复变函数与积分变换知识点总复习

解析函数 f (z) 的导数仍为解析函数, 它的 n阶
导数为:
f
(n)
( z0
)
n! 2πi
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz
(n 1,2,)
其中C 为在函数 f (z) 的解析区域 D内围绕 z0 的
任何一条正向简单闭曲线, 而且它的内部全含于 D.
8.调和函数与解析函数的关系
调和函数
满足 Laplace
但u iv不是解析函数。
证明：
因为 u x
2x,
2u x 2
2,
u y
2 y,
2u y 2
2,
2u 2u 2 2 0,所以，u是调和函数。 x2 y2
同理 2v 6x2 y 2y3 , 2v 6x2 y 2y3 , x2 (x2 y2 )3 y2 (x2 y2 )3
2v x 2
解：u(x, y) a ln(x2 y2 ),v(x, y) arct an y ,则 x
u 2ax , u 2ay , v y , v x , x x2 y2 y x2 y2 x x2 y2 y x2 y2 在区域x 0内连续，且 u v , v u 在区域x 0上成立时，2a 1, x y x y 即，当a 1 时，函数f (z)在区域x 0内是解析的。
Байду номын сангаас
而 u y2, u 2xy, v 2xy, v x2,在复平面上
x
y
x
y
处处连续，当x y 0时满足C R方程，
故f (z)仅在(0,0)点可导，在复平面上处处不解析。
2）因为f (z) x2 iy,则u(x, y) x2, v(x, y) y,
而 u 2x, u 0, v 0, v 1,在复平面上
1）定义：
sin z eiz eiz , cos z eiz eiz
2i
2
2）性质： 在复平面内是解析的，且 (sin z) cosz ，(cosz) sin z ．
14. 对数函数
定义: 若 ew z ，则称 w 为复变函数 z 的对数 函数，记为 Lnz ．
w Lnz ln z iArgz
方程
， 2u
x 2
2u y 2
0
且具有二阶连续偏导数的函数称为调和函
数．
定理1 任何一个在区域 E 上解析的函数 f (z) u(x, y) iv(x, y) ，
其实部 u(x, y)与虚部 v(x, y) 都是该区域上的调 和函数．
共轭调和函数:对于给定的调和函数 u(x, y，) 把 使 u(x, y) iv(x,构y) 成解析函数的调和函数 v(x, y) 称为 u(x, y) 的共轭调和函数．
1） ez dz,C : z 2 1;
c z2 ez
3) C (z 1)(z 2) dz,C : z 3;
2) c
eiz z2 1 dz,C :
z 2i
3; 2
ez
4) dz,C : z 2;
C z3
解：
1） ez dz 2ie2; C z2
eiz
2)
C
z
eiz 2
d 1
z
C
z idz zi
z 1. z 1.
4 . 罗朗级数
习题:
1.数列zn
1 1
ni 是否收敛，如果收敛求出它的极限。 ni
解：zn
(1 ni)2 1 n2
1 n2 2ni , 1 n2
lim
n
1 1
n n
2 2
1,
lim
n
1
2n n
2
0,
lim
n
zn
1.
2.判断级数
i
n
的绝对收敛性和收敛性。
n1 n
解：
2v y 2
0, v也是调和函数。
u
iv
x2
y2
i
x2
y
y2
u x
2x,
u y
2 y,
v x
2xy (x2 y2)2
,
v y
x2 y2 (x2 y2)2
由C R条件知，u iv不是解析函数。
5.由调和函数u x2 y2 y,求解析函数f (z) u iv,
满足f (i) i.
n1
2.幂级数
3. 泰勒级数
一些简单函数的泰勒展 开式：
1.ez
zn ,
n0 n!
(1)n z2n1
2.sin z
,
n0 (2n 1)!
(1)n z2n
3.cosz
,
n0 (2n)!
4. 1
zn,
1 z n0
5.
