上海市长宁区、嘉定区2015届高三下学期第二次质量调研(二模)数学(文)试题 含解析

2014学年上海长宁区、嘉定区高三年级第二次质量调研
数学试卷（文)
一、填空题(本大题有14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分,否则一律得零分． 1。

已知集合},2||{R ∈≤=x x x A ，},01{2R ∈≥-=x x x B ，则=B A ________．
【答案】12{-≤≤-x x 或}21≤≤x 【解析】 试题分析： 因为{||2,}={|22}A x
x x x x =≤∈-≤≤R ，2{10,}{|11}B x x x x x x =-≥∈=≤-≥R 或，所以
=B A 12{-≤≤-x x 或}21≤≤x .
考点：集合的运算. 2.抛物线2
8x
y =的焦点到准线的距离是______________．
【答案】4 【解析】
试题分析：抛物线2
8x y =的焦点是()0,2 ,准线方程是2y =-，所以焦点到
准线的距离是4。

考点：抛物线性质.
3.若(1i)i 2i a b +=-，其中a 、b R ∈，i 是虚数单位，则|i |a b +=_________． 【答案】5
【解析】
试题分析：由(1i)i 2i a b +=-得2a =-，
1b =- ,所以()()2
2
|i ||12i|=125a b +=---+-=。

考点：复数相等、复数的模。

4。

已知函数x
x g 2)(=，若0>a ，0>b 且2)()(=b g a g ，则ab 的取值范围是
_______．
【答案】⎥⎦
⎤
⎝
⎛41,0
【解析】
试题分析：由()()1
222124
a b
a b g a g b a b ab ++⎛⎫=⇒=⇒+=⇒≤= ⎪⎝⎭ ,又,0>a ,0>b ，所
以104
ab <≤。

考点：1。

指数运算；2。

基本不等式。

5.设等差数列{}n
a 满足115
=a
，312-=a ，{}n a 的前n 项和n S 的最大值为M ,则
lg M
=__________．
【答案】2 【解析】 试题分析:由115
=a ,312-=a 得公差311
2125
d --=
=--，所以()()1152212,n a n n =+--=- 故()()()2
2119220101001002
n
n n S
n n n n -=+
-=-+=--+≤，所以100M =，lg 2M =。

考点:等差数列的通项及前n 项和。

6。

若8822108
...)
(x a x a x a a x a ++++=-(R ∈a ）,且565=a ,则=++++8210...a a a a
_______________． 【答案】256 【解析】 试题分析:由53
5
8C 561a
a a =-=⇒=-，8280128(1)...x a a x a x a x --=++++中取1x =-得()8
0128...2256a a a a ++++=-=.
考点：二项式定理 7。

方程0cos 3sin =+x x 在[0,π]x ∈上的解为_____________．
【答案】2π3x =
【解析】
试题分析:
πsin 3cos 02sin 03x x x ⎛
⎫+=⇒+= ⎪⎝⎭
,因为[0,π]x ∈，所以2π3x = 。

考点：1.三角变换；2特殊角的三角函数值。

8.设变量
y
x ,满足约束条件
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-+≥+-≥,03,01,
0y x y x y 则
y
x z +=2的最大值为
_____________． 【答案】6 【解析】
试题分析：满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≤-+≥+-≥,03,01,
0y x y x y 的可行域是以()1,0A -
、()3,0B 、()
1,2C 为顶点的三角形区域，y x z +=2的最大值为必在顶点处取得,经验证，在点()3,0B 处y x z +=2取得最大值6。

考点：1。

线性规划。

9.若一个正三棱柱的三视图如图所示，
则这个正三棱柱的表面积为__________．
【答案】3824+
【解析】
试题分析：由三视图可知该 正三棱柱的底面是边长为4，高为2，故该正三棱柱的表面积为2
3122+
4224834
⨯⨯⨯=+。

