天津市天津一中2013届高三上学期一月考文科数学试题

天津一中2012-2013学年高三年级一月考数学试卷（文）一、选择题（每小题5分，共40分） 1. i 是虚数单位,复数2i 1i z -==-( )A ．31i 22+ B ．13i 22+ C ．13i + D ． 3i -2. 已知全集U R =，{|21}x A y y ==+，{||1||2|2}B x x x =-+-<，则()U C A B = （ ） A ．∅ B ．1{|1}2x x <≤ C ．{|1}x x < D ．{|01}x x <<3. 0a <，0b <，则22bap ab=+与q a b =+的大小关系为 （ ）A. p q >B. p q ≥C. p q <D. p q ≤4. 函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为( )A. 3,1-B.2,2-C. 33,2- D. 32,2-5. 已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是( )A ．最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为2π的奇函数 C.最小正周期为π的偶函数 D.最小正周期为2π的偶函数6. 要得到函数x y cos 2=的图象，只需将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点（ ）A ．横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度B.横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度 C.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度 D.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度7. 函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<<⎪⎝⎭的图象是（ ）8. 定义域为{|2}x R x ∈≠的函数()y f x =满足(4)()f x f x -=，(2)()0x f x '-<，若12x x <，且124x x +>，则 （ ）. A ．12()()f x f x < B. 12()()f x f x >C. 12()()f x f x =D. 1()f x 与2()f x 的大小不确定二、填空题（每小题5分，共30分） 9. 已知βα,⎪⎭⎫⎝⎛∈ππ,43，sin(βα+)=－,53 sin ,13124=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πβ则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα=________.10. 在A B C △中，若13tan A =，150C =︒，1B C =，则AB =．11. 已知向量()()()2 111 2m =-=-=-a b c ，，，，，，若()+a b c ，则m = ． 12. 已知a bc ，，为A B C △的三个内角A B C ，，的对边，向量1)=- m ，(cos sin )A A =，n ．若⊥ m n ，且cos cos sin a B b A c C +=，则角B = ．13.如右图，A B 是半圆的直径，点C 在半圆上，C D AB ⊥，垂足为D ，且5A D D B =,设C O D θ∠=，则tan θ= ． 14.在四边形ABC D中，()11A B D C == ，，11BA BC BA BC +=，则四边形ABC D 的面积为 ． 三、解答题：（15,16,17,18每题13分，19,20每题14分）15．已知a b c ，，为A B C △的三个内角A B C ，，的对边，且.21222ac b c a =-+（I ）求B C A 2cos 2sin2++的值；（Ⅱ）若b =2，求△ABC 面积的最大值．xx A ．B ．C ．D ．16．已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域17．已知a b c ，，为A B C △的三个内角A B C ，，的对边，向量(2s i n B ,2c o s 2B )m =-，2B (2sin (), 1)42n π=+- , m ⊥n ．（I ）求角B 的大小；（Ⅱ）若a =1b =，求c 的值．18. 已知函数32()92f x ax bx x =-++,若()f x 在1x =处的切线方程为360 x y +-=.（I ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若对任意的1[,2]4x ∈，都有2()21f x t t ≥--成立，求函数2()2g t t t =+-的最值.19．已知函数22()ln ().f x x a x ax a R =-+∈ （I ）求()f x 的单调区间与极值；（Ⅱ）若函数()f x ∞在区间(1,+)上是单调减函数，求实数a 的取值范围.20．设函数232()cos 4sincos43422x x f x x t t t t =--++-+，x ∈R ，其中1t ≤，将()f x 的最小值记为()g t ．（I ）求()g t 的表达式；（II ）讨论()g t 在区间(11)-，内的单调性并求极值．天津一中2012—2013高三年级一月考数学试卷（文科）答案一、选择题：ABDCDCAB 二、填空题：（每小题5分，共30分）9．6556-10．211．1m =- 12．π613．214三、解答题：（15,16,17,18每题13分，19,20每题14分） 15．