1
(1)n zn ,
1 z n0
z .
z . z .
k 0,1,2,
3)z Ln(1 i) ln1 i iArg(1 i) ln 2 i(arg(1 i) 2k ) ln 2 i( 2k )
4
Im z 2k
4
k 0,1,2,
5.问a为何值时，函数f (z) a ln(x2 y2 ) i arctany x
在区域x 0内是解析的。
第一章 知识点总结
1.复数是指形如 z x iy的数,实部记为 Re z x , 虚部 记为 Imz y .
2. 模: r z x2 y2 辐角: Argz argz 2k 辐角主值: arg z
arctan y x
arg
z
2
arctan
y x
x0
x
0,
y
0
x
0,
y
0
2i
eii ii
e1;
3)
ez
dz,C : z 3;
C (z 1)(z 2)
4)
ez C z3 dz,C : z
2;
解：3）
3)
ez
dz,C : z 3; 4) ez dz,C : z 2;
C (z 1)(z 2)
C z3
4.证明：u(x,
y)
x2
y 2和v
x2
y
y2
都是调和函数，
ln 5 i(arctan( 4) 2k ) ln 5 i((2k 1) arctan4)
3
3
k 0,1,2,
2)(1 i)i
e e e iLn(1i)
i(ln 1i iArg (1i))
i (ln
2 i( 2k )) 4
i ln 2 2k
( 2k )
e 4 e 4 (cos(ln 2) i sin(ln 2))
(e
2
i
)n
ni
e2
cos n i sin n
5)
z1 z2
r1 r2
[cos(1
2
)
i
sin(1
2
)]
r1 e ． i(1 2 ) r2
6)方根运算: n z
wk
(n
z)k
n
i 2k
re n
k 0,1,2n 1
6. 实变复值函数 : z(t) x(t) iy(t)
复变函数:
w f (z) u(x, y) iv(x, y)
x 0, y 0
3.令 z x iy
有如下一些常用的不等式:
xz
yz
z1 z2 z1 z2
z1 z2 z1 z2
4.表示
(3)三角表示: (4)指数表示:
z z (cos i sin) r(cos i sin) z rei
(5)代数表示:
z x iy
5.运算 1)相等; 2)四则运算,及运算规律; 3)共轭运算,及运算规律; 4) z1 z2 r1 r2[cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
) ,w1
3, w2
3( 1 2
i
3 ). 2
2.求下列各式的值： 1）(1 i 3)10; 2) 3 27 ;
3)(1 i)7;
3.讨论下列函数的可导性与解析性。 1) f (z) xy2 ix2 y; 2) f (z) x2 iy;
解：
1）因为f (z) xy2 ix2 y,则u(x, y) xy2, v(x, y) x2 y,
c 1,
即，f (z) x2 y2 y i(2xy x 1).
第三章 知识点总结
1.复数项级数
定理1
lim
n
n
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b.
其中,n an ibn , a ib.
定理2
级数 n (an ibn ) 收敛的充要条件
n1
n1
an 和 bn 都收敛.
n1
所得ln 结z1 果
称为e z的2 ln z1 主值．z1z2
习题： 1.将下列复数化为指数式： 1) 5i; 2)1 3i; 3) 1;
解：
i
1) 5i 5e 2 ;
i
2)1 i 3 2e 3 ; 3) 1 ei ;
2.求下列各式的值： 1）(1 i 3)10; 2) 3 27 ;
3)(1 i)7;
解：
1）1 i
3
10
2e
2 3
i
10
210 (cos20
3
i sin
20
3
)
1024( 1 i 3 ) 512 512 3i 22
2)3
27 3
27ei
3
2k i
27e 3
3
27(cos(
2k
)
i
sin
(
2k
)),
3
3
其中k 0,1,2,
w0
3( 1 2
i
3 2
这里 z0 , z1 为域 B内的两点.
