2022-2023学年辽宁省大连市高三(下)第一次模拟数学试卷+答案解析(附后)

2022-2023学年辽宁省大连市高三（下）第一次模拟数学试
卷
1. 已知，i 为虚数单位，若
为实数，则
( )
A.
B. C. 3 D.
2. 如图所示的Venn 图中，A ，B 是非空集合，定义集合
为阴影部分表示的集合，若
，
，则
( )
A.
B.
C.
D.
3. 已知随机变量，且
，则
( )
A.
B.
C.
D.
4. 如图，在正方体
中，异面直线
与
所成的角为( )
A.
B.
C.
D.
5. 6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则甲得到4本的概率是( )
A.
B.
C.
D.
6. 牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法.对于非线性可导函数
在
附近一点的
函数值可用
代替，该函数零点更逼近方程的解，以此法连续迭
代，可快速求得合适精度的方程近似解.利用这个方法，解方程
，选取初始值
，在下面四个选项中最佳近似解为( )
A. B. C.
D.
7. 已知对于每一对正实数x ，y ，函数
满足：
，若
，则满足
的n 的个数是( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
8. 已知点P为平面直角坐标系xOy内的圆上的动点，点，现将坐标平面沿y轴折成的二面角，则A，P两点间距离的取值范围是( )
A. B. C. D.
9. 在中，若，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
10. 阅读数学材料：“设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为…，其中…，k，
为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面
和平面为多面体M的所有以P为公共点的面.”
解答问题：已知在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，，则下列说法正确的是( )
A. 四棱柱在其各顶点处的离散曲率都相等
B. 若，则四棱柱在顶点A处的离散曲率为
C.
若四面体在点处的离散曲率为，则平面
D. 若四棱柱在顶点A处的离散曲率为，则与平面的夹角为
11. 定义在R上函数，则( )
A. 存在唯一实数a，使函数图像关于直线对称
B. 存在实数a，使函数为单调函数
C. 任意实数a，函数都存在最小值
D. 任意实数a，函数都存两条过原点的切线
12. 已知直线l：与椭圆交于A，B两点，点F为椭圆C的下焦点，则下列结论正确的是( )
A. 当时，，使得
B. 当时，，
C. 当时，，使得
D. 当时，，
13. 若，则______ .
14. 已知单位向量，的夹角为，若，则记作已知向量，，则______ .
15. 早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，根据图上尺寸，溢流孔ABC 所在抛物线的方程为______ ，溢流孔与桥拱交点A的横坐标为______ .
16. 甲、乙、丙三人每次从写有整数m，n，的三张卡片中各摸出一张，并按卡片上的数字取出相同数目的石子，放回卡片算做完一次游戏，然后再继续进行，当他们做了次游戏后，甲有22粒石子，乙有9粒石子，丙有9粒石子，并且知道最
后一次丙摸的是k，那么做游戏次数是______ .
17. 从①②③中选择一个条件补充到题目中：①，
②，③，
解决下面的问题.
在中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，且_____.
求角A；
若D为边AB的中点，，求的最大值.
18. 如图，平面五边形ABCDE中，是边长为2的等边三角形，，
，，将沿AD翻折，使点E翻折到点
证明：；
若，求二面角的大小，以及直线PB与平面PCD所成角的正弦值.
19. 在正项数列中，，
求；
证明：
20. 国学小组有编号为1，2，3，…，n的n位同学，现在有两个选择题，每人答对第一题的概率为，第二题的概率为，每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛规则如下：
①按编号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮比赛，先答第一题；
②若第…，号同学未答对第一题，则第i轮比赛失败，由第号同学继续比赛；
③若第…，号同学答对第一题，再答第二题，若该生答对第二题，则比赛在第i轮结束；若该生未答对第二题，则第i轮比赛失败，由第号同学继续答第二题，
且以后比赛的同学不答第一题；
④若比赛进行到了第n轮，则不管第n号同学答题情况，比赛结束.
