高中数学必修一第三章 章末检测
人教版高一数学必修第一册第3章测试卷题及答案
第3章 函数概念与性质 章末测试（基础）一．单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分） 1．已知1232x f x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则(6)f 的值为（ ）A ．15B ．7C ．31D ．172．下列四组函数中，()f x 与()g x 表示同一函数是（ ） A ．()1f x x =-，()211x g x x -=+B ．()1f x x =+，()1,11,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩C ．()1f x =，()()01g x x =+D ．()f x =()2g x =3．函数()12f x x -的定义域为（ ） A ．[)0,2B ．()2,+∞C ．()1,22,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．()(),22,-∞+∞U4．已知幂函数()f x 的图象过点(2,2)，则(8)f 的值为（ ）A B C ．D ．5．下列函数中，在区间(0,1) ） A ．2y x = B ．3y x =- C ．1y x=D ．24y x =-+6．设偶函数()f x 的定义域为R ，当[)0,x ∈+∞时，()f x 是增函数，则()2f -，()f π，()3f -的大小关系是（ ）A ．()()()32f f f π>->-B ．()()()23f f f π>->-C ．()()()32f f f π<-<-D ．()()()23f f f π<-<-7．函数211()()1x ax f x a R x ++=∈+，若对于任意的*N x ∈，()3f x ≥恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．8,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)1,-+∞8．若定义在R 的奇函数()f x 在(),0-∞单调递减，且()20f =，则满足()()210x f x ++≥的x 的取值范围是（ ）A ．[][)3,21,--⋃+∞B ．[][]5,32,1--⋃--C ．[][)3,21,--⋃-+∞D ．[][]3,21,1--⋃-二．多选题（每题至少两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分，4题共20分） 9．已知2(21)4f x x -=，则下列结论正确的是 A ．(3)9f =B ．(3)4f -=C ．2()f x x =D ．2()(1)f x x =+10．（新教材人教版必修第一册））设f (x )为偶函数，且在区间(-∞，0)内单调递增，f (-2)=0，则下列区间中使得xf (x )<0的有（ ） A ．(-1，1) B ．(0，2) C ．(-2，0)D ．(2，4)11．已知函数()f x 是偶函数，()1f x +是奇函数，当[]2,3x ∈时，()12f x x =--，则下列选项正确的是（ ） A ．()f x 在()3,2--上为减函数 B ．()f x 的最大值是1 C ．()f x 的图象关于直线2x =-对称D ．()f x 在()4,3--上()0f x <12．已知()f x 为奇函数，且()1f x +为偶函数，若()10f =，则（ ） A ．()30f = B ．()()35f f = C ．(3)(1)f x f x +=-D ．(2)(1)1f x f x +++=三．填空题（每题5分，4题共20分）13．已知函数f (x )={3x −1,x ≥12−x +3,x <1，则f (−2)=________.14．函数2()21xxf x ax =+-是偶函数，则实数a =__________． 15． 11,1,()3,1x a x x f x a x ⎧⎛⎫-+<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≥⎩满足：对任意12x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-成立，a 的取值范围________． 16．（新教材人教版必修第一册））函数y =的定义域为R ，则a ∈ _______.四．解答题（第17题10分，其余每题12分，7题共70分）17．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当时0x <时，2()21f x x x =+- （1）求()f x 解析式（2）画出函数图像，并写出单调区间（无需证明）18．已知f (x )=12x +(x ∈R ，x ≠-2)，g (x )=x 2+1(x ∈R ). (1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f (g (3))的值；(3)作出f (x )，g (x )的图象，并求函数的值域.19．已知函数()21ax bf x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． （1）确定函数()f x 的解析式；（2）用定义证明()f x 在上()1,1-是增函数： （3）解关于x 的不等式()()10f x f x -+<．20．函数2()4ax bf x x -=-是定义在(2,2)-上的奇函数，且1(1)3f =．（1）确定()f x 的解析式；（2）判断()f x 在(2,2)-上的单调性，并证明你的结论； （3）解关于t 的不等式(1)()0f t f t -+<．21．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且对任意的正实数x 、y 都有()()()f xy f x f y =+，且当1x >时，()0f x >，()41f =．（1）求证：()10f =； （2）求116f ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）解不等式()()31f x f x +-≤．22．已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，且当[)2,0x ∈-时，()2f x x x =-.（1）求函数()f x 在[2,2]-上的解析式.（2）若()229m x m f a --≥对所有[2,2]x ∈-，[1,1]a ∈-恒成立，求实数m 的取值范围.第3章 函数概念与性质 章末测试（基础）五．单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分） 1．已知1232x f x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则(6)f 的值为（ ）A ．15B ．7C ．31D ．17【答案】C 【解析】令12xt =-，则22x t =+，所以()()222347f t t t =++=+即()47f x x =+， 所以()646731f =⨯+=.故选：C ．2．下列四组函数中，()f x 与()g x 表示同一函数是（ ） A ．()1f x x =-，()211x g x x -=+B ．()1f x x =+，()1,11,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩C ．()1f x =，()()01g x x =+D ．()f x =()2g x =【答案】B【解析】两个函数如果是同一函数，则两个函数的定义域和对应法则应相同，A 选项中，()f x 定义域为R ，()g x 的定义域为(,1)(1,)-∞-⋃-+∞，所以二者不是同一函数，所以A 错误；B 选项中，1,1()11,1x x f x x x x +≥-⎧=+=⎨--<-⎩，与()g x 定义域相同，都是R ，对应法则也相同，所以二者是同一函数，所以B 正确；C 选项中，()f x 定义域为R ，()g x 的定义域为(,1)(1,)-∞-⋃-+∞，所以二者不是同一函数， 所以C 错误；D 选项中，()f x 定义域为R ，()g x 的定义域为[0,)+∞，所以二者不是同一函数，所以D 错误.故选：B3．函数()12f x x -的定义域为（ ） A ．[)0,2B ．()2,+∞C ．()1,22,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．()(),22,-∞+∞U【答案】C【解析】由21020x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得x ≥12且x ≠2．∴函数()12f x x -的定义域为()1,22,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭． 故选：C .4．已知幂函数()f x 的图象过点)，则(8)f 的值为（ ）A B C ．D ．【答案】A【解析】令()af x x =，由图象过)∴2a=，可得12a =-故12()f x x -=∴12(8)8f -==故选：A5．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是（ ） A ．2y x = B ．3y x =- C ．1y x= D ．24y x =-+【答案】A【解析】对于A ，2y x =是过原点，经过一、三象限的一条直线，在R 上为增函数，所以A 正确，对于B ，3y x =-是一次函数，且10-<，所以R 上为减函数，所以B 错误，对于C ，1y x=是反比例函数，图像在一、三象限的双曲线，在(0,1)上是减函数，所以C 错误，对于D ，24y x =-+是二次函数，对称轴为y 轴，开口向下的抛物线，在(0,1)上是减函数，所以D 错误， 故选：A6.设偶函数()f x 的定义域为R ，当[)0,x ∈+∞时，()f x 是增函数，则()2f -，()f π，()3f -的大小关系是（ ）A ．()()()32f f f π>->-B ．()()()23f f f π>->-C ．()()()32f f f π<-<-D ．()()()23f f f π<-<- 【答案】A【解析】因为函数()f x 是偶函数， 所以()(3),(2)(2)3,f f f f =-=- 因为[)0,x ∈+∞时，()f x 是增函数， 所以()()()32f f f π>>， 所以()()()32f f f π>->-. 故选：A7．函数211()()1x ax f x a R x ++=∈+，若对于任意的*N x ∈，()3f x ≥恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．8,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)1,-+∞【答案】A【解析】对任意*x ∈N ，()3f x ≥恒成立，即21131x ax x ++≥+恒成立，即知83a x x ⎛⎫≥-++ ⎪⎝⎭．设8()g x x x =+，*x ∈N ，则(2)6g =，17(3)3g =．∵(2)(3)g g >，∴min 17()3g x =，∴8833x x ⎛⎫-++≤- ⎪⎝⎭，∴83a ≥-，故a 的取值范围是8,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．故选：A.8．若定义在R 的奇函数()f x 在(),0-∞单调递减，且()20f =，则满足()()210x f x ++≥的x 的取值范围是（ ）A ．[][)3,21,--⋃+∞B ．[][]5,32,1--⋃--C ．[][)3,21,--⋃-+∞D ．[][]3,21,1--⋃-【答案】D【解析】根据题意，画出函数示意图：当2x <-时，210x -≤+≤，即32x -≤<-； 当2x >-时，012x ≤+≤，即11x -≤≤； 当2x =-时，显然成立， 综上[][]3,21,1x ∈--⋃-. 故选：D六．多选题（每题至少两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分，4题共20分） 9．已知2(21)4f x x -=，则下列结论正确的是 A ．(3)9f = B ．(3)4f -= C ．2()f x x = D ．2()(1)f x x =+【答案】BD【解析】令1212t t x x +=-⇒=，∴221()4()(1)2t f t t +==+. ∴2(3)16,(3)4,()(1)f f f x x =-==+. 故选：BD.10．（新教材人教版必修第一册））设f (x )为偶函数，且在区间(-∞，0)内单调递增，f (-2)=0，则下列区间中使得xf (x )<0的有（ ） A ．(-1，1) B ．(0，2) C ．(-2，0) D ．(2，4)【答案】CD【解析】根据题意，偶函数f (x )在(-∞，0)上单调递增，又f (-2)=0，则函数f (x )在(0，+∞)上单调递减，且f (-2)=f （2）=0，函数f (x )的草图如图 又由xf (x )<0⇒0()0x f x >⎧⎨<⎩或0()0x f x <⎧⎨>⎩由图可得-2<x <0或x >2即不等式的解集为(-2，0)∪(2，+∞). 故选：CD11．已知函数()f x 是偶函数，()1f x +是奇函数，当[]2,3x ∈时，()12f x x =--，则下列选项正确的是（ ） A ．()f x 在()3,2--上为减函数 B ．()f x 的最大值是1 C ．()f x 的图象关于直线2x =-对称 D ．()f x 在()4,3--上()0f x <【答案】BCD【解析】因为当[]2,3x ∈时，()[]121230,1f x x x x =--=-+=-∈，则函数()f x 在[]2,3x ∈上递减， 又函数()f x 是偶函数，所以()f x 在()3,2--上为增函数；故A 错； 因为函数()f x 是偶函数，()1f x +是奇函数，所以()()f x f x -=，()()11f x f x -+=-+，则()()11f x f x -=-+，所以()()2=-+f x f x ，则()()()24f x f x f x +=-+=-，即()()4f x f x +=， 所以()f x 以4为周期；则()()()222f x f x f x +=-=-，所以()f x 关于直线2x =对称， 因此当[]1,2x ∈时，()[]0,1f x ∈；当[]0,1x ∈时，[]22,3x +∈，则()212211f x x x x +=-+-=-=-，又()()2=-+f x f x ，所以()[]11,0f x x =-∈-；因为偶函数关于y 轴对称，所以当[]1,0x ∈-时，()[]1,0f x ∈-； 综上，当[]13,x ∈-时，()[]1,1f x ∈-；又()f x 是以4为周期的函数，所以x R ∀∈，()[]1,1f x ∈-，则()max 1f x =，故B 正确； 因为()()()222f x f x f x +=-=-+，函数()f x 为偶函数，所以()()22f x f x +=--，因此()()22f x f x -+=--，所以()f x 的图象关于直线2x =-对称；即C 正确； 因为()0,1x ∈时，()10f x x =-<显然恒成立，函数()f x 是以4为周期的函数， 所以()f x 在()4,3--上也满足()0f x <恒成立；故D 正确； 故选：BCD.12．已知()f x 为奇函数，且()1f x +为偶函数，若()10f =，则（ ） A ．()30f = B ．()()35f f = C ．(3)(1)f x f x +=- D ．(2)(1)1f x f x +++=【答案】ABC【解析】因为函数()1f x +为偶函数，所以()()11f x f x +=-， 又因为f (x )是R 上的奇函数，所以()()()111f x f x f x +=-=--，所以()()()()()242f x f x f x f x f x +=-+=-+=，，所以f (x )的周期为4， 又()()()()()()103110510,f f f f f f ==-=-===Q ，，故A ，B 正确；()()()3341f x f x f x +=+-=-,∴C 正确；()()()2242f f f =-=-,同时根据奇函数的性质得()()()()22,2,2f f f f =--∴-既相等又互为相反数，故f (2)=0,所以()()2101f f +=≠，即(2)(1)1f x f x +++=对于0x =不成立，故D 不正确.故选：ABC.七．填空题（每题5分，4题共20分）13．已知函数f (x )={3x −1,x ≥12−x +3,x <1，则f (−2)=________.【答案】7【解析】因为f (x )={3x −1,x ≥12−x +3,x <1，所以f (−2)=22+3=7， 故答案为：7 14．函数2()21x xf x ax =+-是偶函数，则实数a =__________． 【答案】1【解析】因为2()(0)21xxf x ax x =+≠-，且()f x 是偶函数，则()()f x f x -=， 2222222,,20212121212121xx x x x x x x x ax ax a a a --⨯--=+--=++-=-----，即22a =，所以实数1a =． 故答案为: 1.15．11,1,()3,1x a x x f x a x ⎧⎛⎫-+<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≥⎩满足：对任意12x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-成立，a 的取值范围________． 【答案】12,33⎛⎤⎥⎝⎦【解析】因为对任意12x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-成立，不妨设12x x <，则有()()12f x f x >，所以()y f x =为减函数，所以需满足：1103011113a a a a ⎧-<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎛⎫⎪-⨯+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：1233a <≤.则a 的取值范围12,33⎛⎤⎥⎝⎦.故答案为：12,33⎛⎤⎥⎝⎦16．（新教材人教版必修第一册））函数y =的定义域为R ，则a ∈ _______. 【答案】{}|04a a ≤≤【解析】因为任意x ∈R，根式210ax ax ++≥的解集为R ， 即不等式210ax ax ++≥在R 上恒成立. ①当0a =时，10≥恒成立，满足题意； ②当0a ≠时，2040a a a >⎧⎨∆=-≤⎩，解得04a <≤， 综上， {}04a a a ∈≤≤ 故答案为：{}|04a a ≤≤八．解答题（第17题1012分，7题共70分）17．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当时0x <时，2()21f x x x =+- （1）求()f x 解析式（2）画出函数图像，并写出单调区间（无需证明）【答案】（1）2221,0()0,021,0x x x f x x x x x ⎧+-<⎪==⎨⎪-++>⎩；（2）图见详解，单调区间为：单调递增区间为：(1,0)-，(0,1)，单调递减区间为：(,1)-∞，(1,)+∞. 【解析】（1）当0x =时，(0)0f =，当0x >时，0x -<，2()()21f x f x x x =--=-++，所以2221,0()0,021,0x x x f x x x x x ⎧+-<⎪==⎨⎪-++>⎩，（2）()f x 的图像为：单调递增区间为：(1,0)-，(0,1)， 单调递减区间为：(,1)-∞，(1,)+∞. 18．已知f (x )=12x +(x ∈R ，x ≠-2)，g (x )=x 2+1(x ∈R ). (1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f (g (3))的值；(3)作出f (x )，g (x )的图象，并求函数的值域. 【答案】(1)14，5；(2)112；(3)图见解析，f (x )的值域为(-∞，0)∪(0，+∞)，g (x )的值域为[1，+∞). 【解析】(1)f (2)=122+=14，g (2)=22+1=5； (2)g (3)=32+1=10，f (g (3))=f (10)=1102+=112； (3)函数f (x )的图象如图：函数g (x )的图象如图：观察图象得f (x )的值域为(-∞，0)∪(0，+∞)，g (x )的值域为[1，+∞). 19．已知函数()21ax bf x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． （1）确定函数()f x 的解析式；（2）用定义证明()f x 在上()1,1-是增函数： （3）解关于x 的不等式()()10f x f x -+<． 【答案】（1）()21x f x x =+；（2）证明见详解；（3）102x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【解析】（1）∵函数()21ax bf x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数 ∴()00f =，即01b=，∴0b = 又∵1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即21225112a b+=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴1a = ∴函数()f x 的解析式为()21xf x x =+ （2）由（1）知()21xf x x =+ 令1211x x -<<<，则()()1212221211x x f x f x x x -=-++()()()()22122122121111x x x x x x +-+=++()()()()12122212111x x x x x x --=++ ∵1211x x -<<< ∴12120,1x x x x -<< ∴1210x x ->而221210,10x x +>+>∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x < ∴()f x 在上()1,1-是增函数 （3）∵()f x 在上()1,1-是奇函数∴()()10f x f x -+<等价于()()1f x f x -<-，即()()1f x f x -<- 又由（2）知()f x 在上()1,1-是增函数∴111x x -<-<-<，即102x <<∴不等式()()10f x f x -+<的解集为102x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 20．函数2()4ax bf x x -=-是定义在(2,2)-上的奇函数，且1(1)3f =． （1）确定()f x 的解析式；（2）判断()f x 在(2,2)-上的单调性，并证明你的结论； （3）解关于t 的不等式(1)()0f t f t -+<． 【答案】（1）2()4xf x x =-；（2）增函数，证明见解析；（3）1(1,)2-. 【解析】（1）根据题意，函数2()4ax bf x x -=-是定义在(2,2)-上的奇函数， 则(0)04bf -==，解可得0b =； 又由f （1）13=，则有f （1）133a ==，解可得1a =； 则2()4xf x x =-； （2）由（1）的结论，2()4xf x x =-，在区间(2,2)-上为增函数； 证明：设1222x x -<<<，则1212122212(4)()()()(4)(4)x x x x f x f x x x +--=--，又由1222x x -<<<，则12(4)0x x +>，12()0x x -<，21(4)0x ->，22(4)0x ->， 则12())0(f x f x -<，则函数()f x 在(2,2)-上为增函数；（3）根据题意，212(1)()0(1)()(1)()221t f t f t f t f t f t f t t t t -<-<⎧⎪-+<⇒-<-⇒-<-⇒-<<⎨⎪-<-⎩，解可得：112t -<<，即不等式的解集为1(1,)2-．21．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且对任意的正实数x 、y 都有()()()f xy f x f y =+，且当1x >时，()0f x >，()41f =．（1）求证：()10f =； （2）求116f ⎛⎫⎪⎝⎭；（3）解不等式()()31f x f x +-≤．【答案】（1）证明见解析；（2）1216f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（3）{|34}x x <≤．【解析】（1）令4x =，1y =，则()()()()44141f f f f =⨯=+， ∴()10f =；（2）∵()()()()1644442f f f f =⨯=+=，()()111161601616f f f f ⎛⎫⎛⎫=⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴1216f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（3）设1x 、20x >且12x x >，于是120x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，∴()()()11122222x x f x f x f f x f x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅=+> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()f x 在()0,∞+上为增函数，又∵()()()()3314f x f x f x x f +-=-≤=⎡⎤⎣⎦， ∴()03034x x x x ⎧>⎪->⎨⎪-≤⎩，解得34x <≤， ∴原不等式的解集为{|34}x x <≤．22.已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，且当[)2,0x ∈-时，()2f x x x =-.（1）求函数()f x 在[2,2]-上的解析式.（2）若()229m x m f a --≥对所有[2,2]x ∈-，[1,1]a ∈-恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()[)()()(]()222,0,00,0,2.x x x f x x x x x ⎧-∈-⎪⎪==⎨⎪--∈⎪⎩；（2）[]1,1-.【解析】（1）函数()f x 为定义域上的奇函数，所以()00f =，当(]0,2x ∈时，()()()()22f x f x x x x x ⎡⎤=--=----=--⎣⎦， 所以()[)()()(]()222,0,00,0,2.x x x f x x x x x ⎧-∈-⎪⎪==⎨⎪--∈⎪⎩（2）根据题意得，函数()f x 为减函数，所以()f x 的最小值为()26f =-，要使()229m x m f a --≥对所有[]2,2x ∈-，[]1,1a ∈-恒成立，即2629m am -≥--对所有[]1,1a ∈-恒成立，则()()221230,1230,g m m g m m ⎧-=+-≤⎪⎨=--≤⎪⎩即31,13,m m -≤≤⎧⎨-≤≤⎩ ∴11m -≤≤，∴实数m 的取值范围是[]1,1-.。
