高等应用数学 课件 第1章 函数、极限与连续1.3 极限的运算

sin 3 x
lim
3 3 lim
3 1 3
x 0
x

0
x

0
x
3x
3x

lim
20
二、第一重要极限
sin 5 x
.
x 0 tan 3 x
例 1.23 求 lim
sin 5 x
5
sin 5 x
sin 5 x
1 5
5
lim
cos3x lim 5 x
−3
→3 ( − 3)( + 3)
=
1
1
=
=
→3 + 3
6
11
一、极限的四则运算法则
练习：求极限
2 −4+3
2
→3 −9
解
2 − 4 + 3

→3
2 − 9
( − 1)( − 3)
=
→3 ( + 3)( − 3)
−1
从代数角度，列表观察其变化，得：
x
sin x
x


4


8
0.900316 0.974495


16
y


32
0.993586 0.998394


…
64
0
0.999598
…
1
yx
y sin x
x
o
图1-12
19
二、第一重要极限
sin 3 x
例 1.22 求 lim
x 0
x
分析：该极限为
练习：求极限
解
2 −2+3
2
→1 +5
由于当 → 1时， 2 + 5 → 6 ≠ 0，
故由极限的四则运算法则得：

→1
2 −2+3
2 +5
=
lim ( 2 −2+3)
→1
lim ( 2 +5)
→1
=
1
3
7
一、极限的四则运算法则
如何求函数 lim 的极限？
4x 2 7x
（4） lim
； （5） lim
；
x 3 x 2 10 x 1
x 5 3 x 3
习题 1-3
1. 求下列极限.
(1 2 x) 5 ( x 3) 4
（1） lim
；
x
( x 7) 9
B
（2） lim ( x 1 x) ；
2
x
用公式进行计算。
24
三、第二重要极限
例 1.24 求下列极限
1
2 3x
（1） lim (1 ) ； (2) lim (1 3x) 2 x ；
x 0
x
x
2 3x
解 （1） lim (1 )
x
x
（2） lim (1 3 x)
x 0




1
lim 1
x
x 0

1
lim (1 ) x e
x
x
3

2
e

3
2
1
x
lim (1 x) e
x 0
x
1 x
1 x
1
1
1

1
（3） lim (1 2 ) x lim (1 )(1 ) lim (1 ) (1 ) e e 1 。
x
1.3 极限的运算
目录
极限的四则运算法则
第一重要极限
第二重要极限
无穷小阶的比较
无穷小等价替换原理
教学目标
【知识目标】
理解概念：极限的四则运算法则、等价无穷小、第一重要极限、第二
重要极限等
掌握题型：无穷小阶的比较，求各种类型的极限。
【能力目标】
通过判别极限类型，探求求极限方法与技巧，提高观察能力、概括
5
一、极限的四则运算法则
例1.14
3
−1
lim 2
→2 − 3 + 5
因为分子、分母的极限都存在，且
分母的极限不为0，因此可以直接
带入法则求极限。
解：
lim
3 −1
=
lim ( 3 −1)
→2
→2 2 −3+5 lim ( 2 −3+5)
→2
=
7
3
6
一、极限的四则运算法则
生态良好的文明发展道路，实现中华民族永续发展”
。
23
三、第二重要极限
1
x
1 x
lim (1 ) e
x
x
lim (1 x) e
x 0
（ e 为无理数，且 e 2.718 281 ）
难点剖析：第二重要极限的特点：

①极限类型为“1 ”型未定式；
②函数为幂指函数 y u ( x)
1
f ( x)
x
e ，（其中，函数的底数必须是“1+ 无穷小量”，指数必须是这
个“无穷小量”的倒数）
1 x3
1 ln x
csc x
e ； lim（
1

） e 等都可以归
例如， lim (1 3 ） e ；lim（1 sin x)

x

0
x
x

0
ln x
x
为第二重要极限类型。


=
3 3 −4 2 +2
（1） 2 2
→∞ 7 +5 −1
3
7
3 3 −4 2 +2
（2） 4 2
→∞ 7 +5 −1
用分子和分母同时除以分母变化最快的量
14
一、极限的四则运算法则
型的极限，
根据其分子与分母最高次幂的不同，分为以下三种类型：
15
一、极限的四则运算法则
t 0
x
x
x
即：第二个重要极限的第二种表示形式：
1
x
lim (1 x) e
x 0
22
三、第二重要极限
1 x
lim (1 ) e
x
x
1
x
lim (1 x) e
x 0
（ e 为无理数，且 e 2.718 281 ）
拓展解读：
（1）“”又称作自然底数。在自然界中，植物的生长和动物的繁殖等增长率与自身数
v( x)
形式；
③幂的底数为“1+无穷小量”
；
④幂的指数为“无穷大量”
，且与底数中的“无穷小量”为严格的倒数关系。
⑤极限的结果为无理数 e
结论：求与幂指函数有关的1 型的极限方法-----分析归类后，按照以上特点将所求极
限变形（一般运用幂的法则）
，化为（或部分化为）第二重要极限类型的严格形式，然后套
0
0
型，但是与以上常规 型不同，不能直接（或变形后）通过分子、
0
0
分母约去无穷小因式的方式化为法则型。
结论：求与三角函数或反三角函数有关的
0
型极限的方法-----直接（或运用三角恒等
0
式等方式变形后）代入第一重要极限公式（即 lim
t 0
解
sin t
1 ）进行计算。
t
sin 3 x
sin 3 x
x


