2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市高考数学押题模拟试题(三模)含解析

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市高考数学押题模拟试题
（三模）
一、选择题（共60分）
（一）单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.集合{}|lg(4)A x N y x =∈=-中元素的个数为（）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
2.已知0a b <<，则下列不等式恒成立的是（）
A.1
a b
e
-> B.
2b a
a b
+> C.2
2
ac bc < D.ln()0
b a ->3.已知焦点在x 轴上的双曲线，其中一条渐近线方程为2y x =，则双曲线的离心率为（）
C.2
4.在平面直角坐标系中，向量(1,4)PA = ，(2,3)PB = ，(,1)PC x =
，若A ，B ，C 三点共
线，则x 的值为（）A.2 B.3 C.4
D.5
5.下列说法不正确的是（）
A.甲、乙、丙三种个体按3:1:2的比例分层抽样调查，若抽取的甲种个体数为9，则样本容
量为18
B.设一组样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差为2，则数据14x ，24x ，.…，4n x 的方差为32
C.在一个22⨯列联表中，计算得到2
|χ的值，则2
χ的值越接近1，可以判断两个变量相关
的把握性越大
D.已知随机变量2
~(2,)N ξσ，且(4)0.8P ξ<=，则(04)0.6
P ξ<<=6.我国历史文化悠久，“爰”铜方彝是商代后期的一件文物，其盖似四阿式屋顶，盖为子口，器为母口，器口成长方形，平沿，器身自口部向下略内收，平底、长方形足、器内底中部及盖内均铸一“爰”字.通高24cm ，口长13.5cm ，口宽12cm ，底长12.5cm ，底宽10.5cm.现估算其体积，上部分可以看作四棱锥，高约8cm ，下部分看作台体，则该文物的体积约为
（
）11.5≈12.7≈）
A.3
2774.9cm
B.3
871.3cm
C.3
1735.3cm
D.3
7460.8cm 7.已知122z i =-，2||1z i -=，则21z z -的最大值为（
）
A. B.1+ D.1
D +8.已知函数()ln(1)f x x =+，2
()ln()g x e x =，若直线y kx b =+为()f x 和()g x 的公切线，
则b 等于（）
A.
1
2
B.1ln 2-
C.2ln 2-
D.ln 2
-（二）多项选择题（共4小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9.函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫
=+>< ⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示，则下列关于函数()f x 的说法正确的是（
）
A.()f x 的最小正周期为π
B.()f x 的图象关于7,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
中心对称C.()f x 在7,12
6ππ⎡⎤
-
-⎢⎥⎣⎦上单调递减D.把()f x 的图像向右平移
12
π
个单位长度，得到一个奇函数的图象10.“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（
）
A.在第10行中第5个数最大
B.2222234884
C C C C ++++= C.第8行中第4个数与第5个数之比为4:5D.在杨辉三角中，第n 行的所有数字之和为1
2
n -11.已知平面内动点(,)T x y 满足到定点(0,1)F 的距离和到定直线:1l y =-的距离相等，动
点(,)T x y 的轨迹为曲线E ，则下列说法正确的有（）
A.曲线E 的方程为2
4x y
=B.两条直线y kx =和y kx =-分别交曲线E 不同于原点的C 、D 两点，若直线CD 过点(0,1)，则2
k =C.过点F 的直线与曲线E 交于不同的两点A 、B ，直线OA 与直线l 交于点G ，则直线GB 平行于y 轴
D.点()00,M x y 为曲线E 上定点，其关于y 轴对称点为点N ，则对于曲线E 上异于M 、N 的任一点T ，都有直线NT 与直线MT 的斜率之差为定值12.定义在[0,)+∞的函数()f x 满足()()6f x f x +=，且
|ln(2)|(02)
()sin (23)x x f x x x π-≤<⎧=⎨
<<⎩[]0,3x ∀∈都有(6)()0f x f x -+=，若方程()()f x a a R =∈的解构成单调递增数列{}n x ，则下列说法中正确的是（
）
A.(2023)0
f =B.若数列{}n x 为等差数列，则公差为6C.若12122()3x x x x +=+，则0ln 2
a <<D.若1
1ln 2a -<<，则()232311
6n
i i i x x n n
--=+=+∑二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知θ为钝角，2
cos 2sin 2cos θθθ-=，则cos θ的值为______.
14.已知函数2023
3()2023f x x
x =++的导函数为()f x '，则
(2023)(2023)(2023)(2023)f f f f +-+'-'-=______.
15.如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AD BD AA ===，AD BD ⊥，
145A AB ︒∠=，160A AD ︒∠=，则线段1BD 的长为
______.
16.已知数列{}n a 满足1(0)a a a =>，21a =，{}
1*23max ,3(N )n n n
a a n a ++=
∈，定义
{}max ,x y 表示实数x ，y 中的较大的数，若812a =，则实数a =______，记数列{}n a 的前
n 项和为n S ，则100S 的值为______.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知数列{}n a 满足12
3a =，且121
n n n a a a +=+.