高一数学人教A版必修1章末测试第三章函数的应用A 含解
第三章测评A(基础过关卷)(时间：90分钟满分：100分)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y＝1＋1x的零点是()A．(－1,0) B．－1 C．1 D．02．已知函数f(x)＝2x－b的零点为x0，且x0∈(－1,1)，那么b的取值范围是()A．(－2,2) B．(－1,1) C.11,22⎛⎫-⎪⎝⎭D．(－1,0)3．已知函数f(x)＝e x－x2，则在下列区间上，函数必有零点的是()A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2)4．下列给出的四个函数f(x)的图象中能使函数y＝f(x)－1没有零点的是()5．方程3x＋x＝3的解所在的区间为()A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)6．实数a，b，c是图象连续不断的函数y＝f(x)定义域中的三个数，且满足a＜b＜c，f(a)·f(b)＜0，f(b)·f(c)＜0，则函数y＝f(x)在区间(a，c)上零点为()A．2个B．奇数个C．偶数个D．至少2个7．若函数y＝a x－x－a有两个零点，则a的取值范围是()A．(1，＋∞) B．(0,1) C．(0，＋∞) D．∅8．红豆生南国，春来发几枝？如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y的散点图，那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好？()A．y＝2t B．y＝log2t C．y＝2t D．y＝t29．已知x0是函数f(x)＝2x＋11x的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则()A．f(x1)＜0，f(x2)＜0 B．f(x1)＜0，f(x2)＞0 C．f(x1)＞0，f(x2)＜0 D．f(x1)＞0，f(x2)＞010．甲、乙二人从A地沿同一方向去B地，途中都使用两种不同的速度v1与v2(v1＜v2)，甲前一半的路程使用速度v1，后一半的路程使用速度v2；乙前一半的时间使用速度v1，后一半的时间使用速度v2，关于甲、乙二人从A地到达B地的路程与时间的函数图象及关系，有如图所示的四个不同的图示分析(其中横轴t表示时间，纵轴s表示路程，C是AB的中点)，则其中可能正确的图示分析为()第Ⅱ卷(非选择题共50分)二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x 1＝3，则下一个有根区间是__________．12．已知长为4，宽为3的矩形，若长增加x ，宽减少2x，则面积最大，此时x ＝__________，面积S ＝__________.13．方程13⎛⎫ ⎪⎝⎭|x |＝2－x 的实数根的个数为__________．14．函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N *)内，则n ＝__________.15．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%.若初始时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤__________次才能达到市场要求．(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)三、解答题(本大题共4小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(6分)定义在R 上的偶函数y ＝f (x )在(－∞，0]上递增，函数f (x )的一个零点为－12，求满足f (log 14x )≥0的x 的取值集合．17．(6分)已知函数f (x )＝x －1＋12x 2－2，试利用基本初等函数的图象，判断f (x )有几个零点，并利用零点存在定理确定各零点所在的区间(各区间长度不超过1)．18．(6分)已知函数f (x )＝log a (x ＋2)－1(a ＞0，且a ≠1)，g (x )＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭x －1.(1)若函数y ＝f (x )的图象恒过定点A ，求点A 的坐标； (2)若函数F (x )＝f (x )－g (x )的图象过点12,2⎛⎫⎪⎝⎭，试证明函数F (x )在x ∈(1,2)上有唯一零点．19．(7分)经市场调查，某种商品在过去50天的销售价格(单位：元)均为销售时间t (天)的函数，且销售量(单位：件)近似地满足f (t )＝－2t ＋200(1≤t ≤50，t ∈N )，前30天价格(单位：元)为g (t )＝12t ＋30(1≤t ≤30，t ∈N )，后20天价格(单位：元)为g (t )＝45(31≤t ≤50，t ∈N )． (1)写出该种商品的日销售额S (元)与时间t (天)的函数关系； (2)求日销售额S 的最大值．参考答案1. 答案：B2. 解析：解方程f (x )＝2x －b ＝0，得x 0＝2b ， 所以2b∈(－1,1)，所以b ∈(－2,2)． 答案：A 3. 解析：f (－2)＝21e－4＜0，f (－1)＝1e －1＜0，f (0)＝e 0＝1＞0，f (1)＝e －1＞0，f (2)＝e 2－4＞0.∵f (－1)·f (0)＜0，∴f (x )在(－1,0)上必有零点． 答案：B4. 解析：把y ＝f (x )的图象向下平移一个单位后，只有C 图中的图象满足y ＝f (x )－1与x 轴无交点．答案：C5. 解析：设f (x )＝3x ＋x －3，则f (0)＝－2＜0，f (1)＝1＞0，则函数f (x )的零点即方程3x＋x ＝3的解所在的区间为(0,1)．答案：A6. 解析：由f (a )·f (b )＜0知，区间(a ，b )上至少有1个零点，由f (b )·f (c )＜0知在区间(b ，c )上至少有1个零点，故在区间(a ，c )上至少有2个零点．答案：D7. 解析：令f (x )＝a x ，g (x )＝x ＋a ，当a ＞1时，f (x )与g (x )的图象有两个交点，即函数y ＝a x －x －a 有两个零点． 答案：A8. 解析：当t ＝2时，y ＝4；当t ＝4时，y ＝16；当t ＝5时，y ＝32，故用y ＝2t 拟合最好．答案：A9. 解析：设y 1＝2x ，y 2＝11x -，在同一坐标系中作出其图象， 如图，在(1，x 0)内y 2＝11x -的图象在y 1＝2x 图象的上方， 即111x -＞2x 1， 所以2x 1＋111x -＜0， 即f (x 1)＜0，同理f (x 2)＞0.答案：B10. 解析：由题意可知，开始时，甲、乙速度均为v 1，所以图象是重合的线段，由此排除C ，D ，再根据v 1＜v 2可知两人的运动情况均是先慢后快，图象是折线且前“缓”后“陡”，故图示A 分析正确．答案：A11. 解析：设f (x )＝x 3－2x －5，则f (2)＜0，f (3)＞0，f (4)＞0，有f (2)f (3)＜0，则下一个有根区间是(2,3)．答案：(2,3)12. 解析：S ＝(4＋x ) 32x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－22x ＋x ＋12＝－12 (x 2－2x )＋12＝－12 (x －1)2＋252. 当x ＝1时，S max ＝252. 答案：125213. 解析：在同一平面直角坐标系内画出函数y ＝13⎛⎫ ⎪⎝⎭|x |与函数y ＝2－x 的图象，两图象有1个交点，所以方程13⎛⎫⎪⎝⎭|x|＝2－x有1个实数根．答案：114.解析：设g(x)=ln x，h(x)=-3x+7，则函数g(x)和函数h(x)的图象交点的横坐标是函数f(x)的零点．在同一坐标系中画出函数g(x)和函数h(x)的图象，如图所示．由图象知函数f(x)的零点属于区间7 1,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，又f(1)＝－4＜0，f(2)＝－1＋ln 2＝ln 2e＜0，f(3)＝2＋ln 3＞0，所以函数f(x)的零点属于区间(2,3)．所以n＝2.答案：215.解析：设过滤n次才能达到市场要求，则2%113⎛⎫-⎪⎝⎭n≤0.1%，即23⎛⎫⎪⎝⎭n≤0.12，∴n lg 23≤－1－lg 2.解得n≥1lg22lg3--≈7.39.又n∈N*，∴n的最小值为8. 答案：816.解：∵－12是函数的一个零点，∴f12⎛⎫- ⎪⎝⎭＝0.∵y＝f(x)是偶函数且在(－∞，0]上单调递增，∴当log14x≤0，即x≥1时，log14x≥－12，解得x≤2，即1≤x≤2.由对称性可知，当log14x＞0时，12≤x＜1.综上所述，x的取值范围是1,2 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.17.解：由f(x)＝0，得x－1＝－12x2＋2，令y1＝x－1，y2＝－12x2＋2，分别画出它们的图象如图所示，其中抛物线顶点为(0,2)，与x轴交于点(－2,0)，(2,0)，y1与y2的图象有3个交点，从而函数y＝f(x)有3个零点．由f(x)的解析式知x≠0，f(x)的图象在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别是连续不断的曲线．且f(－3)＝136＞0，f(－2)＝－12＜0，f12⎛⎫⎪⎝⎭＝18＞0，f(1)＝－12＜0，f(2)＝12＞0，所以函数零点所在区间为(－3，－2)，1,12⎛⎫⎪⎝⎭，(1,2)．18.解：(1)∵函数y＝log a x的图象恒过点(1,0)，∴函数f(x)＝log a(x＋2)－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点A(－1，－1)．(2)F(x)＝f(x)－g(x)＝log a(x＋2)－1－12⎛⎫⎪⎝⎭x－1，∵函数F(x)的图象过点1 2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴F(2)＝12，即log a4－1－12⎛⎫⎪⎝⎭2－1＝12，∴a＝2.∴F(x)＝log2(x＋2)－12⎛⎫⎪⎝⎭x－1－1.∴函数F(x)在(1,2)上是增函数．又∵F(1)＝log23－2＜0，F(2)＝12＞0，∴函数F(x)在(1,2)上有零点，故函数F(x)在(1,2)上有唯一零点．19.解：(1)根据题意，得S＝()1220030130245(2200)3150t t t tt t t⎧⎛⎫-++≤≤∈⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪≤≤∈⎩NN，，，－＋，，＝240 6 000130909 0003150.t t t tt t t⎧≤≤∈⎨≤≤∈⎩NN－＋＋，，，－＋，，(2)当1≤t≤30，t∈N时，S＝－(t－20)2＋6 400，当t＝20时，S有最大值，为6 400；当31≤t≤50，t∈N时，S＝－90t＋9 000为减函数，当t＝31时，S有最大值，为6 210.∵6 210＜6 400，∴当销售时间为20天时，日销售额S有最大值，为6 400元．。
人教新课标版数学高一(必修1)练习第三章章末检测
章末检测一、选择题1． 函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是 ( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(e,3) D ．(e ，＋∞)2． 设f (x )是区间[a ，b ]上的单调函数，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]( )A ．至少有一实根B ．至多有一实根C ．没有实根D ．必有唯一实根3． 设方程|x 2－3|＝a 的解的个数为m ，则m 不可能等于 ( )A ．1B ．2C ．3D ．44． 方程log 3x ＋x ＝3的解所在的区间是 ( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3，＋∞)5． 某企业2012年12月份的产值是这年1月份产值的P 倍，则该企业2012年度产值的月平均增长率为 ( )A.P P －1B.11P －1C.11PD.P －111 6． 已知在x 克a %的盐水中，加入y 克b %(a ≠b )的盐水，浓度变为c %，将y 表示成x 的函数关系式为( )A ．y ＝c －a c －b xB ．y ＝c －a b －cx C ．y ＝c －b c －a x D ．y ＝b －c c －ax 7． 某单位职工工资经过六年翻了三番，则每年比上一年平均增长的百分率是 ( )(下列数据仅供参考：2＝1.41，3＝1.73，33＝1.44，66＝1.38)A ．38%B ．41%C ．44%D ．73%8． 某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：(1)如果不超过200元，则不给予优惠；(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他去一次购买上述同样的商品，则应付款是( )A ．413.7元B ．513.7元C ．548.7元D ．546.6元9． 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列条件不正确的是 ( )A ．a ＜0，b ＞0，c ＜0B ．b 2－4ac ＜0C ．a ＋b ＋c ＜0D ．a －b ＋c ＞010．有浓度为90%的溶液100 g ，从中倒出10 g 后再倒入10 g 水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)( )A ．19B ．20C ．21D ．2211．用二分法判断方程2x 3＋3x －3＝0在区间(0,1)内的根(精确度0.25)可以是(参考数据：0.753＝0.421 875,0.6253＝0.244 14)( )A ．0.25B ．0.375C ．0.635D ．0.82512．根据统计资料，我国能源生产自1998年以来发展得很快，下面是我国能源生产总量(折合亿吨标准煤)的几个统计数据：1998年8.6亿吨，5年后的2003年10.4亿吨，10年后的2008年12.9亿吨，有关专家预测，到2013年我国能源生产总量将达到16.1亿吨，则专家是以哪种类型的函数模型进行预测的？( )A ．一次函数B ．二次函数C ．指数函数D ．对数函数二、填空题13．函数f (x )＝x 2－2x ＋b 的零点均是正数，则实数b 的取值范围是________．14．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围为________．15．方程x 2＋ax －2＝0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围为________．16．对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b b 2－ab ，a >b ，设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根，则m 的取值范围是______．三、解答题17．讨论方程4x 3＋x －15＝0在[1,2]内实数解的存在性，并说明理由．18. 某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用，服用药后每毫升中的含药量y(微克)与服药的时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线，其中OA是线段，曲线AB是函数y＝ka t(t≥1，a>0，且k，a是常数)的图象．(1)写出服药后y关于t的函数关系式；(2)据测定，每毫升血液中的含药量不少于2微克时治疗疾病有效．假设某人第一次服药为早上6∶00，为保持疗效，第二次服药最迟应当在当天几点钟？(3)若按(2)中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后3小时，该病人每毫升血液中的含药量为多少微克(精确到0.1微克)?19．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数的表达式；(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)20．我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段以达到节约用水的目的．某市用水收费标准是：水费＝基本费＋超额费＋定额损耗费，且有如下三条规定：①若每月用水量不超过最低限量m立方米时，只付基本费9元和每户每月定额损耗费a元；②若每月用水量超过m立方米时，除了付基本费和定额损耗费外，超过部分每立方米付n元的超额费；③每户每月的定额损耗费a不超过5元．(1)求每户每月水费y(元)与月用水量x(立方米)的函数关系式；(2)该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示：m，n，a的值．答案1．B 2．D 3．A 4．C 5．B 6．B 7．B 8．D 9．D 10．C 11．C 12．B 13．(0,1]14．(1，＋∞) 15．[－235，1] 16.⎝⎛⎭⎫0，14 17．解 令f (x )＝4x 3＋x －15，∵y ＝4x 3和y ＝x 在[1,2]上都为增函数．∴f (x )＝4x 3＋x －15在[1,2]上为增函数，∵f (1)＝4＋1－15＝－10＜0，f (2)＝4×8＋2－15＝19＞0，∴f (x )＝4x 3＋x －15在[1,2]上存在一个零点，∴方程4x 3＋x －15＝0在[1,2]内有一个实数解．18．解 (1)当0≤t <1时，y ＝8t ；当t ≥1时，⎩⎪⎨⎪⎧ ka ＝8，ka 7＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝22，k ＝8 2.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 8t ， 0≤t <1，82(22)t ， t ≥1.(2)令82·(22)t ≥2，解得t ≤5. ∴第一次服药5小时后，即第二次服药最迟应当在当天上午11时服药．(3)第二次服药后3小时，每毫升血液中含第一次所服药的药量为y 1＝82×(22)8＝22(微克)；含第二次服药后药量为y 2＝82×(22)3＝4(微克)，y 1＋y 2＝22＋4≈4.7(微克)． 故第二次服药再过3小时，该病人每毫升血液中含药量为4.7微克．19．解 (1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x 0个，则x 0＝100＋60－510.02＝550. 因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．(2)当0<x ≤100时，P ＝60；当100<x <550时，P ＝60－0.02·(x －100)＝62－x 50； 当x ≥550时，P ＝51.所以P ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60， 0<x ≤10062－x 50， 100<x <550，51， x ≥550(x ∈N )．(3)设销售商的一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为L 元，则L ＝(P －40)x＝⎩⎪⎨⎪⎧ 20x ， 0<x ≤10022x －x 250， 100<x <550，11x ，x ≥550(x ∈N )．当x ＝500时，L ＝6 000；当x ＝1 000时，L ＝11 000.因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6 000元；如果订购1 000个，利润是11 000元．20．解 (1)依题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9＋a ，0＜x ≤m ， ①9＋n (x －m )＋a ，x ＞m . ②其中0＜a ≤5.(2)∵0＜a ≤5，∴9＜9＋a ≤14.由于该家庭今年一、二月份的水费均大于14元，故用水量4立方米，5立方米都大于最低限量m 立方米． 将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝17和⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝23分别代入②，得⎩⎪⎨⎪⎧17＝9＋n (4－m )＋a ， ③23＝9＋n (5－m )＋a . ④③－④，得n ＝6.代入17＝9＋n (4－m )＋a ，得a ＝6m －16.又三月份用水量为2.5立方米，若m ＜2.5，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2.5，y ＝11代入②，得a ＝6m －13， 这与a ＝6m －16矛盾．∴m ≥2.5，即该家庭三月份用水量2.5立方米没有超过最低限量． 将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2.5，y ＝11代入①，得11＝9＋a ，由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6m －16，11＝9＋a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，m ＝3.∴该家庭今年一、二月份用水量超过最低限量，三月份用水量没有超过最低限量，且m ＝3，n ＝6，a ＝2.。
新人教版高中数学必修第一册第三章章末检测试卷
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.已知 f(x)＝xg2－x，3，x<x0>0， 是奇函数，则 f(－3)＝__－__6____，f(g(－3)) ＝__－__3_3___.
因 为 函 数 f(x) 是 奇 函 数 ， 所 以 f( － 3) ＝ g( － 3) ＝ － f(3) ＝ － 6 ， 所 以 f(g(－3))＝f(－6)＝－f(6)＝－33.
B.f(－1)<f －32<f(－2)
√D.f(－2)<f －32<f(－1)
∵f(x)在(－∞，－1]上单调递增，且－2<－32<－1，∴f(－2)<f －32<f(－1).
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6.若f(x)是偶函数且在[0，＋∞)上单调递增，又f(－2)＝1，则不等式f(x－1)
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选项C，函数是开口向下的二次函数，且在区间(－∞,0]上单调递增， 令f(x)＝－x2， 若是闭函数，则一定有ffba＝＝ba，， 即－－ab22＝＝ab，， 解得满足新定义的 闭区间是[－1,0]，此时 a＝－1，b＝0，所以 C 正确；
1
1
所以f(x)＝x 2，所以f(2)＝22 2 .
