第章z变换离散时间系统的z域分析

Z[a j0nu(n)] Z[a j0nu(n)]
z z e j0
z z e j0
由 z 变换的定义可知：两序列之和的 z 变换等于各序列 z 变换的和。根据欧拉公式，从上式可以直接得
到余弦序列的 z 变换：
Z[co s(0 n)u(n)]
1 2
z
z e
j0
z
z e
j0
z(z cos0 ) z 2 2z cos0 1
若 n2 0 ，则收敛域包括 z 0 ，即| z | Rx2 。
（4）双边序列 一般写作：
1
X (z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
n
n0
n
该式可以看作是右边序列（第一项）和左边序列（第二项）的叠加。收敛域为两部分收敛域的重叠部分：
Rx1 | z | Rx2 其中 Rx1 0, Rx2 。所以,双边序列的收敛域通常是环形.若 Rx1 Rx2 ，则该序列不收敛。
Z[abnu(n)] z (| z || eb |) z eb
令 b j0 ，则当| z || e j0 | 1时,得：
Z[a
j0 n u (n)]
z
z e j0
同样，令 b j0 ，则得：
将上两式相加，得：
Z[a j0nu(n)]
z z e j0
x(n) 1
0
n
图 8-5 单边余弦序列
z sin 0 2z cos0
2
上面两式就是单边指数衰减 ( 1) 及增幅 ( 1) 的余弦、正弦的 z 变换。收敛域为：| z || | 。一些
典型的单边 z 变换列于附录五。
8。3 z 变换的收敛域
只有当级数收敛时， z 变换才有意义.对于任意给定的有界序列 x(n) ，使 z 变换定义式级数收敛之
z
1
同理：
Z[
n
a
j0nu(n)]
1
1 e
j0
z
1
借助欧拉公式，有上面两式可以得到：
Z[
n
co
s(0
n)u(n)]
1
1 z 1 co 2z 1 cos0
s0
2
z
2
z2
z(z cos0 ) 2z cos0 2
Z[
n
sin
(0
n)u(n)]
1
z 1 sin 0 2z 1 cos0
2
z
2
z2
所有 z 值的集合，称为 z 变换的收敛域(region of convergence，简写为 ROC）。
对于单边变换，序列与变换式一一对应，同时也有唯一的收敛域.而在双边变换时，不同的序列在 不同的收敛域条件下可能映射为同一个变换式.也即：两个不同的序列由于收敛域不同，可能对应于相
同的 z 变换。因此,为了单值的确定 z 变换所对应的序列，不仅要给出序列的 z 变换式，而且必须同时说 明它的收敛域。在收敛域内， z 变换及它的导数是 z 的连续函数，即 z 变换函数是收敛域内每一点上的
z 时，若 n 0 ，则 z n ； z 0 时,若 n 0 ，则 z n . 当 n1, n2 都大于 0 时，收敛域包括 ；
当 n1 0,n2 0 时，收敛域为 z 0 ，即：| z | 0 。
当 n1, n2 都小于 0 时，收敛域包括 0。
（2）右边序列
这类序列是有始无终的序列，即当 n n1 时， x(n) 0 ,此时 z 变换为：
解析函数.
双边 z 变换的表达式满足收敛的充分条件是绝对可积:
| x(n)z n |
n
上式左边构成正项级数,有两种方法判定收敛性：比值判定法和根值判定法。
若一个正项级数为 | an | ,判定其收敛的方法为: n
比值判定: lim an1 a n
n

；根植判定： lim n n
|
an
|
当 1时级数收敛，当 1时级数发散，当 1时无法判定。
于 1.