（1）求证：数列11n a ⎧⎫
-⎨
⎬⎩⎭
是等比数列；（2）若1231111
100n
a a a a ++++< ，求满足条件的最大整数n .
18.在长方体1111ABCD A B C D -中，12AB BC CC ==，点P 为棱11C D 上任意一点
.
（1）求证：平面11AA C C ⊥平面BDP ；
（2）若点E 为棱1CC 上靠近点C 的三等分点，求点P 在棱11C D 上什么位置时，平面BDE 与平面PBD 夹角的余弦值为
62
19
.19.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2
2
2
2b a c =-.
（1）求
tan tan A
B
的值；（2）求tan C 的最大值.
20.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.
（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；
（2）如果取到的零件是次品，计算它是第1台车床所加工的概率（结果用分数表示）；（3）参照第（2）问给出判断，求第1，2，3台车床操作员对加工次品分别应承担的份额.
21.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F 、2F
，离心率2
e =，1A 、
2A 分别为椭圆C 的左、右顶点，且12||4A A =.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若O 为坐标原点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，求OAB △面积的最大值；（3）若椭圆上另有一点M ，使得直线1MA 与2A B 斜率1k 、2k 满足212k k =，请分析直线BM 是否恒过定点.
22.已知关于x 方程(12)cos 22a x x +=在区间1,02⎛⎫
- ⎪⎝⎭
内有且只有一个解.（1）求实数a 的取值范围；
（2）如果函数()sin cos ln(12)f x a x x x =-+，求证：()f x 在0,2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上存在极值点0x 和零点1x ；
（3）对于（2）中的0x 和1x ，证明.01(12)cos 2
a x x +>
数学答案
一、选择题：题号12345
6789101112答案
C
B
D
C
C
A
D
B
AD
BC
ACD
ABD
二、填空题：13.5
-
14..14..116.26000
三、解答题：17.（1）
11111
222n n n n a a a a ++==+
，1111112n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
123a =，11112a -=
111a ⎧⎫-⎨⎬
⎩⎭
是以12为首项，12为公比的等比数列（2）由（1）：11112n n a +⎛⎫
-= ⎪⎝⎭，1112n
n a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1211122111
111
212
n
n n n n a a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎛⎫
⎝⎭+++=+=+- ⎪⎝⎭
- 112n
n b n ⎛⎫=+- ⎪
⎝⎭
()112x
f x x ⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭
在()1,+∞↗∴{}n b 单调递增
∴99
n ≤18.（1）证明：在长方体1111ABCD A B C D -中，AB BC = ，BD AC
∴⊥又1AA ⊥面ABCD ，BD ⊂面ABCD ，∴1AA BD ⊥. 1AC AA A ⋂=，且AC ，1AA ⊂面
11AA C C ，
∴BD ⊥面11AA C C ， BD ⊂面BDP ，∴平面11AA C C ⊥平面BDP
（2）以D 为原点，分别以DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系.设13CC =，6AB ∴=，∴(0,0,0)D ，(6,6,0)B ，(0,6,1)E .设点(0,,3)P a ，06a ≤≤.
设面BDE 的一个法向量为(,,)m x y z =
.(6,6,0),DB = ，660DB m x y ⋅=+= .(0,6,1)DE = ，60DE m y z ⋅=+=
.
令1x =，1y ∴=-，6z =，(1,1,6)m ∴=-
.
设面PBD 的一个法向量为(,,)n x y z =
.
(6,6,0)DB = ，660DB n x y ⋅=+= .(0,,3)DP a = ，30DP n ay z ⋅=+=
.
令3x =，3y ∴=-，z a =，(3,3,)n a ∴=-
.
∴
cos ,19m n =<= 2
1538530a a ∴+-=，1a ∴=或5315-06a ≤≤ 1a ∴=.
∴点P 为棱11C D 上靠近点1D 的第一个六等分点时，
面BDE 与面PBD
夹角的余弦值为19
.19.（1）由余弦定理：2
2
2
2cos b a c ac B =+-，2
2
2
2
22cos a c a c ac B
-=+-∴232cos c ac B =，32cos c a B
=由正弦定理：3sin 2sin cos C A B
=3sin()2sin cos A B A B +=，化简得：3cos sin sin cos A B A B =-∴3tan tan B A =-tan 3tan A
B
∴
=-.（2）tan tan tan tan()1tan tan A B
C A B A B
+=-+=--，由（1）知tan 3tan A B
=-∴22tan 2
113tan 3tan t t n an a B B B B C ==
++ 22222b a c a =-<，即b a <∴B 为锐角，tan 0B >
∴
1
3tan tan B B
+≥
∴tan 3C ≤
20.（1）设B =“任取一零件为次品”，i A =“零件为第i 台车床加工”(1,2,3)i =，则123A A A Ω=⋃⋃，且1A ，2A ，3A 两两互斥，根据题意得1()0.25P A =，2()0.3P A =，3()0.45P A =，1(|)0.06P B A =，()2|0.05P B A =，()3|0.05
P B A =由全概率公式，得
112233()()(|)()(|)()(|)
P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.250.060.30.050.450.05=⨯+⨯+⨯0.0525=.