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5.若函数f(x)在(－∞，－1]上单调递增，则下列关系式中成立的是
A.f －23<f(－1)<f(－2) C.f(－2)<f(－1)<f －23
【高中】高中数学第三章指数函数和对数函数章末检测北师大版必修1
【关键字】高中2016-2017学年高中数学第三章指数函数和对数函数章末检测北师大版必修1班级__________ 姓名__________ 考号__________ 分数__________ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷60分，第Ⅱ卷90分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．函数y＝的值域是( )A．(0,1] B．[1，＋∞)C．(0,1) D．(1，＋∞)答案：A解析：由题意得0<≤0＝1.2．已知函数f(x)＝ln |x－1|，则f(x)( )A．在区间(－∞，1)和(1，＋∞)上都是增函数B．在区间(－∞，1)上是增函数，在区间(1，＋∞)上是减函数C．在区间(－∞，1)和(1，＋∞)上都是减函数D．在区间(－∞，1)上是减函数，在区间(1，＋∞)上是增函数答案：D解析：∵|x－1|在区间(－∞，1)上是减函数，在区间(1，＋∞)上是增函数，y＝ln x 在区间(0，＋∞)上是增函数，所以f(x)在区间(－∞，1)上是减函数，在区间(1，＋∞)上是增函数．3．若函数f(x)＝，则f[f(－3)]＝( )A．2 B．3C．4 D．5答案：B解析：f(－3)＝(－3)2－1＝8，所以f[f(－3)]＝f(8)＝log28＝3.4．不等式x>x－1的解集是( )A．(－1，＋∞) B.C．(－∞，－1) D．(－∞，－2)答案：C解析：2x<x－1，x<－1.5．已知a＝log20.6，b＝20.2，c＝log2，则( )A．a<b<c B．b<a<cC．c<b<a D．a<c<b答案：D解析：∵a＝log20.6<0，b＝20.2>1，c＝log2＝，∴a<c<b.6．函数f(x)＝的定义域是( )A. B.C. D.答案：A解析：log0.5(3－4x)≥0,0<3－4x≤1，≤x<.7．函数y＝是奇函数，则实数a＝( )A．1 B．0C．－1 D．任意实数答案：A解析：f(0)＝(1－a)＝0，∴a＝1.16.如右图，开始时，桶1中有a L 水，t min 后剩余的水符合指数衰减曲线y 1＝a e －nt，那么桶2中水就是y 2＝a －a e －nt，假设过5 min 时，桶1和桶2的水相等，则再过________ min 桶1中的水只有a8L.答案：10解析：由题意，5 min 后，y 1＝a e －5n，y 2＝a －a e－5n，y 1＝y 2，∴n ＝15ln2.设再过t min桶1中的水只有a8L ，则y 1＝a e－n (5＋t )＝a8，解得t ＝10. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)(1)计算：3－63＋41－34＋80.25×42＋125÷425.(2)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18.解：(1)原式＝－6＋(3－1)＋(23)14×214＋53224-＝－6＋3－1＋2＋5＝ 3.(2)解法一：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18＝lg (2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg (32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.解法二：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18＝lg 14－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫732＋lg 7－lg 18＝lg 14×7⎝ ⎛⎭⎪⎫732×18＝lg 1＝0.18．(12分)现有命题P 和Q 如下． P ：函数y ＝c x 在R 上单调递减．Q ：函数f (x )＝ln(2x 2＋4x ＋1c)的值域为R .如果P 和Q 中有且只有一个命题是真命题，求非负实数c 的取值范围．解：函数y ＝c x在R 上单调递减⇔0<c <1.函数f (x )＝ln(2x 2＋4x ＋1c )的值域为R ⇔Δ＝42－4×2·1c ≥0，所以1c≤2，又c >0，所以c ≥12.根据题设可知，命题P 和Q 有且仅有一个正确．(1)如果P 正确，Q 不正确，则0<c <12；(2)如果Q 正确，P 不正确，则c ≥1.所以，正数c 的取值范围为(0，12)∪[1，＋∞)．19．(12分)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋a x ，a ∈R . (1)求函数的定义域；(2)是否存在实数a ，使得f (x )为偶函数．解：(1)由2x－1≠0，得x ≠0，即函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)在定义域内任取x ，由f (x )－f (－x )＝0得⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋a x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x －1＋a (－x )＝0. 所以2a ＝－12－x －1－12x －1＝1，解得a ＝12.存在实数a ＝12，使得f (x )－f (－x )＝0成立，即使得f (x )为偶函数．20．(12分)已知函数f (x )＝log 2(1－x )，g (x )＝log 2(x ＋1)，设F (x )＝f (x )－g (x )． (1)判断函数F (x )的奇偶性； (2)证明函数F (x )是减函数．解：(1)F (x )＝f (x )－g (x )＝log 2(1－x )－log 2(x ＋1)＝log 21－x1＋x.由⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋1>0，得－1<x <1.∴函数F (x )的定义域为(－1,1)．∴函数F (x )的定义域关于原点对称，又∵F (－x )＝log 21＋x 1－x ＝－log 21－x1＋x＝－F (x )．∴函数F (x )为奇函数．(2)由(1)知函数F (x )的定义域为(－1,1)，任取－1<x 1<x 2<1，则log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 11＋x 1－log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21＋x 2＝log 21－x 11＋x 21＋x 11－x 2＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x 2－x 1x 21＋x 1－x 2－x 1x 2. 又(1－x 1＋x 2－x 1x 2)－(1＋x 1－x 2－x 1x 2)＝2(x 2－x 1)>0，所以1－x 1＋x 2－x 1x 21＋x 1－x 2－x 1x 2>1，所以log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 11＋x 1－log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21＋x 2>0，即log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 11＋x 1>log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21＋x 2，所以函数F (x )是减函数．21．(12分)求函数y ＝(12)212x x ＋－的值域和单调区间．解：令t ＝1＋2x －x 2，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t，而t ＝－(x －1)2＋2≤2，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14.即所求的函数的值域是[14，＋∞)．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12212x x ＋－在(－∞，1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．22．(12分)已知函数f (x )＝log a 1－m x －2x －3(a >0，a ≠1)，对定义域内的任意x 都有f (2－x )＋f (2＋x )＝0成立．(1)求实数m 的值；(2)若当x ∈(b ，a )时，f (x )的取值范围恰为(1，＋∞)，求实数a ，b 的值．解：(1)由f (x )＝log a 1－m x －2x －3及f (2－x )＋f (2＋x )＝0对定义域内任意x 都成立，可得：log a 1－m [2－x －2]2－x －3＋log a 1－m [2＋x －2]2＋x －3＝0.解得m ＝±1.当m ＝1时，函数f (x )无意义，所以，只有m ＝－1.(2)m ＝－1时，f (x )＝log a 1－m x －2x －3＝log a x －1x －3(a >0，a ≠1)，其定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．所以，(b ，a )⊆(－∞，1)或(b ，a )⊆(3，＋∞)． ①若(b ，a )⊆(3，＋∞)，则3≤b <a . 为研究x ∈(b ，a )时f (x )的值域，可考虑f (x )＝log a x －1x －3在(3，＋∞)上的单调性．下证f (x )在(3，＋∞)上单调递减． 任取x 1，x 2∈(3，＋∞)，且x 1<x 2，则 x 1－1x 1－3－x 2－1x 2－3＝2x 2－x 1x 1－3x 2－3>0. 又a >1，所以log a x 1－1x 1－3>log a x 2－1x 2－3，即f (x 1)>f (x 2)．所以当(b ，a )⊆(3，＋∞)时，f (x )在(3，＋∞)上单调递减．由题：当x ∈(b ，a )时，f (x )的取值范围恰为(1，＋∞)，所以，必有b ＝3且f (a )＝1，解得a ＝2＋3(因为a >3，所以舍去a ＝2－3)．②若(b ，a )⊆(－∞，1)，则b <a ≤1.又由于a >0，a ≠1，所以0<a <1. 此时，同上可证f (x )在(－∞，1)上单调递增(证明过程略)．所以，f (x )在(b ，a )上的取值范围为(f (b )，f (a ))，而f (a )为常数，故f (x )的取值范围不可能恰为(1，＋∞)．所以，在这种情况下，a ，b 无解．综上，符合题意的实数a ，b 的值为a ＝2＋3，b ＝3.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
苏教版高中数学必修一 第三章 模块综合检测卷(附答案)
模块综合检测卷(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的)1．已知全集U＝{1，2，3，4}，A＝{1，2}，B＝{2，3}，则∁U(A∪B)＝()A．{3} B．{4}C．{3，4} D．{1，3，4}解析：因为A＝{1，2}，B＝{2，3}，所以A∪B＝{1，2，3}．所以∁U(A∪B)＝{4}．答案：B2．当a＞1时，在同一平面直角坐标系中，函数y＝a－x与y＝log a x 的图象是()答案：A3．已知集合A＝{x|y＝x＋1}，B＝{y|y＝x2＋1}，则A∩B＝() A．∅B．[－1，1]C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)解析：A＝{x|y＝x＋1}＝{x|x≥－1}，B＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．所以A∩B＝[1，＋∞)．答案：D4．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1＜0，x1＋x2＞0，则()A．f(－x1)＞f(－x2)B．f(－x1)＝f(－x2)C．f(－x1)＜f(－x2)D．f(－x1)与f(－x2)大小不确定解析：由x1＜0，x1＋x2＞0得x2＞－x1＞0，又f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，所以f(－x2)＝f(x2)＜f(－x1)．答案：A5．已知函数f(x)的单调递增区间是(－2，3)，则y＝f(x＋5)的单调递增区间是()A．(3，8) B．(－7，－2)C．(－2，3) D．(0，5)解析：因为f(x)的单调递增区间是(－2，3)，则f(x＋5)的单调递增区间满足－2＜x ＋5＜3，即－7＜x ＜－2.答案：B6．若x ∈[0，1]，则函数y ＝x ＋2－1－x 的值域是( ) A ．[2－1，3－1] B ．[1， 3 ] C ．[2－1， 3 ]D ．[0，2－1]解析：该函数为增函数，自变量最小时，函数值最小；自变量最大时，函数值最大．故y min ＝2－1，y max ＝ 3.答案：C7．下列不等式正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1612＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1312＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1614 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1614＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1612＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1312C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13 12＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1614＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1612 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13 12＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1612＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1614 答案：A8．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )A ．[2－2，2＋2]B ．(2－2，2＋2)C ．[1，3]D ．(1，3)解析：f (x )＝e x －1>－1，g (x )＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1≤1，若有f (a )＝f (b )，则g (b )∈(－1，1]，即－b 2＋4b －3>－1⇒2－2<b <2＋ 2.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2， x ≤1，－log 2（x ＋1），x ＞1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：当a ≤1时，f (a )＝2a －1－2＝－3， 则2a －1＝－1不成立，舍去． 当a ＞1时，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3. 所以a ＋1＝8，a ＝7. 此时f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74. 答案：A10．设偶函数f (x )＝log a |x ＋b |在(0，＋∞)上是单调减函数，则f (b －2)与f (a ＋1)的大小关系是( )A ．f (b －2)＝f (a ＋1)B ．f (b －2)＞f (a ＋1)C ．f (b －2)＜f (a ＋1)D ．不能确定解析：因为y ＝log a |x ＋b |是偶函数，b ＝0， 所以y ＝log a |x |.又在(0，＋∞)上是单调递减函数， 所以0＜a ＜1.所以f (b －2)＝f (－2)＝f (2)，f (a ＋1)中1＜a ＋1＜2. 所以f (2)＜f (a ＋1)，因此f (b －2)＜f (a ＋1)．11．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时， 则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )A ．16小时B ．20小时C ．24小时D ．28小时解析：由题设得e b ＝192，① e 22k ＋b ＝e 22k ·e b ＝48，②将①代入②得e 22k＝14，则e 11k＝12.当x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×192＝24.所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时． 答案：C12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－ax ＋5，x ＜1，1＋1x ， x ≥1，在R 上单调，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[4，＋∞)D ．[2，4]解析：当x ≥1时，f (x )＝1＋1x 为减函数，所以f (x )在R 上应为单调递减函数， 要求当x ＜1时，f (x )＝x 2－ax ＋5为减函数，所以a2≥1，即a ≥2，并且满足当x ＝1时，f (x )＝1＋1x 的函数值不大于x ＝1时f (x )＝x 2－ax ＋5的函数值，即1－a ＋5≥2，解得a ≤4.所以实数a 的取值范围[2，4]． 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．2－3，312与log 25三个数中最大的数是________．解析：因为2－3＜1，312＜2，log 25＞2. 所以这三个数中最大的数为log 25. 答案：log 2514．函数y ＝x －2x －3lg4－x 的定义域是__________．解析：由题知⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x －3≠0，4－x ＞0，所以2≤x ＜4且x ≠3.答案：[2，3)∪(3，4)15．已知函数f (x )＝b －2x2x ＋1为定义是区间[－2a ，3a －1]上的奇函数，则a ＋b ＝________．解析：因为函数f (x )＝b －2x 2x＋1为定义是区间[－2a ，3a －1]上的奇函数，所以－2a ＋3a －1＝0，所以a ＝1.又f(0)＝b－2020＋1＝b－12＝0，所以b＝1.故a＋b＝2.答案：216．若函数f(x)＝|4x－x2|－a的零点个数为3，则a＝________.解析：作出g(x)＝|4x－x2|的图象，g(x)的零点为0和4.由图象可知，将g(x)的图象向下平移4个单位时，满足题意，所以a＝4.答案：4三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程式演算步骤)17．(本小题满分10分)设函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3和2.(1)求f(x)；(2)当函数f(x)的定义域是[0，1]时，求函数f(x)的值域．解：(1)因为f(x)的两个零点是－3和2，所以函数图象过点(－3，0)，(2，0)．所以有9a－3(b－8)－a－ab＝0.①4a＋2(b－8)－a－ab＝0.②①－②得b＝a＋8.③③代入②得4a＋2a－a－a(a＋8)＝0，即a2＋3a＝0，因为a≠0，所以a＝－3.所以b ＝a ＋8＝5. 所以f (x )＝－3x 2－3x ＋18.(2)由(1)得f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＋18，图象的对称轴方程是x ＝－12，又0≤x ≤1，所以f (x )min ＝f (1)＝12，f (x )max ＝f (0)＝18. 所以函数f (x )的值域是[12，18]．18．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ＞0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，－f （x ），x ＜0，若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0，(1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2，2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋1，f (－1)＝0， 所以a －b ＋1＝0.又因为对任意实数x ，均有f (x )≥0， 所以Δ＝b 2－4a ≤0. 所以(a ＋1)2－4a ≤0. 所以a ＝1，b ＝2. 所以f (x )＝x 2＋2x ＋1.所以F (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，－x 2－2x －1，x ＜0.(2)因为g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1， 在[－2，2]上是单调函数， 所以k －22≥2或k －22≤－2，解之得k ≥6或k ≤－2.所以k 的取值范围是{k |k ≥6或k ≤－2}．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x －1x ，其定义域为{x |x ≠0}．(1)用单调性的定义证明函数f (x )在区间(0，＋∞)上为增函数； (2)利用(1)所得到的结论，求函数f (x )在区间[1，2]上的最大值与最小值．(1)证明：设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0. f (x 2)－f (x 1)＝2x 2－1x 2－2x 1－1x 1＝x 2－x 1x 1x 2.因为x 1＜x 2， 所以x 2－x 1＞0.又因为x 1，x 2∈(0，＋∞)， 所以x 2x 1＞0，f (x 2)－f (x 1)＞0.故f (x )＝2x －1x在区间(0，＋∞)上为增函数．(2)解：因为f (x )＝2x －1x 在区间(0，＋∞)上为增函数，所以f (x )min ＝f (1)＝2－11＝1，f (x )max ＝f (2)＝2×2－12＝32.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x m －4x ，且f (4)＝3.(1)求m 的值； (2)判断f (x )的奇偶性；(3)若不等式f (x )－a ＞0在区间[1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)因为f (4)＝3， 所以4m－44＝3，所以m ＝1.(2)由(1)知f (x )＝x －4x，其定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称．又f (－x )＝－x －4－x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(3)因为y ＝x ，y ＝－1x 在区间[1，＋∞)上都是增函数，所以f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数，所以f (x )≥f (1)＝－3. 因为不等式f (x )－a ＞0在区间[1，＋∞)上恒成立， 即不等式a ＜f (x )在区间[1，＋∞)上恒成立，所以a ＜－3，故实数a 的取值范围是(－∞，－3)．21．(本小题满分12分)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v (单位：千克/年)是养殖密度x (单位：尾/立方米)的函数．当x 不超过4(尾/立方米)时，v 的值为2(千克/年)；当4≤x ≤20时，v 是x 的一次函数；当x 达到20(尾/立方米)时，因缺氧等原因，v 的值为0(千克/年)．(1)当0＜x ≤20时，求函数v (x )的表达式；(2)当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．解：(1)由题意：当0＜x ≤4时，v (x )＝2；当4＜x ≤20时，设v (x )＝ax ＋b ，显然该函数在[4，20]是减函数，由已知得⎩⎨⎧20a ＋b ＝0，4a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－18，b ＝52.故函数v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0＜x ≤4，x ∈N *，－18x ＋52，4≤x ≤20，x ∈N *.(2)依题意并由(1)可得 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0＜x ≤4，x ∈N *，－18x 2＋52x ， 4≤x ≤20，x ∈N *. 当0≤x ≤4时，f (x )为增函数，故f max (x )＝f (4)＝4×2＝8；当4≤x ≤20时，f (x )＝－18x 2＋52x ＝－18(x 2－20x )＝－18(x －10)2＋10028， f max (x )＝f (10)＝12.5.所以，当0＜x ≤20时，f (x )的最大值为12.5.当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米．22．(本小题满分12分)已知奇函数f (x )＝m －g （x ）1＋g （x ）的定义域为R ，其中g (x )为指数函数，且过定点(2，9)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若对任意的t ∈[0，5]，不等式f (t 2＋2t ＋k )＋f (－2t 2＋2t －5)＞0恒成立，求实数k 的取值范围．解：(1)设g (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)，则a 2＝9.所以a ＝－3(舍去)或a ＝3，所以g (x )＝3x ，f (x )＝m －3x1＋3x . 又f (x )为奇函数，且定义域为R ，所以f (0)＝0，则m －301＋30＝0，所以m ＝1，所以f (x )＝1－3x1＋3x . (2)设x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－3x 11＋3x 1－1－3x 21＋3x 2＝2（3x 2－3x 1）（1＋3x 1）（1＋3x 2）. 因为x 1＜x 2，所以3x 2－3x 1＞0，所以2（3x 2－3x 1）（1＋3x 1）（1＋3x 2）＞0， 所以f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，所以函数f (x )在R 上单调递减．要使对任意的t ∈[0，5]，f (t 2＋2t ＋k )＋f (－2t 2＋2t －5)＞0恒成立，即f (t 2＋2t ＋k )＞－f (－2t 2＋2t －5)恒成立．因为f (x )为奇函数，所以f (t 2＋2t ＋k )＞f (2t 2－2t ＋5)恒成立．又因为函数f (x )在R 上单调递减，所以对任意的t ∈[0，5]，t 2＋2t ＋k ＜2t 2－2t ＋5恒成立， 即对任意的t ∈[0，5]，k ＜t 2－4t ＋5＝(t －2)2＋1恒成立． 而当t ∈[0，5]时，1≤(t －2)2＋1≤10，所以k ＜1.。
人教版高中数学高一必修一：第三章单元质量评估
