北京中学国人民大附属中学2024届九年级数学第一学期期末监测试题含解析

北京中学国人民大附属中学2024届九年级数学第一学期期末监测试题
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，该图形围绕点O 按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是( )
A ．72︒
B ．108︒
C ．144︒
D ．216︒
2．已知点C 在线段AB 上（点C 与点A 、B 不重合），过点A 、B 的圆记作为圆1O ，过点B 、C 的圆记作为圆2O ，过点C 、A 的圆记作为圆3O ，则下列说法中正确的是（ ）
A ．圆1O 可以经过点C
B ．点
C 可以在圆1O 的内部 C ．点A 可以在圆2O 的内部
D ．点B 可以在圆3O 的内部
3．如图1，点F 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿A→D→B 以1cm/s 的速度匀速运动到点B ，图2是点F 运动时，△FBC 的面积y （cm 2）随时间x （s ）变化的关系图象，则a 的值为（ ）
A 5
B ．2
C ．52
D ．54．如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是( )
A ．1：16
B ．1：6
C ．1：4
D ．1：2
5．将y ＝﹣（x +4）2+1的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得函数最大值为（ ）
A ．y ＝﹣2
B ．y ＝2
C ．y ＝﹣3
D ．y ＝3
6．如图所示为两把按不同比例尺进行刻度的直尺，每把直尺的刻度都是均匀的，已知两把直尺在刻度10处是对齐的，
A ．19.4
B ．19.5
C ．19.6
D ．19.7
7．对于二次函数y ＝﹣2x 2，下列结论正确的是（ ）
A ．y 随x 的增大而增大
B ．图象关于直线x ＝0对称
C ．图象开口向上
D ．无论x 取何值，y 的值总是负数 8．如图，，如果增加一个条件就能使结论成立，那么这个条件可以是
A ．
B ．
C ．
D ．
9．下列运算中，正确的是（ ）
A ．x 3+x=x 4
B ．（x 2）3=x 6
C ．3x ﹣2x=1
D ．（a ﹣b ）2=a 2﹣b 2
10．已知点(1,3)A --关于x 轴的对称点'A 在反比例函数k y x =
的图像上，则实数k 的值为（ ） A ．-3 B ．1
3- C ．13
D ．3 二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，ABC 中，90ABC ∠=︒，8AC =，9ABC S =，=△ABC C __________．
12．如图，A 、B 、C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan ∠BAC 的值为______．
13．已知点A （a ，2019）与点A ′（﹣2020，b ）是关于原点O 的对称点，则a +b 的值为_____．
()
15．已知∠AOB ＝60°，OC 是∠AOB 的平分线，点D 为OC 上一点，过D 作直线DE ⊥OA ，垂足为点E ，且直线DE 交OB 于点F ，如图所示．若DE ＝2，则DF ＝_____．
16．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=1，tanC=23，以点A 为圆心，AB 长为半径作弧交AC 于D ，分别以B 、D 为圆心，以大于
12
BD 长为半径作弧，两弧交于点E ，射线AE 与BC 于F ，过点F 作FG ⊥AC 于G ，则FG 的长为______．
17．从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个自然数中，任取一个数是奇数的概率是 ．
18．如图，在扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，正方形CDEF 的顶点C 是AB 的中点，点D 在OB 上，点E 在OB 的延长线上，当正方形CDEF 的边长为4时，则阴影部分的面积为_________.（结果保留π）
三、解答题(共66分)
19．（10分）已知二次函数y ＝(x －m )(x ＋m ＋4)，其中m 为常数．
（1）求证：不论m 为何值，该二次函数的图像与x 轴有公共点．
（2）若A (－1，a )和B (n ，b )是该二次函数图像上的两个点，请判断a 、b 的大小关系．
20．（6分）某校在宣传“民族团结”活动中，采用四种宣传形式：A ．器乐，B ．舞蹈，C ．朗诵，D ．唱歌．每名学生从中选择并且只能选择一种最喜欢的，学校就宣传形式对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：
请结合图中所给信息，解答下列问题
（1）本次调查的学生共有 人；
（2）补全条形统计图；
（3）七年级一班在最喜欢“器乐”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的器乐队，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率．