（2）“求次品为第1台车床所加工的概率”，就是计算在B 发生的条件下，事件1A 发生的概率.
1111()()(|)0.250.062
(|)()()0.05257
P A B P A P B A P A B P B P B ⨯=
===.
（3）类似（2），可得22(|)7P A B =，33
(|)7
P A B =.故第1，2台车床操作员应承担
27，第3台车床操作员应承担37
.
21.（1）由已知，2a =
，c =，则1b =，则有C ：2
214
x y +=；（2）由于直线l 不能与y
轴垂直，故设:l x my =
2244
x y x my ⎧+=⎪⎨
=+⎪⎩
，代入可得22(4)10m y ++-=216(1)0m ∆=+>恒成立，设()11,A x y ，()22,B x y ，
则有122234y y m -+=
+，12
21
4
y y m -=
+224(1)||4
m AB m +=+点O 到直线l
的距离为d =
所以123||1
32OAB
S AB d =⋅=≤+
△
当且仅当：m =时取最大值；（3）设直线MB 的方程为x ny t
=+22440x y x ny t
⎧+-=⎨
=+⎩，代入可得222
(4)240n y nty t +++-=224(4)0n t ∆=-->，可设()22,B x y 、()33,M x y 则有23224nt
y y n -+=+，2232
44
t y y n -=+由于12221
4MA MA b k k a ⋅=-=-且21
2BA MA k k =可得221
2MA BA k k ⋅=-
即32231
222y y x x ⋅=---，即222323(2)(2)()(2)0n y y n t y y t ++-++-=即222222
(2)(4)2(2)(2)044
n t n t t t n n +---++-=++由于20t -≠，化简得23t =，即直线MB 恒过定点2,03⎛⎫
⎪
⎝⎭
22.（1）令2
()cos 212h x a x x
=-+，(0)2h a =-当1,02x ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
时，
2212x >+，0cos 21x <<
若2a ≤，则2
()2012h x x
<-<+，此时无解
若2a >，2
4()2sin 2(12)
h x a x x '=-++，当1
02x -<<时，()0h x '>，则()h x 在1,02⎛⎫-
⎪⎝⎭上为单调递增函数，而112cos 102h a a a a ⎛⎫⎛⎫
-=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，(0)20h a =->，
所以存在(1,0)m ∈-，
使()0h m =，方程有且只有一个解，综上，2a >.（2）由（1）知2
()cos 2()12f x a x h x x
'=-=+，且2a >在0,
4π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上，()h x '为单调递减函数，又(0)4h '=，2420412h a ππ⎛⎫
'=-+<
⎪⎝⎭⎛⎫
+ ⎪
⎝
⎭，所以存在0,
4k π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，()0h k '=，在(0,)k 上()0h x '>，在,
4k π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上，()0h x '<可得()h x 在(0,)k 上为单调递增函数，在,4k π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上为单调递减函数又(0)20h a =->，所以由()0h k >，又20412
h ππ⎛⎫=-<
⎪⎝⎭+
所以()h x 在0,
4π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
上存在唯一零点0x ，当00x x <<时()0h x >，当04
x x π
<<时，
()0h x <，而当42
x ππ
≤<时，()0h x <，
()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一极大值点，()f x 在()00,x 上单调递增，在0,2x π⎛⎫
⎪⎝
⎭上单调递减，
又(0)0f '=，所以0()0f x >，ln(1)02f ππ⎛⎫
=-+< ⎪⎝⎭
，
所以()f x 在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上有唯一零点1x .
（3）先证明：012x x >，因为0102,,2x x x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭，所以只需证明01(2)()0
f x f x <=
000(2)sin 4ln(12)2
a
f x x x =
-+，由（2）知002
(12)cos 2a x x =
+所以00
000000
sin 42sin 2(2)ln(14)ln(14)
(12)cos 212x x f x x x x x x =
-+=-+++可以证明：002sin 2x x >，得0
000
4(2)ln(14)12x f x x x <
-++，
令4()ln(14)12x
x x x
ϕ=-++，22
16()0(12)(14)x x x x ϕ-'=<++，所以()x ϕ在()0,+∞为单调递减函数，
所以()(0)0x ϕϕ<=，于是0(2)0f x <，所以012x x >于是01cos 2cos x x <，又002
cos 2(12)x x a
=+，
所以有
102
cos (12)x x a
<+，又0(12)0x a +>，
所以有01(12)cos 2a x x +>.。