第三章单元质量评估时限：120分钟 满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( )A ．若f (a )f (b )>0，则不存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0B ．若f (a )f (b )<0，则只存在一个实数c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0C ．若f (a )f (b )>0，则有可能存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0D ．若f (a )f (b )<0，则有可能不存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝02．函数y ＝f (x )在区间(－2,2)上的图象是连续的，且方程f (x )＝0在(－2,2)上仅有一个实根0，则f (－1)·f (1)的值( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．无法确定3．若函数f (x )在[a ，b ]上的图象为连续不断的一条曲线，且同时满足f (a )f (b )<0，f (a )·f (a ＋b 2)>0，则( )A ．f (x )在[a ，a ＋b2]上有零点 B ．f (x )在[a ＋b2，b ]上有零点 C ．f (x )在[a ，a ＋b2]上无零点 D ．f (x )在[a ＋b2，b ]上无零点4．函数f (x )＝1－x ln x 的零点所在的区间是( ) A ．(0，12) B ．(12，1) C ．(1,2)D ．(2,3)5．设f(x)＝3x＋3x－8，若用二分法求方程3x＋3x－8＝0在区间(1,2)内的近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根所在的区间为() A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)C．(1.5,2) D．不能确定6．若函数f(x)＝x2＋3x＋2，且f(a)>f(b)>0，则函数f(x)的区间(a，b)内() A．一定无零点B．一定有零点C．可能有两个零点D．至多有一个零点7．如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗中盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则H与下落时间t(分钟)的函数关系表示的图象可能是()8．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2015年5月1日1235 000 2015年5月15日4835 600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程． 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( ) A ．6升 B ．8升 C ．10升D ．12升9．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q 2B.(p ＋1)(q ＋1)－12C.pqD.(p ＋1)(q ＋1)－110．设a 是函数f (x )＝2x －log 12x 的零点，若x 0>a ，则( ) A ．f (x 0)＝0 B ．f (x 0)>0C ．f (x 0)<0D ．f (x 0)的符号不确定11．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2，－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x >2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R .若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( )A ．(74，＋∞) B ．(－∞，74) C ．(0，74)D ．(74，2) 答案1．C 当零点在区间(a ，b )内时，f (a )f (b )>0也可能成立，因此A 不正确，C 正确；若y ＝f (x )满足零点存在性定理的两个条件，则在该区间内必存在零点，但个数不能确定，故B ，D 都不正确．2．D 由题意，知f (x )在(－1,1)上有零点0，该零点可能是变号零点，也可能是不变号零点，∴f (－1)·f (1)的符号不确定，如f (x )＝x 2，f (x )＝x .3．B 由f (a )f (b )<0，f (a )f (a ＋b 2)>0可知f (a ＋b2)f (b )<0，根据零点存在性定理可知f (x )在[a ＋b2，b ]上有零点．4．C 由于f (1)＝1－ln1＝1>0，f (2)＝1－2ln2＝lne －ln4<0，由零点存在性定理可知所求区间为(1,2)．5．B ∵f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，∴f (1.5)·f (1.25)<0，因此方程的根所在的区间为(1.25,1.5)．6．C 根据二次函数的图象可知选项C 正确．7．B 由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，当时间取12t 时，漏斗中液面下落的高度不会达到漏斗高度的12，对比四个选项的图象可知选B.8．B 因为第一次(即5月1日)把油加满，而第二次把油加满加了48升，即汽车行驶35 600－35 000＝600千米耗油48升，所以每100千米的耗油量为8升，选B.9．D 设年平均增长率为x ，原生产总值为a ，则(1＋p )(1＋q )a ＝a (1＋x )2，解得x ＝(1＋p )(1＋q )－1，故选D.10．B 如图所示，画出函数y ＝2x 与y ＝log 12x 的图象，可知当x 0>a 时，2x0>log 12x 0，故f (x 0)>0.11．D 当x ≥0时，函数g (x )的零点即方程f (x )＝x －3的根，由x 2－3x ＝x －3，解得x ＝1或3.当x <0时，由f (x )是奇函数得－f (x )＝f (－x )＝x 2－3(－x )，即f (x )＝－x 2－3x .由f (x )＝x －3得x ＝－2－7(正根舍去)．故选D.12．D 函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，即方程f (x )－g (x )＝0，即b ＝f (x )＋f (2－x )有4个不同的实数根，即直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图象有4个不同的交点．又y ＝f (x )＋f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <0，2，0≤x ≤2，x 2－5x ＋8，x >2，作出该函数的图象如图所示，由图可得，当74<b <2时，直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图象有4个不同的交点，故函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点时，b 的取值范围是(74，2)．———————————————————————————— 二、填空题(每小题5分，共20分)13．已知定义在R 上的函数f (x )的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表：x 1 23456f (x )136.13515.552 －3.92 10.88 －52.488 －232.06414．用二分法求函数f (x )的一个零点，其参考数据如下：f (1.600 0)≈0.200f (1.587 5)≈0.133f (1.575 0)≈0.06715．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时．16．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x <1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1.若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________．三、解答题(写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共70分)17．(10分)(1)判断函数f (x )＝x 3－x －1在区间[－1，2]上是否存在零点； (2)求函数y ＝x ＋2x －3的零点．18．(12分)若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝ln x ＋2x －6，试判断函数f (x )的零点个数．答案13.3解析：由已知数据可知f (2)f (3)<0，f (3)f (4)<0，f (4)f (5)<0，所以函数在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内各至少有1个零点，则函数至少有3个零点．14．1.562 5(答案不唯一)解析：由参考数据知，f (1.562 5)≈0.003>0，f (1.556 25)≈－0.029<0，即f (1.556 25)·f (1.562 5)<0，又1.562 5－1.556 25＝0.006 25<0.01，∴f (x )的一个零点的近似值可取为1.562 5.15．24解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e b＝192，e 22k ＋b ＝48，即⎩⎨⎧e b＝192，e 11k ＝12，所以该食品在33℃的保鲜时间是y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b ＝(12)3×192＝24(小时)．16．[12，1)∪[2，＋∞)解析：当a ≥1时，要使f (x )恰有2个零点，需满足21－a ≤0，即a ≥2，所以a ≥2；当a <1时，要使f (x )恰有2个零点，需满足⎩⎪⎨⎪⎧a <1≤2a ，21－a >0，解得12≤a <1.综上，实数a 的取值范围为[12，1)∪[2，＋∞)．17．解：(1)∵f (－1)＝－1<0，f (2)＝5>0，f (－1)f (2)<0.∴f (x )在[－1,2]上存在零点．(2)x ＋2x －3＝x 2－3x ＋2x ＝(x －1)(x －2)x ，解方程x ＋2x －3＝0，即(x －1)(x －2)x ＝0，可得x ＝1或x ＝2.∴函数y ＝x ＋2x －3的零点为1,2.18．解：方法一：当x <0时，－x >0，f (－x )＝ln(－x )－2x －6，又f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－ln(－x )＋2x ＋6. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ＋2x －6，x >00，x ＝0－ln (－x )＋2x ＋6，x <0令f (x )＝0易得函数f (x )有3个零点．方法二：当x >0时，在同一坐标系中作出函数y ＝ln x 和y ＝6－2x 的图象如图所示，易知两函数图象只有1个交点，即当x >0时，函数f (x )有1个零点．由f (x )为定义在R 上的奇函数，可知f (0)＝0，且图象关于原点对称，则当x <0时，函数f (x )有1个零点．综上可知，f (x )在R 上有3个零点．————————————————————————————19．(12分)已知二次函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且方程f (x )＋4＝0有唯一解x ＝1. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数f (x )在区间[a ，a ＋4]上存在零点，求实数a 的取值范围．(12分)某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(mg)与时间t(h)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25 mg时，对治疗疾病有效，求服药一次治疗疾病有效的时间．答案19.解：(1)方程f (x )＋4＝0有唯一解x ＝1，即一元二次方程x 2＋bx ＋c ＋4＝0有唯一解x ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧ b 2－4(c ＋4)＝0，b ＋c ＋5＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝－3，所以f (x )＝x 2－2x －3.(2)结合(1)易知函数f (x )的零点为－1,3. 当－1∈[a ，a ＋4]时，－5≤a ≤－1； 当3∈[a ，a ＋4]时，－1≤a ≤3. 故实数a 的取值范围为[－5,3]． 20．解：(1)当0≤t <1时 ，y ＝4t ；当t ≥1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a 此时M (1,4)在曲线上，故4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a ，解得a ＝3，即y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3.故y ＝f (t )＝⎩⎨⎧4t ，0≤t <1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，t ≥1.(1)因为f (t )≥0.25，则⎩⎨⎧4t ≥0.25，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3≥0.25.解得⎩⎨⎧t ≥116，t ≤5，所以116≤t ≤5，因此服药一次治疗疾病有效的时间为 5－116＝41516(h)．————————————————————————————21．(12分)设f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝－(x －2)2＋2.(1)求函数f(x)在R上的解析式；(2)在直角坐标系中画出函数f(x)的图象；(3)若方程f(x)－k＝0有四个解，求实数k的取值范围．22.(12分)人们对声音有不同的感觉，这与它的强度I(单位：W/m2)有关系．但在实际测量时，常用声音的强度水平L1(单位：dB)表示，它满足公式：L1＝10×lg II0 (L1≥0，其中I0＝1×10－12W/m2，这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．根据以上材料，回答下列问题：(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12W/m2，耳语声的强度是1×10－10W/m2，恬静的无线电广播声的强度是1×10－8W/m2，试分别求出它们的强度水平；(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50 dB以下，试求声音的强度I的范围是多少？答案21.解：(1)由于f (x )为定义在R 上的偶函数，则f (－x )＝f (x )，若x <0，则－x >0，f (x )＝f (－x )＝－(－x －2)2＋2＝－(x ＋2)2＋2，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －2)2＋2，x ≥0，－(x ＋2)2＋2，x <0. (2)图象如图所示：(3)由于方程f (x )－k ＝0的解就是函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝k 的交点的横坐标，观察函数y ＝f (x )的图象可知，当－2<k <2时，函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝k 有四个交点，即方程f (x )－k ＝0有四个解．22．解：(1)由题意可知，树叶沙沙声的强度是I 1＝1×10－12W/m 2，则I 1I 0＝1，所以LI 1＝10×lg1＝0，即树叶沙沙声的强度水平为0 dB.耳语声的强度是I 2＝1×10－10W/m 2，则I 2I 0＝102，所以LI 2＝10×lg102＝20，即耳语声的强度水平为20 dB.恬静的无线电广播声的强度是I 3＝1×10－8 W/m 2，则I 3I 0＝104，所以LI 3＝10×lg104＝40，即恬静的无线电广播声的强度水平为40 dB.(2)由题意知，0≤L 1<50，即0≤10×lg I I 0<50，所以1≤I I 0<105，即10－12≤I <10－7.所以小区内公共场所的声音的强度I的范围为大于或等于10－12W/m2，同时应小于10－7W/m2.【…、￥。
人教B版高中数学必修一第三章章末小结知识整合与阶段质量检测.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．化简[3（－5）2]34的结果为( )A ．5 B. 5C ．－ 5D ．－5 解析：[3（－5）2]34＝(352)34＝522×34＝512＝ 5. 答案：B 2．函数y ＝log x (1＋x )＋(1－x )12的定义域是( )A ．(－1，0)B ．(－1，1)C ．(0，1)D ．(0，1] 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，且x ≠1，1＋x >0，1－x ≥0，∴0<x <1.答案：C3．若f (x )＝(2a －1)x 是增函数，那么a 的取值范围为( )A ．a <12B.12<a <1 C ．a >1 D ．a ≥1解析：由题意，即2a －1>1知a >1.答案：C4．下列函数中，其定义域与值域相同的是( )A ．y ＝2xB ．y ＝x 2C ．y ＝log 2xD ．y ＝2x答案：D 5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤0，log 2x ，x >0，则f [f (12)]的值是( ) A ．－3B ．3 C.13 D ．－13解析：f (12)＝log 212＝－1，f (f (12))＝f (－1)＝3－1＝13. 答案：C6．若a <0，则函数y ＝(1－a )x －1的图象必过点( )A ．(0，1)B ．(0，0)C ．(0，－1)D ．(1，－1)解析：根据指数函数y ＝a x 的图像恒过定点(0，1)知，函数y ＝(1－a )x －1恒过定点(0，0)．答案：B7．某函数同时具有以下性质：①图象过点(0，1)；②在区间(0，＋∞)上是减函数；③是偶函数．此函数可能是( )A ．f (x )＝log 2|x |B ．f (x )＝(1π)|x |C ．f (x )＝2|x |D ．f (x )＝x 12 解析：f (x )＝(1π)|x |的定义域为R ， f (－x )＝(1π)|－x |＝(1π)|x |＝f (x )， 且f (0)＝(1π)0＝1. 当x >0时，f (x )＝(1π)x 在(0，＋∞)上为减函数． ∴B 满足条件．答案：B8．某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：①如一次购物不超过200元，不予以折扣；②如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠；③如一次购物超过500元，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠． 某人两次去购物，分别付款176元和432元.如果他一次性购买同样的商品，则应付款( )A ．608元B ．574.1元C ．582.6元D ．456.8元解析：由题意得购物付款432元，实际标价为432×109＝480元.如果一次购买标价176＋480＝656元的商品，应付款500×0.9＋156×0.85＝582.6元．答案：C9．三个数a ＝70.3，b ＝0.37，c ＝ln 0.3大小的顺序是( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．c >a >b解析：a ＝70.3>1，0<b ＝0.37<1，c ＝ln 0.3<0，∴a >b >c .答案：A10．定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， a ≤b ，b ， a ＞b ，则函数f (x )＝1⊕2x 的图象是( )解析：根据题意得f (x )＝1⊕2x＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ≤0，1， x >0. 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)11．函数y ＝log 2(2x ＋1)的值域为________．解析：∵2x >0，∴2x ＋1>1，∴log 2(2x ＋1)>0.答案：(0，＋∞)12．指数函数f (x )＝a x 的图象经过点(2，4)，则f (－3)的值是________．解析：由f (x )＝a x 的图象过点(2，4)可得a ＝2，所以f (－3)＝18. 答案：1813．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝g (x )的图象与y ＝e x 的图象关于直线y ＝x 对称，而函数y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象关于y 轴对称.若f (m )＝－1，则m 的值为________．解析：由题意知y ＝g (x )应为y ＝e x 的反函数，即y ＝g (x )＝ln x ，而y ＝f (x )与y ＝g (x )＝ln x 图象关于y 轴对称，故可得y ＝f (x )＝ln(－x ).又f (m )＝－1，所以ln(－m )＝－1，得－m＝e －1，即m ＝－1e. 答案：－1e14．下列说法中，正确的是________．①任取x >0，均有3x >2x ;②当a >0，且a ≠1时，有a 3>a 2；③y ＝(3)－x 是增函数；④在同一坐标系中，y ＝2x 的图象与y ＝2－x 的图象关于y 轴对称．解析：②中，当a ＝12时，a 3＝18，a 2＝14，不满足a 3>a 2；③中，y ＝(3)－x ＝(33)x 是减函数．答案：①④三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)计算下列各式的值：(1)( 32×3)6＋(2×2)43－(－2 012)0； (2)lg 5×lg 20＋(lg 2)2.解：(1)原式＝(213×312)6＋(2×212)12×43－1 ＝213×6×312×6＋232×12×43－1＝22×33＋21－1＝4×27＋2－1＝109.(2)原式＝lg 5lg(5×4)＋(lg 2)2＝lg 5(lg 5＋lg 4)＋(lg 2)2＝(lg 5)2＋lg 5lg 4＋(lg 2)2＝(lg 5)2＋2lg 5lg 2＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝1.16．(本小题满分12分)20个劳动力种50亩地，这些地可种蔬菜、棉花、水稻．这些作物每亩地所需劳动力和预计产值如下表．应怎样计划才能使每亩地都能种上作物(水稻必种)，所有劳动力都有工作且作物预计总产值达到最高？ 作物劳动力/亩 产值/亩蔬菜12 0.6万元 棉花13 0.5万元 水稻14 0.3万元解：设种x 亩水稻(0<x ≤50)，y 亩棉花(0≤y <50)时，总产值为h ，且每个劳动力都有工作．∴h ＝0.3x ＋0.5y ＋0.6[50－(x ＋y )]，且x 、y 满足x 4＋13y ＋12[50－(x ＋y )]＝20， 即h ＝－320x ＋27, 4≤x ≤50，x ∈N ，且x ＝4k ，k ∈N. 欲使h 为最大，则x 应为最小，故当x ＝4时，h max ＝26.4，此时y ＝24.故安排1个劳动力种4亩水稻，8个劳动力种24亩棉花，11个劳动力种22亩蔬菜时，作物总产值最高且每个劳动力都有工作．17．(本小题满分12分)求函数y ＝log a (a －a x )(a >0且a ≠1)的定义域和值域．解：∵a －a x >0，∴a >a x .当a >1时，x <1，则f (x )的定义域为(－∞，1)；当0<a <1时，x >1，则f (x )的定义域为(1，＋∞)．∵a x >0，∴0<a －a x <a .当a >1时，log a (a －a x )<log a a ＝1，函数f (x )的值域为(－∞，1)；当0<a <1时，log a (a －a x )>log a a ＝1， 函数f (x )的值域为(1，＋∞)．综上所述，当a >1时，函数f (x )的定义域与值域均为(－∞，1)；当0<a <1时，函数f (x )的定义域与值域均为(1，＋∞)．18．(本小题满分14分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝(12)x . (1)求函数f (x )的解析式；(2)画出函数的图象，根据图象写出f (x )的单调区间．解：(1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0.当x <0时，－x >0，f (x )＝－f (－x )＝－(12)－x ＝－2x .所以函数的解析式为：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ， x <0，0， x ＝0，（12）x ， x >0.(2)函数图象如图所示.通过函数的图象可以知道，f (x )的单调递减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)．。
人教A版高中数学第一册(必修1)第三章 函数的概念与性质7：章末检测卷(三)
章末检测卷(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列所示的图形中，可以作为函数y ＝f (x )的图象是( )『解 析』 作直线x ＝a 与曲线相交，由函数的概念可知，定义域中任意一个自变量对应唯一的函数值，∴y 是x 的函数，那么直线x ＝a 移动中始终与曲线只有一个交点，于是可排除A ，B ，C ，只有D 符合，故选D. 『答 案』 D2.函数f (x )＝1＋x ＋1x 的定义域是( ) A.『－1，＋∞) B.(－∞，0)∪(0，＋∞) C.『－1，0)∪(0，＋∞)D.R『解 析』 ⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥0，x ≠0，解得－1≤x <0或x >0，区间表示为『－1，0)∪(0，＋∞)，故选C. 『答 案』 C3.下列函数中，与函数y ＝x (x ≥0)有相同图象的一个是( )A.y ＝x 2B.y ＝(x )2C.y ＝3x 3D.y ＝x 2x『解 析』 y ＝x 2＝|x |，x ∈R ；y ＝(x )2＝x ，x ≥0；y ＝3x 3＝x ，x ∈R ；y ＝x 2x＝x ，x >0，所以选B. 『答 案』 B4.幂函数的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，则它的单调递增区间是( )A.(0，＋∞)B.『0，＋∞)C.(－∞，0)D.(－∞，＋∞)『解 析』 设幂函数y ＝x α，则2α＝14，解得α＝－2，所以y ＝x －2，故函数y ＝x－2的单调递增区间是(－∞，0).『答 案』 C5.下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A.y ＝x B.y ＝|x |＋1 C.y ＝－x 2＋1D.y ＝－1x『解 析』 A ：y ＝x 是奇函数，故不符合题意；B ：y ＝|x |＋1是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，故正确；C ：y ＝－x 2＋1是偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递减，不合题意，D ：y ＝－1x 是奇函数，不合题意.故『答 案』为B. 『答 案』 B6.已知f (x )是一次函数，且f 『f (x )』＝x ＋2，则f (x )＝( ) A.x ＋1 B.2x －1 C.－x ＋1D.x ＋1或－x －1『解 析』 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f 『f (x )』＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝1，kb ＋b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1，故选A.『答 案』 A7.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax －7 （x ≤1），a x （x >1）是R 上的增函数，则a 的取值范围是( ) A.『－4，0) B.(－∞，－2』 C.『－4，－2』D.(－∞，0)『解 析』 ∵f (x )在R 上为增函数，∴需满足⎩⎪⎨⎪⎧－a2≥1，a <0，－1－a －7≤a ，即－4≤a ≤－2，故选C. 『答 案』 C8.已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且对任意x 1，x 2∈(－∞，0』，当x 1≠x 2时总有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，则满足f (1－2x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13>0的x 的范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23『解 析』 由题意，f (x )在(－∞，0』上是增函数，又f (x )是定义域为R 的偶函数，故f (x )在『0，＋∞)上是减函数.由f (1－2x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13>0可得f (1－2x )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，即f (|1－2x |)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，所以|1－2x |<13，解得13<x <23. 『答 案』 A二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的不得分)9.已知奇函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且在区间『a ，b 』(a <b <0)上的值域为『－3，4』，则在区间『－b ，－a 』上( ) A.有最大值4 B.有最小值－4 C.有最大值3D.有最小值－3『解 析』 法一 根据题意作出y ＝f (x )的简图，由图知，故选BC.法二 当x ∈『－b ，－a 』时，－x ∈『a ，b 』， 由题意得f (b )≤f (－x )≤f (a )， 即－3≤－f (x )≤4，∴－4≤f (x )≤3，即在区间『－b ，－a 』上f (x )min ＝－4，f (x )max ＝3， 故选BC. 『答 案』 BC10.已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋1的定义域为(－2，3)，则函数f (|x |)的单调递增区间是( ) A.(－∞，－1) B.(－3，－1) C.(0，1)D.(1，3)『解 析』 因为函数f (x )＝－x 2＋2x ＋1的定义域为(－2，3)，对称轴为直线x ＝1，开口向下，所以函数f (|x |)满足－2<|x |<3，所以－3<x <3. 又f (|x |)＝－x 2＋2|x |＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，0≤x <3，－x 2－2x ＋1，－3<x <0，且y ＝－x 2－2x ＋1图象的对称轴为直线x ＝－1，所以由二次函数的图象与性质可知，函数f (|x |)的单调递增区间是(－3，－1)和(0，1).故选BC. 『答 案』 BC11.某位同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题：已知函数y ＝f (x )的定义域为D ，x 1，x 2∈D .①若当f (x 1)＋f (x 2)＝0时，都有x 1＋x 2＝0，则函数y ＝f (x )是D 上的奇函数； ②若当f (x 1)<f (x 2)时，都有x 1<x 2，则函数y ＝f (x )是D 上的增函数. 则下列说法正确的有( ) A.①是真命题 B.①是假命题 C.②是真命题D.②是假命题『解 析』 对于命题①，由于函数的定义域是否关于原点对称不明确，因此不符合奇函数的定义，错误；对于命题②，由于x 1，x 2是否具有任意性不明确，不符合单调性的定义.所以两个都是假命题，故选BD. 『答 案』 BD12.