[初中数学]第十八章+平行四边形实验与探究+丰富多彩的正方形+课件+人教版数学八年级下册
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一个大正方形吗？
问题（4）如何拼剪成一个大正方形呢？
A
D
a
E
A
D
A
A
F
a
E
F
b
B
C
G
b
B
C
G
“践”探究新知
实验探究2
你能将两个边长分别为a、b(a＞b)的正方形拼接成
一个大正方形吗？
问题（4）你能找到切割点吗？如何拼剪成一个大正方形呢？
方法一
方法二
“践”探究新知
实验探究2
你能将两个边长分别为a、b(a＞b)的正方形拼接成
∴△AEO≌△BFO
s
s
∴ △AEO= △BFO
s
从而有 四边形EBFO=
s△OBE+ s△BFO
=
s △OBE+ s△AEO
=
s
1
△ABO=
4
s正方形ABCD
“践”探究新知
探究1 正方形的对角线相交于点，点又是正方形
’’’的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，
现将正方形 ’’’绕点旋转.两个正方形重叠部分的
矩以为圆，合矩以为方。"据此可知，当时
善于用矩的商高已知道用相似关系的测量术。
“谈”深化内知
通过这节课的学习，你有什么收获？
布置作业
如果把五个大小相同的正方形拼成如下，你能把它剪切、拼成一个大的正方形（直线
剪切不超过三次）吗？
谢谢
“赏”激趣导入
A
“践”探究新知
实验探究1
请你在图中添加两条直线，将一块正方形分割成面积
相等的四部分，设计出分割方案。
小结：经过对角线的交点，且两条直线互相垂直。
“践”探究新知
探究1 正方形的对角线相交于点，点又是正方形
’’’的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，
现将正方形 ’’’绕点旋转.两个正方形重叠部分的
面积会变吗，为什么？
“践”探究新知
实验探究1
“践”探究新知
实验探究1
（1）当OA1与OB重合，OC1与OC重合时，
重叠部分的面积与一个正方形的面积有何关
系？
S 重叠
1
S 正方形ABCD
4
（2）当OA1⊥ AB于点E，OC1⊥BC于点F时，
问题（1）中的结论会改变吗？
S 重叠
1
S 正方形ABCD
一个大正方形吗？
问题（4）如何拼剪成一个大正方形呢？
A
D
a
E
A
D
A
A
F
a
E
F
b
B
C
G
b
B
C
G
“践”探究新知
实验探究2
你能将两个边长分别为a、b(a＞b)的正方形拼接成
一个大正方形吗？
还有其他的切割拼接方法吗？
a
b
b
方法三
“践”探究新知
实验探究2
你能将两个边长分别为a、b(a＞b)的正方形拼接成
一个大正方形吗？
把它们拼接成一个大正方形吗？你有几种切割方案？
“践”探究新知
实验探究2
你能将两个边长分别为a、b(a＞b)的正方形拼接成
一个大正方形吗？
问题（1）两个正方形的面积和是多少？拼得大正方形面积
是多少？边长又是多少？
a
b
2
两个正方形的面积和：
a +b
拼得大正方形面积：
a 2+ b
剪拼得大正方形边长：
2
2
面积会变吗，为什么？
结论：相互垂直且经过正方形ABCD对角
线的交点，两图形重叠部分的面积始终
等于一个正方形面积的四分之一
“践”探究新知
变式拓展
如果把正方形A'B'C'O改为矩形或直角三角形，结论又会如何？
S重叠
Байду номын сангаас
1
S正方形ABCD
4
结论：相互垂直且经过正方形ABCD对角线的交点，两图形重叠部分的面积始终等
于一个正方形面积的四分之一
“践”探究新知
实验探究2
有两个边长均为的正方形，你能通过切割的方式
把它们拼接成一个大正方形吗？你有几种切割方案？
2
2
两个正方形的面积之和为____
拼成大正方形的面积为_22
2
拼成的大正方形边长为____
“践”探究新知
实验探究2
有两个边长均为的正方形，你能通过切割的方式
方法四
数学文化渗透
商高，为西周初数学家。商高在公元前1000
年发现勾股定理的一个特例:勾三，股四，
弦五。此发现早于毕达哥拉斯定理五百到六
百年。勾股定理是中国数学家的独立发明，
在中国早有记载。
《周髀算经》还记载了矩的用途:"周公曰:大
哉言数!请问用矩之道。商高曰:平矩以正绳，
偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环
a 2 b2
“践”探究新知
实验探究2
你能将两个边长分别为a、b(a＞b)的正方形拼接成
一个大正方形吗？
问题（2）你能找到长度等于
a2 b2 的线段吗？
问题（3）第二条边在哪里？
A
D
a
E
A
D
A
A
F
a
E
F
b
B
C
G
b
B
C
G
“践”探究新知
实验探究2
你能将两个边长分别为a、b(a＞b)的正方形拼接成
4
（3）当OA1与AB交于点E，OC1与BC交于点F时，
问题（1）中的结论是否仍成立？若成立，请证明，
若不成立请说明理由
“践”探究新知
实验探究1
成立
证明：∵四边形ABCD和四边形A1B1C1O都是正方
形