（I ）由余弦定理：c o nB =14 si n 22A C ++c os2B = -14（II ）由.415sin ,41cos ==B B 得 ∵b =2，a 2+c 2=12ac +4≥2ac ,得ac ≤38,S △ABC =12ac si nB ≤315(a =c 时取等号) 故S △ABC 的最大值为31516．（I ）()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+1cos 22(sin cos )(sin cos )22x x x x x x =++-+221cos 22sin cos 22x x x x =++-1cos 22cos 222x x x =+-sin(2)6x π=-2T 2ππ==周期∴对称轴方程 ()23k x k Z ππ=+∈（II ）5[,],2[,]122636x x πππππ∈-∴-∈-因为()sin(2)6f x x π=-在区间[,]123ππ-上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，所以 当3x π=时，()f x 取最大值 1又1()()12222f f ππ-=-<=，∴当12x π=-时，()f x取最小值2-所以 函数 ()f x 在区间[,]122ππ-上的值域为[2-17．（I ）20,4sin sin ()cos 22042B m nm n B B π⊥∴⋅=∴⋅++-=222sin [1cos()]cos 220,22sin 2sin 12sin 20,15sin , 0, .266B B B B B B B B B ππππ∴-++-=∴++--=∴=<<∴=或（II ）6,3π=∴>=B b a 此时 ，2222:::2cos ,320,2 1.,sin sin 12sin 0,,1sin 2332,,,2;36222,,, 1.3366ba c ac B c c c cb a BAA A A AA B C c A C c b c πππππππππππ=+-∴-+=∴===∴=∴=<<∴====∴===--=∴=∴= 方法一由余弦定理得或方法二由正弦定理得或若因为所以角边若则角边综上2 1.c c ==或18. （I ）923)(2'+-=bx ax x f ,(1)3(1)3f f =⎧⎨'=-⎩解412a b =⎧⎨=⎩32()41292f x x x x ∴=-++（II ）2()122493(23)(21)f x x x x x '=-+=-- (),()f x f x '∴的变化情况如下表：min ()2f x = m in ()2f x ∴=122--≥t t ，31≤≤-t 2()2g t t t ∴=+- (31≤≤-t ), 当12t =-时,最小值为94-,当3t =时，最大值为1019．（I ）函数22()ln f x x a x ax =-+的定义域为(0,)+∞222121(21)(1)'()2a x ax ax ax f x a x a xxx-++-+-∴=-+==① 当0a =时，1'()0f x x=>，()f x ∴的增区间为(0,)+∞，此时()f x 无极值；② 当0a >时，令'()0f x =，得1x =或1x =-（舍去）()f x ∴的增区间为1(0,)a，减区间为1(,)a+∞()f x ∴有极大值为1()ln f a a=-，无极小值；③ 当0a <时，令'()0f x =，得1x =（舍去）或12x a=-()f x ∴的增区间为1(0,)2a-，减区间为1(,)2a-+∞()f x ∴有极大值为1133()ln ln(2)2244f a a a ⎛⎫-=--=--- ⎪⎝⎭，无极小值； （II ）由（1）可知：①当0a =时，()f x 在区间(1,)+∞上为增函数，不合题意；②当0a >时，()f x 的单调递减区间为1(,)a +∞，依题意，得11a a ⎧≤⎪⎨⎪>⎩，得1a ≥；③当0a <时，()f x 的单调递减区间为1,2a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，依题意，得1120a a ⎧-≤⎪⎨⎪<⎩，得12a ≤-综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞ .法二：①当0a =时，1'()0f x x=>，∴()f x 在区间(1,)+∞上为增函数，不合题意；②当0a ≠时，()f x 在区间(1,)+∞上为减函数，只需'()0f x ≤在区间(1,)+∞上恒成立.220210x a x ax >∴--≥ 只要恒成立，2211, 1.42210aa a a a a ⎧≤⎪∴≤-≥⎨⎪--≥⎩解得或20. （I ）232()cos 4sin cos43422x x f x x t t t t =--++-+222sin 12sin 434x t t t t =--++-+223sin 2sin 433x t x t t t =-++-+23(sin )433x t t t =-+-+．由于2(sin )0x t -≥，1t ≤，故当sin x t =时，()f x 达到其最小值()g t ，即3()433g t t t =-+．（II ）我们有2()1233(21)(21)1g t t t t t '=-=+--1<<，． 列表如下：由此可见，()g t 在区间112⎛⎫--⎪⎝⎭，和112⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增加，在区间1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调减小，极小值为122g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，极大值为42g 1⎛⎫-= ⎪⎝⎭．。