已知函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0.若a ，b ∈R ，且f (a )＋f (b )的值为负值，则下列结论可能成立的有( ) A.a ＋b >0，ab <0 B.a ＋b <0，ab >0 C.a ＋b <0，ab <0D.以上都可能『解 析』 由函数f (x )为幂函数可知m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或m ＝2.当m ＝－1时，f (x )＝1x 3；当m ＝2时，f (x )＝x 3.由题意知函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，因此f (x )＝x 3，在R 上单调递增，且满足f (－x )＝－f (x ).结合f (－x )＝－f (x )以及f (a )＋f (b )<0可知f (a )<－f (b )＝f (－b )，所以a <－b ，即b <－a ，所以a ＋b <0.当a ＝0时，b <0，ab ＝0；当a >0时，b <0，ab <0；当a <0时，ab >0(b <0)或ab <0(0<b <－a )，故BC 都有可能成立.故选BC.『答 案』 BC三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把『答 案』填在题中的横线上)13.若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________. 『解 析』 由f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (－x )， 即(x ＋a )(x －4)＝(－x ＋a )(－x －4)，解得a ＝4. 『答 案』 414.若函数f (x )＝x 2－x 12，则满足f (x )<0的x 的取值范围为________. 『解 析』 设函数y 1＝x 2，函数y 2＝x 12，则f (x )<0, 即y 1<y 2.在同一平面直角坐标系中作出函数y 1与y 2的图象，如图所示，则由数形结合得x ∈(0，1). 『答 案』 (0，1)15.图中折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y (元)与通话时间t (min)之间的函数关系的图象，根据图象判断：通话5 min ，需付电话费________元；如果t ≥3，那么电话费y (元)与通话时间t (min)之间的函数关系式是________(第一空2分，第二空3分).『解 析』 由题图知，通话5 min ，需付电话费6元.当t ≥3时，设y ＝kx ＋b (k ≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧3.6＝3k ＋b ，6＝5k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1.2，b ＝0，∴t ≥3时，y ＝1.2t .『答 案』 6 y ＝1.2t (t ≥3)16.若函数f (x )同时满足：①对于定义域上的任意x ，恒有f (x )＋f (－x )＝0；②对于定义域上的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，恒有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0，则称函数f (x )为“理想函数”.给出下列四个函数中：①f (x )＝1x ；②f (x )＝x 2；③f (x )＝|x |；④f (x )＝⎩⎨⎧－x 2，x ≥0，x 2，x <0.能被称为“理想函数”的有________(填相应的序号).『解 析』 ①中，函数f (x )＝1x 为定义域上的奇函数，但不是定义域上的减函数，所以不正确；②中，函数f (x )＝x 2为定义域上的偶函数，所以不正确；③中，函数f (x )＝|x |的定义域为R ，在定义域内不单调，所以不正确；④中，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2 （x ≥0），x 2（x <0）的图象如图所示，显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，所以为“理想函数”，综上，『答 案』为④. 『答 案』 ④四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－2x .(1)求出函数f (x )在R 上的『解 析』式； (2)画出函数f (x )的图象.解 (1)①由于函数f (x )是定义域为R 的奇函数，则f (0)＝0； ②当x <0时，－x >0，因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－『(－x )2－2(－x )』＝－x 2－2x . 综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－2x ，x <0.(2)图象如图所示.18.(本小题满分12分)已知f (x )在R 上是单调递减的一次函数，且f (f (x ))＝9x －2. (1)求f (x )；(2)求函数y ＝f (x )＋x 2－x 在x ∈『－1，a 』上的最大值. 解 (1)由题意可设f (x )＝kx ＋b (k <0)， 由于f (f (x ))＝9x －2，则k 2x ＋kb ＋b ＝9x －2，故⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝9，kb ＋b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3，b ＝1，故f (x )＝－3x ＋1. (2)由(1)知，函数y ＝－3x ＋1＋x 2－x ＝x 2－4x ＋1＝(x －2)2－3， 故函数y ＝x 2－4x ＋1的图象开口向上，对称轴为x ＝2， 当－1<a ≤5时，y 的最大值是f (－1)＝6， 当a >5时，y 的最大值是f (a )＝a 2－4a ＋1， 综上，y max ＝⎩⎪⎨⎪⎧6 （－1<a ≤5），a 2－4a ＋1 （a >5）.19.(本小题满分12分)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数)，F (x )＝⎩⎨⎧f （x ），x >0，－f （x ），x <0，(1)若f (－1)＝0且对任意实数x 均有f (x )≥0成立，求F (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，当x ∈『－2，2』时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围.解 (1)由已知可知：⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝a －b ＋1＝0，a >0，b 2－4a ≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2， 则F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x >0，－x 2－2x －1，x <0.(2)由(1)可知f (x )＝x 2＋2x ＋1，则g (x )＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1， 则g (x )的对称轴为x ＝k －22.由于g (x )在『－2，2』上是单调函数， 故k －22≤－2或k －22≥2，即k ≤－2或k ≥6.即实数k的取值范围是(－∞，－2』∪『6，＋∞).20.(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax2＋1bx＋c是奇函数(a，b都是正整数)，且f(1)＝2，f(2)<3.(1)求a，b，c的值；(2)当x<0时，f(x)的单调性如何？用单调性定义证明你的结论.解(1)由f(x)＝ax2＋1bx＋c是奇函数，得f(－x)＝－f(x)对定义域内x恒成立，则a（－x）2＋1b（－x）＋c＝－ax2＋1bx＋c⇒－bx＋c＝－(bx＋c)对定义域内x恒成立，即c＝0.f(1)＝a＋1b＝2，f(2)＝4a＋12b<3，又a，b是整数，得b＝a＝1.(2)由(1)知f(x)＝x2＋1x＝x＋1x，当x<0时，f(x)在(－∞，－1』上单调递增，在『－1，0)上单调递减，下面用定义证明.设x1<x2≤－1，则f(x1)－f(x2)＝x1＋1x1－⎝⎛⎭⎪⎫x2＋1x2＝x1－x2＋x2－x1x1x2＝(x1－x2)⎝⎛⎭⎪⎫1－1x1x2，因为x1<x2≤－1，x1－x2<0，1－1x1x2>0.f(x1)－f(x2)<0，故f(x)在(－∞，－1』上单调递增.同理可证f(x)在『－1，0)上单调递减.21.(本小题满分12分)已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝1，点O为段线AB的中点，动点P沿矩形ABCD的边从B逆时针运动到A.当点P运动过的路程为x时，记点P的运动轨迹与线段OP，OB 围成的图形面积为f(x).(1)求f(x)的『解析』式；(2)若f (x )＝2，求x 的值.解 (1)当x ∈『0，1』时，f (x )＝12·OB ·x ＝x ；当x ∈(1，5』时，f (x )＝（2＋x －1）×12＝12(x ＋1)； 当x ∈(5，6』时，f (x )＝4×1－12×2×(6－x )＝x －2.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤1，12（x ＋1），1<x ≤5，x －2，5<x ≤6.(2)若f (x )＝2，显然1<x ≤5，所以f (x )＝12(x ＋1)＝2，解得x ＝3.22.(本小题满分12分)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且对任意a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )，且当x >0时，f (x )<0恒成立.(1)证明函数y ＝f (x )是R 上的单调函数；(2)讨论函数y ＝f (x )的奇偶性；(3)若f (x 2－2)＋f (x )<0，求x 的取值范围.(1)证明 设x 1>x 2，则x 1－x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)＝f 『(x 1－x 2)＋x 2』－f (x 2)＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2).又当x >0时，f (x )<0恒成立，所以f (x 1)<f (x 2)，∴函数y ＝f (x )是R 上的减函数.(2)解 由f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )得f (x －x )＝f (x )＋f (－x )，即f (x )＋f (－x )＝f (0)，又由f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )，令a ＝b ＝0，得f (0)＝0，∴f (－x )＝－f (x )，又函数y ＝f (x )的定义域为R ，即函数y ＝f (x )是奇函数.(3)解法一由f(x2－2)＋f(x)<0得f(x2－2)<－f(x)，又y＝f(x)是奇函数，即f(x2－2)<f(－x)，又y＝f(x)在R上是减函数，所以x2－2>－x，解得x>1或x<－2.故x的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞).法二由f(x2－2)＋f(x)<0且f(0)＝0及f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，得f(x2－2＋x)<f(0)，又y＝f(x)在R上是减函数，所以x2－2＋x>0，解得x>1或x<－2.故x的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞).。
高中数学人教a版高一必修一_章末综合测评3_word版有答案
章末综合测评（三）函数的应用(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)的图象与x轴在区间[a，b]内()A．至多有一个交点B．必有唯一个交点C．至少有一个交点D．没有交点【解析】∵f(a)f(b)＜0，∴f(a)与f(b)异号，即f(a)＞0，f(b)＜0；或者f(a)＜0，f(b)＞0，显然，在[a，b]内必有一点，使得f(x)＝0.又f(x)在区间[a，b]上单调，所以这样的点只有一个，故选B.【答案】 B2．若方程f(x)－2＝0在(－∞，0)内有解，则y＝f(x)的图象是()【解析】A：与直线y＝2交点是(0,2)，不符合题意，故不正确；B：与直线y＝2无交点，不符合题意，故不正确；C：与直线y＝2在区间(0，＋∞)上有交点，不符合题意，故不正确；D：与直线y＝2在(－∞，0)上有交点，故正确．故选D.【答案】 D3．已知下列四个函数图象，其中能用“二分法”求出函数零点的是()【解析】 由二分法的定义与原理知A 选项正确． 【答案】 A4．2011年全球经济开始转暖，据统计某地区1月、2月、3月的用工人数分别为0.2万，0.4万和0.76万，则该地区这三个月的用工人数y 万人关于月数x 的函数关系近似的是( )A ．y ＝0.2xB ．y ＝110(x 2＋2x ) C ．y ＝2x10D ．y ＝0.2＋log 16x【解析】 当x ＝1时，否定B ；当x ＝2时，否定D ；当x ＝3时，否定A ，故选C. 【答案】 C5．向高为H 的水瓶以等速注水，注满为止，若水量V 与水深h 的函数的图象如图1所示，则水瓶的形状可能为( )【导学号：97030147】图1【解析】 由水量V 与水深h 的函数的图象，可知随着h 的增加，水量V 增加的越来越快，则对应的水瓶应该是上底面半径大于下底面半径的圆台型，故选A.【答案】 A6．拟定从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由f (m )＝1.06(0.50×[m ]＋1)给出，其中m ＞0，[m ]是大于或等于m 的最小整数(例如[3.72]＝3，[3.8]＝4，[3.1]＝4)，则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为( )元．A ．3.71B ．3.97C ．4.24D ．4.77【解析】 由[m ]是大于或等于m 的最小整数，可得[5.5]＝6，所以f (5.5)＝1.06×(0.50×6＋1)＝1.06×4＝4.24.故选C.【答案】 C 7．函数f (x )＝(x －1)ln (－x )x －3的零点个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 ∵函数f (x )＝(x －1)ln (－x )x －3的零点个数即为f (x )＝0的根的个数，∴f (x )＝(x －1)ln (－x )x －3＝0，即(x －1)ln(－x )＝0，∴x －1＝0或ln(－x )＝0，∴x ＝1或x ＝－1，∵⎩⎨⎧－x >0x －3≠0，解得x ＜0，∵函数f (x )的定义域为{x |x ＜0}，∴x ＝－1，即方程f (x )＝0只有一个根，∴函数f (x )＝(x －1)ln (－x )x －3的零点个数为1个．故选A.【答案】 A8．函数f (x )＝3x＋12x －2的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)【解析】 由已知可知，函数f (x )＝3x ＋12x －2单调递增且连续，∵f (－2)＝－269<0，f (－1)＝－136＜0，f (0)＝－1＜0，f (1)＝32>0，∴f (0)·f (1)＜0，由函数的零点判定定理可知，函数f (x )＝3x ＋12x －2的一个零点所在的区间是(0,1)，故选C.【答案】 C9．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表：不求a ) A ．(－3，－1)和(2,4) B ．(－3，－1)和(－1,1) C ．(－1,1)和(1,2)D ．(－∞，－3)和(4，＋∞)【解析】 由于f (－3)＝6＞0，f (－1)＝－4＜0，f (2)＝－4＜0，f (4)＝6＞0，则f (－3)·f (－1)＜0，f (2)·f (4)＜0.故方程的两根分别在区间(－3，－1)和(2,4)内．【答案】 A10．某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品，已知经销甲商品与乙商品所获得的利润分别为P (万元)和Q (万元)，且它们与投入资金x (万元)的关系是：P ＝x 4，Q ＝a2x (a >0)；若不管资金如何投放，经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不少于5万元，则a 的最小值应为( )A. 5 B ．5 C ．±5D ．－ 5【解析】 设投放x 万元经销甲商品，则经销乙商品投放(20－x )万元，总利润y ＝P ＋Q ＝x 4＋a 2·20－x ，令y ≥5，则x 4＋a 2·20－x ≥5.∴a 20－x ≥10－x 2，即a ≥1220－x 对0≤x <20恒成立，而f (x )＝1220－x 的最大值为5，且x ＝20时，a 20－x ≥10－x2也成立，∴a min ＝ 5.【答案】 A11．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －log 2x ，若实数x 0是函数f (x )的零点，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值为( )【导学号：97030148】 A ．恒为正值 B ．等于0 C ．恒为负值D ．不大于0【解析】 ∵函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (x 0)＝0，∴当x ∈(0，x 0)时，均有f (x )>0，而0<x 1<x 0，∴f (x 1)>0.【答案】 A12．已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝－(x －1)2＋1，满足f [f (a )]＝12的实数a 的个数为( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】 令f (a )＝x ，则f [f (a )]＝12变形为f (x )＝12；当x ≥0时，f (x )＝－(x －1)2＋1＝12，解得x 1＝1＋22，x 2＝1－22； ∵f (x )为偶函数，∴当x ＜0时，f (x )＝12的解为x 3＝－1－22，x 4＝－1＋22； 综上所述，f (a )＝1＋22，1－22，－1－22，－1＋22； 当a ≥0时，f (a )＝－(a －1)2＋1＝1＋22，方程无解； f (a )＝－(a －1)2＋1＝1－22，方程有2解； f (a )＝－(a －1)2＋1＝－1－22，方程有1解；f (a )＝－(a －1)2＋1＝－1＋22，方程有1解．故当a ≥0时，方程f (a )＝x 有4解，由偶函数的性质，易得当a ＜0时，方程f (a )＝x 也有4解，综上所述，满足f [f (a )]＝12的实数a 的个数为8，故选D.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．如果函数f (x )＝x 2＋mx ＋m ＋3的一个零点为0，则另一个零点是________．【解析】 函数f (x )＝x 2＋mx ＋m ＋3的一个零点为0，则f (0)＝0，∴m ＋3＝0，∴m ＝－3，则f (x )＝x 2－3x ，于是另一个零点是3.【答案】 314．已知长为4，宽为3的矩形，当长增加x ，宽减少x2时，面积达到最大，此时x 的值为________．【解析】 由题意，S ＝(4＋x )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－x 2，即S ＝－12x 2＋x ＋12，∴当x ＝1时，S 最大．【答案】 115．将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个涨价1元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品日销售价应定为每个________元．【解析】设每个涨价x元，则实际销售价为10＋x元，销售的个数为100－10x，则利润为y＝(10＋x)(100－10x)－8(100－10x)＝－10(x－4)2＋360(0≤x<10，x∈N)．因此，当x＝4，即售价定为每个14元时，利润最大．【答案】1416．给出下列五个命题：①函数y＝f(x)，x∈R的图象与直线x＝a可能有两个不同的交点；②函数y＝log2x2与函数y＝2log2x是相等函数；③对于指数函数y＝2x与幂函数y＝x2，总存在x0，当x＞x0时，有2x＞x2成立；④对于函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若有f(a)·f(b)＜0，则f(x)在(a，b)内有零点；⑤已知x1是方程x＋lg x＝5的根，x2是方程x＋10x＝5的根，则x1＋x2＝5.其中正确的序号是________．【解析】对于①，函数表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系，根据定义进行判定即可判断①错；对于②，函数y＝log2x2与函数y＝2log2x的定义域不等，故不是相等函数，故②错；对于③，当x0取大于等于4的值都可使当x＞x0时，有2x＞x2成立，故③正确；对于④，只有函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，同时f(a)·f(b)＜0，则f(x)在(a，b)内有零点．故④错；对于⑤，∵x＋lg x＝5，∴lg x＝5－x.∵x＋10x＝5，∴10x＝5－x，∴lg (5－x)＝x.如果做变量代换y＝5－x，则lg y＝5－y，∵x1是方程x＋lg x＝5的根，x2是方程x＋10x＝5的根，∴x1＝5－x2，∴x1＋x2＝5.故正确．【答案】③⑤三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x－1＋12x2－2，试利用基本初等函数的图象，判断f(x)有几个零点，并利用零点存在性定理确定各零点所在的区间(各区间长度不超过1)．【解】令y1＝x－1，y2＝－12x2＋2，在同一直角坐标系中分别画出它们的图象(如图所示)，其中抛物线的顶点坐标为(0,2)，与x轴的交点分别为(－2,0)，(2,0)，y1与y2的图象有3个交点，从而函数f (x )有3个零点．由f (x )的解析式知x ≠0，f (x )的图象在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别是连续不断的曲线，且f (－3)＝136>0，f (－2)＝－12<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝18>0，f (1)＝－12<0，f (2)＝12>0，即f (－3)·f (－2)<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f (1)<0，f (1)·f (2)<0，∴3个零点分别在区间(－3，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，(1,2)内．18．(本小题满分12分)定义在R 上的偶函数y ＝f (x )在(－∞，0]上递增，函数f (x )的一个零点为－12，求满足f (log 14x )≥0的x 的取值集合.【导学号：97030149】【解】 ∵－12是函数的一个零点，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0.∵y ＝f (x )是偶函数且在(－∞，0]上递增， ∴当log 14x ≤0，解得x ≥1，当log 14x ≥－12， 解得x ≤2，所以1≤x ≤2.由对称性可知，当log 14x ＞0时，12≤x ＜1.综上所述，x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.19．(本小题满分12分)燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量．(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？【解】 (1)由题知，当燕子静止时，它的速度v ＝0，代入题给公式可得：0＝5log 2Q10，解得Q ＝10.即燕子静止时的耗氧量是10个单位．(2)将耗氧量Q ＝80代入题给公式得：v ＝5log 28010＝5log 28＝15(m/s)． 即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.20．(本小题满分12分)如图2，直角梯形OABC 位于直线x ＝t 右侧的图形的面积为f (t )．图2(1)试求函数f (t )的解析式； (2)画出函数y ＝f (t )的图象. 【导学号：97030150】 【解】 (1)当0≤t ≤2时，f (t )＝S 梯形OABC －S △ODE ＝(3＋5)×22－12t ·t ＝8－12t 2， 当2<t ≤5时，f (t )＝S 矩形DEBC ＝DE ·DC ＝2(5－t )＝10－2t ， 所以f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧8－12t 2，(0≤t ≤2)，10－2t ，(2<t ≤5).(2)函数f (t )图象如图所示．21．(本小题满分12分)某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为2.10元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y 元．已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x,3x 吨．(1)求y 关于x 的函数；(2)如甲、乙两户该月共交水费40.8元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费． 【解】 (1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4，乙的用水量也不超过4吨，y ＝(5x ＋3x )×2.1＝16.8x ；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时，即3x ≤4且5x ＞4， y ＝4×2.1＋3x ×2.1＋3×(5x －4)＝21.3x －3.6. 当乙的用水量超过4吨时，即3x ＞4，y ＝8×2.1＋3(8x －8)＝24x －7.2，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧16.8x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤45，21.3x －3.6⎝ ⎛⎭⎪⎫45＜x ≤43，24x －7.2⎝ ⎛⎭⎪⎫x >43.(2)由于y ＝f (x )在各段区间上均为单调递增函数， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，45时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫45＜40.8； 当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤45，43时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＜40.8；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞时，令24x －7.2＝40.8，解得x ＝2，所以甲用户用水量为5x ＝10吨，付费S 1＝4×2.1＋6×3＝26.40(元)； 乙用户用水量为3x ＝6吨，付费S 2＝4×2.1＋2×3＝14.40(元)．22．(本小题满分12分)某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．若每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为4 000元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是多少？ 【解】 (1)当每辆车的月租金定为4 000元时，能租出的车有：100－4 000－3 00050＝80辆．(2)设当每辆车的月租金定为x (x ≥3 000)元时，租赁公司的月收益为y 元，则 y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫100－x －3 00050－150×100－x －3 00050－50×x －3 00050 ＝－150(x －4 050)2＋4 0502＋3 000×50－8 000×15050，则当月租金为4 050元时，租赁公司的月收益最大，4 0502＋3 000×50－8 000×150最大月收益是50＝30 7050元．。
新教材高中数学第三章圆锥曲线的方程章末复习练习含解析新人教A版选择性必修第一册
