4-1[1]高等数学 微积分 视频教程ppt课件

原函数一定存在；
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6、 x xdx ______________________；
7、
dx x2 x
_______________________；
8、 ( x 2 3x 2)dx _________________；
9、 ( x 1)( x 3 1)dx _____________；
10、
(1
x)2 x
dx
=____________________
.
二、求下列不定积分：
1、
x2 dx
1 x2
2、
23x 52x dx
3x
24
3、 cos2
x 2
dx
4、
cos 2x cos2 x sin2 x dx
5、
(1
1 x2
)
x
xdx
6、
x 2 sin2 x2 1
x
sec2
xdx
证 F ( x) G( x) F( x) G( x)
f (x) f (x) 0 F ( x) G( x) C （C为任意常数）
4
不定积分的定义：
在区间I 内，函数 f ( x)的带有任意 常数项的原函数 称为 f ( x)在区间I 内的
不定积分，记为 f ( x)dx .
f ( x)dx F( x) C
解 设曲线方程为 y f ( x), 根据题意知 dy 2x, dx 即 f ( x)是2x 的一个原函数.
2xdx x2 C , f ( x) x2 C,
由曲线通过点（1，2） C 1, 所求曲线方程为 y x2 1.
7
函数 f ( x)的原函数的图形称为 f ( x) 的积分曲线.
y sec2 x sin xdx
tan x cos x C, y(0) 5, C 6, 所求曲线方程为 y tan x cos x 6.
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四、 小结
原函数的概念：F( x) f ( x)
不定积分的概念： f ( x)dx F ( x) C
基本积分表(1) 求微分与求积分的互逆关系 不定积分的性质
三、一曲线通过点( e 2 , 3 ) ，且在任一点处的切线的斜 率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程 .
四、证明函数1 e2x , e x sinh x 和 e x cosh x都是
ex
2
cosh x sinh x
的原函数 .
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练习题答案
一、1、无穷多,常数； 2、全体原函数；
3、积分曲线,积分曲线族； 4、平行； 5、连续；
1
1
3 1 x2 dx 2
dx 1 x2
3arctan x 2arcsin x C
15
例6
求积分
1 x x x(1 x2
2
)
dx.
解
1 x x2
x(1 x2 )dx
x (1 x2 x(1 x2 )
)dx
1
1 x
2
1 x
dx
1
1 x2
dx
1dx x
arctan x ln x C.
显然，求不定积分得到一积分曲线族.
由不定积分的定义，可知
d
dx
f ( x)dx
f ( x),
d[ f ( x)dx] f ( x)dx,
F ( x)dx F ( x) C, dF ( x) F ( x) C.
结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
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二、 基本积分表
实例
x1 x
1
xdx x1 C . 1
( 1)
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
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基 (1) kdx kx C (k是常数);
本
积
(2)
xdx x1 C ( 1); 1
分 表
(3)
dx x
说明：
ln x x 0,
ln 2 ln 3 4. (cot x tan x) C ；
6、tan x arc cot x C .
三、 y ln x C .
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6、2
x
5 2
C；
7、
2
x
3 2
C；
5
3
8、 x 3 3 x 2 2 x C ； 32
9、 x 3
2
5
x2
2
3
x2
x
C、
35 3
10、2
x
4
3
x2
2
5
x2
C.
35
26
二、1、 x arctan x C ；
3、 x sin x C ； 2
5、4( x 2 7) C ； 74 x
5(2) x 2、2x 3 C ；
(8)
dx cos2
x
sec2
xdx
tan
x
C;
(9)
dx sin 2
x
csc2
xdx
cot
x
C;
11
(10) sec x tan xdx sec x C;
(11) csc x cot xdx csc x C;
(12) e xdx e x C;
(13)
a
xdx
ax ln a
C;
1
一、原函数与不定积分的概念
定义： 如果在区间I 内，可导函数F ( x)的 导函数为 f ( x)，即x I ，都有F ( x) f ( x) 或dF ( x) f ( x)dx，那么函数F ( x)就称为 f ( x)
或 f ( x)dx 在区间I 内原函数.