考点:1。

三视图;2。

几何体的表面积.
10。

已知定义在R 上的单调函数)(x f 的图像经过点)2,3(-A 、)2,2(-B ,若函数()f x 的 反函数为)(1
x f
-,则不等式51)(21<+-x f 的解集为
．
主视图
左视图
俯视图
【答案】)2,2(- 【解析】
试题分析：)(x f 的图像经过点)2,3(-A 、)2,2(-B ，则()()32,22,f f -==- 所以()123f -=-，()122f --=,又)(x f 是单调函数且()()32f f ->，所以)(x f 是减函数，故1
()f
x -也是减函数,所以
()()()()1112()153222f x f x f f x f ---+<⇔-<<⇔<<-22x ⇔-<<。

即不等式12()15f x -+<的解集为 )2,2(-
考点：1。

函数单调性；2.反函数;3.不等式.
11.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张。

从中任取3张,要求这3
张卡片不能是同一种颜色。

则不同取法的种数为____________． 【答案】544 【解析】
试题分析：用间接方法,符合条件的取法的种数为：3
316
4C 4C 56016544-=-=.
考点：排列与组合
12.已知函数x a x x x f 2||)(+-=，若0>a ，关于x 的方程9)(=x f 有三个不相等的实
数解,则a 的取值范围是__________．
【答案】⎪⎭
⎫
⎝
⎛29,4
【解析】
试题分析:. 如图在同一坐标系画出y x x a =-与92y x =- 的图像,问题转化为曲线y x x a =-与直线92y x =-有三个交点,当直线92y x =-过(),0a 时
9
2a =
，当直线92y x =-与曲线段y x x a =-()0x a <<相切时4,a = 所以
9
42
a << 。

考点：函数与方程。

13.在平面直角坐标系xOy 中，点列),(11
1
y x
A ,),(222y x A ，…，),(n n n y x A ，…，
满
足⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=+=++,)(21,)(2111n n n n n
n y x y y x x 若)1,1(1A ，则=+++∞
→|)||||(|lim 21n n OA OA OA _______．
【答案】222+
【解析】
试题分析：两式平方相加得()222
21112
n n n n x y x y +++=
+， 即22
1
12n n OA
OA +=
，所以1n n OA +=，因此{}n
OA
是公比为
2
的等比数列,
又1
OA
=,
所以1
2lim(||||||)n n OA OA
OA →∞
++
+
22
=+
考点：等比数列前n 项和极限。

14。

把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，
得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列,得到一个数列
{}n a ，若2015=n a ，则n =________．
【答案】1030 【解析】
试题分析：图乙中第n 行有n 个数,且第n 行最后一个数为2
n ，前n
行共有()
12
n n +个数,由2244201545<<
,可知2015在第45行，第45行第一
个数为2
44
11937+=,又该行的数从小到大构成公差为2的等差数列,因此
20151937
1402
-+= ，所以4445
4010302
n ⨯=+=。

考点：1。

三角形数阵；2。

等差数列.
二．选择题（本大题共有4题,满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15.
在
△
ABC
中，“
2
1sin =
A ”是“
6
π
=
A ”
的……………………………………（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
【答案】B
考点:1.解三角形；2。

充分条件与必要条件
16.已知平面直角坐标系内的两个向量)2,1(=→
a ，
)23,(-=→
m m b ,且平面内的任一向
量→
c 都可以唯一的表示成→
→→+=b a c μλμλ,(为实数)，则实数m 的取值范
围是（ ）
A ．(,2)-∞
B ．(2,)+∞
C ．(,)-∞+∞
D ．(,2)(2,)-∞+∞
【答案】D 【解析】
试题分析：平面内的任一向量→
c 都可以唯一的表示成→
→→+=b a c μλμλ,(为
实数)的充要条件是)2,1(=→
a ，)23,(-=→
m m b 不共线，即
()132202m m m ⨯--⨯≠⇒≠,故选D 。