章末复习一、圆锥曲线的定义及标准方程 1．求圆锥曲线方程的常用方法(1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系,只需把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程．(2)定义法：动点满足已知曲线的定义,可先设定方程,再确定其中的基本量．(3)代入法：动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的,或是可分析的,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程．(4)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型,可设出方程形式,再根据条件确定待定的系数． 2．求圆锥曲线方程体现了逻辑推理和数学运算、直观想象的数学素养．例1 (1)已知动点M 的坐标满足方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|,则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．以上都不对答案 C解析 把轨迹方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|写成x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|5.∴动点M 到原点的距离与它到直线3x ＋4y －12＝0的距离相等．∴点M 的轨迹是以原点为焦点,直线3x ＋4y －12＝0为准线的抛物线．(2)在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ,设点P 在x 轴上的正投影为点D .当点P 在圆上运动时,动点M 满足PD →＝2MD →,动点M 形成的轨迹为曲线C .求曲线C 的方程．解 方法一 由PD →＝2MD →,知点M 为线段PD 的中点,设点M 的坐标为(x ,y ),则点P 的坐标为(x ,2y )．因为点P 在圆x 2＋y 2＝4上, 所以x 2＋(2y )2＝4,所以曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1.方法二 设点M 的坐标为(x ,y ),点P 的坐标是(x 0,y 0), 由PD →＝2MD →,得x 0＝x ,y 0＝2y , 因为点P (x 0,y 0)在圆x 2＋y 2＝4上, 所以x 20＋y 20＝4,(*)把x 0＝x ,y 0＝2y 代入(*)式,得x 2＋4y 2＝4, 所以曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1.反思感悟 (1)应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件．(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时,常用定义结合解三角形的知识来解决．(3)在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离,结合几何图形,利用几何意义去解决．跟踪训练1 (1)已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0,b >0)的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为________． 答案 x 2－y 23＝1解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，ca＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝2，则b 2＝c 2－a 2＝3,因此双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)点P 是抛物线y 2＝8x 上的任意一点,F 是抛物线的焦点,点M 的坐标是(2,3),求|PM |＋|PF |的最小值,并求出此时点P 的坐标．解 抛物线y 2＝8x 的准线方程是x ＝－2,那么点P 到焦点F 的距离等于它到准线x ＝－2的距离,过点P 作PD 垂直于准线x ＝－2,垂足为D ,那么|PM |＋|PF |＝|PM |＋|PD |.如图所示,根据平面几何知识,当M ,P ,D 三点共线时,|PM |＋|PF |的值最小, 且最小值为|MD |＝2－(－2)＝4, 所以|PM |＋|PF |的最小值是4.此时点P 的纵坐标为3,所以其横坐标为98,即点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫98，3. 二、圆锥曲线的几何性质1．本类问题主要有两种考查类型：(1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质,其中以求椭圆、双曲线的离心率为考查重点． (2)已知圆锥曲线的性质求其方程,基本方法是待定系数法,其步骤可以概括为“先定位、后定量”．2．圆锥曲线的性质的讨论和应用充分体现了直观想象和逻辑推理的数学素养．例2 (1)如图,F 1,F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点,A ,B 分别是C 1,C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形,则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62答案 D解析 由椭圆可知|AF 1|＋|AF 2|＝4,|F 1F 2|＝2 3.因为四边形AF 1BF 2为矩形, 所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝12,所以2|AF 1||AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)2－(|AF 1|2＋|AF 2|2)＝16－12＝4, 所以(|AF 2|－|AF 1|)2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|＝12－4＝8, 所以|AF 2|－|AF 1|＝22,因此对于双曲线有a ＝2,c ＝3, 所以C 2的离心率e ＝c a ＝62.(2)已知a >b >0,椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1,双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1,C 1与C 2的离心率之积为32,则C 2的渐近线方程为________． 答案 x ±2y ＝0解析 设椭圆C 1和双曲线C 2的离心率分别为e 1和e 2,则e 1＝a 2－b 2a ,e 2＝a 2＋b 2a.因为e 1·e 2＝32,所以a 4－b 4a 2＝32,即⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4＝14,所以b a ＝22. 故双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±22x , 即x ±2y ＝0.反思感悟 求解离心率的三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知,不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y 轴上都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝c a,已知其中的任意两个参数,可以求其他的参数,这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式,从而求出其离心率,这是求离心率的十分重要的思路及方法．(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题,根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质,建立参数之间的关系,通过画出图形,观察线段之间的关系,使问题更形象、直观．跟踪训练2 (1)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距是c ,A ,B 分别是长轴、短轴的一个端点,O 为原点,若△ABO 的面积是3c 2,则此椭圆的离心率是( ) A.12 B.32 C.22 D.33 答案 A解析 12ab ＝3c 2,即a 2(a 2－c 2)＝12c 4,所以(a 2＋3c 2)(a 2－4c 2)＝0,所以a 2＝4c 2,a ＝2c ,故e ＝c a ＝12.(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0,b >0)的焦距为2c ,右顶点为A ,抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F .若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ,且|FA |＝c ,则双曲线的渐近线方程为_________．答案 x ±y ＝0 解析 c 2＝a 2＋b 2,①由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c 知, 双曲线过点⎝⎛⎭⎪⎫c ，－p 2,即c 2a 2－p 24b2＝1.② 由|FA |＝c ,得c 2＝a 2＋p 24,③由①③得p 2＝4b 2.④将④代入②,得c 2a 2＝2.∴a 2＋b 2a 2＝2,即ba＝1,故双曲线的渐近线方程为y ＝±x ,即x ±y ＝0. 三、直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系,可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定,通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程,考虑该一元二次方程的判别式．2．借用直线与圆锥曲线问题培养数学运算的数学核心素养．例 3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0,3),离心率为12,左、右焦点分别为F 1(－c ,0),F 2(c ,0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ,B 两点,与以F 1F 2为直径的圆交于C ,D 两点,且满足|AB ||CD |＝534,求直线l 的方程． 解 (1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝12，b 2＝a 2－c 2，解得a ＝2,b ＝3,c ＝1, ∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由(1)知,以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1,∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m |5, 由d <1得|m |<52.(*) ∴|CD |＝21－d 2＝21－45m 2＝255－4m 2. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 23＝1，得x 2－mx ＋m 2－3＝0,由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ,x 1x 2＝m 2－3. ∴|AB |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122[m 2－4m 2－3]＝1524－m 2. 由|AB ||CD |＝534,得 4－m25－4m2＝1, 解得m ＝±33,满足(*)． ∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －33.反思感悟 (1)直线与圆锥曲线的位置关系可以通过代数法判断． (2)一元二次方程的判别式Δ、弦长公式是代数法解决问题的常用工具．跟踪训练3 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0),其焦点为F 1,F 2,离心率为22,直线l ：x ＋2y－2＝0与x 轴,y 轴分别交于点A ,B .(1)若点A 是椭圆E 的一个顶点,求椭圆的方程；(2)若线段AB 上存在点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ,求a 的取值范围． 解 (1)由椭圆的离心率为22,得a ＝2c , 由A (2,0),得a ＝2, ∴c ＝2,b ＝2, ∴椭圆方程为x 24＋y 22＝1.(2)由e ＝22,设椭圆方程为x 2a 2＋2y2a2＝1,联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋2y 2a2＝1，x ＋2y －2＝0，得6y 2－8y ＋4－a 2＝0,若线段AB 上存在点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ,则线段AB 与椭圆E 有公共点,等价于方程6y 2－8y ＋4－a 2＝0在y ∈[0,1]上有解． 设f (y )＝6y 2－8y ＋4－a 2,∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，f 0≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≥43，4－a 2≥0，∴43≤a 2≤4, 故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤233，2. 四、圆锥曲线的综合问题1．圆锥曲线的综合问题包括位置关系证明及定值、最值问题,解决的基本思路是利用代数法,通过直线与圆锥曲线的方程求解．2．圆锥曲线的综合问题的解决培养学生的逻辑推理和数学运算素养．例4 已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)经过点P (2,2),A ,B 是抛物线C 上异于点O 的不同的两点,其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程； (2)若OA ⊥OB ,求△AOB 面积的最小值．解 (1)由抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (2,2)知4p ＝4,解得p ＝1. 则抛物线C 的方程为y 2＝2x .抛物线C 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0,准线方程为x ＝－12.(2)由题意知,直线AB 不与y 轴垂直,设直线AB ：x ＝ty ＋a ,由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋a ，y 2＝2x ，消去x ,得y 2－2ty －2a ＝0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1＋y 2＝2t ,y 1y 2＝－2a . 因为OA ⊥OB ,所以x 1x 2＋y 1y 2＝0,即y 21y 224＋y 1y 2＝0,解得y 1y 2＝0(舍去)或y 1y 2＝－4. 所以－2a ＝－4,解得a ＝2.所以直线AB ：x ＝ty ＋2. 所以直线AB 过定点(2,0)．S △AOB ＝12×2×||y 1－y 2＝y 21＋y 22－2y 1y 2＝y 21＋y 22＋8≥2||y 1y 2＋8＝4. 当且仅当y 1＝2,y 2＝－2或y 1＝－2,y 2＝2时,等号成立． 所以△AOB 面积的最小值为4.反思感悟 (1)解决最值问题常见的题型,可用建立目标函数的方法求解．(2)圆锥曲线的综合问题可以从分析问题的数量关系入手,利用直线系或曲线系方程或函数方程思想,通过联想与类比,使问题获解．跟踪训练4 已知动圆P 与圆O 1：x 2－x ＋y 2＝0内切,且与直线x ＝－1相切,设动圆圆心P 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)过曲线C 上一点M (2,y 0)(y 0>0)作两条直线l 1,l 2与曲线C 分别交于不同的两点A ,B ,若直线l 1,l 2的斜率分别为k 1,k 2,且k 1k 2＝1.证明：直线AB 过定点．(1)解 由题意可知,动圆圆心P 到点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离与到直线x ＝－12的距离相等,所以点P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为焦点,直线x ＝－12为准线的抛物线,所以曲线C 的方程为y 2＝2x .(2)证明 易知M (2,2),设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线AB 的方程为x ＝my ＋b ,联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋b ，y 2＝2x ，得y 2－2my －2b ＝0,所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－2b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m 2＋2b ，x 1x 2＝b 2，因为k 1k 2＝y 1－2x 1－2·y 2－2x 2－2＝1, 即y 1y 2－2(y 1＋y 2)＝x 1x 2－2(x 1＋x 2), 所以b 2－2b －4m 2＋4m ＝0, 所以(b －1)2＝(2m －1)2, 所以b ＝2m 或b ＝－2m ＋2.当b ＝－2m ＋2时,直线AB 的方程为x ＝my －2m ＋2过定点(2,2)与M 重合,舍去； 当b ＝2m 时,直线AB 的方程为x ＝my ＋2m 过定点(0,－2),所以直线AB 过定点(0,－2)．1．(2019·全国Ⅰ)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0,b >0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C 的离心率为( ) A ．2sin 40° B ．2cos 40° C.1sin 50°D.1cos 50°答案 D解析 由题意可得－b a＝tan 130°, 所以e ＝1＋b 2a2＝1＋tan 2130° ＝1＋sin 2130°cos 2130° ＝1|cos 130°|＝1cos 50°.2．(2019·全国Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点,则p 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．8 答案 D解析 由题意知,抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0,椭圆的焦点坐标为(±2p ,0), 所以p2＝2p ,解得p ＝8,故选D.3．(2019·全国Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0),F 2(1,0),过F 2的直线与C 交于A ,B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |,|AB |＝|BF 1|,则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 答案 B解析 由题意设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0),连接F 1A ,令|F 2B |＝m ,则|AF 2|＝2m ,|BF 1|＝3m .由椭圆的定义知,4m ＝2a ,得m ＝a2,故|F 2A |＝a ＝|F 1A |,则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点．令∠OAF 2＝θ(O 为坐标原点),则sin θ＝c a＝1a.在等腰三角形ABF 1中,cos 2θ＝2m2＋3m 2－3m 22×2m ·3m＝13,因为cos 2θ＝1－2sin 2θ,所以13＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2,得a 2＝3.又c 2＝1,所以b 2＝a 2－c 2＝2,椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1,故选B.4．(2019·北京)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1的右焦点为(1,0),且经过点A (0,1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为原点,直线l ：y ＝kx ＋t (t ≠±1)与椭圆C 交于两个不同点P ,Q ,直线AP 与x 轴交于点M ,直线AQ 与x 轴交于点N .若|OM |·|ON |＝2,求证：直线l 经过定点． (1)解 由题意,得b 2＝1,c ＝1, 所以a 2＝b 2＋c 2＝2.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2), 则直线AP 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1. 令y ＝0,得点M 的横坐标x M ＝－x 1y 1－1.又y 1＝kx 1＋t ,从而|OM |＝|x M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1＋t －1.同理,|ON |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2kx 2＋t －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0,则x 1＋x 2＝－4kt 1＋2k 2,x 1x 2＝2t 2－21＋2k 2.所以|OM |·|ON |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1＋t －1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2kx 2＋t －1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1x 2k 2x 1x 2＋k t －1x 1＋x 2＋t －12＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋t 1－t .又|OM |·|ON |＝2,所以2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋t 1－t ＝2.解得t ＝0,所以直线l 经过定点(0,0)．。
【新教材】2020新人教版A高中数学必修第一册期末复习高中数学必修第3章测试卷
第三章 函数的概念与性质考试时间120分钟，满分150分．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y ＝x 2＋1的值域是( B ) A ．[0，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)[解析] 由题意知，函数y ＝x 2＋1的定义域为R ，则x 2＋1≥1，∴y ≥1. 2．已知f (12x －1)＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( B )A ．－74B ．74C ．43D ．－43[解析] 设12x －1＝t ，则x ＝2t ＋2，t ∈R ，∴f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，∴f (x )＝4x －1.由f (a )＝6得4a －1＝6，即a ＝74.3．(2019·山东烟台高一期中测试)已知函数y ＝f (x )的部分x 与y 的对应关系如下表：则f [f (4)]A ．－1 B ．－2 C ．－3D ．3[解析] 由图表可知，f (4)＝－3，∴f [f (4)]＝f (－3)＝3.4．已知幂函数f (x )＝x α的图象过点(2，12)，则函数g (x )＝(x －2)f (x )在区间[12，1]上的最小值是( C )A ．－1B ．－2C ．－3D ．－4[解析] 由已知得2α＝12，解得α＝－1，∴g (x )＝x －2x ＝1－2x 在区间[12，1]上单调递增，则g (x )min ＝g (12)＝－3，故选C ．5．(2019·吉林榆树一中高一期中测试)已知函数f (x －1)＝x 2－3，则f (2)的值是( B ) A ．－2B ．6C．1 D．0[解析]解法一：令x－1＝2，则x＝3，∴f(2)＝32－3＝6.解法二：令x－1＝t，则x＝t＋1，∴f(t)＝(t＋1)2－3＝t2＋2t－2，∴f(2)＝22＋2×2－2＝6.6．(2019·吉林乾安七中高一期测试)已知函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋m2－7m＋12为偶函数，则m的值是(B)A．1 B．2C．3 D．4[解析]由题意得m－2＝0，∴m＝2.7．“龟兔赛跑”讲述了这样一个故事：领先的兔子看着缓缓爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用s1和s2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，s为路程，则下列图象中与故事情节相吻合的是(D)[解析]根据题意：s1是匀速运动，路程一直在增加，s2有三个阶段：开始是路程增加，中间睡觉，路程不变；醒来时发现乌龟快到终点了急忙追赶，路程增加；但是乌龟还是先到终点，即s1在s2上方，故选D．8．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)且在区间[0,2]上是增函数，则(D)A．f(－1)<f(3)<f(4) B．f(4)<f(3)<f(－1)C．f(3)<f(4)<f(－1) D．f(－1)<f(4)<f(3)[解析]因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，又f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，则f(4)＝－f(0)＝0，又f(x)＝－f(－x)且f(x－4)＝－f(x)，所以f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)，又f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (1)>f (0)，即f (1)>0，所以f (－1)＝－f (1)<0，f (3)＝f (1)>0，可得f (－1)<f (4)<f (3)，故选D ． 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9．下列幂函数中，其图象过点(0,0)，(1,1)，且为偶函数的是( BD )A ．y ＝x 12B ．y ＝x 2C ．y ＝x－14D ．y ＝x 4[解析] 由题设知该幂函数为偶函数，且幂指数大于0，故选BD ．10．若奇函数f (x )在[3,7]上是增函数，且最小值是1，则它在[－7，－3]上( AB ) A ．是增函数 B ．最大值是－1 C ．是减函数D ．最小值是－1[解析] ∵奇函数在对称区间上的单调性相同，最值互为相反数．∴y ＝f (x )在[－7，－3]上有最大值－1且为增函数．故选AB ．11．已知f (x )＝3－2|x |，g (x )＝x 2－2x ，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )(若f (x )≥g (x ))f (x )(若f (x )<g (x ))，则F (x )( BC )A ．最小值－1B ．最大值为7－27C ．无最小值D ．无最大值[解析] 作出F (x )的图象，如图实线部分，知有最大值而无最小值，且最大值不是3，故选BC ．12．已知f (x )是定义在[0，＋∞)上的函数，根据下列条件，可以断定f (x )是增函数的是( CD )A ．对任意x ≥0，都有f (x ＋1)>f (x )B ．对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1≥x 2，都有f (x 1)≥f (x 2)C ．对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1－x 2<0，都有f (x 1)－f (x 2)<0D ．对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0[解析] 根据题意，依次分析选项：对于选项A ，对任意x ≥0，都有f (x ＋1)>f (x )，不满足函数单调性的定义，不符合题意；对于选项B ，当f (x )为常数函数时，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，都有f (x 1)＝f (x 2)，不是增函数，不符合题意；对于选项C ，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1－x 2<0，都有f (x 1)－f (x 2)<0，符合题意；对于选项D ，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，设x 1>x 2，若f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，必有f (x 1)－f (x 2)>0，则函数在[0，＋∞)上为增函数，符合题意．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．) 13．(2019·陕西黄陵中学高一期末测试)函数f (x )＝4－2x ＋1x ＋1的定义域是__{x |x ≤2且x ≠－1}__.[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4－2x ≥0x ＋1≠0，解得x ≤2且x ≠－1，∴函数f (x )的定义域为{x |x ≤2且x ≠－1}．14．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，f (x ＋1)，x ≤0，则f (－43)＋f (43)等于__4__.[解析] ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，f (x ＋1)，x ≤0，∴f (－43)＝f (－43＋1)＝f (－13)＝f (－13＋1)＝f (23)＝23×2＝43，f (43)＝2×43＝83，∴f (－43)＋f (43)＝43＋83＝4.15．已知幂函数f (x )＝x α的图象经过点(9,3)，则f (12)＝2，函数f (1x －1)的定义域为__(0,1]__.[解析] 幂函数f (x )的图象经过点(9,3)，所以3＝9α，所以α＝12，所以幂函数f (x )＝x ，故f (12)＝22，故1x－1≥0，解得0<x ≤1.16．设α∈{1,2,3，－1}，则使y ＝x α为奇函数且在(0，＋∞)上单调递增的α的值为__1或3__.[解析] 当α＝1时，y ＝x 为奇函数，且在R 上单调递增，满足题意；当α＝2时，y ＝x 2为偶函数不满足题意；当α＝3时，y ＝x 3为奇函数，且在R 上单调递增，满足题意；当α＝－1时，y ＝1x为奇函数，但在(0，＋∞)上单调递减，不满足题意．