（二）单位阶越序列 定义为:
如图 8-2 所示。
u (n)
1 0
(n 0) (n 0)
取 z 变换，得到：
Z[u(n)] u(n)z n z n
n0
n0
若| z | 1，该几何级数收敛，它等于
（三）斜变序列 斜变序列为：
如图 8—3 所示。
Z[u(n)] z 1 z 1 1 z 1
n0
n0
n0
如果| z | a ，则该级数收敛,可得到：
X (z) an zn
z
n0
za
其零点位于 z 0 ，极点位于 z a ,收敛域为| z | a 。
再求双边 z 变换：
X (z) x(n)z n [anu(n) bnu(n 1)]z n
n-
n-
1
a n z n bn z n
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个人收集整理 勿做商业用途 第八章 z 变换、离散时间系统的 z 域分析 1—3 节 理解 z 变换及其收敛域，掌握典型序列 z 变换 典型序列 z 变换；z 变换的收敛域 z 变换的收敛域 讲授
教学内容
日期
第八章 z 变换、离散时间系统的 z 域分析
8.1 引言
x(n) L1[ X (z)] 1 X (z)z n1dz
Z[a nu(n)]
1
1 az
1
z za
Z[abnu(n)] z z eb
同样，对单边指数序列变换式两边对 z 1 求导，可以求得：
Z[nanu(n)]
az1 (1 az1)2
az (z a)2
Z[n2anu(n)] az(z a) (z a)3
（五）正余弦序列
单边余弦序列 cos(0n) 如图 8-5 所示.因为：
下面借助抽样信号的拉氏变换引出其定义。
若连续因果信号 x(t) 经均匀冲激抽样,则抽样信号 xs (t) 为:
取拉氏变换：
xs (t) x(t)T (t) x(nT) (t nT) n0
X s (s)
x(t)est dt
0
[
0
x(nT) (t nT)]est dt
n0
x(nT) (t nT)est dt 0 n0
x(n T )e snT
(t nT)dt
0
n0
x(nT)esnT
n0
令： z esT 或写作 s 1 ln z ，且一般令T 1 则： T
上式即为单边 z 变换。记为：
X (z) x(nT)z n x(n)z n
n0
n0
z es
（8-1)
X (z) L[x(n)] x(n)zn x(0) x(1) x(2)
进行变量代换可得：
由根植判定法，该级数收敛应满足
X (z) x(n)zn nn2
lim n | x(n)zn | 1
n
即:
|
z
|
lim n
1 | x(n) |
Rx 2
n
其中， Rx2 是级数的收敛半径。可见，右边序列的收敛域是半径为 Rx2 的圆内部分。
若 n2 0 ，则收敛域不包括 z 0 ，即 0 | z | Rx2 ；
以上可以看到，收敛域取决于序列的形式。P52 表 8—1 列出了几类双边变换的收敛域。
［例 8—1] 求序列 x(n) anu(n) bnu(n 1) 的 z 变换，并确定它的收敛域（其中 b a 0 ）.
解:这是一个双边序列。
先求单边 z 变换:
８０
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X (z) x(n)z n [anu(n) bnu(n 1)]z n an z n
备 注
８１
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日期
8.4 逆 z 变换
若 X (z) L[x(n)]，则 X (z) 的逆变换记作 L1[X (z)]，它由以下围线积分给出:
７９
由根植判定法,该级数收敛应满足
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X (z) x(n)z n nn1
即：
lim n | x(n)zn | 1
n
|
z
|
lim
n
n
|
x(n)
|
Rx1
其中， Rx1 是级数的收敛半径。可见，右边序列的收敛域是半径为 Rx1 的圆外部分。
若 n1 0 ,则收敛域包括 z ，即| z | Rx1 ;
(四）指数序列 单边指数序列：
如图 8-4。
Z[n3u(n)] z(z 2 4z 1) (z 1)4
x(n) anu(n)
取 z 变换，得到：
Z[anu(n)] an z n (az1 )n
n0
n0
若满足：| z || a | ，则可收敛为：
x(n) 1
0
n
图 8-4 单边指数序列
若令 a eb ，当| z || eb |时,则：
n0
zz
8.2 z 变换定义、典型序列 z 变换
(8—2)
与拉氏变换类似， z 变换也有单边和双边之分，对于一切 n 只都有定义的序列 x(n) ,定义双边 z 变
换为：
X (z) L[x(n)] x(n)z n n
显然,如果 x(n) 为因果序列，则双边和单边是等同的.