考点：平面向量的基底及向量共线
17。

设双曲线122
22=-b
y a x （0>a ，0>b ）的虚轴长为2,焦距为32，则双曲
线的渐
近线方程
为…………………………………………………………………………
…（ ）
A ．x y 2±
=
B ．x y 2±=
C ．x y 2
2
±
= D ．x y 2
1±=
【答案】C 【解析】
试题分析：由题意可得
1,b c ==
,所以a =
2
b y x x a =±
=± ，故选C.
考点：双曲线的几何性质.
18.在四棱锥ABCD V -中,1
B ，1
D 分别为侧棱VB ,VD 的中点,则四面体1
1
CD
AB 的体积与四棱锥
ABCD
V -的体积之比
为……………………………………………（ ) A ．6:1 B ．5:1
C ．4:1
D ．3:1
【答案】C 【解析】
试题分析：由题意可得1
BB 平面1
ACD ，
所以11
1111111
24
A B CD B ACD B ACD D ABC D ABCD V ABCD V
V V V V V ------=====，故选
C 。

考点：等积法求棱锥的体积
三、解答题(本大题共有5题,满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19。

（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分,第2小题满分6分．
在△ABC 中，已知12cos 2
sin 22
=++C B
A ,外接圆半径2=R ． (1）求角C 的大小；
（2)若角π6
A =，求△ABC 面积的大小。

【答案】(1）π
3
；（2）
考点：1。

诱导公式及三角变换；2.解三角形.
20.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，四棱锥ABCD
P-的底面ABCD为菱形,⊥
=AD
PD，
PD平面ABCD,2=
∠60
BAD，E、F分别为BC、PA的中点．
︒
=
(1）求证：⊥
ED平面PAD；
(2）求三棱锥DEF
P-的体积．
【答案】(1)见试题解析；（2 【解析】(1)要证明⊥DE 平面PAD ，可证明AD DE ⊥，DE PD ⊥;（2）由
122121212=⨯⨯==
∆∆PDA PDF S S 及3=DE 可得3
3313131=⨯⨯=⋅==∆--DE S V V PDF PDF E DEF P . 试题分析：
试题解析：(1)连结BD ,由已知得△ABD 与△BCD 都是正三角形， 所以,2=BD ,BC DE ⊥， ………………（1分） 因为AD ∥BC ，所以AD DE ⊥，……………(2分） 又⊥PD 平面ABCD ,所以DE PD ⊥，……（4分） 因为D PD AD = ，所以⊥DE 平面PAD ．…（6分） 因为122
1
21212=⨯⨯==
∆∆PDA PDF
S S
，……（2分）
且3=DE ， …………………………(4分）
所以,3
3
313131=
⨯⨯=⋅==∆--DE S V V
PDF PDF E DEF
P ． 考点:1。

线面垂直的证明;2三棱锥的体积。

21。

（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分5分，第2小题满分9分．
某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数
)
(x f 与时刻
x
(时）的关系为
4321)(2++-+=
a a x x x f ,)24,0[∈x ，其中a 是与气象有关的参数,且⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈21,0a ．若用每天)(x f 的最大值为当天的综合污染指数，并记作)(a M ．
（1)令12
+=x x t ，)24,0[∈x ，求t 的取值范围；
(2）求)(a M 的表达式,并规定当2)(≤a M 时为综合污染指数不超标,求当a
在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．
【答案】(1)⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0；（2)⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≤<+≤≤+=.
2141,433,4
10,45)(a a a a a M ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈125,0a 。

【解析】
试题分析:(1)当0=x 时,0=t ,当240<<x 时,由0212
>≥+x x
,可得2
1
102≤+<
x x ，所以t 的取值范围是⎥
⎦
⎤
⎢⎣
⎡21,0;（2）先得出432||)()(++-==a a t t g x f ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
≤<++≤≤+-=,21
,43,0,433t a a t a t t a ，再根据)(t g 在[]a t ,0∈时是关于t 的减函数,在⎥⎦
⎤
⎝
⎛∈21,a t 时是增函数,可得
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
≤<+≤≤+=.
2141,433,4
10,45)(a a a a a M ,再由2)(≤a M ，解得1250≤≤a 。

