 中点，所以村庄G 到城市距离为12千米，即村庄G 在村庄B C 、之间，
7个村庄依次为A B G C D E F 、、、、、、．设活动中心到城市距离为x 千米，各村到活
动中心距离和为y 千米，则：4101215171920y x x x x x x x =-+-+-+-+-+-+-因为
4101215171920<<<<<<，所以当15x =时y 有最小值，所以应当建在C 处
【变24】 若1x 、2x 、3x 、4x 、5x 、6x 是6个不同的正整数，取值于1，2，3，4，5，6，记
122334455661||||||||||S x x x x x x x x x x x x =-+-+-+-+-+-，则S 的最小值是
【解析】 利用此题我们充分展示一下数形结合的优越性： 利用绝对值的几何意义
122334455661||||||||||x x x x x x x x x x x x -+-+-+-+-+-在数轴上表示出来，从1x 开
始又回到1x ，我们可以看成是一个圈，故最小值为10，如下图，即使重叠路程最少
绝对值的代数意义
绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
①绝对值是一种运算，运算符号是“
”，求一个数的绝对值，就是根据性质去绝对值符号
②绝对值具有非负性，即取绝对值的结果总是正数或0
③任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5
【例25】 若2001
2
2002
x =，则|||1||2||3||4||5|x x x x x x +-+-+-+-+-= ． 【解析】因为2001
2
2002
x =，所以23x <<，原式(1)(2)(3)(4)(5)9x x x x x x =+-+-------=． 【例26】 化简：⑴ 1x -；⑵ 5x + ；⑶ 523x x ++-
【解析】 零点分段讨论法一般步骤：求零点；分区间；定性质；去符号
⑴ 当x ≥1时，则11x x -=-； 当1x <时，则11x x -=-+， ⑵ 当5x -≥时，则55x x +=+； 当5x <-时，则55x x +=--
⑶ 先找零点，令50x +=，230x -=，则5x =-，3
2
x =
，零点可以将数轴分成三段： 若3
2x ≥，则50x +>，230x -≥，52332x x x ++-=+；
若3
52
x -<
≤，则50x +≥，230x -<，5238x x x ++-=-； 若5x <-，则50x +<，230x -<，52332x x x ++-=--．
【变25】 已知a b c ，，是非零有理数，且0a b c ++=，求
a b c abc
a b c abc
+++
的值．
【解析】因为a b c ，，是非零有理数，且0a b c ++=，所以a b c ，，中必有一正二负或者一负二正，
分两种情况讨论：
⑴如果是一正二负，不妨设000a b c ><<，，，则原式()()11110a b c abc
a b c abc
=+++
=+-+-+=-- ⑵如果是一负二正，不妨设000a b c >><，，， 则原式()()11110a b c abc
a b c abc
=
+++=++-+-=--；可知原式的值为0
【变26】 若0.239x =-，求131********x x x x x x -+-++-----
--的值．
【解析】法1：∵0.239x =-，则
原式(1)(3)(1997)(2)(1996)x x x x x x =-----
--++++
+-
135199721996x x x x x x x =-+-+-+-
-+++-+
+-
1(32)(54)(19971996)=+-+-+
+-
111999=+++=
法2：由x a b <≤，可得x b x a b a ---=-，则 原式(1)(32)(19971996)x x x x x x =--+---+
+---
111999=+++=
【点评】解法二这种方法叫做构造法，对于显示题目中的关系，简化解题步骤有着重要作用。