∴∠OAE= ∠ OBF=45° OA=OB
∠ AOB = ∠EOF=90°
∴∠ AOE= ∠ BOF
问题（4）如何拼剪成一个大正方形呢？
A
D
a
E
A
D
A
A
F
a
E
F
b
B
C
G
b
B
C
G
“践”探究新知
实验探究2
你能将两个边长分别为a、b(a＞b)的正方形拼接成
一个大正方形吗？
问题（4）你能找到切割点吗？如何拼剪成一个大正方形呢？
方法一
方法二
“践”探究新知
实验探究2
你能将两个边长分别为a、b(a＞b)的正方形拼接成
∴△AEO≌△BFO
s
s
∴ △AEO= △BFO
s
从而有 四边形EBFO=
s△OBE+ s△BFO
=
s △OBE+ s△AEO
=
s
1
△ABO=
4
s正方形ABCD
“践”探究新知
探究1 正方形的对角线相交于点，点又是正方形
’’’的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，
现将正方形 ’’’绕点旋转.两个正方形重叠部分的
矩以为圆，合矩以为方。"据此可知，当时
善于用矩的商高已知道用相似关系的测量术。
“谈”深化内知
通过这节课的学习，你有什么收获？
布置作业
如果把五个大小相同的正方形拼成如下，你能把它剪切、拼成一个大的正方形（直线
剪切不超过三次）吗？
谢谢
“赏”激趣导入
A
“践”探究新知
实验探究1
请你在图中添加两条直线，将一块正方形分割成面积
相等的四部分，设计出分割方案。
小结：经过对角线的交点，且两条直线互相垂直。
“践”探究新知
探究1 正方形的对角线相交于点，点又是正方形
’’’的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，
现将正方形 ’’’绕点旋转.两个正方形重叠部分的
面积会变吗，为什么？
“践”探究新知
实验探究1
“践”探究新知
实验探究1
（1）当OA1与OB重合，OC1与OC重合时，
重叠部分的面积与一个正方形的面积有何关
系？
S 重叠
1
S 正方形ABCD
4
（2）当OA1⊥ AB于点E，OC1⊥BC于点F时，
问题（1）中的结论会改变吗？
S 重叠
1
S 正方形ABCD
一个大正方形吗？
问题（4）如何拼剪成一个大正方形呢？
A
D
a
E
A
D
A
A
F
a
E
F
b
B
C
G
b
B
C
G
“践”探究新知
实验探究2
你能将两个边长分别为a、b(a＞b)的正方形拼接成
一个大正方形吗？
还有其他的切割拼接方法吗？
a
b
b
方法三
“践”探究新知
实验探究2
你能将两个边长分别为a、b(a＞b)的正方形拼接成
一个大正方形吗？
把它们拼接成一个大正方形吗？你有几种切割方案？
“践”探究新知
实验探究2
你能将两个边长分别为a、b(a＞b)的正方形拼接成
一个大正方形吗？
问题（1）两个正方形的面积和是多少？拼得大正方形面积
是多少？边长又是多少？
a
b
2
两个正方形的面积和：
a +b
拼得大正方形面积：
a 2+ b
剪拼得大正方形边长：
2
2
面积会变吗，为什么？
结论：相互垂直且经过正方形ABCD对角
线的交点，两图形重叠部分的面积始终
等于一个正方形面积的四分之一
“践”探究新知
变式拓展
如果把正方形A'B'C'O改为矩形或直角三角形，结论又会如何？
S重叠
Байду номын сангаас
1
S正方形ABCD
4
结论：相互垂直且经过正方形ABCD对角线的交点，两图形重叠部分的面积始终等
于一个正方形面积的四分之一
“践”探究新知
实验探究2
有两个边长均为的正方形，你能通过切割的方式
把它们拼接成一个大正方形吗？你有几种切割方案？
2
2
两个正方形的面积之和为____
拼成大正方形的面积为_22
2
拼成的大正方形边长为____
“践”探究新知
实验探究2
有两个边长均为的正方形，你能通过切割的方式
方法四
数学文化渗透
商高，为西周初数学家。商高在公元前1000
年发现勾股定理的一个特例:勾三，股四，
弦五。此发现早于毕达哥拉斯定理五百到六
百年。勾股定理是中国数学家的独立发明，
在中国早有记载。
《周髀算经》还记载了矩的用途:"周公曰:大
哉言数!请问用矩之道。商高曰:平矩以正绳，
偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环
a 2 b2
“践”探究新知
实验探究2
你能将两个边长分别为a、b(a＞b)的正方形拼接成
一个大正方形吗？
问题（2）你能找到长度等于
a2 b2 的线段吗？
问题（3）第二条边在哪里？
A
D
a
E
A
D
A
A
F
a
E
F
b
B
C
G
b
B
C
G
“践”探究新知
实验探究2
你能将两个边长分别为a、b(a＞b)的正方形拼接成
4
（3）当OA1与AB交于点E，OC1与BC交于点F时，
问题（1）中的结论是否仍成立？若成立，请证明，
若不成立请说明理由
“践”探究新知
实验探究1
成立
证明：∵四边形ABCD和四边形A1B1C1O都是正方
形
∴∠OAE= ∠ OBF=45° OA=OB
∠ AOB = ∠EOF=90°
∴∠ AOE= ∠ BOF