2019-2020学年福建省泉州市永春一中高一新生夏令营学科素质测试数学试题(解析版)
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2019-2020学年福建省泉州市永春一中高一新生夏令营学科
素质测试数学试题
一、单选题 1.下列各点中与2,
6π⎛⎫
⎪⎝
⎭
不表示极坐标系中同一个点的是( ) A .112,6π⎛⎫-
⎪⎝⎭ B .132,
6π⎛⎫
⎪⎝⎭
C .112,
6π⎛⎫
⎪⎝⎭
D .232,6π⎛
⎫-
⎪⎝⎭
【答案】C
【解析】观察四个选项横坐标均为2,因为与极坐标2,
6π⎛⎫
⎪⎝
⎭
相同的点可以表示为2,26k ππ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
()k Z ∈,则判断A ,B ,C ,D 四个选项的纵坐标能否写成+2,6k k Z ππ∈的形式.找出不能用+2,6
k k Z π
π∈形式表示的选项即可.
【详解】 解:与极坐标2,6π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
相同的点可以表示为2,
26k π
π⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
()k Z ∈, A .111
26
6
k y π
ππ=-=-=-
.可以 B .11326
6
k y π
π
π==+=
.可以. C .116y π=
不能用+2,6k k Z π
π∈的形式表示. D .223
466
k y πππ=-=-=-,可以.
只有C .112,
6π⎛⎫
⎪⎝⎭
不可以. 故选:C . 【点睛】
考查极坐标的概念. 极坐标(,)ρθ与,2()()k k ρθ+π∈Z 表示同一个点.解题关键为是否能将选项中的纵坐标写成
2,()6
k k Z π
π+∈的形式.
2.直线34100x y ++=和圆25cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩
的位置关系是( )
A .相切
B .相离
C .相交但不过圆心
D .相交且过圆心
【答案】C
【解析】将圆的参数方程25cos ()15sin x y θ
θθ=+⎧⎨
=+⎩
为参数化成圆的普通方程,则可得其圆
心,和半径r ,再用点到直线的距离公式求出圆心到直线34100x y ++=的距离d ,再将距离d 与圆的半径r 比大小即可解. 【详解】
解:由25cos 15sin x y θθ
=+⎧⎨=+⎩,得圆的普通方程为()()22
2125x y -+-=,
∴圆的圆心为()2,1,半径=5r .
圆心到直线的距离4d =
=.
∵0d r <<,∴直线与圆相交但不过圆心. 故选:C . 【点睛】
考查圆的参数方程化普通方程,考查直线和圆的位置关系,运用了点到直线的距离公式. 点到直线距离公式:点()00,P x y 到直线:0l Ax By C ++=
的距离为:
d =
.
3.将参数方程2sin 2sin 2x y θ
θ=+⎧⎨=⎩
(θ为参数)化为普通方程是( )
A .2y x =-
B .2y x =+
C .()
213y x x =-≤≤
D .()201y x y =+≤≤
【答案】C
【解析】先求自变量x 的取值范围,由1sin 21θ-≤≤的取值范围,可知2sin 2x θ=+的范围.
2sin 2x θ=+①,sin 2y θ=②,再将②-①可消去sin 2θ即可解.
【详解】
解:∵1sin 21θ-≤≤,∴12sin 23θ≤+≤.又∵2sin 2x θ=+, 则有13x ≤≤,由2sin 2x θ=+①,sin 2y θ=②,②-①可得2y x =-,
∴将参数方程2sin 2sin 2x y θ
θ
=+⎧⎨=⎩(θ为参数)化为普通方程是()213y x x =-≤≤,
故选:C . 【点睛】
考查直线的参数方程消参化普通方程,要注意自变量x 的取值范围.经过点()000,M x y ,倾斜角为α的直线l 的参数方程可表示为00cos sin x x t y y t α
α
=+⎧⎨
=+⎩(t 为参数).题目难度较易.