【变27】 ,,a b c 为非零实数，且0a a +=，ab ab =，0c c -=．化简b a b c b a c -+--+- 【解析】0a a +=，a a =-，0a ≤；ab ab =，0ab ≥；0c c -=，c c =，0c ≥
所以可以得到0a <，0b <，0c >；
()()()b a b c b a c b a b c b a c b -+--+-=-++----=．
题型四 含绝对值符号的函数
1．绝对值代数意义：正数绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零 2．绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 3．两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 【例27】 解不等式 431>-+-x x
【分析】本题主要运用绝对值的几何意义，
a x -为数轴上表示x 的点到点a 的距离，所以31-+-x x 表
示x 到1和3的距离之和要大于4，求x 的取值范围，我们运用数轴去解题．
【法一】由01=-x ，得1=x
；由30x -=，得3x =；
①若1<x ，不等式可变为()()431>----
x x ，
即442>+-x ，解得0<x ，又1<x ，∴0<x ； ②若12x ≤
<，不等式可变为(1)(3)4x x --->，
即41>。

∴不存在满足条件的x ； ③若3≥x ，不等式可变为()()431>-+-x x ，
即442>-x ， 解得4>x ．
又3≥x ， ∴4>x
．
综上所述，原不等式的解为 0<x ，或4>x ．
【法二】如图，
1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|PA|，
即|PA|＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB|，即|PB|＝|x －3|． 所以，不等式431>-+-x x 的几何意义即为4>+PB PA ．
由
2=AB ，可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧．
所以 0<x ，或4>x
．
【变28】 解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤>-+-2
10
2642x x x
【分析】对于不等式组的解集，是把每个不等式求出解的范围，然后再求公共部分，对于每个不等式的求解，仍然按照之前所学的方法，这里我们运用图象更为简单．
1
0 C x
|x －1|
|x －3|
【解析】原不等式组可化为⎩
⎨⎧≤≤->-+-2210
3222x x x
∴⎩⎨⎧≤≤->-+-2
25
32x x x ∴原不等式组的解集为 02<≤-x ．
单重绝对值方程
【例28】 不解方程直接判断方程⑴2430x -+=；⑵32x x +=-；⑶33x x -=-；⑷
20x x -+=无解的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【解析】 根据绝对值的非负性可知：选B 【例29】 解方程：235x +=
【解析】 根据绝对值的意义，原方程可化为235x +=或者235x +=-，解得1x =或4x =- 【变29】 解方程
11
21
12
3x x +--+-=
【解析】 原方程整理得：1315x +=，即1315x +=或者13
15
x +=-，
所以原方程的解为85x =
或者185
x =- 【变30】 解方程216x x -++=
【解析】 本题应当分为三种情况来讨论：
⑴当2010x x -<⎧⎨+<⎩，即1x <-时，原方程化为216x x -+--=，解得5
2x =-
⑵当20
10
x x -⎧⎨+⎩≤≥，即12x -≤≤时，原方程化为216x x -+++=，无解
0 1 2 3 4
5
x
-1
-2
⑶当2010
x x ->⎧⎨+>⎩，即2x >时，原方程化为216x x -++=，解得72x =
【例30】 解方程25380x y x y --+++=
【解析】 因为任何数的绝对值都不小于零，所以当两数的绝对值之和为零时，只能这两个数都等
于零，这样可以得250380x y x y --=⎧⎨++=⎩，由此解得1
3x y =⎧⎨=-⎩
【例31】 已知x y y x -=-，且3x =，4y =，求()3
x y +的值. 【解析】 x y y x -=-，0x y -≤且3x =±，4y =±，
当3x =，4y =，0x y -≤，所以()3
37343x y +==； 当3x =，4y =-，0x y ->，不满足题意； 当3x =-，4y =，0x y -≤，所以()3311x y +==； 当3x =-，4y =-，0x y ->，不满足题意
【变31】 方程9
3352
x x x ++-=
+的解是 ． 【解析】 对x 的值分4段讨论
⑴ 若3x <-则原方程化为9
3352x x x --+-=-+，解得：2x =与3x <-，矛盾；
⑵ 若30x -<≤则原方程化为93352x x x ++-=-+，解得：2
9x =-；
⑶ 若03x <≤则原方程化为93352x x x ++-=+，解得：29
x =； ⑷ 若3x ≥则原方程化为9
3352
x x x ++-=
+，解得：2x =-与3x ≥矛盾；综上所述可得方程的解为2
9x =±
【变32】 已知12x -=，3y =，且x 与y 互为相反数，求21
43x xy y --的值．
【解析】 12x -=，12x -=±，3,1x =-；3y =，3y =± ，且x 与y 互为相反数，
所以3x =，3y =-，21
4243
x xy y --=．
【例32】 若已知a 与b 互为相反数，且4a b -=，求
21
a a
b b
a a
b -+++的值.
【解析】 a 与b 互为相反数，那么0a b +=.201()101a ab b a b ab ab
ab a ab a a b a -++--===-++++⨯+，4a b -=，
4a b -=±，
当4a b -=时，且0a b +=，那么2,2a b ==-，4ab -=-； 当4a b -=-时，且0a b +=，那么2,2a b =-=，4ab -=-；
综上可得
2
41
a a
b b
a a
b -+=-++. 【变33】 如果10x x y ++=，12y x y +-=，那么x y +=（ ）
A ．-2 B. 2 C.
185 D. 22
5
【解析】 讨论x 的符号：若x 0,≤则由第一个方程的10,y =代入到第二个方程x =12显然是矛盾
的，从而x 0,>同样的方法可以讨论,y 确定y 的符号。