例 sin x cos x sin x是cos x的原函数. ln x 1 ( x 0)
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达
式
积 分 变 量
任 意 常 数
5
例1 求 x5dx.
解
x6
x5,
6
x5dx x6 C .
6
例2
求
1
1 x2
dx.
解
arctan
x
1
1 x2
,
1
1 x
2
dx
arctan
x
C
.
6
例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
例 sin x cos x sin x C cos x
（C 为任意常数）
3
关于原函数的说明：
（1）若 F ( x) f ( x) ，则对于任意常数 C ，
F( x) C 都是 f ( x)的原函数.
（2）若F ( x) 和 G( x) 都是 f ( x) 的原函数， 则 F ( x) G( x) C （C为任意常数）
所以 f ( x) 在 (, ) 内不存在原函数.
结论 每一个含有第一类间断点的函数都 没有原函数.
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一、填空题：
练习题
1、一个已知的函数，有______个原函数，其中任意
两个的差是一个______；
2、 f ( x)的________称为 f ( x)的不定积分；
3、把 f ( x) 的一个原函数F ( x) 的图形叫做函数 f ( x)
x
dx
1 2
tan
x
C
.
说明： 以上几例中的被积函数都需要进行 恒等变形，才能使用基本积分表.
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例 9 已知一曲线 y f ( x) 在点( x, f ( x)) 处的 切线斜率为sec2 x sin x ，且此曲线与y 轴的交 点为(0,5) ，求此曲线的方程.
解 dy sec2 x sin x, dx
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例7
求积分
1 2x2
x2
(1
x2
dx. )
解
1 x2 (1
2x2 x2
dx )
1 x2 x2
x2 (1
x2
dx )
1 x 2 dx
1
1 x2dx
1 arctan x C. x
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例8
求积分
1
1 cos
2
x
dx.
解
1
1 cos
2x
dx
1
1 2 cos 2
x
dx 1
1 2
1 cos2
的________，它的方程是y F ( x) ，这样不定积
f ( x)dx 在几何上就表示________，它的方程是
y F(x) C ；
4、由 F ' ( x) f ( x) 可 知 ， 在 积 分 曲 线 族 y F ( x) C ( C是任意常数 ) 上横坐标相同的点
处作切线，这些切线彼此是______的； 5、若 f ( x)在某区间上______，则在该区间上 f ( x)的
x ln x是1 在区间(0,) 内的原函数.
x
2
原函数存在定理：
如果函数 f ( x)在区间I 内连续，
那么在区间I 内存在可导函数F ( x) ， 使x I ，都有F ( x) f ( x).
简言之：连续函数一定有原函数.
问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？
C;
dx x
ln
x
C
,
x 0, [ln( x)] 1 ( x) 1 ,
x
x
dx x
ln(
x
)
C
,
dx x
ln
|
x
|
C
,
简写为
dx x
ln
x
C.
10
(4)
1
1 x
2
dx
arctan
x
C;
(5)
1 dx arcsin x C; 1 x2
(6) cos xdx sin x C;
(7) sin xdx cos x C;
证
f ( x)dx
g( x)dx
f
( x)dx
g( x)dx
f (x)
g( x).
等式成立.
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
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(2) kf ( x)dx k f ( x)dx.
（k 是常数，k 0)
例5
求积分
( 1
3 x2
2 )dx.
1 x2
解
( 1
3 x2
2 )dx 1 x2
(14) sinh xdx cosh x C;
(15) cosh xdx sinh x C;
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例4 求积分 x2 xdx.
5Hale Waihona Puke 解 x2 xdx x 2dx
根据积分公式（2）
x dx
x 1
1
C
51
x2 51
C
2 7
7
x2
C.
2
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三、 不定积分的性质
(1) [ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)dx;
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思考题
1, x 0 符号函数 f ( x) sgn x 0, x 0
1, x 0 在 (, ) 内是否存在原函数？为什么？
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思考题解答
不存在.
假设有原函数 F ( x)
x C, x 0
F ( x) C ,
x0
x C , x 0
但F ( x)在x 0处不可微， 故假设错误