试题解析：（1）当0=x 时，0=t ； ………………（2分） 当240<<x 时,因为0212
>≥+x x ,所以2
1
102
≤+<
x x ， ……………………（4
分)
即t 的取值范围是⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡21,0．
……………………………………（5分） （2）当⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∈21,0a 时，由(1），令1
2
+=x x t ，则⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡∈21,0t , …………（1分） 所以
432||)()(++-==a a t t g x f ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
≤<++≤≤+-=,21
,43,0,433t a a t a t t a ………………（3分)
于是，)(t g 在[]a t ,0∈时是关于t 的减函数,在⎥⎦
⎤
⎝
⎛∈21,a t 时是增函数，
因为4
33)0(+=a g ,4
521+=⎪⎭
⎫ ⎝⎛a g ，由2
1221)0(-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-a g g ，
所以，当4
10≤≤a 时,4
521)(+=⎪⎭
⎫
⎝⎛=a g a M ;
当2141≤<a 时，4
3
3)0()(+==a g a M ， 即⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
≤<+≤≤+=.2141,433,410,45)(a a a a a M
………………………………（6分）
由2)(≤a M ,解得125
0≤≤a ． ………………………………（8分）
所以，当⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈125,
0a 时,综合污染指数不超标． …………………………
（9分)
考点：1.函数应用题；2.函数最值
22。

（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分6分．
已知椭圆1:22
22=+b
y a x C （0>>b a ）的焦距为2，且椭圆C 的短轴的一个
端点与左、右焦点1
F 、2
F 构成等边三角形．
（1)求椭圆C 的标准方程；
(2）设M 为椭圆上C 上任意一点,求2
1
MF MF ⋅的最大值与最小值；
(3)试问在x 轴上是否存在一点B ，使得对于椭圆上任意一点P ，P 到B 的距离与P 到直线4=x 的距离之比为定值．若存在,求出点B 的坐标，
若不存在，请说明理由．
【答案】（1）13
42
2=+y x ;（2）最大值为3，最小值为2;（3）存在满足条
件的点B ，B 的坐标为)0,1(。

【解析】
试题分析：(1）由
1=c ，22==c a 可得椭圆的标准方程为13
42
2=+y x ；（2)
通过数量积的坐标运算可得
2
4141312
22
2
2
21+=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+=-+=⋅x x x y x MF MF ,由
402≤≤x ，得21MF MF ⋅的最大值为3,最小值为2;（3）先假设存在点)0,(m B ，
设),(y x P ，P 到B 的距离与P 到直线4=x 的距离之比为定值λ可得
λ=-+-|4|)(22x y m x ，整理得0163)28(412
2222=-++-+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-λλλm x m x 对任意的]2,2[-∈x 都成立，令2222
2
163)28(4
1)(λλλ-++-+⎪⎭
⎫
⎝⎛-=m x m x
x F ，0)0(=F ，0)2(=F ，0)2(=-F ，
解得2
1=λ.
试题解析:（1)已知,1=c ,22==c a , ……………………（2分） 所以3222
=-=c a b
， ……………………………………（3分)
所以椭圆的标准方程为13
42
2=+y x ．
……………………（4分）
（2）
)
0,1(1-F ,
)
0,1(2F ，设
)
,(y x M ,则)
,1(1y x MF ---=，
)
,1(2y x MF --=，
12
221-+=⋅y x MF MF (22≤≤-x ）, ……………………（2分）
因为13422=+y x ，所以，2414131222
2221+=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+=-+=⋅x x x y x MF MF ，…（4分）
由
4
02≤≤x ,得
2
1MF MF ⋅的最大值为
3
,最小值为
2．
…………………………（6分）
（3)假设存在点)0,(m B ，设),(y x P ，P 到B 的距离与P 到直线4=x 的距离之
比
为
定
值
λ
，则有
λ=-+-|
4|)(2
2x y m x ,
………………………………………………（1分)
整理得22222
)4(2-=+-+x m mx y x λ，
……………………………………(2
分）
由
13
42
2=+y x ，得0163)28(412
2222=-++-+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-λλλm x m x 对任意的]2,2[-∈x 都成
立． ………………………………………………………………（3分）
令2222
2
163)28(4
1)(λλλ-++-+⎪⎭
⎫
⎝⎛-=m x m x
x F ,
则由0)0(=F 得06322
=1-+λm ① 由0)2(=F 得044422
=-+-λm m
②
由0)2(=-F ,得0364422
=-++λm m
③
由
①②③解
得
得2
1
=
λ，
1=m ．
…………………………(5分)
所以，存在满足条件的点
B
，
B
的坐标为
)0,1(．
………………………(6分）
考点：1.曲线方程的求法；2。