令随机变量表示n名同学在第X轮比赛结束，当时，求随机变量的分布列；
若把比赛规则③改为：若第…，号同学未答对第二题，则第i轮比赛失败，第号同学重新从第一题开始作答.令随机变量表示n名同学在第Y轮比赛结束.
求随机变量的分布列；
证明：随n增大而增大，且小于
21. 已知双曲线和集合
，直角坐标平面内任意点，直线l：称为点N关于双曲线C的“相关直线”.
若，判断直线l与双曲线C的位置关系，并说明理由；
若直线l与双曲线C的一支有2个交点，求证：；
若点，点M在直线l上，直线MN交双曲线C于A，B，求证：
22. 已知函数，是的导函数，且
求a的值，并证明函数在处取得极值；
证明：在区间有唯一零点.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：，
由于为实数，则，所以，
故选：
求出，再由为实数，能求出
本题考查实数值的求法，考查复数的运算法则、实数的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：由Venn图可知，，
因为，，
则，，
因此，
故选：
分析可知，求出集合A、、，即可得集合
本题考查集合的应用，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由，知，
故
故选：
根据正态分布的定义，先求出，再结合即可得到答案．
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：如图，连接，BD，
由正方体的结构特征可知，，
异面直线直线与所成的角为，
为等边三角形，
故选：
由，得异面直线与所成的角为，由为等边三角形，即可求出异面直线与所成的角．
本题考查两异面直线所成角的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，是基础题．
5.【答案】A
【解析】解：分三种情况讨论：
①三人每人2本，有种不同的分法，
②三人中一人1本，一人2本，一人3本，有种不同的分法，
③三人中一人4本，其余2人各1本，有种不同的分法，
则有种不同的分法，
其中甲分得4本，其余2人各1本，有种不同的分法，
则甲得到4本的概率是
故选：
分三种情况讨论即可：①三人每人2本，②三人中一人1本，一人2本，一人3本，③三人中一人4本，其余2人各1本．
本题考查排练组合，考查古典概型，属于中档题．
6.【答案】D
【解析】解：设，则，
，，，
则，
令，解得，
，，
则，
令，解得，
故选：
根据牛顿迭代法的运算法则，由求出再求出，结合选项得到最佳近似解．
本题考查导数运算、考查数学运算能力，正确理解题意是关键，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：函数满足：，
令得，，即，
令得，，，
，
，
，
……
，
累加得，……，
……，
即当时，，
令得，，
解得或1，
又，，
即满足的n的个数是1个．
故选：
令得，，所以，先令求出
的值，再利用累加法可求出的解析式，从而求出满足的n的个数．本题主要考查了抽象函数的应用，考查了累加法求和，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：记坐标系二，三象限所在半平面为半平面，
①当P在y轴左侧时，为平面解析几何问题
②当P在y轴上及右侧时，如图建系，则，
设，，
，
其中，，则，，
，
综上所述：A，P两点间距离的取值范围是
故选：
分当P在y轴左侧时与P在y轴上及右侧，分别进行计算可求A，P两点间距离的取值范围．
本题考查圆的几何性质，考查翻折问题，属中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：，，，
，，，且，
，
A不一定等于B，错误，A错误；
，且，
，即，B正确；
，且不一定等于，错误，C错误；
，D正确．
故选：
根据及二倍角的正弦公式、切化弦公式、三角函数的诱导公式即可得出
，从而得出，然后可判断A错误；根据
即可判断B的正误；根据
可判断C错误；根据可判断D的正误．
本题考查了二倍角的正余弦公式，两角和的正弦公式，，考查了计算能力，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：对于A，当直四棱柱的底面不为正方形时，
其在同一底面且相邻的两个顶点处的离散曲率不相等，故A错误；
对于B，若，则菱形ABCD为正方形，
平面ABCD，AB，平面ABCD，
，，