21．（6分）如图1，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()()2,0,8,0A B -，与y 轴交于点()0,4C ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点M 为抛物线的顶点，在y 轴上是否存在点N ，使90MNB ∠=︒？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如图2，位于y 轴右侧且垂直于x 轴的动直线l 沿x 轴正方向从O 运动到B (不含O 点和B 点)，分别与抛物线、直线BC 以及x 轴交于点,,P E F ，过点P 作PQ BC ⊥于点Q ，求面积PQE 的最大值．
22．（8分）如图，已知在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，点P 从点C 出发以每秒1个单位长度的速度沿着CD 在C 点到D 点间运动（当达D 点后则停止运动），同时点Q 从点D 出发以每秒2个单位长度的速度沿着DA 在D 点到A 点间运动（当达到A 点后则停止运动）．设运动时间为t 秒，则按下列要求解决有关的时间t ．
（1）△PQD 的面积为5时，求出相应的时间t ；
（2）△PQD 与△ABC 可否相似，如能相似求出相应的时间t ，如不能说明理由；
（3）△PQD 的面积可否为10，说明理由．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，己知点()0,4C
，
点A B 、在x 轴上，并且4OA OC OB ==，动点P 在过、、A B C 三点的拋物线上．
（1）求抛物线的解析式．
（2）作垂直x 轴的直线，在第一象限交直线AC 于点D ，交抛物线于点P ，求当线段PD 的长有最大值时P 的坐标．并求出PD 最大值是多少．
（3）在x 轴上是否存在点Q ，使得△ACQ 是等腰三角形?若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（8分）如图，矩形ABCD 中，() 4,0AB BC m m ==>.P 为边BC 上一动点(不与,B C 重合)，过P 点作⊥PE AP 交直线CD 于E .
(1)求证：ABP PCE ∆∆；
(2)当P 为BC 中点时，E 恰好为CD 的中点，求m 的值.
25．（10分）为了配合全市“创建全国文明城市”活动，某校共1200名学生参加了学校组织的创建全国文明城市知识竞赛，拟评出四名一等奖.
（1）求每一位同学获得一等奖的概率；
（2）学校对本次竞赛获奖情况进行了统计，其中七、八年级分别有一名同学获得一等奖，九年级有2名同学获得一等奖，现从获得一等奖的同学中任选两人参加全市决赛，请通过列表或画树状图的方法，求所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率.
26．（10分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90º，D 是AC 的中点，⊙O 经过A 、B 、D 三点，CB 的延长线交⊙O 于点E ．
(1)求证:AE=CE ．
(2)若EF 与⊙O 相切于点E ，交AC 的延长线于点F ，且CD=CF=2cm ，求⊙O 的直径．
(3)若EF 与⊙O 相切于点E ，点C 在线段FD 上，且CF:CD=2:1，求sin ∠CAB ．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【解题分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．
【题目详解】解：由该图形类同正五边形，正五边形的圆心角是360
72
5
︒
=．根据旋转的性质，当该图形围绕点O旋
转后，旋转角是72°的倍数时，与其自身重合，否则不能与其自身重合．由于108°不是72°的倍数，从而旋转角是108°时，不能与其自身重合．
故选B．
【题目点拨】
本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
2、B
【分析】根据已知条件确定各点与各圆的位置关系，对各个选项进行判断即可．
【题目详解】∵点C在线段AB上（点C与点A、B不重合），过点A、B的圆记作为1
O
∴点C可以在圆1
O的内部，故A错误，B正确；
∵过点B、C的圆记作为圆2
O
∴点A可以在圆2
O的外部，故C错误；
∴点B可以在圆3
O的外部，故D错误．
故答案为B．
【题目点拨】
本题考查了点与圆的位置关系，根据题意画出各点与各圆的位置关系进行判断即可．
3、C
【分析】通过分析图象，点F从点A到D用as，此时，△FBC的面积为a，依此可求菱形的高DE，再由图象可知，
【题目详解】过点D作DE⊥BC于点E
.
由图象可知，点F由点A到点D用时为as，△FBC的面积为acm1．. ∴AD=a.
∴1
2
DE•AD＝a.
∴DE=1.
当点F从D到B5
∴5
Rt△DBE中，
()2
222
=521 BD DE
--=，∵四边形ABCD是菱形，
∴EC=a-1，DC=a，
Rt△DEC中，
a1=11+（a-1）1.
