新华师大版九年级数学上册《直角三角形的性质》学案

新华师大版九年级数学上册《直角三角形的性质》学案
1．直角三角形的两个锐角__互余__．
2．直角三角形两直角边的平方和等于__斜边的平方__．(勾股定理)
3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的__一半__．
4．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的__一半__．
知识点1：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
1．(2014·泉州)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB的中点，AB＝10 cm，则CD的长为__5__cm.
,第1题图),第3题图) 2．直角三角形斜边上的高与中线分别是5 cm和6 cm，则它的面积是__30_cm2__．3．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，点M是AD的中点，若AB＝5，AD ＝12，则四边形ABOM的周长是__20__．
4．(2014·毕节)如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于( A )
A．3.5B．4C．7D．14
5．如图，△ABC中，点D为AB的中点，点E在AC上，且BE⊥AC.若DE＝10，AE ＝16，则BE的长度为( C )
A．10 B．11
C．12 D．13
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B>∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F，求证：DE＝EF.
解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，∴DC＝DA.∵DE∥BC，∴AE＝CE，∠A＝∠FCE.又∵∠AED＝∠CEF，∴△AED≌△CEF(ASA)．∴DE＝EF
知识点2：含30°角的直角三角形的性质
7．(2014·邵阳)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB的中点，DE⊥AC于点E，∠A＝30°，AB＝8，则DE的长度是__2__．
,第7题图),第8题图)
8．如图，△ABC是等边三角形，AD∥BC，CD⊥AD，若AD＝2 cm，则△ABC的周长为__12_cm__．
9．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B＝30°，AD＝2 cm，则AB的长度是( C ) A．2 cm B．4 cm C．8 cm D．16 cm
10．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是( D )
A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7
11．如图，是一个直角三角形房梁，BC⊥AC，∠BAC＝30°，AB＝10 m，CB1⊥AB，B1C1⊥AC1，垂足分别是B1，C1，那么B1C1的长是多少？
解：∵BC⊥AC，∠A＝30°，AB＝10 m，∴BC＝5 m，∵CB1⊥AB，∠B＝90°－∠A ＝60°，∴∠BCB1＝90°－∠B＝30°，∴BB1＝2.5 m，∴AB1＝AB－BB1＝7.5 m，∵B1C1⊥AC，∠B1AC1＝30°，∴B1C1＝3.75 m
12．(2014·泰安)如图，∠ACB ＝90°，点D 为AB 的中点，连接DC 并延长到点E ，使CE ＝13
CD ，过点B 作BF ∥DE ，与AE 的延长线交于点F.若AB ＝6，则BF 的长为( C ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．10
,第12题图) ,第13题图)
13．(2014·张家界)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝60°，DE 是斜边AC 的中垂线，分别交AB ，AC 于点D ，E.若BD ＝2，则AC 的长是( B )
A ．4
B ．4 3
C ．8
D ．8 3
14．(2014·十堰)如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ⊥BC ，垂足为点E ，连接AC 交DE 于点F ，点G 为AF 的中点，∠ACD ＝2∠ACB.若DG ＝3，EC ＝1，则DE 的长为( C )
A ．2 3 B.10 C ．2 2 D. 6
点拨：证∠DGC ＝∠DCG ，得DG ＝DC
,第14题图) ,第15题图)
15．如图，“人字形屋梁”中，AB ＝AC ，点E ，F ，D 分别是AB ，AC ，BC 的中点，若AB ＝6 m ，∠B ＝30°，则支撑人字形屋梁的木料DE ，AD ，DF 共有__9__米．
16．如图，Rt △ABC 中，CD ，CE 分别是斜边AB 上的高和中线，如果∠A ＝30°，BD ＝1 cm ，那么∠BCD ＝__30°__，BC ＝__2__cm ，AD ＝__3__cm.
17．(2014·温州)如图，在等边三角形ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，DE ∥AB ，过点E 作EF ⊥DE ，交BC 的延长线于点F.
(1)求∠F 的度数；
(2)若CD ＝2，求DF 的长．
解：(1)∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝60°，∵DE ∥AB ，∴∠EDC ＝∠B ＝60°，∵EF ⊥DE ，∴∠DEF ＝90°，∴∠F ＝90°－∠EDC ＝30° (2)∵∠ACB ＝60°，∠EDC ＝60°，∴△EDC 是等边三角形，∴ED ＝DC ＝2，∵∠DEF ＝90°，∠F ＝30°，∴DF ＝
2DE ＝4
18．如图，锐角△ABC 中，BE ，CF 是高，点M ，N 分别为BC ，EF 的中点，求证：MN ⊥EF .
解：连接MF ，ME ，∵MF ，ME 分别为Rt △FBC 和Rt △EBC 斜边上的中线，∴MF
＝ME ＝12
BC.∵在△MEF 中，MF ＝ME ，点N 是EF 的中点，∴MN ⊥EF
19．如图，∠AOB ＝30°，OC 平分∠AOB ，点P 为OC 上的一点，PD ∥OA 交OB 于点D ，PE ⊥OA 于点E ，若OD ＝4 cm ，求PE 的长．
解：过点P 作PF ⊥OB ，∵∠AOB ＝30°，PD ∥OA ，∴∠FDP ＝∠AOB ＝30°，∠DPO ＝∠AOC ，∵OP 平分∠AOB ，∴∠DOC ＝∠AOC ，PE ＝PF ，∴∠DPO ＝∠DOC ，
∴DP ＝OD ＝4 cm ，∵∠FDP ＝∠DPO ＋∠DOC ＝2∠DOC ＝30°，∴PF ＝12
DP ＝2 cm.∴PE ＝2 cm
20．如图，等边△ABC 中，AE ＝CD ，AD ，BE 相交于点P ，BQ ⊥AD 于点Q .
(1)求证：BP ＝2PQ ；
(2)若PE ＝1，PQ ＝3，试求AD 的长．
解：(1)∵△ABC 为等边三角形，∴∠C ＝∠BAC ＝60°，AB ＝AC ，又AE ＝CD ，∴△ABE ≌△CAD (SAS )，∴∠ABE ＝∠CAD ，∵∠BAD ＋∠CAD ＝60°，则∠ABE ＋∠BAD ＝60°，∵∠BPQ 是△ABP 的外角，∴∠ABP ＋∠BAP ＝60°＝∠BPQ ，又∵BQ ⊥AD ，∴∠PBQ ＝30°，∴BP ＝2PQ (2)∵BP ＝2PQ ，PQ ＝3，∴BP ＝6，∵PE ＝1，∴BE ＝7，
∵△ABE≌△CAD，∴AD＝BE＝7。