人教版八年级下册 第六章 平行四边形 课件(共22张PPT)
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2.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB边上的中线CD＝______． 3.如图所示，已知平行四边形ABCD，AC、BD相交于点O，P是平行四边形ABCD 外一点，且∠APC＝∠BPD＝90°．求证：平行四边形ABCD是矩形．
三、菱形
1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 注意：菱形的定义的两个要素：
二、矩形
3.矩形的判定 （1）定义法：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形.
例题：矩形的判定 1.已知：平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE. （1）求证：△BEC≌△DFA； （2）连接AC，若CA＝CB，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结 论.
一、平行四边形
3.如图所示，在 平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若∠EAF＝ 60°，BE＝2 ，DF＝3 ，求AB，BC的长及平行四边形 ABCD的面积．
一、平行四边形
4.三角形的中位线 （1）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. （2）定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 注意： （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小 三角形的周长为原三角形周长的 ，每个小三角形的面积为原三角形面积的 . （3）三角形的中位线不同于三角形的中线，注意区分.
例题：矩形的性质
1、如图所示，在矩形ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且BE＝DF． 求证△ABE≌△CDF．
二、矩形
2.如图,在矩形ABCD中，F是BC边上的一点，AF的延长线交DC的延长线于G， DE⊥AG于E，且DE＝DC，根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形， 并证明你的结论.
平行四边形
一、平行四边形 二、矩形 三、菱形 四、正方形
一、平行四边形
1.平行四边形的定义 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形 ABCD记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
注意：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四 对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对 角，有两对；对角线有两条.
二、矩形
2.如图所示，已知AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC，且∠BAD＝∠CAE. 求证：四边形BCED是矩形．
二、矩形
4.直角三角形斜边上的中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 例题：直角三角形斜边上的中线性质
1.如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中 点，连接DE，则△CDE的周长为（ ）
例题：菱形的性质
1.如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF ＝2，那么菱形ABCD的周长是( )
2.已知菱形ABCD两对角线AC ＝ 8cm , BD ＝ 6cm , 则菱形的高为________.
3.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为（8，4），则C点的 坐标为_______.
例题：正方形的性质
1.如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶 点E、F分别在BC和CD上．下列结论：①CE=CF；② ∠AEB=75°；③BE+DF=EF； ④S正方形ABCD=2+ √3．其中正确的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
2.如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE 相交于点F，则∠BFC为（ ）
①是平行四边形.②有一组邻边相等. 2.菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： （1）菱形的四条边都相等； （2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. （3）菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的 交点就是对称中心. 注意：菱形的面积公式对角线乘积的1/2.等分成4个三角形推论。
一、平行四边形
3.平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 注意： （1）这些判定方法是学习平行四边形的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能 判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法. （2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形” 的依据.
四、正方形
1.正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 注意：正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 2.正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. （1）边——四边相等、邻边垂直、对边平行； （2）角——四个角都是直角； （3）对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； （4）是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对 称中心.
三、菱形
3.菱形的判定： （1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形. （3）四条边相等的四边形是菱形. 例题：菱形的判定 1.如图,在 ABCD中,E,F分别是AD,BC上的点,且DE=BF,AC⊥EF.求证:四边形AECF是 菱形.
2.如图,在 ABCD中,AC,BD相交于点O,过点C作CE∥BD,交AB的延长线于点E.如果 AC⊥BD,那么∠ACB= °时,四边形BECD是菱形.
一、平行四边形
例题：平行四边形的性质
1.如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，若AF、BE分别为∠DAB、∠CBA 的平分线．求证：DF＝EC．
一、平行四边形
2.如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE＝AF，请你猜想：线 段BE与线段DF有怎样的关系？并对你的猜想加以证明.
A．75° B．60° C．55° D．45°
四、正方形
3.正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：
或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）； 或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.
1.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，且 DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗?请说明理由．
2.平行四边形的性质： （1）边的性质：平行四边形两组对边平行且相等； （2）角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等； （3）对角线性质：平行四边形的对角线互相平分； （4）平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.
注意： （1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质 可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍 半关系. （2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择. （3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应 联系三角形三边的不等关系来解决.
例题：平行四边形的判定
1.如图所示，E、F分别为四边形ABCD的边AD、BC上的点，且四边形AECF和DEBF都 是平行四边形，AF和BE相交于点G，DF和CE相交于点H．求证：四边形EGFH为平 行四边形．
一、平行四边形
2.如图所示，平行四边形在 ABCD中，E、F分别为BC、AD上的点，且BE＝DF， 求证：∠AEC＝∠AFC．
（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 例题：
1.如图，若口ABCD与口EBCF关于B，C所在直线对称， ∠ABE＝90°，则∠F＝______．
例题：三角形的中位线
1.如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR 的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大 C．线段EF的长不变
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B．线段EF的长逐渐变小 D．无法确定
二、矩形
1.矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 注意：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角. 2.矩形的性质 （1）矩形具有平行四边形的所有性质； （2）矩形的对角线相等； （3）矩形的四个角都是直角； （4）矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.
2.如图，在口ABCD中，AC、BD交于点O，AE⊥BC于E，EO 交AD于F，求证：四边形AECF是矩形．
五、综合
3.已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE ＝ AF． （1）求证：BE ＝ DF； （2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM ＝ OA，连接EM、FM．判断四 边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．
五、综合
4.如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点(不与点A，B重合)，连接DE， 点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作 EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH. (1)求证:GF=GC; (2)用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明.