解得a=5 2 .
故选C．
【题目点拨】
本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系．
4、D
【解题分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．【题目详解】解：两个相似三角形的面积比是1：4，
∴两个相似三角形的相似比是1：2，
∴两个相似三角形的周长比是1：2，
故选：D．
【题目点拨】
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解
5、A
【分析】根据二次函数图象“左移x加，右移x减，上移c加，下移c减”的规律即可知平移后的解析式，进而可判断最值．
【题目详解】将y＝﹣（x+4）1+1的图象向右平移1个单位，再向下平移3个单位，
所得图象的函数表达式是y＝﹣（x+4﹣1）1+1﹣3，
即y＝﹣（x+1）1﹣1，
所以其顶点坐标是（﹣1，﹣1），
由于该函数图象开口方向向下，
所以，所得函数的最大值是﹣1．
故选：A．
【题目点拨】
本题主要考查二次函数图象的平移问题和最值问题，熟练掌握平移规律是解题关键．
6、C
【分析】根据两把直尺在刻度10处是对齐的及上面直尺的刻度11与下面直尺对应的刻度是11.6，得出上面直尺的10个小刻度，对应下面直尺的16个小刻度，进而判断出上面直尺的刻度16与下面直尺对应的刻度即可．
【题目详解】解：由于两把直尺在刻度10处是对齐的，观察图可知上面直尺的刻度11与下面直尺对应的刻度是11.6，即上面直尺的10个小刻度，对应下面直尺的16个小刻度，
且上面的直尺在刻度15处与下面的直尺在刻度18处也刚好对齐，
因此上面直尺的刻度16与下面直尺对应的刻度是18+1.6=19.6，
故答案为C
【题目点拨】
本题考查了学生对图形的观察能力，通过图形得出上面直尺的10个小刻度，对应下面直尺的16个小刻度是解题的关键．
7、B
【分析】根据二次函数的性质可判断A、B、C，代入x=0，可判断D.
【题目详解】解：∵a＝﹣2＜0，b=0，
∴二次函数图象开口向下；对称轴为x＝0；当x＜0时，y随x增大而增大，当x＞0时，y随x增大而减小，
故A，C错误，B正确，
当x=0时，y=0，故D错误，
故选：B.
本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握基础知识是解题关键.
8、D
【解题分析】求出∠DAE=∠BAC，根据选项条件判定三角形相似后，可得对应边成比例，再把比例式化为等积式后即可判断．
【题目详解】解：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，
∴∠DAE=∠BAC，
A、∵∠DAE=∠BAC，∠D=∠C，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∴，
故本选项错误；
B、∵，∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∴，
故本选项错误；
C、∵，∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∴，
故本选项错误；
D、∵∠DAE=∠BAC，，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
故本选项正确；
故选：D．
本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，比例式化等积式，特别要注意确定好对应边，不要找错了．
9、B
【解题分析】试题分析：A 、根据合并同类法则，可知x 3+x 无法计算，故此选项错误；
B 、根据幂的乘方的性质，可知（x 2）3=x 6，故正确；
C 、根据合并同类项法则，可知3x-2x=x ，故此选项错误；
D 、根据完全平方公式可知：（a-b ）2=a 2-2ab+b 2，故此选项错误；
故选B ．
考点：1、合并同类项，2、幂的乘方运算，3、完全平方公式
10、A
【分析】先根据关于x 轴对称的点的坐标特征确定A'的坐标为(1,3)-，然后把A′的坐标代入k y x
=
中即可得到k 的值． 【题目详解】解：点(1,3)A --关于x 轴的对称点A'的坐标为(1,3)-， 把A′(1,3)-代入k y x
=
， 得k=-1×
1=-1． 故选：A ．
【题目点拨】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数k y x
=
（k 为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy=k ．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、18 【分析】根据勾股定理和三角形面积公式得2218,64AB BC AB BC •=+=，再通过完全平方公式可得.
【题目详解】因为ABC 中，90ABC ∠=︒，8AC =，9ABC S =， 所以222219,82
AB BC AB BC AC •=+== 所以2218,64AB BC AB BC •=+=
所以()2
222AB BC AB BC AB BC +=++•
=64+36=100
所以AB+BC=10
所以=△ABC C AC+AB+BC=8+10=18
故答案为：18
【题目点拨】
考核知识点：勾股定理.灵活根据完全平方公式进行变形是关键.