4.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换53x x
y y ''=⎧⎨=⎩
后,曲线C 变为曲线
2241x y ''+=,则曲线C 的方程为( )
A .2225361x y +=
B .2291001x y +=
C .10241x y +=
D .
22
281259
x y += 【答案】A
【解析】将伸缩变换53x x y y
''=⎧⎨=⎩代入曲线22
41x y ''+=中即可解.
【详解】
解:把53x x y y
''=⎧⎨=⎩代入曲线22
41x y ''+=,可得:()()225431x y +=,即
2225361x y +=,
即为曲线C 的方程. 故选:A . 【点睛】
考查平面直角坐标系的伸缩变换,题目较为简单. 伸缩变换:设点(,)P x y 是平面直角
坐标系中的任意一点,在变换,(0)
:,(0)x x y y λλϕμμ'=⋅>⎧⎨'=⋅>⎩
的作用下,点(,)P x y 对应到点
(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
5.已知点M 的极坐标是2,6π⎛
⎫
--
⎪⎝
⎭
,它关于直线2
πθ=
的对称点坐标是( )
A .112,
6
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
B .72,
6
π⎛⎫- ⎪⎝
⎭
C .2,6π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
D .112,6
π⎛⎫--
⎪⎝
⎭
【答案】B
【解析】利用极坐标的意义作出极坐标点M ,再做出点M 关于2
πθ=的对称点N ,则
可得出其极坐标. 【详解】
解:作出极坐标是2,6π⎛⎫-- ⎪⎝
⎭的点M ,如图,
它关于直线2
πθ=的对称点是N ,其极坐标为2,
6π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
或72,
6
π⎛⎫- ⎪⎝
⎭
. 故选:B .
【点睛】
考查极坐标的概念,以及对称点的求法.题目较易.
6.将点的直角坐标(2,23-化为极径ρ是正值,极角在0到2π之间的极坐标是( ) A .24,
3
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
B .54,
6
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
C .3,
6π⎛⎫
⎪⎝
⎭
D .3,
3π⎛⎫
⎪⎝
⎭
【答案】A
【解析】由P 点的直角坐标(2,23-,可得22,tan y
x y x
ρθ=+=
,再利用P 点在第二象限且极角在0到2π之间即可求. 【详解】
解:∵点P 的直角坐标(2,23-,
∴()()
2
2
22223
4x y ρ=+=
-+=,23tan 32
y x θ=
==-
又点P 在第二象限,极角θ在0到2π之间,∴23
πθ=. ∴满足条件的点P 的极坐标为24,3
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
. 故选:A . 【点睛】
考查直角坐标和极坐标的互化. 极坐标概念:点M 的极坐标:设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的∠xOM 叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记为
(,)M ρθ.
7.已知曲线C 的极坐标方程为2
22
12
3cos 4sin ρθθ
=
+,以极点为原点,极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系,则曲线C
经过伸缩变换12x x y y
⎧=⎪⎪
⎨=''⎪⎪⎩
后,得到的曲线是
( ) A .直线 B .椭圆 C .圆 D .双曲线
【答案】C
【解析】将曲线C 的极坐标方程2
2212
3cos 4sin ρθθ
=
+化为普通方程,再将曲线C 的
普通方程进行123x x y y ⎧=⎪⎪
⎨=''⎪⎪⎩
的伸缩变换后即可解.
【详解】
解:由极坐标方程2
22
22
123(cos )4(sin )123cos 4sin ρρθρθθθ
=
⇒+=+, 可得:2
2
3412x y +=,即22
143
x y +=,
曲线C
经过伸缩变换123x x y y
⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩
,可得2x x y =⎧=''⎪,代入曲线C 可得:22
1x y ''+=,
∴伸缩变换得到的曲线是圆. 故选:C .
【点睛】
考查曲线的极坐标方程化普通方程以及曲线方程的变换.
其中将12x x y y ⎧=⎪⎪
⎨=''⎪⎪⎩
转化为
2x x
y
=⎧=''⎪为解题关键. 8.若直线l 的参数方程为2334x t
y t =-+⎧⎨=-⎩
(t 为参数),则直线l 的倾斜角的余弦值为( )
A .45
-
B .3
5
-
C .