上面两式表明，序列的 z 变换是复变量 z 1 的幂级数（亦称洛朗级数)，其系数是序列 x(n) 值。有 些文献当中也把 X (z) 称为序列 x(n) 的生成函数。由于离散时间系统非因果序列也有一定的应用范围，
n0
n
0
an z n 1 bn z n
n0
n
若| z | a 且| z | b ,则该级数收敛,可得到：
X (z) z 1 b z z za zb za zb
其零点位于 z 0 及 z (a b) / 2 ，极点位于 z a 及 z b ，收敛域为 b | z | a 。
注： z 变换 X (z) 在收敛域内是解析的，因此收敛域内不应该包含任何极点。通常，收敛域以极点 为边界。对于多个极点的情况，右边序列的收敛域是从 X (z) 最外面（最大值）有限极点向外延伸至 z （可能包括 ）；左边序列的收敛域是从 X (z) 最里面(最小值）非零极点向内延伸至 z 0 （可 能包括 z 0 ）。
利用上述判定方法讨论几类序列的收敛域。
（1)有限长序列
这类序列只在有限区间（ n1 n n2）内有非零的有限值，此时 z 变换为:
n2
X (z) x(n)z n
nn1
上式是一个有限项级数.
当 n1 0,n2 0 时，收敛域为 z 且 z 0 ，即: 0 | z | ; 当 n1 0,n2 0 时，收敛域为 z ，即：| z | ；
同理可得正弦序列 z 变换：
Z[sin(0n)u(n)]
1 z 2 j z e j0
z
z e
j0
z2
z sin 0 2z cos0
1
以上两式得收敛域都为:| z | 1 。
７８
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在指数序列的变换式中，令 a e j0 ,则有：
Z[
n
a
j0nu(n)]
1
1 e j0
７６
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因此在着重介绍单边 z 变换的同时兼顾双边 z 变换分析。 下面介绍一些典型序列的 z 变换.
（一）单位样值函数
定义为：
如图 8—1 所示.
(n)
1 0
(n 0) (n 0)
取 z 变换,得到：
Z[ (n)] (n)z n 1 n0
可见，与连续系统单位冲激函数的拉氏变换类似，单位样值函数的 z 变换等
x(n) nu(n)
取 z 变换,得到：
Z[x(n)] nzn n0
该变换可以用下面的方法间接求得。
已知，当 |
z
| 1时有： Z[u(n)]
n0
z n
1 1 z 1
将上式两边分别对 z 1 求导,得到：
n(z 1 )n1
1
n0
(1 z 1 )2
两边各乘 z 1 ，就可得到斜变序列的 z 变换：
若 n1 0 ，则收敛域不包括 z ,即 Rx1 | z | 。
显然，当 n1 0 时,右边序列变成因果序列，也就是说,因果序列是右边序列的一种特殊情况。
(3）左边序列
这类序列是无始有终的序列，即当 n n2 时, x(n) 0 ，此时 z 变换为：
n2
X (z) x(n)zn n
z 变换方法的原理可以追溯到 18 世纪。棣莫弗（De Moivre）、拉普拉斯（palce）相继作出过
杰出的贡献.
在离散信号与系统的理论中， z 变换成为一种重要的数学工具.它把离散系统的数学模型—-差分方
程转化为简单的代数方程，使其求解过程得以简化。因此，其地位类似于连续系统中的拉氏变换。
Z[nu(n)] nzn
z
n0
(z 1)2
同样，若对上式再对 z 1 求导，可以得到：
(| z | 1)
Z[n 2 u(n)]
z(z 1) (z 1)3
(n) 1
0n
图 8-1 单位样值函数
u(n) 1
0
n
图 8-2 单位阶越序列
x(n)
0
n
图 8-3 斜变序列
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