12、1
【分析】连接BC ，由网格求出AB ，BC ，AC 的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC 为等腰直角三角形，即可求出所求． 【题目详解】
解：连接BC ，
由网格可得2322125AB BC ==+= ，2221310AC =+=，
即2225510AB BC AC +=+==，
∴ABC 为等腰直角三角形，
∴45BAC ∠=︒，
则1tan BAC ∠=，
故答案为1.
【题目点拨】
此题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
13、1．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a ，b 的值，进而得出答案．
【题目详解】解：∵点A （a ，2019）与点A′（﹣2020，b ）是关于原点O 的对称点，
∴a ＝2020，b ＝﹣2019，
∴a+b ＝1．
故答案为：1．
【题目点拨】
此题主要考查了关于原点对称的点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．
14、1a ≥且5a ≠
【解题分析】根据根的判别式△≥0且二次项系数50a -≠求解即可.
【题目详解】由题意得，
16-4()51a （）-⨯
-≥0，且50a -≠， 解之得
1a ≥且5a ≠.
故答案为：1a ≥且5a ≠.
【题目点拨】
本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式∆=b 2﹣4ac 与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.
15、1．
【分析】过点D 作DM ⊥OB ，垂足为M ，则DM=DE=2，在Rt △OEF 中，利用三角形内角和定理可求出∠DFM=30°，在Rt △DMF 中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出DF 的长，此题得解．
【题目详解】过点D 作DM ⊥OB ，垂足为M ，如图所示．
∵OC 是∠AOB 的平分线，
∴DM ＝DE ＝2．
在Rt △OEF 中，∠OEF ＝90°，∠EOF ＝60°，
∴∠OFE ＝30°，即∠DFM ＝30°．
在Rt △DMF 中，∠DMF ＝90°，∠DFM ＝30°，
∴DF ＝2DM ＝1．
故答案为1．
【题目点拨】
本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理以及含30度角的直角三角形，利用角平分线的性质及30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出DF 的长是解题的关键．
16、35
． 【分析】过点F 作FH ⊥AB 于点H ，证四边形AGFH 是正方形，设AG=x ，表示出CG ，再证△CFG ∽△CBA ，根据相似比求出x 即可.
【题目详解】如图过点F 作FH ⊥AB 于点H ，
由作图知AD=AB=1，AE平分∠BAC，∴FG=FH，
又∵∠BAC=∠AGF=90°，
∴四边形AGFH是正方形，
设AG=x，则AH=FH=GF=x，
∵tan∠C=2
3
，
∴AC=
AB
tan C
∠
=
3
2
，
则CG=3
2
-x，
∵∠CGF=∠CAB=90°，∴FG∥BA，
∴△CFG∽△CBA，
∴CG FG
=
CA AB
，即
3
2=
31
2
x x
，
解得x=3
5
，
∴FG=3
5
，
故答案为：3
5
．
【题目点拨】
本题是对几何知识的综合考查，熟练掌握三角函数及相似知识是解决本题的关键.
17、5
9
．
【解题分析】试题分析：∵从1到9这九个自然数中一共有5个奇数，
∴任取一个数是奇数的概率是：5
9
．
故答案是5
9
．
考点：概率公式．
18、48
π-
【分析】连结OC，根据等腰三角形的性质可求OC的长，根据题意可得出阴影部分的面积=扇形BOC的面积-三角形ODC的面积，依此列式计算即可求解．
【题目详解】解：连接OC，
∵在扇形AOB中∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，
∴∠COD=45°，
∴22，
∴阴影部分的面积=扇形BOC的面积-三角形ODC的面积
=
2
(2)
6
4
5
3
π⨯
-
1
2
×4×4
=4π-1，
故答案为4π-1．
【题目点拨】
考查了正方形的性质和扇形面积的计算，解题的关键是得到扇形半径的长度．
三、解答题(共66分)
19、（1）见解析；（2）①当n＝－3时，a＝b；②当－3＜n＜－1时，a＞b ；③当n＜－3或n＞－1时，a＜b 【分析】（1）方法一：当y=0时，（x-m）（x-m-1）=0，解得x1=m，x2=-m-1，即可得到结论；方法二：化简得y＝x2＋1x－m2－1m，令y＝0，可得b2－1ac≥0，即可证明；
（2）得出函数图象的对称轴，根据开口方向和函数的增减性分三种情况讨论，判断a与b 的大小.