35
D .
45
【答案】B
【解析】先将直线l 的参数方程化为一般方程,可得出斜率4
tan 3
k α==-,则直线l 的倾斜角的余弦值可求. 【详解】
解:设直线l 的倾斜角为α,由题意23431034x t
x y y t
=-+⎧⇒+-=⎨=-⎩,
∴4tan 3
k α==-,(,)2πθπ∈,∴3cos 5α=-.
故选:B . 【点睛】
考查直线的参数方程化一般方程,以及直线的倾斜角α.题目较为简单.
9.已知二次函数221y ax ax =++在[]4,2x ∈-上的最大值为4,则a 的值为( ) A .3- B .38
-
C .3
D .3-或3
8
【答案】D
【解析】由题设二次函数221y ax ax =++,所以0a ≠,则可求出其对称轴,再分类讨论当0a <时或0a >时,x 取何值为二次函数221y ax ax =++的最大值,进而求出参数a 的值. 【详解】
由题意得:二次函数221y ax ax =++的对称轴为212a
x a
-=
=-. 当0a <时,二次函数221y ax ax =++图象开口向下,则1x =-时,
为函数221y ax ax =++的最大值. 又∵1[4,2]-∈-,
∴2
1max (1)2114x y y a a a =-==--+=-=,则3a =-.
当0a >时,二次函数221y ax ax =++图象开口向上,∵2,4x x ==- 距对称轴1x =-距离相等,则最大值为
2222214x y a a ==⋅+⋅+=,或24(4)2(4)14x y a a =-=⋅-+⋅-+=,
则有814a +=,38
a =. ∴3a =-或3
8
.
故选:D. 【点睛】
考查二次函数在给定区间求参数值,其中运用了分类讨论的思想,解题关键为求出二次
函数的对称轴.二次函数一般形式:2
(0)y ax bx c a =++≠,对称轴为2b x a
=-
. 10.参数方程21,11x t
y t t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
(t 为参数)所表示的曲线是( )
A .
B .
C .
D .
【答案】D
【解析】消参化简整理得2
2
1x y +=,即得方程对应的曲线. 【详解】 将1
t x
=
代入211y t t =-221x y +=,同时x 不为零,且x ,y 的符号一致, 故选:D. 【点睛】
本题主要考查参数方程与普通方程的互化,考查圆的方程,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
11.圆53cos sin ρθθ=+的圆心坐标是()n n n n A .45,3
π⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭
B .5,
3π⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
C .5,
3π⎛⎫
⎪⎝⎭
D .55,
3
π⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
【答案】C
【解析】先将极坐标方程转化为普通方程求出圆心的直角坐标,再由公式求出点的极坐标即可. 【详解】
553cos sin ρθθ=+两边都乘以ρ得2553cos sin ρρθρθ=+,
将222
cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+代入,
2250x y x ∴+--=,
∴圆心直角坐标是5,22⎛ ⎝⎭
,
2
2
222
5sin 25,tan 2cos x y ρθρθρθ⎛⎫∴=+=+=== ⎪⎝⎭⎝⎭
即5,3
π
ρθ∴==,故圆心极坐标是5,
.3π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
故选:C. 【点睛】
本题考查简单曲线圆的极坐标方程,解答的关键是圆的极坐标转化为普通方程,写出圆心坐标,再将其转化为极坐标.本题属于基本题.
12.在极坐标系中,点(),ρθ与(),ρπθ--的位置关系为( ) A .关于极轴所在直线对称 B .关于极点对称 C .重合 D .关于直线()2
R π
θρ=
∈对称
【答案】A
【解析】由点(),ρπθ--和点(,)ρθ-为同一点. 则比较点(,)ρθ-和点(),ρθ,可推出点(),ρθ与(),ρπθ--的位置关系. 【详解】
解:点(),ρπθ--与点(),ρθ-是同一个点,(),ρθ-与点(),ρθ关于极轴对称.∴点
(),ρθ与(),ρπθ--关于极轴所在直线对称.