6.柯西积分公式
定理:（柯西积分公式）
如果函数 f (z) 在区域 D内处处解析, C 为 D
内的任何一条正向简单闭曲线, 它的内部完全含
于 D, z0 为C 内任一点, 那么
1 f (z)
f (z0 ) 2πi
dz. C z z0
7.定理:（高阶导数公式）
x
y x y
处处连续，当x 1 时满足C R方程， 2
故f (z)仅在直线x 1 上可导，在复平面上 2
处处不解析。
4.计算： 1）Ln(3 4i); 2)(1 i)i; 3)设1 i ez ,求Im z;
解：
1）Ln(3 4i) ln 3 4i iArg(3 4i) ln 5 i(arg(3 4i) 2k )
2
第二章 知识点总结
1. 曲线: 连续曲线,简单曲线,简单闭曲线,
光滑曲线, 按段光滑曲线.
正方向: 1)起点到终点.
2)当观察者顺此方向前进,曲线C所
围区域在C的左手.
区域: 单连域, 多连域.
2.积分的定义:
n
C
f (z)dz
lim
n k1
f
( k ) zk .
3.积分的性质
设 f (z)，g(z) 在曲线 C 上可积，则
2)函数在区域内解析与它在这一区域可导是等价 的．
3）解析一定可导，但可导不一定解析。
12. 指数函数
1) 定义: expz ez ex (cosy i sin y) 2) 性质:
1. exp z ez 在复平面内处处解析； 2. (expz) expz ； 3. ez 0 ；
13. 三角函数
1)
C
f
(z)dz
C
f
(z)dz ，C 与
C
反向；
2) C Kf (z)dz K C f (z)dz，K 为常数；
4.柯西积分定理
5.“牛顿-莱布尼兹”公式
定理4:
如果函数 f (z) 在单连通域B内处处解析, G(z) 为 f (z)的一个原函数, 那末
z1 z0
f ( )d
G(z1) G(z0 )
dz i )(z
2)
2i
i
1 2
4i ;
i4
2
2
2.计算：
1）2i (z 2)2dz; 2) 2i cos z dz;
2
0
2
解：
1）2i (z 2)2dz (z 2)3
2
3
2i 2
i; 3
2） 2i cos zdz
0
2
2 sin
z 2
2i 0
2 cosi;
3.沿指定曲线计算下列各积分.
定理2 如果 u(x, y)是区域 E 内的调和函数，则 存在一个 v(x, y) ，使 u iv 在 E 内解析．
习题：
1.设C是正向圆周z 1,计算下列各积分的值。
1）
c
dz z2
;
dz
2)
c
co
s
z
;
dz
3)
c
(z
i
)(z
2)
;
解：
2
1)
c
dz z2
0;
2)
c
dz cosz
0;
3)
c
(z
注 1. Lnz 的主值支，记为lnz，即
ln z ln z i arg z
2. Lnz 与lnz之间的关系是： L n z ln z 2ki k 1, 2,
15. 乘幂
z z2 1
定义:
z e z2
z2 Lnz1
1
注:
1.由于
Lnz1是多值的，因而一般来讲
z z2 1
也是多值的．定义中的 Lnz1 如果取主值 ，
解：因为u 2x, u 2 y 1,
x
y
所以，利用C R条件知，
v 2 y 1, v 2x,则v(x, y) (2 y 1)x g( y) c,
x
y
由 v 2x，知g( y) 0,因此，v(x, y) 2xy x c, y
f (z) x2 y2 y i(2xy x c),由f (i) i,得
7. 复变函数导数与微分
f
( z0
)
lim
z z0
f (z) f (z0 ) z z0
dw f (z0 )dz
8. C-R(Cauchy-Riemann)条件
u v , v u ． x y x y
u v , v u ． x y x y
11.解析与奇点 1)定义:如果函数 f (z)在 z0的某一邻域内处处 可导，则称f (z)在 z0处解析；如果 f (z)在区域 E 内每一点解析，则称f (z) 在 E 内解析，或称 f (z)是 E 内的一个解析函数．