直四棱柱在顶点处的离散曲率为，故B正确；
对于C，在四面体中，，，
，
四面体在点上的离散曲率为，
解得，由题意知，，，
直四棱柱为正方体，
平面，平面，
，
，，平面，
平面，，
同理，，
，，平面，
平面，故C正确；
对于D，直四棱柱在顶点A处的离散曲率为，则，是等边三角形，
设，则是与平面的所成角，
，故D错误．
故选：
根据题意求出线线夹角，再代入离散曲率公式，对四个选项逐一分析判断，结合线面垂直的判定定理和性质能求出结果．
本题考查直四棱柱、四面体的结构特征、离散曲率、立体几何等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于A，若函数图象关于直线对称，则恒成立，
所以且，所以，解得，
且当时，，
则
，
所以存在唯一实数a，使函数图象关于直线对称，故A正确；
对于B，，，则，所以函数不是单调函数，故B
不正确；
对于C，由于，又令，则
恒成立，
所以在上单调递增，且，；，，故存在
唯一的零点，
使得，所以当时，，函数单调递减，当时，
，函数单调递增，
故对任意实数a，函数都存在最小值，故C正确；
对于D，由于，设曲线上的切点坐标为，
则，
所以切线方程为，当切线过原点时，
有，
整理得，方程在实数范围内有两个根，故D正确．
故选：
根据对称性先用特殊值求得a的值，即可判断A；根据导函数的性质即可判断B，C；根据导数的几何意义求解切线方程，代入原点判断方程的实根个数即可判断
本题考查导数的综合应用，属于中档题．
12.【答案】BCD
【解析】解：，又，，故A错误；
设AB的中点，，，
，，两式相减得，
又，，，，又，
得到点M的轨迹方程为：，
，故B正确；
联立直线与椭圆方程可得，，解得，
，，故C 正确；
由点差法可得点M的轨迹方程为：，
，故D正确．
故选：
利用抛物线性质，结合每个选项计算可判断其正确性．
本题考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：若，
所以，
两边同时平方得，
则
故答案为：
由已知结合和差距公式，二倍角公式及同角平方关系可求．
本题主要考查了和差距公式，二倍角公式及同角平方关系的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
，
故答案为：
由数量积公式计算，再由模长公式计算
本题考查了平面向量数量积和模长公式，属于中档题．
15.【答案】，
【解析】解：根据题意，设桥拱所在抛物线的方程为，，溢流孔ABC所在方
程为，
由它们均过，代入可得，，
解可得：，，
可得桥拱所在抛物线的方程为，溢流孔ABC所在方程为，
则右边第二个溢流孔所在方程为，
则有，解可得：或即溢流孔与桥拱交点A的横坐标为，故答案为：，
根据题意，设桥拱所在抛物线的方程为，，溢流孔ABC所在方程为
，运用待定系数法，求得p，，可得右边第二个溢流孔所在方程，联立抛物线方程，可得所求．
本题考查抛物线标准方程的综合应用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】略
17.【答案】解：选①，由余弦定理得：，
又，所以，
得，
因为，所以；
选②，因为，由正弦定理得：，
整理得：，
由余弦定理得：，
因为，所以；
选③，因为，由正弦定理得：，即，
又因为，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，即；
在中，设，
由正弦定理得，
所以，
，其中，
当时取等号，所以的最大值是
【解析】选①，利用余弦定理可得，再结合面积公式，
可得，进而求解；
选②，由结合正弦定理可得，再结合余弦定理可得，进而求解；
选③，由结合正弦定理可得
，进而得到，进而求解；
在中，设，由正弦定理可得，进而得到
，进而求解．
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．
18.【答案】证明：取AD的中点O，连接OC、OE，
是边长为2的等边三角形，
，，翻折后有，
，，，，
，OP，平面POC，平面POC，
，，平面POC，
又平面POC，，
解：由得，，
二面角的平面角为，
在中，，，
由余弦定理得，，
二面角的大小是，
在平面POC内作，交PC于M，平面POC，
以O为坐标原点，OA，OC，OM为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由得，四边形OABC为矩形，又，，
则，，，，，
，，，
设平面PCD的一个法向量为，