能可到x y +=
18
5
题型五 多重绝对值方程
【例33】 解方程：11110x ----=．
【解析】 从外到内逐渐去掉绝对值.1111x ---=，所以1111x ---=±，
所以有：112x --=±或者110x --=，进而可得：13x -=或者11x -=， 当13x -=时有，13x -=±，即4x =或者2x =-； 当11x -=时有，11x -=±，即0x =或者2x =．
【巩固】 当01x ≤≤时，求方程1110x ---=的解
【解析】 根据x 范围，可得0x ≥，10x -≤，因此11x x x x =-=-，，按从内到外的顺序逐个
去除方程中的绝对值符号，原方程可顺次化为：1110x ---=，即10x -=，所以1x =
【变34】 求方程314x x -+=的解.
【解析】 解法一：13103x x +==-，；310x x -+=，12x =-，14
-，这3个零点将数轴分4段，
我们分段讨论研究可以得到结果为：32x =
或5
4
x =-，但这么做没必要.我们来看看法2．
解法二：⑴ 当13x ≤-时，方程可化为：414x +=-，54
x =-， 在13
x -≤范围内，是方程的解． ⑵ 当13
x >-时，方程可化为214x --=， 当214x --=时，得52x =-，5123-<-，52
x =-不是解，舍去； 当214x --=-时，得32x =，∵3123>-，∴32
x =是方程的一个解． 综上可得，原方程的解为32x =或54x =-． 【例34】 解方程：2121x x -+=+
【解析】 先将内层的绝对值符号去掉，再对外层的绝对值进行研究.
当2x <时，原方程可化为：321x x -=+，进而可得：321x x -=+，23x =
在2x <的范围内，所以是原方程的解；
当2x ≥时，原方程可化为：121x x -=+，进而可得：121x x -=+，2x =-不在2x ≥的范围内，所以不是原方程的解； 综上可得原方程的解为23
x =
【变35】 解绝对值方程：35162x x ---= 【解析】 35162x x ---=或6-，即3572x x -=-或3552
x x -=+ 当70x -≥时（即7x ≥），
3502x ->，3572x x -=-化为3572x x -=-， 解得9x =-．
当50x +≥时（5x -≥），若还有
3502x ->（即53x ≥），3552x x -=+， 解得15x =．
当50x +≥时（5x -≥），若还有
3502x -<（即5<3x ），3552
x x -=--， 解得1x =-． 再来检验这三个解9x =-（舍去）、15x =、1x =-
题型六 含有字母参数的绝对值方程
【例35】 若21x a --=有三个整数解，求a 的值．
【解析】 显然0a ≥，则21x a --=±，21x a -=±．
当1a <时，21x a -=+或者21x a -=-，方程有四个解：3131a a a a +--+，，，； 当1a >时，21x a -=+，方程有两个解：3a +，1a -；
当1a =时，22x -=或20x -=，方程有三个解：4，0，2．
综上所得，当1a =时，原方程有三个整数解．
【例36】 已知方程1x ax =+有一个负根而没有正根,求a 的取值范围。