四、正方形
2.如图，点O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分 ∠COB，CF⊥OF于点F． （1）求证：四边形CDOF是矩形； （2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．
五、综合
1.平行四边形之间的关系
五、综合
2.顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状
三、菱形
1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 注意：菱形的定义的两个要素：
二、矩形
3.矩形的判定 （1）定义法：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形.
例题：矩形的判定 1.已知：平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE. （1）求证：△BEC≌△DFA； （2）连接AC，若CA＝CB，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结 论.
一、平行四边形
3.如图所示，在 平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若∠EAF＝ 60°，BE＝2 ，DF＝3 ，求AB，BC的长及平行四边形 ABCD的面积．
一、平行四边形
4.三角形的中位线 （1）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. （2）定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 注意： （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小 三角形的周长为原三角形周长的 ，每个小三角形的面积为原三角形面积的 . （3）三角形的中位线不同于三角形的中线，注意区分.
例题：矩形的性质
1、如图所示，在矩形ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且BE＝DF． 求证△ABE≌△CDF．
二、矩形
2.如图,在矩形ABCD中，F是BC边上的一点，AF的延长线交DC的延长线于G， DE⊥AG于E，且DE＝DC，根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形， 并证明你的结论.
平行四边形
一、平行四边形 二、矩形 三、菱形 四、正方形
一、平行四边形
1.平行四边形的定义 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形 ABCD记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
注意：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四 对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对 角，有两对；对角线有两条.
二、矩形
2.如图所示，已知AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC，且∠BAD＝∠CAE. 求证：四边形BCED是矩形．
二、矩形
4.直角三角形斜边上的中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 例题：直角三角形斜边上的中线性质
1.如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中 点，连接DE，则△CDE的周长为（ ）
例题：菱形的性质
1.如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF ＝2，那么菱形ABCD的周长是( )
2.已知菱形ABCD两对角线AC ＝ 8cm , BD ＝ 6cm , 则菱形的高为________.
3.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为（8，4），则C点的 坐标为_______.
例题：正方形的性质
1.如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶 点E、F分别在BC和CD上．下列结论：①CE=CF；② ∠AEB=75°；③BE+DF=EF； ④S正方形ABCD=2+ √3．其中正确的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
2.如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE 相交于点F，则∠BFC为（ ）
①是平行四边形.②有一组邻边相等. 2.菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： （1）菱形的四条边都相等； （2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. （3）菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的 交点就是对称中心. 注意：菱形的面积公式对角线乘积的1/2.等分成4个三角形推论。
一、平行四边形
3.平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 注意： （1）这些判定方法是学习平行四边形的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能 判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法. （2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形” 的依据.
四、正方形
1.正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 注意：正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 2.正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. （1）边——四边相等、邻边垂直、对边平行； （2）角——四个角都是直角； （3）对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； （4）是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对 称中心.
三、菱形
3.菱形的判定： （1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形. （3）四条边相等的四边形是菱形. 例题：菱形的判定 1.如图,在 ABCD中,E,F分别是AD,BC上的点,且DE=BF,AC⊥EF.求证:四边形AECF是 菱形.
2.如图,在 ABCD中,AC,BD相交于点O,过点C作CE∥BD,交AB的延长线于点E.如果 AC⊥BD,那么∠ACB= °时,四边形BECD是菱形.
一、平行四边形
例题：平行四边形的性质
1.如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，若AF、BE分别为∠DAB、∠CBA 的平分线．求证：DF＝EC．
一、平行四边形
2.如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE＝AF，请你猜想：线 段BE与线段DF有怎样的关系？并对你的猜想加以证明.
A．75° B．60° C．55° D．45°
四、正方形
3.正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：
或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）； 或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.
1.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，且 DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗?请说明理由．
2.平行四边形的性质： （1）边的性质：平行四边形两组对边平行且相等； （2）角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等； （3）对角线性质：平行四边形的对角线互相平分； （4）平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.
注意： （1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质 可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍 半关系. （2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择. （3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应 联系三角形三边的不等关系来解决.
例题：平行四边形的判定
1.如图所示，E、F分别为四边形ABCD的边AD、BC上的点，且四边形AECF和DEBF都 是平行四边形，AF和BE相交于点G，DF和CE相交于点H．求证：四边形EGFH为平 行四边形．
一、平行四边形
2.如图所示，平行四边形在 ABCD中，E、F分别为BC、AD上的点，且BE＝DF， 求证：∠AEC＝∠AFC．
（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 例题：
1.如图，若口ABCD与口EBCF关于B，C所在直线对称， ∠ABE＝90°，则∠F＝______．
例题：三角形的中位线
1.如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR 的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大 C．线段EF的长不变
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B．线段EF的长逐渐变小 D．无法确定
二、矩形
1.矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 注意：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角. 2.矩形的性质 （1）矩形具有平行四边形的所有性质； （2）矩形的对角线相等； （3）矩形的四个角都是直角； （4）矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.
2.如图，在口ABCD中，AC、BD交于点O，AE⊥BC于E，EO 交AD于F，求证：四边形AECF是矩形．
五、综合
3.已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE ＝ AF． （1）求证：BE ＝ DF； （2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM ＝ OA，连接EM、FM．判断四 边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．
五、综合
4.如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点(不与点A，B重合)，连接DE， 点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作 EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH. (1)求证:GF=GC; (2)用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明.
四、正方形
2.如图，点O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分 ∠COB，CF⊥OF于点F． （1）求证：四边形CDOF是矩形； （2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．
五、综合
1.平行四边形之间的关系
五、综合
2.顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状