则，令，则，，
平面PCD的一个法向量为，
设直线PB与平面PCD所成角为，
则，
直线PB与平面PCD所成角的正弦值为
【解析】取AD的中点O，连接OC、OE，可得，进而可得，可证
平面POC，可证结论；
可求二面角的大小是，以O为坐标原点，OA，OC，OM为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面PCD的一个法向量与直线PB的一个方向向量，可求直线PB与平面PCD 所成角的正弦值．
本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，属中档题．
19.【答案】解：依题意，当时，由，
可得，
即，
，
数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
，，
，，
，
证明：由题意及，
可得
，
故不等式对任意恒成立．
【解析】由题意当时，由，可得，进一步推导即可发现数列是以1为首项，1为公差的等差数列，通过计算数列
的通项公式即可计算出数列的通项公式；
先将第题数列的通项公式代入题干表达式，再运用裂项相消法进行运算，最后根据不等式的性质即可证明不等式成立．
本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及数列求和与不等式的综合问题．考查了整体思想，分类讨论思想，转化与化归思想，裂项相消法，不等式的运算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
20.【答案】解：由题设，可取值为1，2，3，
，因此的分布列为：
1 2 3
P
可取值为1，2，…，n，
每位同学两题都答对的概率为，则答题失败的概率均为：，
所以时，；当时
，
故的分布列为：
1 2 3…n
P…
证明：由知：，
，故单调递增；
由上得，故
，
，
故
【解析】由题设有，可取值为1，2，3，应用独立事件乘法公式、互斥事件概率求法求各值对应的概率，即可得分布列；
应用二项分布概率公式求取值1，2，⋯，n对应概率，即可得分布列；
由分布列得，定义法判断单调性，
累加法、等比数列前n项和公式求通项公式，即可证结论．
本题考查了独立事件乘法公式、互斥事件、二项分布和离散型随机变量的分布列，属于中档题．21.【答案】解：直线l与双曲线C相切，理由如下：
联立方程组，
①，
，，即，代入①得，
，
，
直线l与双曲线C相切；
证明：由知，
直线l与双曲线的一支有2个交点，则：，
，
，
，
，
；
证明：设，，设，
，
，则，代入双曲线C：，利用M在l上，
即，整理得，，
同理得关于的方程，
即、是的两根，
，，
【解析】直线l与双曲线C相切，理由：联立直线方程和曲线C的方程消去y可得出
①，然后根据得出，然后代入①，得出方程①有二重根即可；
由知，然后根据直线l与曲线C的一支有2个交点
可得出，然后根据可得出，而根据可得出，最后即可得出；
可设，，根据题意设，根据，，得出，从而得出，然后代入双曲线方程，并根据M在l上可得出关于的
方程，同理可得出关于的方程，这样即可得出、是的
两根，从而得出，然后即可得出结论．
本题考查了直线和双曲线相切时，联立直线方程和双曲线方程消去y，得到关于x的一元二次方程，该方程有二重根，共线向量基本定理，向量数乘的几何意义，点在直线或曲线上时，点的坐标满足直线或曲线的方法，考查了计算和推理能力，属于难题．
22.【答案】解：，则，令，得
，
，，
当时，，，故在单调递增；
当时，令，则，
在区间上，，故是上的减函数，
，即在区间上，，
是上的减函数，
综上所述，在处取得极大值；
证明：由知，，
，，
在区间至少有一个零点，
以下讨论函数在区间上函数值的变化情况：
由，令，则，
令，上，解得，，
①当时，在区间上，，递减，；
在区间上，，递增，，
故存在唯一实数，使得，即，
故在上，，递减，，
在上，，递增，而，
故在上，，当且仅当时，，故在上有唯一零点；
②对任意正整数k，在区间上，，递减，
，
在区间上，，递增，，
故存在唯一实数，使得，
即，在上，，，递减，
在上，，，递增，
，，
，可得在上有唯一零点，即在上有唯一零点，综上，在区间有唯一零点．
【解析】求出原函数的导函数，由可求得a，再由导数可得原函数的单调性，即可证明在处取得极值；
由零点存在性定理可知在区间至少有一个零点，再分及k 为正整数讨论即可得证．
本题考查导数运算、利用导数研究函数的单调性、极值与最值，考查分类讨论思想，考查运算求解能力及逻辑推理能力，属于较难题目．。