【解析】 当0x <时;1x ax -=+; 101x a -=
<+(1a ≠-);即1a >-； 当0x >时;1x ax =+；11x a =
-(1a ≠),1a <;反过来即1a ≥。

【变36】 求关于x 的方程
1232x a --=的解 【解析】 原方程化为1232
x a -=+，需根据a 的取值范围进行分类讨论： 当3a <-时，原方程无解 当3a =-时，方程可化为
1202x -=，解得4x = 当3a >-时，方程化为1232x a -=+或1232
x a -=--，解得210x a =+或22x a =--
【变37】 已知关于x 的方程32kx x =+有一个正数解，求k 的取值范围
【解析】 当0x >时，方程可化为32kx x =+，即()23k x -=，根据题意，此时方程有一个正数
解，故可以得到20k ->，即2k > 形如y =f(x )的含绝对值符号函数 对于函数)(x f y =，当自变量x 取值互为相反数时，所得到的函数值相等，即)()(x f x f -=，因此函数)(x f =图像就是函数)(x f y =（x ≥0）的图像与)0)((<-=x x f y 的图像的全部，并且函数)(x f 的图像关于y 轴对称。

【例37】 作函数34
12--=x x y 的图像
【解析】 因为222x x x ==，所以3412--=x x y 是)(x f y =类型的函数 （1）作出当x ≥0时，3412--=
x x y 的图像，这是一个开口向上的抛物线在y 轴右边 的部分。

由034
12=--x x 可以得知，抛物线与x 轴的交点为（2-，0）和（6，0），与y 轴的交点为（0，－3）.抛物线的顶点坐标为（2，－4），如图26.7.2所示，曲线ABC 就是当x ≥0时，34
12--=x x y 的图像； （2）以y 轴为对称轴，作曲线ABC 的对称图形''C AB ；
（3）图中的曲线ABC B C ''即为34
12--=
x x y 的图像 由此，我们可以发现：
画函数)(x f y =的图像的一般步骤：
①先作出)0)((>=x x f y 的图像；
②将)0)((>=x x f y 的图像沿y 轴翻折到y 轴左侧，就得到了函数)(x f y =的图像
【例38】 已知方程1+=ax x ，有一个负根且无一正根，求a 的取值范围
【解析】 原方程即ax x =-1，如图，在同一坐标系作函数1-=x y 与ax y =的图像
1-=x y 是尖点（0，－1）的“V ”字形折线，而ax y =是过原点斜率为a 的直线，如 图虚线OA 是ax y =的一个极根位置，y 轴是它的另一根限位置，易见当1≥a （即直线 OA 的向上的方向与x 轴正方向的夹角不小于︒45）时，OA 与1-=x y 的图像交点位于 第三象限，即方程ax x =-1有一个负根且没有正根。

所以a 的范围应该是不小于1的实数
此题的一般解法是设0<x ，则原方程可化为1)1(-=+x a
当1-≠a 时，011<+-=a x ，解得1->a ，即当1->a 时原方程有负根。