数量积的最值;3。

定值问题
23.（本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分8分． 已知函数m x
x f +=2
)(，其中R ∈m ．定义数列}{n a 如下：01=a ，)(1n n a f a =+，
*N ∈n ．
（1)当1=m 时,求2
a ，3a ,4
a 的值；
(2)是否存在实数m ,使2
a ，3a ，4
a 构成公差不为0的等差数列？若存在，
请求出实数m 的值;若不存在,请说明理由;
（3）求证:当4
1>m 时，总能找到*
N ∈k ，使得2015>k
a ．
【答案】(1）1，2,5；（2)存在21±=m ，使得2a ,3a ，4a 构成公差不为0的
等差数列；(3）见试题解析.
【解析】
试题分析:（1）当
1=m 时由1)(2+=x x f 可得2a ，3a ，4a 的值分别为
1，2，
5；（2）假设存在实数m ，使2
a ，3
a ，4
a 构成公差不为0的等差数列，
由
3242=+a a a 可得关于m 的不等式：()()
2
2
2
2m m m m m m +=+++,求得1m =-经检验满足题意.（3）由
2
2
1111244n n n
n n a a a m a a m m +⎛
⎫⎛⎫-=+-=-+-≥- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，可得
t
a a n n ≥--1，t
a a
n n ≥---21
，……，t
a a
≥-12
,将上述不等式全部相加可得
t n a n )1(-≥, …………………（5分）
因此要使2015>k
a
成立，只需2015)1(>-t k ，
所以，只要取正整数12015
+>t
k ，就有20152015
)1(=⋅>
-≥t t
t k a k。

试题解析：（1）因为1=m ,故1)(2
+=x x f ， ………………………………
（1分） 因为01
=a
，所以1)0()(12===f a f a ，…………（2
分）
2)1()(23===f a f a , …………（3分)
5)2()(34===f a f a ．
…………（4分）
（2）解法一：假设存在实数m ,使得2
a ,3
a ,4
a 构成公差不为0的等差数列．
则得到2(0)==a f m ,2
3()==+a f m m
m ,()()
2
2
43==++a f a m m m ．…(2
分）
因为2
a ，3
a ,4
a 成等差数列,所以3242=+a a a , …………3分
所以，()()2
222m m m m m m +=+++，化简得()
22210m m m +-=,
解得
0m =（舍）,1m =- …………………………………(5
分）
经检验，此时234,,a a a 的公差不为0， 所以存在
2
1±=m ，使得2
a ，3a ，4
a 构成公差不为0的等差数
列． …………（6分）
方法二：因为2
a ,3a ，4
a 成等差数列,所以3243-=-a a a a ，
即22
2233+-=+-a m a a m a , …………………………………………（2分） 所以()()2232320---=a a a a ，即()()323210-+-=a a a a ．
因为公差
0≠d ，故320-≠a a ,所以3210a a +-=解得1m =- ………（5分）
经检验，此时2
a ,3a ,4
a 的公差不为0．
所以存在
2
1±-=m ，使得
2
a ,
3
a ,
4
a 构成公差不为
的等差数
列． …………（6分）
(3)因为2
2
1111244n n n
n n a a a m a a m m +⎛
⎫⎛⎫-=+-=-+-≥- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，
…………(2分）
又
1
4
m >
，
所
以
令
04
1
≥-
=m t …………………………（3分）
由t a a
n n
≥--1,t a a n n ≥---21，……，t a a ≥-12，
将上述不等式全部相加得
t
n a a n )1(1-≥-，即
t n a n )1(-≥,
…………………（5分）
因此要使2015>k
a
成立，只需2015)1(>-t k ,
所以，只要取正整数12015+>t
k ,就有20152015
)1(=⋅>
-≥t t
t k a k
． 综上，当4
1>m 时，总能找到*
N ∈k ，使得2015>k
a
．
考点：1。

叠加法求通项;2裂项求和;3。

数列中得恒成立问题。