故选:A. 【点睛】
考查极坐标的位置关系.题目较为简单,要掌握极坐标的概念.
13.已知三个方程:①2x t y t =⎧⎨=⎩②2tan tan x t y t =⎧⎨=⎩③2sin sin x t
y t =⎧⎨=⎩
(都是以t 为参数).那么表
示同一曲线的方程是( ) A .①②③ B .①②
C .①③
D .②③
【答案】B
【解析】将参数方程转化为普通方程,且注意变量的范围,进而判断. 【详解】
①化为普通方程为x 2=y ②化为普通方程为x 2=y
③化为普通方程为x 2=y ,(-1≤x≤1),可得①②表示同一曲线,故选B 【点睛】
本题考查了参数方程和普通方程的互化,由参数方程化为普通方程,消去参数,消参数的方法有代入法、加减(或乘除)消元法、三角代换法等.在参数方程与普通方程的互化中,必须使x ,y 的取值范围保持一致.
14.能化为普通方程210x y +-=的参数方程为( )
A .2sin ,
cos x t y t =⎧⎨=⎩
(t 为参数)
B .2
tan ,
1tan x y ϕϕ
=⎧⎨=-⎩(ϕ为参数)
C .x y t
⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)
D .2
cos ,
sin x y θθ
=⎧⎨
=⎩(θ为参数) 【答案】B
【解析】A:21,[1,1]y x x =-∈- ;B 2
1,y x x =-∈R ;C:2
1,[0,)y x x =-∈+∞ ;D:
21,[1,1]y x x =-∈-,所以选B.
点睛:化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数,常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法,经常用到公式:
22221
cos sin 1,1tan cos θθθθ
+=+=
.不要忘了参数的范围. 15.两圆4cos ρθ=,4sin ρθ=的公共部分面积是( ) A .
142
π
- B .24π-
C .
12
π- D .
2
π 【答案】B
【解析】由两圆的极坐标方程4cos ρθ=,4sin ρθ=可求出两圆的标准方程,再求出两圆的交点,四边形OABC 为正方形,则公共面积可求.公共面积
11
2()42
B OAB
C S S S =-e .
【详解】
解:两圆4cos ρθ=,4sin ρθ=的直角坐标方程分别为B :()2
224x y -+=. A :()2
224x y +-=,
圆心分别为B ()2,0,A ()0,2,半径都等于2.
两个圆的交点为O ()0,0,C ()2,2,则公共面积为11
2()42
B OAB
C S S S =-
e ,
故公共部分面积是2
112222244
2ππ⎡⎤
⨯-⨯⨯=-⎢⎥⎣⎦
. 故选:B . 【点睛】
考查将圆的极坐标方程化为圆的标准方程,和两圆相交公共面积的求法.其中求两圆的相交面积为难点,需多思考.
二、填空题
16.在极坐标系中,若点A 、B 的极坐标分别为3,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭,74,6π⎛⎫
⎪⎝⎭
,则AOB ∆(O 为
极点)的面积等于______. 【答案】3
【解析】O 为极点,先求出AOB ∠的大小,已知AO 和OB 的边长,再根据三角形面积公式1
sin 2
S AO OB AOB =⋅⋅⋅∠即可解. 【详解】
解:由题意,75636
AOB πππ∠=
-=,3AO =,4OB =, ∴AOB ∆(其中O 为极点)的面积为1534sin 326
π
⨯⨯⋅=.
故答案为:3. 【点睛】
考查极坐标系中三角形面积的求法,解题关键为三角形面积公式
1
sin 2
S AO OB AOB =⋅⋅⋅∠.题目较为简单.