【题目详解】（1）方法一：
令y＝0，(x－m)(x＋m＋1)=0，解得x1＝m；x2＝－m－1．
当m＝－m－1，即m＝－2，方程有两个相等的实数根，故二次函数与x轴有一个公共点；
当m≠－m－1，即m≠－2，方程有两个不相等的实数根，故二次函数与x轴有两个公共点．
综上不论m为何值，该二次函数的图像与x轴有公共点．
方法二：
化简得y＝x2＋1x－m2－1m．
令y＝0，b2－1ac＝1m2＋16m＋16＝1(m＋2)2≥0，方程有两个实数根．
∴不论m为何值，该二次函数的图像与x轴有公共点．
（2）由题意知，函数的图像的对称轴为直线x＝－2
①当n＝－3时，a＝b；
②当－3＜n＜－1时，a＞b
③当n＜－3或n＞－1时，a＜b
【题目点拨】
本题考查了二次函数的性质以及与方程的关系，把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，并且注意分情况讨论.
20、（1）100；（2）见解析；（3）1 6
【分析】（1）根据A项目的人数和所占的百分比求出总人数即可；
（2）用总人数减去A、C、D项目的人数，求出B项目的人数，从而补全统计图；
（3）根据题意先画出树状图，得出所有等情况数和选取的两人恰好是甲和乙的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【题目详解】解：（1）本次调查的学生共有：30÷30%＝100（人）；
故答案为100；
（2）喜欢B类项目的人数有：100﹣30﹣10﹣40＝20（人），
补全条形统计图如图1所示：
（3）画树状图如图2所示：
共有12种情况，
被选取的两人恰好是甲和乙有2种情况，
则被选取的两人恰好是甲和乙的概率是
2
12
＝
1
6
．
故答案为（1）100；（2）见解析；（3）
16
． 【题目点拨】 本题考查列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．也考查了统计图．
21、（1）213442y x x =-++；（2）不存在，理由见解析；（3）PQE S 最大值为165
． 【分析】(1)利用待定系数法求出解析式；
(2) 设点N 的坐标为(0，m )，过点M 做MH ⊥y 轴于点H ，证得△MHN ∽△NOB ，利用对应边成比例，得到2425960m m -+=，方程无实数解，所以假设错误，不存在；
(3) △PQE ∽△BOC ，得22PQE BOC S
PE S BC =，得到215PQE S PE =，当PE 最大时，PQE S 最大，求得直线BC 的解析式，设
点P 的坐标为 213442n n n ⎛
⎫-++ ⎪⎝⎭，，则E 142n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
，，再求得PE 的最大值，从而求得答案． 【题目详解】(1) 把点A （-2，0）、B （8，0）、C （0，4）分别代入2y ax bx c =++，得：
42064804a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩
，
解得14324a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩
， 则该抛物线的解析式为：213442y x x =-
++； (2)不存在
∵抛物线经过A （-2，0）、B （8，0），
∴抛物线的对称轴为()
8232x +-==，
将3x =代入213442y x x =-++得：254
y =， ∴抛物线的顶点坐标为：2534M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， ， 假设在y 轴上存在点N ，使∠MNB =90︒，
设点N 的坐标为(0，m )，过顶点M 做MH ⊥y 轴于点H ，
∴∠MNH +∠ONB =90︒，∠MNH +∠HMN =90︒，
∴∠HMN=∠ONB ，
∴△MHN ∽△NOB ， ∴MH HN NO OB
=， ∵B （8，0），N (0，m )，2534M ⎛
⎫ ⎪⎝⎭， ，
∴25834
OB NO m HM HN m ====-，，，， ∴25348
m m -=， 整理得：2425960m m -+=，
∵()2
242544969110b ac =-=--⨯⨯=-<⊿，
∴方程无实数解，所以假设错误，
在y 轴上不存在点N ，使∠MNB =90︒；
(3) ∵PQ ⊥BC ，PF ⊥OB ，
∴90PQE BFE BOC ∠=∠=∠=︒，
∴EF ∥OC ，
∴PEQ BEF BCO ∠=∠=∠，
∴△PQE ∽△BOC ， 得22PQE BOC S
PE S BC =， ∵B （8，0）、C （0，4），
∴8OB =，4OC =，222228480BC OB OC =+=+=，
∴BOC 11841622S OB OC ==⨯⨯=， ∴2
222116805
PQE BOC PE PE S S PE BC ==⨯=， ∴当PE 最大时，PQE S 最大，