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝ax ＋b ，且f (1)＝2，f (2)＝－1. (1)求f (m ＋1)的值；(2)判断函数f (x )的单调性，并用定义证明．[解析] (1)由f (1)＝2，f (2)＝－1，得a ＋b ＝2,2a ＋b ＝－1，即a ＝－3，b ＝5，故f (x )＝－3x ＋5，f (m ＋1)＝－3(m ＋1)＋5＝－3m ＋2.(2)f (x )在R 上是减函数．证明：任取x 1<x 2(x 1，x 2∈R )，则f (x 2)－f (x 1)＝(－3x 2＋5)－(－3x 1＋5)＝3x 1－3x 2＝3(x 1－x 2)，因为x 1<x 2，所以f (x 2)－f (x 1)<0，即函数f (x )在R 上单调递减． 18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3－axa －1(a ≠1)． (1)若a >0，求f (x )的定义域；(2)若f (x )在区间(0,1]上单调递减，求实数a 的取值范围．[解析] (1)当a >0且a ≠1时，由3－ax ≥0得x ≤3a ，即函数f (x )的定义域是(－∞，3a ]．(2)当a －1>0，即a >1时，要使f (x )在(0,1]上单调递减，则需3－a ×1≥0，此时1<a ≤3. 当a －1<0，即a <1时，要使f (x )在(0,1]上单调递减，则需－a >0，且3－a ×1≥0，此时a <0.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(1,3]．19．(本小题满分12分)某商品在近30天内每件的销售价格P (元)和时间t (天)的函数关系为P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20，0<t <25，－t ＋100，25≤t ≤30(t ∈N *)．设商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系为Q ＝40－t (0<t ≤30，t ∈N *)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大时是第几天．[解析] 设日销售金额为y 元，则y ＝PQ ，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋20t ＋800(0<t <25，t ∈N *)，t 2－140t ＋4 000(25≤t ≤30，t ∈N *). 当0<t <25且t ∈N *时，y ＝－(t －10)2＋900， 所以当t ＝10时，y max ＝900.①当25≤t ≤30且t ∈N *时，y ＝(t －70)2－900， 所以当t ＝25时，y max ＝1 125.②结合①②得y max ＝1 125.因此这种商品日销售金额的最大值为1 125元，且在第25天日销售金额最大．20．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )的最小值为1，且f (0)＝f (2)＝3. (1)求f (x )的解析式；(2)若f (x )在区间[2a ，a ＋1]上不单调，求实数a 的取值范围．[解析] (1)由f (0)＝f (2)知二次函数f (x )关于直线x ＝1对称，又函数f (x )的最小值为1， 故可设f (x )＝a (x －1)2＋1，由f (0)＝3，得a ＝2. 故f (x )＝2x 2－4x ＋3.(2)要使函数不单调，则2a <1<a ＋1， 则0<a <12.故实数a 的取值范围(0，12)．21．(本小题满分12分)如果函数y ＝f (x )(x ∈D )满足： ①f (x )在D 上是单调函数；②存在闭区间[a ，b ]⊆D ，使f (x )在区间[a ，b ]上的值域也是[a ，b ]． 那么就称函数y ＝f (x )为闭函数．试判断函数y ＝x 2＋2x 在[－1，＋∞)内是否为闭函数．如果是闭函数，那么求出符合条件的区间[a ，b ]；如果不是闭函数，请说明理由．[解析] 设x 1，x 2是[－1，＋∞)内的任意两个不相等的实数，且－1≤x 1<x 2，则有f (x 2)－f (x 1)＝(x 22＋2x 2)－(x 21＋2x 1)＝(x 22－x 21)＋2(x 2－x 1)＝(x 2－x 1)(x 1＋x 2＋2)． ∵－1≤x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，x 1＋x 2＋2>0. ∴(x 2－x 1)(x 1＋x 2＋2)>0. ∴f (x 2)>f (x 1)．∴函数y ＝x 2＋2x 在[－1，＋∞)内是增函数． 假设存在符合条件的区间[a ，b ]，则有⎩⎪⎨⎪⎧ f (a )＝a f (b )＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a ＝ab 2＋2b ＝b. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－1.又∵－1≤a <b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝0.∴函数y ＝x 2＋2x 在[－1，＋∞)内是闭函数，符合条件的区间是[－1,0]．22．(本小题满分12分)已知函数y ＝x ＋tx 有如下性质：如果常数t >0，那么该函数在(0，t )上是减函数，在[t ，＋∞)上是增函数．(1)已知f (x )＝4x 2－12x －32x ＋1，x ∈[0,1]，利用上述性质，求函数f (x )的单调区间和值域；(2)对于(1)中的函数f (x )和函数g (x )＝－x －2a ，若对任意x 1∈[0,1]，总存在x 2∈[0,1]，使得g (x 2)＝f (x 1)成立，求实数a 的值．[解析] (1)y ＝f (x )＝4x 2－12x －32x ＋1＝2x ＋1＋42x ＋1－8，设u ＝2x ＋1，x ∈[0,1]，∴1≤u ≤3，则y ＝u ＋4u －8，u ∈[1,3]．由已知性质得，当1≤u ≤2，即0≤x ≤12时，f (x )单调递减，所以单调减区间为[0，12]；当2≤u ≤3，即12≤x ≤1时，f (x )单调递增，所以单调增区间为[12，1]；由f (0)＝－3，f (12)＝－4，f (1)＝－113，得f (x )的值域为[－4，－3]．(2)g (x )＝－x －2a 为减函数，故g (x )∈[－1－2a ，－2a ]，x ∈[0,1]．由题意知，f (x )的值域是g (x )的值域的子集，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1－2a ≤－4，－2a ≥－3，∴a ＝32.。
(北师大版)高中数学必修第一册 第三章综合测试试卷02及答案
第三章综合测试第I 卷（选择题）一、单选题1.下列各函数中，是指数函数的是（ ）.A .()3xy =-B .3xy =-C .13x y -=D .13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭2.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）.A .1y x=B .12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C .y x=D .3y x =-3.函数132x y -=+的反函数的图像必过点（）.A .()13，B .()25，C .()14，D .()41，4.已知函数()144xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （ ）.A .是奇函数，且在R 上是增函数B .是偶函数，且在R 上是增函数C .是奇函数，且在R 上是减函数D .是偶函数，且在R 上是减函数5.设2323a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1323b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2325c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）.A .a b c＞＞B .b a c＞＞C .b c a＞＞D .c b a ＞＞6.已知集合{}220A x x x =--＜，{}128x B x =＜＜，则（ ）.A .(23)A B = ，B .(03)A B =，I C .(3)A B =-∞，U D .(13)A B =- ，7.函数1x y a -=（0a ＞且1a ≠）恒过定点（）.A .()01，B .()11，C .()10，D .()21，8.若函数()2222xa x f x x x ⎧+⎪=⎨⎪⎩≤＞，，，在R 上单调递增，则正实数a 的取值范围是（ ）.A .()01，B.(C.(D.)+∞9.设函数()e e 2x x f x --=，()2x xe e g x -+=.则下列结论不正确的是（）.A .()()221g x f x ⎡⎤-⎡⎤=⎣⎦⎣⎦B .()()()22f x f x g x =gC .()()()222g x f x g x =⎡⎤+⎡⎤⎣⎦⎣⎦D .函数()f g x ⎡⎤⎣⎦和()g f x ⎡⎤⎣⎦分别为偶函数和奇函数10.已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b ＞）的图象如图所示，则函数()x g x a b =+的图象大致是（）.A .B .C .D .11.函数()01x xa y a x=＜＜的图像的大致形状是（ ）.A .B .C .D .12.函数()21x xe ef x x --=-的图象大致为（ ）.A .B .C .D .第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题13.()32430.00881-+-=________.14.已知102α=，103β=，则32100αβ-=________；15.奇函数()f x 满足当0x ＞时，()31x f x =+，则()2f -=________.16.中国古代十进位制的算筹记数法，在世界数学史上是一个伟大的创造.算筹记数的方法是：个位、百位、万位……的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位……的数按横式的数码摆出.如138可用算筹表示为.1～9这9个数字的纵式与横式表示数码如上图所示，则23341627⨯的运算结果可用算筹表示为________.三、解答题17.已知指数函数()x f x a =（0a ＞，且1a ≠），且()3f π=，求()0f ，()1f ，()3f -的值.18.已知函数()3x f x =，求证：（1）()()()f a f b f a b =+；（2）()()()f a f a b f b =-.19.22122123235x x x x+++=g g 20.求下列各式的值：（1+（2；（3+.21.已知函数()11x x e f x e -=+.（1）判断()f x 的奇偶性，并证明；（2）利用定义证明()f x 在区间()0∞+，上是增函数.22.函数()1423x x f x +=-+的定义域为1122x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，.（1）设2x t =，求t 的取值范围；（2）求函数()f x 的值域.第三章综合测试答案解析一、1.【答案】D【解析】利用指数函数的定义，形如：()01x y a a a =≠＞，即可求解.根据指数函数的定义知，()01xy aa a =≠＞，，A 选项底数错误，B 选项系数错误，C 选项指数错误；D 正确.故选：D.本题考查了指数函数的定义，需掌握住指数函数的定义，即可求解.2.【答案】D【解析】根据初等函数的性质逐个分析选项即可得出答案.解：A .1y x=在()0-∞，上单调递减，在()0∞+，上单调递减，但是在定义域内不是减函数.B .12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域内为减函数，但不是奇函数.C .y x =是偶函数，也不单调递减.D .3y x =-是奇函数，且在定义域内单调递减，复合题意.故选：D.本题考查函数的奇偶性和单调性，解题的关键是熟练掌握初等函数的性质，属于基础题.3.【答案】D【解析】根据原函数与其反函数的图象关于y x =对称可知，所以它们所过定点也关于y x =对称.令10x -=得，1x =，所以4y =，所以函数132x y -=+的图象经过定点()14，，所以函数132x y -=+的反函数的图像必过定点()41，.故选D.本题考查了原函数与其反函数的图象的对称性以及指数型函数过定点，属于基础题.4.【答案】C【解析】利用函数的单调性、奇偶性定义等方法判断函数的性质.解：函数()144xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为R ，因为()()114444xxxxf x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()144xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为奇函数；因为14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上为减函数，4x y =-在R 上的减函数，所以()144xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在R 上的减函数，综上：函数()144xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为奇函数，在R 上是减函数.故选：C.本题考查了函数的单调性与奇偶性的研究，解决问题的关键是熟练运用函数性质的定义.5.【答案】B【解析】根据指数函数23x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数与23y x =为增函数即可得.因为23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，故21332233⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜，又23y x =故22332523⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞，即122333222335⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＞＞，即b a c ＞＞.故选B.本题主要考查根据指数与幂函数单调性判断函数值大小问题，属于基础题型.6.【答案】D【解析】先通过解二次不等式和指数不等式，求出集合A ，B ，再对选项进行判断.因为{}()22012A x x x =--=-＜，，{}()12803x B x ==＜＜，，所以()02A B = ，，()13A B =- ，，故选：D.本题考查集合的表示方法及交、并运算，一元二次不等式和指数不等式的求解，考查考生对基础知识的掌握情况，属于基础题.7.【答案】B【解析】根据01a =即可求得指数型函数的定点.令10x -=，解得：1x =，此时1y =，故函数恒过()11，.故选：B.本题考查指数函数过定点问题，属于基础题.8.【答案】B【解析】先分析每一段单调递增情况，再综合整个递增即可求出结果.解：∵函数()2222xa x f x x x ⎧+⎪=⎨⎪⎩，≤，＞，在R 上单调递增，22122a a ⎧⎪⎨+⎪⎩＞∴≤，解得1a ＜.故选：B.本题考查分段函数的单调性，考查运算能力，属于基础题.9.【答案】D【解析】根据选项逐一计算判断.解：A .()()222222222242124x x x x x x x x e e e e e e g x f x e e ----⎛⎫⎛⎫-++-+⎡⎤-⎡⎤=-=-= ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭+，正确；B .()()()22222222x x x x x x e e f x g e x f e x e e ---+-==-=g g g ，正确；C .()()()2222222224x x x xx x e e e e e g x f x g x e ---⎛⎫⎛⎫-+⎡⎤+⎡⎤=+== +⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭，正确；D .()()2x x e e f x f x ---==-，()()2x x e e g x g x -+-==，故()()f g x f g x ⎡-⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()()g f x g f x g f x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=-=⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以函数()f g x ⎡⎤⎣⎦和()g f x ⎡⎤⎣⎦均为偶函数，错误.故选：D.本题考查函数奇偶性以及利用解析式进行计算，是基础题.10.【答案】D【解析】根据()f x 的图像，判断a ，b 的初步范围，再结合指数函数的图像，即可进行选择.因为函数()()()f x x a x b =--对应方程的两根为a ，b ，数形结合可知1a ＞，10b -＜＜.故函数()g x 是单调增函数，且在y 轴的截距范围是()01，，故选：D.本题考查指数型函数的单调性，以及图像的辨识，属基础题.11.【答案】D【解析】化简函数解析式，利用指数函数的性质判断函数的单调性，即可得出答案.根据01a ＜＜()01xxa y a x=∵＜＜00x xa x y a x ⎧⎪=⎨-⎪⎩，＞∴，＜01a ∵＜＜，x y a =∴是减函数，x y a =-是增函数.()01xxa y a x=＜＜在()0+∞，上单调递减，在()0-∞，上单调递增.故选：D.本题主要考查了根据函数表达式求函数图象，解题关键是掌握指数函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.12.【答案】A【解析】确定函数的奇偶性，()()21x xe ef x f x x ---==--，()f x 是奇函数，排除C ，D ，0x ＞时，x x e e -＞，即0x x e e --＞，当1x ＞时，又有210x -＞，因此()0f x ＞，排除B ，故选：A.本题考查由函数解析式选取函数图象，可通过研究函数的性质如奇偶性、单调性、对称性等排除某些选项，再通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势等排除某些选项，从而得出正确答案.二、13.【答案】51【解析】直接利用分数指数幂的运算法则进行求值.原式230.2312527151-=+-=+-=.故答案为：51.本题考查分数指数幂的运算，考查运算求解能力，属于基础题.14.【答案】89【解析】由指数幂运算法则化简即可得出结果.()()33322210810010910ααβαββ-===.故答案为：89.本题考查了指数运算，考查了运算能力，属于一般题目.15.【答案】10-【解析】由函数奇偶性，结合函数解析式，即可容易求得.因为()f x 奇函数，且当0x ＞时，()31x f x =+，故可得()()()2223110f f -=-=-+=-.故答案为：10-.本题考查利用函数奇偶性求函数值，涉及指数运算，属基础题.16.【答案】【解析】先算出2334162772⨯=，再根据表示数码写出相应结果.解：2334162772⨯=∵，∴从题中所给表示数码知72可用算筹表示.故答案为：.本题主要考查指数运算，考查运算能力，属于基础题.三、17.【答案】因为()xf x a =，且()3f π=，则3a π=，解得13a π=，于是()3x f x π=.所以，()001f π==，()131f π==，()113f ππ--==.【解析】由()3f π=求出a ，可确定()f x 的解析式，从而计算函数值.本题考查指数函数的解析式．属于基础题.18.【答案】证明：（1）()3x f x =∵，()()333a b a b f a f b +==g ∴，()3a b f a b ++=，()()()f a f b f a b =+∴；（2）()3x f x =∵，()()333aa b b f a f b -==∴，()3a bf a b --=()()f a f a b fb =-∴.【解析】直接根据指数的运算性质进行证明.本题主要考查指数的运算性质，属于基础题.19.【答案】解：因为22122123235x x x x +++=g g 22222233235x x x x ⨯+⨯=∴g g ()2222233235x x x x ⨯+⨯=∴g g 令223x x t =g ，则23250t t +-=，解得1t =或53t =-（舍去）2231x x =∴g 即()123xx ⨯=∴则0x =或213x ⨯=解得31log 2x =或0x =.【解析】将方程变形为()2222233235x x x x ⨯+⨯=g g ，令223x x t =g ，则23250t t +-=解出t ，再计算出x ；本题考查指数方程的计算，指数的运算，属于中档题.20.【答案】（1）原式53112222=+=--=；（2）原式()()y x x y y x =+-=-+-.当x y ≥时，原式0x y y x =-+-=；当x y ＜时，原式()2y x y x y x =-+-=-.因此，原式()02x y y x x y ⎧=⎨-⎩，≥，＜；（3）原式1=+-=)12211=++-+=【解析】（1）将带分数化为假分数，小数化为分数，利用根式的运算性质化简计算即可；（2）分x y ≥和x y ＜两种情况讨论，利用根式的运算性质化简计算即可；（3）将二次根式中被开方数化为完全平方的形式，利用根式的性质化简计算即可.本题考查根式的化简计算，熟练利用根式的性质是关键，考查计算能力，属于中等题.21.【答案】解：（1）函数()f x 的定义域为R ，关于原点对称，任取一个x ∈R ，则x -∈R ，因为()11x x e f x e -=+，所以，()()11111111xxx x x x e e e f x f x e ee ------====-+++，即()f x 是奇函数.（2）任取1x ，2x ，使得210x x ＞＞，()()()()()21212112212111111x x x x x x x x e e e e f x f x e e e e ----=-=++++，因为21x x e e ＞，所以()()()21122011x x x x e e e e -++，即()()21f x f x ＞，所以()f x 在区间()0∞+，上是增函数.【解析】（1）求出()f x -，判断()f x 与()f x -的关系即可.（2）根据单调性的定义证明步骤，可证明结论.本题考查函数奇偶性的判断，用定义法证明函数的单调性，属于基础题.22.【答案】（1）2x t =∵在1122x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，上单调递增t ∈∴．（2）函数()y f x =可化为：()223g t t t =-+，t ∈()y g t =∵在1⎤⎥⎦上单调递减，在1⎡⎣上单调递增比较得g g＜，()()12min f x g ==∴，()5max f x g==-所以函数的值域为25⎡-⎣，.【解析】（1）由题意，可先判断函数2x t =，1122x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，单调性，再由单调性求出函数值的取值范围，易得；（2）由于函数()1423x x f x +=-+是一个复合函数，可由2x t =，将此复合函数转化为二次函数()223g t t t =-+，此时定义域为t ∈，求出二次函数在这个区间上的值域即可得到函数()f x 的值域.本题考查了对数函数的值域的求法，对数函数与一元二次函数组成的复合函数的值域的求法，解题的关键是熟练掌握指数函数的性质与二次函数的性质，本题的重点在第二小题，将求复合函数的值域转化为求两个基本函数的值域，先求内层函数的值域再求外层函数的值域，即可得到复合函数的值域，求复合函数的值域问题时要注意此技能使用.。
高中数学 第三章章末检测一 新人教B版必修1
模块质量检测一〔本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订〕一、选择题本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的1．2022年浙江卷U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x≤－1}，那么A∩∁U B∪B∩∁U A ＝A．∅B．{x|x≤0}C．{x|x>－1} D．{x|x>0或x≤－1}【解析】∁U B＝{x|x>－1}，∁U A＝{x|x≤0}，那么A∩∁U B＝{x|x>0}，B∩∁U A＝{x|x≤－1}，∴A∩∁U B∪B∩∁U A＝{x|x>0或x≤－1}．【答案】 D2．2022年长沙高一检测设集合A＝{x|y＝ln1－x}，集合B＝{y|y＝x2}，那么A∩B＝A．[0,1] B．[0,1C．－∞，1] D．－∞，1【解析】A＝{x|x<1}，B＝{y|y≥0}，∴A∩B＝[0,1．【答案】 B【答案】 B4．设log32＝a，那么log38－2log36可表示为A．a－2 B．3a－1＋a2C．5a－2 D．1＋3a－a2【解析】log38－2log36＝3log32－2log32－2＝a－2.【答案】 A5．2022年平顶山高一检测函数的定义域是A．1,2] B.1,2C．2，＋∞ D．－∞，2【解析】由得1<x<2.【答案】 B6．函数的反函数的图象为【解析】的反函数为，故图象为D.【答案】 D7．函数y＝－x2＋8x－16在区间[3,5]上A．没有零点 B．有一个零点C．有两个零点 D．有无数个零点【解析】∵y＝－x2＋8x－16＝－x－42，∴函数在[3,5]上只有一个零点4.【答案】 B8．方程的解的个数是A．0 B．1 C．2 D．3【解析】在平面坐标系中，画出函数y1＝和y2＝|log3x|的图象，如下图，可知方程有两个解．【答案】 C9．假设f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝,在区间[1,2]上都是减函数，那么a的取值范围是A．－1,0∪0,1B．－1,0∪0,1]C．0,1D．[0,1]【解析】由f(x)＝－x2＋2ax在区间[1,2]上是减函数，得a≤1；由g(x)＝在区间[1,2]上是减函数，得a>0.综上可得0<a≤1，应选D.【答案】 D10．设f x＝3x＋3x－8，用二分法方程3x＋3x－8＝0在x∈[1,2]上近似解的方程中，计算得到f1<0，f 1.5>0，f 1.25<0，那么方程的解所在区间为A．[1,1.25] B．[1.25,1.5]C．[1.5,2] D．不能确定【解析】由于f(1)<0，f(1.5)>0，那么第一步计算中点值f(1.25)<0，又f(1.5)>0，那么确定区间[1.25,1.5]．【答案】 B11．函数f(x)在(－1,1)上是奇函数，且在〔－1,1〕上是减函数，假设，那么m的取值范围是【答案】 A【答案】 A二、填空题本大题共4小题，每题4分，共16分，将答案填在题中的横线上13．设f：x→2x－1为集合A到集合B的一一映射，其中B＝{－1,3,5}，那么集合A ＝________.【解析】分别解方程2x－1＝－1,2x－1＝3,2x－1＝5可得．【答案】{0,2,3}14．2022年天门模拟全集I＝{x|x∈R}，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k<x ＜k＋1，k∈R}，且∁I A∩B＝∅，那么实数k的取值范围是________．【解析】∁I A＝{x|1<x<3}，又∁I A∩B＝∅，∴k＋1≤1或k≥3，∴k≤0或k≥3.【答案】〔－∞，0]∪[3，＋∞16．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚得最大利润，售价应定为________元．【解析】设该商品每个涨价x元时，利润为y元，那么y＝10＋x400－20x＝－20x－52＋4 500,0≤x<20.当x＝5时，y取最大值4 500.【答案】95三、解答题本大题共6小题，共74分，解容许写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．本小题总分值12分设M＝{0,1}，N＝{11－a，lg a,2a，a}，试判断是否存在实数a使得M∩N＝{1}．【解析】∵M＝{0,1}，N＝{11－a，lg a,2a，a}，要使M∩N＝{1}，只需1∈N且0∉N.假设11－a＝1，那么a＝10，这时lg a＝1，这与集合中元素的互异性矛盾，∴a≠10；假设lg a＝1，那么a＝10，与a≠10矛盾；假设2a＝1，那么a＝0，此时，lg a无意义，∴a≠0；假设a＝1，那么lg a＝lg 1＝0，与0∉N矛盾．因此不存在实数a，使得M∩N＝{1}．18．本小题总分值12分函数f〔x〕＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．1当a＝－1时，求f(x)的最大值和最小值；19．本小题总分值12分函数f x是定义在R上的奇函数，并且当x∈0，＋∞时，f x＝2x.20．本小题总分值12分设函数y＝f x，且lg lg y＝lg3x＋lg3－x．1求f x的解析式和定义域；2求f x的值域．21．本小题总分值12分某商品在近30天内每件的销售价格P元和时间t t∈N天的关系符合如图3所示的图象．1请确定每件该商品的销售价格P元和时间t天的函数解析式；2该商品的日销售量Q件与时间t天的关系式是Q＝－t＋400≤t≤30，t∈N，求该商品的日销售额y元与时间t天的函数解析式；3求该商品的日销售额y元的最大值，并指出日销售额最大的一天是30天中的哪一天？注：日销售额＝日销售量×销售价格【解析】1由图知，当0≤t<25，t∈N时，设P＝at＋b，将0,19，25,44代入，得错误!，解得错误!，∴P＝t＋190≤t<25，t∈N；当25≤t≤30，t∈N时，同理可得P＝－t＋10025≤t≤30，t∈N．综上所述，每件该商品的销售价格P元和时间t天的函数解析式为P＝错误!22．本小题总分值14分函数f x＝lg4－k·2x其中k为实数，1求函数f x的定义域；2假设f x在－∞，2]上有意义，试求实数k的取值范围．【解析】1由题意可知：4－k·2x>0，即解不等式：k·2x<4，①当k≤0时，不等式的解集为R，。
高一数学北师大版必修1练习第三章 章末检测 Word版含解析
解法二：－＋－＝－＋－
＝＝＝.