17.在直角坐标系xoy 中,圆M 的参数方程为12cos 22sin x t
y t =+⎧⎨
=-+⎩
(t 为参数),以坐标
原点为极点,以x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为
sin cos m ρθρθ-=,()m R ∈.若直线l 与圆M 相交于A ,B 两点,MAB ∆的面积
为2,则m 值为_______. 【答案】1-或5-
【解析】先将圆M 的参数方程化为标准方程,再将直线l 的极坐标方程化为普通方程,再求出圆心M 到直线l 的距离d ,d 即为MAB ∆的高,再求出底边AB 的长,利用三角形面积公式即可解出m 的值. 【详解】
解:圆M 的参数方程为12cos 22sin x t
y t
=+⎧⎨
=-+⎩ (t 为参数),化为标准
方程:()()2
2
124x y -++=,可得()1,2M -,半径2r =.
直线l sin 4m πθ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭,()m R ∈化为普通
方程:0y x m --=,即0x y m -+=.
∴圆心M 到直线l 的距离d =
=
,
∵MAB ∆的面积为2,∴
1
22AB ⨯=,
又AB =,∴122d ⨯=,解得d =
=1m =-或5-.
故答案为:1-或5-. 【点睛】
考查圆的极坐标化普通方程,直线的极坐标方程化普通方程,点到直线的距离公式.其
中求出圆心M 到直线l 的距离d ,MAB ∆的AB 的边长为解出m 值的关键. 18.直线l :12x at
y t
=⎧⎨
=-⎩(t 为参数),圆C :4sin 4cos ρθθ=-(极轴与x 轴的非负
半轴重合,且单位长度相同),若圆C 上恰有三个点到直线l
,则实数
a =_______.
【答案】4-±【解析】先将直线l 的参数方程化为普通方程,再将圆C 的极坐标方程化为圆的标准方程,再由圆C 上恰有三个点到直线l
,利用点到直线距离公式可求出a 的值. 【详解】
解:直线l 的一般方程为20x ay a +-=,
∵34
πρθ⎛
⎫=-+
⎪⎝
⎭
,∴2
4sin 4cos ρρθρθ=-, ∴圆的直角坐标方程为2244x y y x +=-,即()()2
2
228x y ++-=, ∴圆心为()2,2C -
,半径r =
∵圆C 上恰有三个点到直线l
, ∴圆心C 到直线l
=
4a =-±
故答案为:4-±【点睛】
考查直线的极坐标方程化一般方程,圆的极坐标方程化标准方程,以及圆中求直线解析式的参数问题.其中利用点到直线距离公式为解题的关键.点到直线的距离公式考查较为频繁.
19.若直线y x b =+与曲线{
x cos y sin θθ
== (θ为参数,且)2
2
π
π
θ-
≤≤
有两个不同的交
点,则实数b 的取值范围是_________.
【答案】(
1⎤-⎦
【解析】试题分析:曲线{
x cos y sin θθ
==(θ为参数,且2
2
π
π
θ-
≤≤
)的普通方程为
()2210x y x +=≥,它是半圆,单位圆在y 右边的部分,作直线y x b =+,如图,它
过点()0,1A -时, 1b =-,当它在下方与圆相切时, 2b =-,因此所求范围是
(
2,1b ⎤∈--⎦.
【考点】两曲线的交点个数.
【名师点睛】在数形结合时,既要进行几何直观的分析,又要进行代数抽象的探索,两方面相辅相成,仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的.在解析几何中,我们主要是运用代数的方法来研究几何问题,但是在许多时候,如本题,若能充分地挖掘利用图形的几何特征,将会使得复杂的问题简单化.
20.(选修4-4:坐标系与参数方程) 在直角坐标系
中,以O 为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线的
极坐标方程为,曲线的参数方程为(为参数) ,与C 相交
于
两点,则
.
【答案】
【解析】因为
,所以,所以,即;
由消去得.联立方程组,解得或
,
即
,
,
由两点间的距离公式得
.
【考点】极坐标方程、参数方程与普通方程的转化,两点间的距离.