设直线BC 的解析式为y kx b =+，
将B （8，0）、C （0，4）代入得804k b b +=⎧⎨=⎩
， 解得：124
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，
∴直线BC 的解析式为142
y x =-+， 设点P 的坐标为 213442n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，
， 则点E 的坐标为142n n ⎛
⎫-+ ⎪⎝⎭
，，
∴()222131114424442244PE n n n n n n ⎛⎫=-++--+=-+=--+ ⎪⎝⎭
， ∵104
-<， ∴当4n =时，PE 有最大值为4， ∴PQE S 最大值为
2211164555PE =⨯=． 【题目点拨】
本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有：待定系数法求二次函数、一次函数解析式，点坐标，相似三角形的判定与性质和三角形的面积求法，特别注意利用数形结合思想的应用．
22、（1）t=1; （2）t=2.4或1811
t =; （3）△PQD 的面积不能为1，理由见解析． 【分析】（1）△PQD 的两直角边分别用含t 的代数式表示，由△PQD 的面积为5得到关于t 的方程，由此可解得t 的值；
（2）设△PQD 与相似△ABC ，由图形形状考虑可知有两种可能性，对两种可能性分别给予讨论可以求得答案； （3）与（1）类似，可以用含t 的表达式表示△PQD 的面积，令其等于1，由所得方程解的情况可以作出判断．
【题目详解】因为四边形ABCD 是矩形，所以AB=CD=6，BC=AD=8，4t ≤
（1）S △PQD = 16)252
t t -=（
解得：t 1=1 t 2=5(舍去） （2）①当
DQ DP BC AB
=时△PDQ~△ABC 即2686
t t -=得t=2.4 ②当DQ DP AB BC
=时△PQ D ~△CBA 即2668t t -=得1811t =; （3）△PQD 的面积为1时，
1(6)2102t t -⋅=, 此方程无实数根，
即△PQD 的面积不能为1．
【题目点拨】
本题综合考查三角形相似、面积计算与动点几何问题，利用方程的思想方法解题是关键所在．
23、（1）234y x x =-++；（2）存在，PD 最大值为4，此时P 的坐标为()2,6；（3）存在，()0,0或()4,0-或()4+
或()
442,0-
【分析】（1）先确定A （4，0），B （-1，0），再设交点式y=a （x+1）（x-4），然后把C 点坐标代入求出a 即可；
（2）作PE ⊥x 轴，交AC 于D ，垂足为E ，如图，易得直线AC 的解析式为y=-x+4，设P （x ，-x 2+3x+4）（0＜x ＜4），则D （x ，-x+4），再用x 表示出PD ，然后根据二次函数的性质解决问题；
（3）先计算出AC=42，再分类讨论：当QA=QC 时，易得Q （0，0）；当CQ=CA 时，利用点Q 与点A 关于y 轴对称得到Q 点坐标；当AQ=AC=42时可直接写出Q 点的坐标．
【题目详解】（1）∵C （0，4），
∴OC=4，
∵OA=OC=4OB ，
∴OA=4，OB=1，
∴A （4，0），B （-1，0），
设抛物线解析式为y=a （x+1）（x-4），
把C （0，4）代入得a×1×（-4）=4，解得a=-1，
∴抛物线解析式为y=-（x+1）（x-4），
即y=-x 2+3x+4；
（2）作PE⊥x 轴，交AC 于D ，垂足为E ，如图，
设直线AC 的解析式为：y=kx+b ，
∵A （4，0），C （0，4）
∴404k b b +=⎧⎨=⎩
解得，14
k b =-⎧⎨=⎩ ∴直线AC 的解析式为y=-x+4，
设P （x ，-x 2+3x+4）（0＜x ＜4），则D （x ，-x+4），
∴PD=-x 2+3x+4-（-x+4）=-x 2+4x =-（x-2）2+4，
当x=2时，PD 有最大值，最大值为4，此时P 点坐标为（2，6）；
（3）存在．
∵OA=OC=4，
∴
，
∴当QA=QC 时，Q 点在原点，即Q （0，0）；
当CQ=CA 时，点Q 与点A 关于y 轴对称，则Q （-4，0）；
当
时，Q 点的坐标（
，0）或（
，0），
综上所述，Q 点的坐标为（0，0）或（-4，0）或（
，0）或（
，0）．
【题目点拨】
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图形上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
24、 (1)见解析；(2) m
的值为【分析】（1）根据矩形的性质可得90B C ∠=∠=︒，根据余角的性质可得 APB CEP ∠=∠，进而可得结论；
（2）根据题意可得BP 、CP 、CE 的值，然后根据（1）中相似三角形的性质可得关于m 的方程，解方程即得结果.