令0>x ，则原方程可化为1)1(-=-x a
当1≠a 时，01
1>--=a x ，解得1<a ，即当1<a 时原方程有正根。

因为方程有负根而无正根，故综上得出1≥a 【点评】在用第二种方法解题时常常会得到答案是1->a ，那是因为忽略了要扣除有正根的情
况。

这里应注意的逻辑关系是：有负根，不一定没有正根，而原题要求的是“只有一个 负根，而无正根”，因此应考虑排除掉有负根且同时有正根的情况。

抽象的分析、讨论，不如图解法直观。

图中清楚表明，当1->a 时，直线OA 除了程“V ” 字的左半支有交点外，还和右半支有交点，因而不仅有负根，还有一个正根。

【变38】 讨论方程m x x =+-222（m 为实数）的解的个数与m 的关系。

【解析】 画出222+-x x 图像，如图，于是得当2>m 或1=m 时，原方程有两个实数解；
当m =2时，原方程有三个实数解；
当m 1<时，原方程无实数解；
当21<<m 时，原方程有四个实数解
题型七 形如y =f(x)的含绝对值符号函数
对于函数)(x f y =图像是函数)0)()((≥=x f x f y 的图像与)0)()((<-=x f x f y 的图像全部
【例39】 作函数562+-=x x y 的图像
【解析】 （1）作函数562+-=x x y 的图像，该图像是一条顶点为（3，－4），与x 轴交点分别
为（1，0）和（5，0）且开口向上的抛物线，如图抛物线DE ABC '；（2）以x 轴为对
称轴，作曲线D BC '的对称图形BCD ；（3）图中曲线ABCDE 即为562+-=x x y 图像 【点评】画函数)(x f y =的图像的一般步骤：
①先作出)(x f y =的图像；
②若)(x f y =图像不位于x 轴下方，则函数)(x f y =的图像就是函数)(x f y =的图像； ③若函数)(x f y =的图像位于x 轴下方的，则可把x 轴下方的图像沿x 轴翻转︒180至x 轴上就得方，到了函数)(x f y =的图像
【变39】 用函数图像的方法解不等式1053>-x 【解析】 作出53-=x y 和10=y 的图像如图，设图像交于P 、Q
解方程1053=-x ，得35-=x 或5，即3
5-=p x ，5=p x 由图像得原不等式的解集是53
5>-<x x 或
【变40】 已知10<<k ，试确定关于x 的方程k kx x +=-21的解的个数 【解析】 如图，先画出函数21x y -=，即12-=x y 的图像，再画出直线)10(<<+=k b kx y ，
该直线经过顶点（－1，0），且在y 轴上截距满足10<<k ，由图像可知，直线)10(<<+=k k kx y 与函数12-=x y 图像的公共点有3个因此原方程有3个解。

题型八 含多绝对值符号的函数图像
【例40】 作出函数
21-+-=x x y 的图像 【解析】
根据绝对值的定义，11=x 和22=x 将已知函数的定义域划分为三个部分，在这三个部
分，已知函数分别表示为⎪⎩
⎪⎨⎧≥-<≤<-=232211123x x x x x y ，，，，在三个区间上分别作已知函数的图像，如图中的折线ABCD 即为已知函数21-+-=x x y 的图像
【变41】 求由方程111=-+-y x 确定的曲线所围成的图形的面积
【解析】 由原方程，得110≤-≤x ，110≤-≤y ，解得0≤x ≤2,0≤y ≤2
当⎩⎨⎧≤≤≤≤1010y x 时，有1=+y x ； 当⎩
⎨⎧≤<≤≤2110y x 时，有1-=-y x ； 当⎩⎨⎧≤≤≤<1021y x 时，有1=-y x ； 当⎩
⎨⎧≤<≤<2121y x ，有3=+y x
如图，这四条线段围成一个边长为2的正方形，其面积为2
【变42】 求使方程c x x x =-+---3221恰好有两个解的所有实数c
【分析】本题要求对方程c x x x =-+---3221解个数做判断，可以通过求出其根加以判断，
但比较麻烦。

如引入函数3221-+---=x x
x y 及直线c y =,则这两函数图像易画 出，而方程的解个数与此函数图像交点个数相同。

故本例可通过函数图像方法解决。

【解析】 先作出3221-+---=x x x y 的图像
由3221-+---=x x x y ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<≤+-<≤<+-=3
523272213152x x x x x x x ，，，，，可得图像如图所示
从图中可知，当且仅当31<<c 或3>c 时，y =c 的图像与3221-+---=x x x y 有两 个不同的交点，所以所求c 为31<<c 或3>c 。

通过函数的图像，把方程的问题转化为 函数图像的问题，可以“直观”地解决问题。