21.在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为82x t t
y =-+⎧⎪
⎨=⎪⎩
,(t 为参数),曲线C 的参数方程为2
22x s y s
⎧=⎪⎨=⎪⎩,
(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点,点P 到直线l 的
距离的最小值为__________. 45
【解析】求出直线l 的普通方程,点P 在曲线C 上,设(
)
2
2,22P s s ,则可求得点P 到直线l 的距离,进而求得答案。
【详解】
直线l 的普通方程为280x y -+=.点P 在曲线C 上,设(
)
2
2,22P s s ,从而点P 到
直线l 的距离2222
24282(2)45
1(2)s s s d -+-+=
=
+-2s =min 45
d =.因此当点P 的坐标为(4,4)时,曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值55
. 【点睛】
本题考查参数方程与普通方程的互化,点到直线的距离公式等,属于简单题。
22.已知点P 是曲线C :2cos 3x y θ
θ
=⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数,2πθπ≤≤)上一点,O 为原点,
若直线OP 的倾斜角为
3
π
,则点P 的直角坐标为___________.
【答案】,55⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎝⎭
【解析】先将曲线C 的参数方程化为直角坐标系方程,再由直线OP 过原点且倾斜角为
3
π
,得出直线OP 的解析式,然后联立方程即可解. 【详解】
解:由题意得,()222cos 043n 1x y y x y θ
θ
=⎧⎪+⇒⎪=⎨
⎩≤=,曲线C 的 直角坐标方程为()22
1043
x y y +=≤①,由直线OP 的倾斜角为3π,则
直线OP
的解析式为:y =②,
联立联立①②
得5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
(舍去)
,或5
x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,
∴点P
的直角坐标为⎛ ⎝
⎭.
故答案为:55⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎝⎭
.
【点睛】
考查曲线的参数方程化为直角坐标系方程,直线的解析式,以及曲线方程中求点坐标的问题.题目难度一般,要注意坐标的取舍.
23.(),P x y 是曲线2cos sin x y θθ
=+⎧⎨=⎩(θ为参数)上任意一点,则()()22
31x y -++的
最大值为____.
【答案】3+【解析】先将曲线的参数方程消参化为标准方程,由()()2
2
31x y -++表示动点P 与
()3,1Q -之间距离的平方,可先求PQ 的距离利用数形结合即可求()()2
2
31x y -++的
最大值. 【详解】
解:∵将2cos sin x y θθ
=+⎧⎨=⎩(θ为参数),消去参数得A :()2221x y -+=,
∴点P 在以A ()2,0为圆心,半径为1的圆上运动, 设()3,1Q -,可得
()()
22
31PQ x y =
-++
∴()()2
2
31x y -++表示动点P 与()3,1Q -之间距离的平方,
∵()()
22
||12301121PQ AQ =+=-++=最大值,
由
)
2
2132=+,即得()()2
2
31x y -++的最大值为322+故答案为:322+. 【点睛】
考查圆参数方程化为标准方程,动点在圆上与圆外定点距离的最大值.利用了数形结合的思想. 其中()()2
2
31x y -++表示动点P 与()3,1Q -之间距离的平方为解题的关键.
24.变量,x y 满足1x t y t
⎧=⎪⎨=-⎪⎩t 为参数),则代数式22y x ++的最小值是__________.
【答案】2
3
【解析】1x t y t
⎧=⎪⎨=-⎪⎩t 为参数)化为直角坐标方程为22
1(0,0)4y x x y +=≥≥ ,
为四分之一椭圆,如图,所以22y x ++的最小值是022
123
PA k +=
=+
25.以平面直角坐标系xOy 的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两
种坐标系中取相同的长度单位,直线l 的参数方程为2
22
21x y ⎧
=+⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
(t 为参数),圆C 的极坐标方程为()4sin cos ρθθ=+.设曲线C 与直线l 交于A 、B 两点,若P 点的直角坐标为()2,1,则PA PB -的值=______. 2【解析】先将圆C 的极坐标方程化为直角坐标系方程,再将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标系方程,得2270t t -=①,又因为方程①两实根的几何意义,则
PA PB -即可解.