【题目详解】解：（1）证明：四边形ABCD 是矩形，90B C ∴∠=∠=︒，
PE AP ⊥，90APB CPE ∴∠+∠=，
90CPE CEP ∠+∠=︒， APB CEP ∴∠=∠，
∴ABP △∽PCE ；
(2)P 为BC 中点，E 为CD 的中点，且BC m =，4CD =，
2m BP CP ∴==
， 2CE =， ∵ABP △∽PCE ，AB BP PC CE
∴=，即4222
m
m =，
解得：m =m
的值为.
【题目点拨】
本题考查了矩形的性质和相似三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题关键.
25、（1）1300
；（2）13. 【分析】（1）让一等奖的学生数除以全班学生数即为所求的概率；
（2）画树状图（用A 、B 、C 分别表示七年级、八年级和九年级的学生）展示所有12种等可能的结果数，再找出所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数，然后利用概率公式求解．
【题目详解】（1）因为一共有1200名学生，每人被抽到的机会是均等的，四名一等奖，所以P （每一位同学获得一等奖）411200300==； （2）由题意知，获一等奖的学生中，七年级有1人，八年级有1人，九年级有2人，画树状图为：（用A 、B 、C 分别表示七年级、八年级和九年级的学生）
共有12种等可能的结果数，其中所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数为4，
所以所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率
412=13. 【题目点拨】
本题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=m n
． 26、（1）见解析；（2）23cm ；（3）
12 【分析】（1）连接DE ，根据90ABC ∠=︒可知：AE 是
O 直径，可得90ADE ∠=︒，结合点D 是AC 的中点，可
得出ED 是AC 的中垂线，从而可证得结论； （2）根据ADE AEF ∽，可将AE 解出，即求出⊙O 的直径；
（3）根据等角代换得出CAB DEA ∠=∠，然后根据CF:CD=2:1，可得AC=CF ，继而根据斜边中线等于斜边一半得出2AE CE AC CF CD ====，在RT ADE 中，求出sin ∠CAB 即可．
【题目详解】证明：（1）连接DE ，
90ABC ∠=︒ ，
90ABE ∴∠=︒ ，
∴AE 是O 直径
∴90ADE ∠=︒，即DE AC ⊥，
又∵D 是AC 的中点，
∴DE 是AC 的垂直平分线，
∴AE CE =；
（2）在ADE 和EFA △中，
90ADE AEF DAE EAF
∠∠︒⎧⎨∠∠⎩＝＝＝， 故可得ADE AEF ∽， 从而AE AD AF AE = ，即26AE AE
=， 解得：
cm ；
即⊙O 的直径为
cm ．
（3）9090CAB ACB DEA DAE DAE ACB ∠+∠=︒∠+∠=︒∠=∠，，，
CAB DEA ∴∠=∠，
21CF CD =：：
，D 是AC 的中点， 22CF CD AC CD ∴==，，
2AE CE AC CF CD ∴====，
在RT ADE 中，122
AD CD sin DEA AE CD ∠=
==． 故可得12sin CAB sin DEA ∠=∠=． 【题目点拨】
本题主要考查圆周角定理、切线的性质及相似三角形的性质和应用，属于圆的综合题目，难度较大，解答本题的关键是熟悉各个基础知识的内容，并能准确应用．。