2

1
2x
x
6
2
x
1 x
) .
2
x
6
x


2




1
lim 1 e 6
x
x


2




lim 1 (3x)

x 0
(3) lim (1
1
3
( )
3x
2
1



lim 1 (3x) 3 x
量的大小成正比的关系，最终都会与“”产生联系。“”代表了“持续增长”的极限，它
告诉我们要敬畏自然，不能无止境的对自然索取。
（2）在党的二十大报告中，也提到”人与自然是生命共同体，无止境地向自然索取甚
至破坏自然必然会遭到大自然的报复。我们坚持可持续发展，坚持节约优先、保护优先、自
然恢复为主的方针，像保护眼睛一样保护自然和生态环境，坚定不移走生产发展、生活富裕、
x
x
x
x
x
x
x

25
三、第二重要极限
1 x
lim (1 ) e
x
x
1
x
lim (1 x) e
x 0
（ e 为无理数，且 e 2.718 281 ）
总结：由以上例题可以看出，第二重要极限在实际应用时，可将极限形式化为下面的表
示式
lim [1 f ( x)]
x2 x a
b ，求常数 a 和 b 的值.
2. 已知： lim
x 3
x3
x2 1
（3） lim 2
；
x 1 x 5 x 6
x3 1
（6） lim
。
x 3 x 2 5 x
二、第一重要极限
sin x
lim
1
x 0
x
从几何角度，由图 1-12 观察得，在 x 0 点附近， y sin x 与 y x 的图象几乎重合。
（3） lim
= lim · lim = ·
→0
→0
→0
= · lim
0
lim [()] =→
[ lim
()]
→0
→0


= lim / lim = ( ≠ 0)
→0
→0
注：上述法则对于x→∞也是成立的。
→3 +3
=
=
1
3
12
一、极限的四则运算法则
例1.17：求极限
+1−1


→0

解
→0
=
对于分子、分母没有明显
0
公因式的 型未定式，可以先通过变
+1−1

0
( + 1 − 1)( + 1 + 1)
形（分子或分母有理化、三角恒等
变换等），找到其公因式，进而约
且当 x 时，这个相同的量，必须趋于零。
sin(kx)
sin(sin x)
sin(ln x)
1 ； lim
1 ； lim
1 等。
x 0
x
x 1
kx
sin x
ln x
例如： lim
21
三、第二重要极限
（ e 为无理数，且 e 2.718 281 ）
列表观察得：
… -100000 -10000 -1000
4
一、极限的四则运算法则
设 lim = 和 lim = B都存在，则：
→0
→0
（1） lim ±
→0
= lim ± lim = ±
→0
→0
推论
lim ·
（2） lim ·
→0
()
→0 ()
→1
4 − 1 = 3 ≠ 0.
→1
故
4−1
2 −5+4=∞

→1

10
一、极限的四则运算法则
例1.16：求极限
解
−3
2
→3 −9
0
型的极限--该类型的分子、
0
−3

→3 2 − 9
分母一般有极限为0的公因
式，先约去公因式，化为法
则型，再利用法则进行运算.
例1.15：求极限
解
+2

→2 −2
因为分母极限为0，所以不属于法则型。
1

=∞（无穷小与无穷大的关系）
→2 −2
A
型的极限为极限不存在的
0
特殊类型,其结果均为∞.
+2
所以
=∞
−2
→2
9
一、极限的四则运算法则
练习：求极限
4−1
2
→1 −5+4
解
因为 （ 2 − 5 + 4） = 0,
→0
1

极限lim 可以应
→0
用极限的四则运算法
则吗？
分析： lim = 0; lim = 1
→0
→0
lim =lim · lim = 0 × 1 = 0
→0
→0
→0
1
极限lim 不存在，
→0
不符合法则应用条件
8
一、极限的四则运算法则
去，化为法则型。
( + 1 + 1)
→0
=
→0
1
+1+1
=
1
2
13
一、极限的四则运算法则
例1.18：求极限
解
3 3 −4 2 +2
3 2
→∞ 7 +5 −1
4
2
3− 2 + 3
3 3 −4 2 +2
3 2 = 5 1
→∞ 7 +5 −1 →∞ 7+ 2 − 3
e…
2.71828 2.7183 2.720
1 x
lim (1 ) e
x
x
x
1
1
x

1000
10000 100000 …
2.705
20717 2.7182
x
… e
1
1 x
1
在极限 lim (1 ) e 中，令 t ，则 x 时， t 0 ；于是得： lim (1 t ) t e
能力、变形能力及分析问题、解决问题的能力。
如何求函数
=
−
的极限？

可否使用极限的四则
运算法则进行求解？
分析：
函数 =
−
是由

= 2 、 = 、 = 这三个
基本初等函数经过四则运算形成的初等函数。
并且 = 2 、 = 、 = 函数极限都是存在的。
cos3x
1
解 lim
x 0 tan 3 x
x 0 sin 3 x
x 0 sin 3 x
1 3
3
3
3x
sin f ( x)
1。
x百度文库
f ( x)
结论：从上面的例子可以看出，第一个重要极限的一般应用形式为：lim
说明：使用第一重要极限类型求极限时，要注意：正弦后面的量和分母是同一个量；
例1.21：求极限
解
型。
--经过通分、分子有理化等方式，整理后转化为可求解类
16
1、极限的四则运算法则（法则型）
2、未定型的极限类型（非法则型）
17
练习
习题 1-3
1. 求下列极限.
x2
（1） lim 2
；
x2 x 4
A
x3
（2） lim 2
；
x 3 x 9
2 x 2 3x 1
26
练习
习题 1-3
A
3. 求下列极限.
sin 7 x
；
x 0 sin 5 x
（1） lim
3 3x
（4） lim (1 ) ；