【详解】
解:圆C 的极坐标方程为424πρθ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
,即4sin 4cos ρθθ=+, 则2
4sin 4cos ρρθρθ=+,圆C 的直角坐标系方程为2
2
440x y x y +--=, 点()2,1P 在直线l 上,且在圆C 内,
由已知直线l 的参数方程是2
2221x y ⎧
=+⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
(t 为参数)代入22
440x y x y +--=, 得2270t t -=,
设两个实根为1t ,2t
,则12t t +1270t t =-<,即1t ,2t 异号,
所以1212PA PB t t t t -=-=+=
. 【点睛】
考查圆的极坐标方程,直线的参数方程,以及如何利用方程思想研究直线和圆的位置关系问题,要准确理解参数t 的几何意义及应用.
三、解答题
26.己知直线l 的参数方程为132x t
y t =+⎧⎨=+⎩
(t 为参数),曲线C 的极坐标方程为
2sin 16cos 0ρθθ-=,直线l 与曲线C 交于A 、B 两点,点()13P ,.
(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;
(2)求11
PA PB
+的值. 【答案】(1)21y x =+ ,2
16y x = ;(2
)
35
. 【解析】(1)直线的参数方程消去t 可求得普通方程。
由直角坐标与极坐标互换公式
222
cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩,求得曲线C 普通方程。
(2
)直线的参数方程改写为135x y ⎧=+
⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
(t 为参数),由t 的几何意义求值。
【详解】
()1直线l 的参数方程为1(t 32x t
y t
=+⎧⎨
=+⎩为参数),消去参数,可得直线l 的普通方程y 2x 1=+,
曲线C 的极坐标方程为2
ρsin θ16cos θ0-=,即2
2
ρsin θ16ρcos θ=,曲线C 的直角坐标方程为2
y 16x =,
()2
直线的参数方程改写为13x y ⎧=⎪
⎪⎨
⎪=⎪⎩
(t 为参数), 代入2y 16x =
,
24t 705-=
,12t t +=1235t t 4=-,
1212t t 11PA PB t t -+==. 【点睛】
由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθ
ρθρ=⎧⎪
=⎨⎪+=⎩
,利用这个公式可以实现直角坐标与极坐
标的相互转化。
27.选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程为ρ﹣4cosθ+3ρsin 2θ=0,以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l 过点M (1,0),倾斜角为6
π
. (Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程;
(Ⅱ)若曲线C 经过伸缩变换2x x
y y =⎧⎨=''⎩
后得到曲线C′,且直线l 与曲线C′交于A ,B
两点,求|MA|+|MB|.
【答案】(1)(x ﹣2)2+4y 2=4
,1{
12
x y t =+
=
,(t 为参数)
;(2
【解析】试题分析:
(Ⅰ)极坐标方程化简直角坐标方程可得曲线C 的直角坐标方程为(x ﹣2)
2
+4y 2=4
,利用点的坐标和倾斜角可得直线的参数方程为112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,(t 为
参数);
(Ⅱ)利用题意求得伸缩变换之后的方程,
然后利用弦长公式可得弦长为. 试题解析:
(Ⅰ)∵曲线C 的极坐标方程为ρ﹣4cosθ+3ρsin 2θ=0,∴ρ2﹣
4ρcosθ+3ρ2sin 2θ=0,
∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2﹣4x+3y 2=0,整理,得(x ﹣2)2+4y 2=4, ∵直线l 过点M (1,0),倾斜角为,
∴直线l 的参数方程为,即,(t 是参数). (Ⅱ)∵曲线C 经过伸缩变换
后得到曲线C′, ∴曲线C′为:(x ﹣2)2+y 2=4,
把直线l 的参数方程,(t 是参数)代入曲线C′:(x ﹣2)2+y 2=4, 得:,
设A ,B 对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1+t 2=,t 1t 2=﹣3,
|MA|+|MB|=|t 1|+|t 2|=|t 1﹣t 2|===. 28.(2017新课标全国III ,文22)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中,直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩
(t 为参数),直线l 2的参数方程为2,,x m m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩
(为参数).设l 1与l 2的交点为P ,当k 变化时,P 的轨迹为曲线C . (1)写出C 的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设
()3:cos sin 20l ρθθ+=,M 为l 3与C 的交点,求M 的极径.
【答案】(1)()2240x y y -=≠(25【解析】(1)消去参数t 得1l 的普通方程()1:2l y k x =-;消去参数m 得l 2的普通方程()21:2l y x k
=+. 设(),P x y ,由题设得()()212y k x y x k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩
,消去k 得()2240x y y -=≠.
所以C 的普通方程为()22
40x y y -=≠. (2)C 的极坐标方程为()()222
cos sin 402π,πρθθθθ-=<<≠. 联立()
(
)222cos sin 4,
cos sin 0
ρθθρθθ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩得()cos sin 2cos sin θθθθ-=+. 故1tan 3
θ=-, 从而2291cos ,sin 1010θθ==. 代入()222cos sin 4ρθθ-=得25ρ=,
所以交点M
【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用,重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解,或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点,确定选择何种方程.
29.二次函数()f x 的图象顶点为()1,16A ,且图象在x 轴上截得的线段长为8. (1)求函数()f x 的解析式;
(2)令()()(22)g x f x a x =+-.
(ⅰ)求函数()g x 在[]0,2x ∈上的最小值;
(ⅱ)若[]0,2x ∈时,不等式()17g x ≤恒成立,试求实数a 的取值范围.
【答案】(1)2()215f x x x =-++;(2)(i)分类讨论,详见解析;(ii
)(
-∞. 【解析】(1)先设二次函数()f x 为顶点式,然后根据其顶点为()1,16A ,可知函数()f x 的解析式为2
()(1)16f x a x =-+,由图象在x 轴上截得的线段长为8,利用韦达定理即可解.
(2)(i )先求出函数()g x 的解析式,再根据[]0,2x ∈,分类讨论函数()g x 的对称轴x a =,当0,01,12,2a a a a <≤≤<<≥时,函数()g x 最小值的情况.
(ii )不等式()17g x ≤恒成立转化为函数()g x 在区间[0,2]上最大值小于等于17,再利用分类讨论思想讨论a 的范围即可解.
【详解】
解:(1)由题意设2()(1)16f x a x =-+,与x 轴的交点坐标为1(,0)x ,2(,0)x ∴128x x -=,∵2()216f x ax ax a =-++, 由韦达定理可得1212162,a x x x x a ++=⋅=
. ∴221212121664()44464a x x x x x x a a
+--=+-⋅=-⨯==, ∴1a =-,∴2()215f x x x =-++
(2)222()()(22)215()15g x f x a x x ax x a a =+-=-++=--++,
对称轴为x a =,
(ⅰ)当0a <时,函数()g x 在区间[0,2]为单调减函数,
∴min ()(2)411g x g a ==+;
当01a ≤≤时,函数()g x 在区间[0,]a 上为单调增函数,在区间[],2a 上为单调减函数,
min ()(2)411g x g a ==+.
当12a <<时,函数()g x 在区间[0,]a 上为单调增函数,
在区间[],2a 上为单调减函数,∴min ()(0)15g x g ==.
当2a ≥时,min ()(0)15g x g ==.
∴函数()g x 在[]0,2x ∈上的最小值为min 114,1()151
a a g x a +≤⎧=⎨>⎩,. (ⅱ)①当0a ≤时,()17g x ≤恒成立,只需(0)17g ≤,即1517≤,显然成立,
∴0a ≤. ②当02a <<时,()17g x ≤恒成立,只需()17g a ≤,即21517a +≤,
即a ≤≤∴0a <≤.
③当2a ≥时,()17g x ≤恒成立,只需(2)17g ≤,即41117a +≤, 即32
a ≤,这与2a ≥矛盾,故舍去.
综上所述,a 的取值范围是(
-∞
【点睛】
考查二次函数的解析式,利用函数对称轴与定义域的关系,进行分类讨论.考查二次函数在给定区间的最值和恒成立的问题.分类讨论的思想在函数章节即为重要,需多加练习掌握.。