．(分)现有命题和如下．
：函数＝在上单调递减．
：函数()＝(＋＋)的值域为.
如果和中有且只有一个命题是真命题，求非负实数的取值范围．
解：函数＝在上单调递减⇔<<.
函数()＝(＋＋)的值域为⇔Δ＝－×·≥，所以≤，又>，所以≥.
根据题设可知，命题和有且仅有一个正确．
其定义域为(－∞，)∪(，＋∞)．
所以，(，)⊆(－∞，)或(，)⊆(，＋∞)．
①若(，)⊆(，＋∞)，则≤<.
为研究∈(，)时()的值域，
可考虑()＝在(，＋∞)上的单调性．
下证()在(，＋∞)上单调递减．
任取，∈(，＋∞)，且<，则
－＝>.
又>，所以>，
即()>()．
所以当(，)⊆(，＋∞)时，()在(，＋∞)上单调递减．
所以，在这种情况下，，无解．
综上，符合题意的实数，的值为＝＋，＝.
．若函数()＝，则[(－)]＝()
．．
．．
答案：
解析：(－)＝(－)－＝，所以[(－)]＝()＝＝.
．不等式>－的解集是()
．(－，＋∞)
．(－∞，－)．(－∞，－)
答案：
解析：<－，<－.
．已知＝，＝，＝，则()
．<<．<<
．<<．<<
答案：
解析：∵＝<，＝>，＝＝，∴<<.
．函数()＝的定义域是()
．．
．．
答案：
．已知函数()满足当≥时，()＝.当<时，()＝(＋)，则(＋)＝()
高中数学选择性必修一第三章 圆锥曲线的方程章末检测B(解析版)
2020-2021年高二数学选择性必修一尖子生同步培优题典第三章 圆锥曲线的方程 章末检测B 解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注：本检测满分150分。
其中8道单选题，4道多选题，4道填空题，6道解答题。
一、单选题1．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 2F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若1AF B △的周长为C 的标准方程为（ ）A ．22132x y +=B ．2213x y +=C ．221128x y +=D ．221124x y +=【答案】A 【解析】 【分析】利用焦点三角形的周长求出a ，再根据离心率求出c ，由222b a c =-即可求解. 【详解】1AF B △的周长为则1122114AB AF BF AF BF AF BF a ++=+++==所以a =又c e a ==，所以1c =， 所以2222b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为：22132x y +=.故选：A 【点睛】本题考查了焦点三角形周长、利用离心率求椭圆的标准方程，属于基础题.2．如图所示，直线l 与双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若且AOB 的面积为的离心率为（ ）A 2B 3C ．2D 5【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，设02AOX πθθ⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，由题中条件求出60θ=︒，再由双曲线的渐近线方程得到tan 3baθ==. 【详解】由题意，设02AOX πθθ⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，因为6OA OB ⋅=-且AOB 的面积为33 所以cos 26OA OB θ=-，1sin 2332OA OB θ=， 所以tan 23θ=2120θ=︒，可得60θ=︒，又双曲线2222:1x y E a b-=的渐近线方程为b y x a =±，∴tan 3baθ== 所以212c b e a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭. 故选：C . 【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，属于基础题型.3．已知抛物线24,y x =上一点P 到准线的距离为1d ，到直线l :43110x y -+=为2d ，则12d d +的最小值为（ ）【解析】 【分析】利用抛物线的定义，将12d d +的最小值转化为焦点到直线43110x y -+=的距离即可求得． 【详解】解：抛物线上的点P 到准线的距离等于到焦点F 的距离， 所以过焦点F 作直线43110x y -+=的垂线， 则该点到直线的距离为12d d +最小值，如图所示；由(1,0)F ，直线43110x y -+=，所以12224011343d d -++==+，故选A.【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质和点到直线距离公式的应用问题，是基础题．4．离心率为2的双曲线22221y x a b-=的渐近线方程是（ ）A ．0x y ±=B 30x y ±=C ．30x ±=D 50x y ±=【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的离心率221c b e a a ==+可求出b a ，又双曲线的渐近线方程为a y x b =±，可求出答案.【详解】由题意，双曲线22221y x a b -=的离心率为2212c b e a a ==+=，则223b a =，即3b a = 所以双曲线22221y x a b -=的渐近线方程为33a y x xb =±=±，即30x ±=.故选：C.本题考查双曲线的渐近线、离心率，考查学生的计算求解能力，属于基础题.5．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右焦点分别为1F ，2F ，实轴长为6，渐近线方程为13y x =±，动点M 在双曲线左支上，点N 为圆()22:61E x y ++=上一点，则2MN MF +的最小值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意得双曲线的方程为2219x y -=，再结合双曲线的定义得212MF a MF =+，故212MN MF a MN MF +=++，连接1EF ，交双曲线于M ，交圆于N ，此时1MN MF +取得最小值，再计算即可得答案. 【详解】由题意可得26a =，即3a =，渐近线方程为13y x =±，即有13b a =，即1b =，可得双曲线方程为2219x y -=，焦点为()110,0F -，()210,0F ，由双曲线的定义可得21126MF a MF MF =+=+，由圆()22:61E x y ++=可得()0,6E -，半径1r =，216MN MF MN MF +=++，连接1EF ，交双曲线于M ，交圆于N ，此时1MN MF +取得最小值，且为16104EF =+=， 则2MN MF +的最小值为6419+-=. 故选：B.本题考查双曲线方程的求解，双曲线上的点到定点的距离最值问题，考查数形结合思想，是中档题.6．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的（ ）A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】09k <<，则90k ->，250k ->，双曲线221259x y k-=-的实半轴长为5=离心率为5，双曲线221259x y k -=-，虚半轴长为3，焦距为=，因此，两双曲线的焦距相等， 故选D.7．已知点P （－1，0），设不垂直于x 轴的直线l 与抛物线y 2＝2x 交于不同的两点A 、B ，若x 轴是∠APB 的角平分线，则直线l 一定过点 A ．（12，0） B ．（1，0） C ．（2，0） D ．（-2，0）【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性，分析得出直线过的顶点应该在x 轴上，再设出直线的方程，与抛物线方程联立，设出两交点的坐标，根据角分线的特征，得到所以AP 、BP 的斜率互为相反数，利用斜率坐标公式，结合韦达定理得到参数所满足的条件，最后求得结果. 【详解】根据题意，直线的斜率不等于零，并且直线过的定点应该在x 轴上， 设直线的方程为x ty m =+，与抛物线方程联立，消元得2220y ty m --=，设1122(,),(,)A x y B x y ，因为x 轴是∠APB 的角平分线，所以AP 、BP 的斜率互为相反数，所以1212011y y x x +=++， 结合根与系数之间的关系，整理得出12122(1)()0ty y m y y +++=，即2(2)220t m tm t -++=，2(1)0t m -=，解得1m =，所以过定点(1,0)， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关直线过定点问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的位置关系，韦达定理，角平分线的性质，两点斜率坐标公式，思路清晰是正确解题的关键. 8．已知圆221:20C x cx y ++=，圆222:20C x cx y -+=，椭圆2222222:1(0,)x y C a b c a b a b+=>>=-，若圆1C ，2C 都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（ ）A ．1[,1)2B ．1(0,]2C．[,1)2D．(0,2【答案】B 【解析】 【分析】由已知圆的方程求出圆心坐标与半径，圆1C ，2C 都在椭圆内，可得圆2C 上的点(2,0)c ，(,)c c 都在椭圆内，由此列关于a ，c 的不等式组得答案． 【详解】由圆221:20C x cx y ++=，得222()x c y c ++=，得圆1C 的圆心为(,0)c -，半径为c ，由圆222:20C x cx y -+=，得222()x c y c -+=，得圆2C 的圆心为(,0)c ，半径为c ， 要使圆1C ，2C 都在椭圆内，则22222{1c ac c a b+，解得102ca <． ∴椭圆离心率的范围是1(0,]2．本题考查圆与椭圆的综合，考查数学转化思想方法，考查运算求解能力，是中档题．二、多选题9．在平面直角坐标系中，有两个圆22211:(2)++=C x y r 和22222:(2)-+=C x y r ，其中常数12,r r 为正数满足124r r +<，一个动圆P 与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹可以是（ ） A ．两个椭圆B ．两个双曲线C ．一个双曲线和一条直线D ．一个椭圆和一个双曲线【答案】BC 【解析】 【分析】由题意得，圆1C 的圆心为1(2,0)C -，半径为1r ，圆2C 的圆心为2(2,0)C ，半径为2r ，所以124C C =，设动圆P 的半径为r ；分动圆P 可能与两圆①均内切，②均外切，③一个外切，一个内切，三种情况，根据圆与圆位置关系，即可结合双曲线的定义，即可判断出结果. 【详解】由题意得，圆1C 的圆心为1(2,0)C -，半径为1r ，圆2C 的圆心为2(2,0)C ，半径为2r ，所以124C C =，设动圆P 的半径为r ．当124r r +<时，两圆相离，动圆P 可能与两圆均内切或均外切或一个外切一个内切． ①若均内切，则1122,PC r r PC r r =-=-， 此时1212PC PC r r -=-，当12r r ≠时，点P 的轨迹是以12,C C 为焦点的双曲线， 当12r r =时，点P 在线段12C C 的垂直平分线上． ②若均外切，则1122,PC r r PC r r =+=+， 此时1212PC PC r r -=-，则点P 的轨迹与①相同．③若一个外切，一个内切，不妨设与圆1C 内切，与圆2C 外切，则11222112,,PC r r PC r r PC PC r r =-=+-=+．同理，当与圆2C 内切，与圆1C 外切时，1212PC PC r r -=+．此时点P 的轨迹是以12,C C 为焦点的双曲线，与①中双曲线不一样．本题主要考查动点的轨迹问题，熟记双曲线的定义以及圆与圆位置关系即可，属于常考题型.10．已知椭圆()22:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 且122F F =，点()1,1P 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（ ） A ．1QF QP +的最小值为21a - B ．椭圆C 的短轴长可能为2 C ．椭圆C的离心率的取值范围为10,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．若11PF FQ =，则椭圆C【答案】ACD 【解析】 【分析】A. 将1QF QP +，利用椭圆的定义转化为12222+=-+≥-QF QP a QF QP a PF 求解；B.假设椭圆C 的短轴长为2，则1,2b a ==，与点P 在椭圆的内部验证；C. 根据点()1,1P 在椭圆内部，得到111a b+<，又1a b -=，解得a，再由=eD. 根据11PF FQ =，得到1F 为线段PQ 的中点，求得Q 坐标，代入椭圆方程求解. 【详解】A. 因为122F F =，所以()221,0,1=F PF ，所以1222221+=-+≥-=-QF QP a QF QP a PF a ，当2,,Q F P ，三点共线时，取等号，故正确；B.若椭圆C 的短轴长为2，则1,2b a ==，所以椭圆方程为22121x y +=，11121+>，则点P 在椭圆外，故错误；C. 因为点()1,1P 在椭圆内部，所以111a b +<，又1a b -=，所以1b a =-，所以1111+<-a a ，即2310a a -+>，解得(2136244++>==a>，所以12=<e ，所以椭圆C的离心率的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，故正确；21190-+=a a ，解得()2517118522285244+++===a ，所以5172+=a ，所以椭圆C 的长轴长为517+，故正确. 故选：ACD 【点睛】本题主要考查椭圆的定义，点与椭圆的位置关系以及椭圆的几何性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.11．（多选）如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在点P 第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道II 绕月飞行，最终卫星在点P 第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道III 绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道I 和II 的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道I 和II 的长轴长，则下列式子正确的是（ ）A ．1122a c a c +=+B ．1122a c a c -=-C ．1212c a a c >D ．1212c c a a <【答案】BC 【解析】 【分析】A 选项结合图象以及不等式的性质进行判断；B 选项结合椭圆的几何性质进行判断；CD 选项根据B 选项的结论进行变形来判断. 【详解】由题图可得12121122,,>>∴+>+a a c c a c a c ，故A 不正确；11221122||,||,=-=-∴-=-PF a c PF a c a c a c ，故B 正确；由1122a c a c -=-得()()221221a c a c +=+，即22221112222122a c a c a c a c -+=-+，即22121122211221121222,,,+=+>∴>∴>c c b a c b a c b b a c a c a a ，故C 正确，D 不正确．故选：BC 【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，属于中档题.12．已知椭圆C ：22142x y +=的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，直线()0y kx k =≠与C 交于A ，B 两点，AE x ⊥轴，垂足为E ，直线BE 与C 的另一个交点为P ，则下列结论正确的是( )A ．四边形12AF BF 为平行四边形B ．1290F PF ∠<︒C ．直线BE 的斜率为12k D ．90PAB ∠>︒【答案】ABC 【解析】 【分析】对A,根据椭圆对称性判断即可. 对B,根据12F PF ∠的最值判定即可. 对C,根据倾斜角的正切值判定即可.对D,根据椭圆中斜率的定值关系证明90PAB ∠=︒即可. 【详解】对A,根据椭圆的对称性可知,12,OF OF OA OB ==.故四边形12AF BF 为平行四边形. 故 A 正确.对B ,根据椭圆的性质有当P 在上下顶点时,OP b c ===.此时1290F PF ∠=︒.由题意可知P 不可能在上下顶点,故1290F PF ∠<︒.故B 正确. 对C, 如图,不妨设B 在第一象限,则直线BE 的斜率为122BD BD k ED OD ==,故C 正确. 对D, 设(),P x y 则2212121222121212AP BPy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-221222122222x x x x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-12=-.又由C 可知直线BP 的斜率为12k ,故11212AP k k k -==-.所以11AP AB k k k k ⋅=-⋅=-. 故90PAB ∠=︒.故D 错误.故选：ABC 【点睛】本题主要考查了椭圆中的三角形与边角关系等的判定.需要根据题意根据椭圆的对称性以及斜率的定值性质求解.属于中档题.三、填空题13．如图，已知椭圆1C 和双曲线2C 交于1P 、2P 、3P 、4P 四个点，1F 和2F 分别是1C 的左右焦点，也是2C 的左右焦点，并且六边形121342PP F P P F 是正六边形．若椭圆1C 的方程为22142323x y +=+，则双曲线2C 的方程为____________．22142323=- 【解析】 【分析】先根据椭圆1C 的方程确定半焦距，再根据正六边形性质确定双曲线中,,.a b c 【详解】2221442423x c c =∴=+=∴=+设22222:1,(0,0)x y C a b a b-=>>22212||||21a P F P F a =-=∴=222241)b c a ∴=-=-=因此2221C =221-= 221= 【点睛】本题考查求双曲线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.14．已知双曲线22143x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与双曲线的左支交于A ，B 两点，若∠260AF B =︒，则2AF B 的内切圆半径为______.【答案】3【解析】 【分析】设内切圆的圆心M ，设2AF B 三边与内切圆的切点，连接切点与圆心M 的线段，由内切圆的性质可得22AF AQ BF BQ -=-，再由双曲线定义可知：21212AF AF BF BF a -=-=，可得Q ，1F 重合，再由260AF B ∠=︒可得内切圆的半径的值.【详解】设内切圆的圆心为(),M x y ，设圆M 与三角形的边分别切于T ，Q ，S ，如图所示 连接MS ，MT ，MQ ，由内切圆的性质可得：22F T F S =，AT AQ =，BS BQ =， 所以222AF AQ AF AT F T -=-=，222BF BQ BF BS F S -=-=， 所以22AF AQ BF BQ -=-，由双曲线的定义可知：21212AF AF BF BF a -=-=，所以可得Q ，1F 重合，所以224TF a ==，所以圆的半径为2243tan23AF B r MT TF ∠===. 故答案为：433.【点睛】本题主要考查双曲线定义的应用，熟记双曲线的定义即可，属于常考题型.15．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．今有抛物线()2: 20C y px p =>(如图)一条平行x 轴的光线射向C 上一点P 点，经过C 的焦点F 射向C 上的点Q ，再反射后沿平行x 轴的方向射出，若两平行线间的最小距离是4，则C 的方程是____________．【答案】24y x = 【解析】 【分析】先由题意得到PQ 必过抛物线的焦点，设出直线PQ 的方程，联立直线PQ 与抛物线方程，利用韦达定理表示出弦长，得出PQ 的最小值，进而可求出p 的值，得出抛物线方程． 【详解】由抛物线的光学性质可得：PQ 必过抛物线的焦点(,0)2pF ， 当直线PQ 斜率不存在时，易得2PQ p =；当直线PQ 斜率存在时，设PQ 的方程为2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，11(,)P x y ，22(,)Q x y 由2 22p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得22224p k x px px ⎛⎫ ⎪⎭=⎝-+，整理得()222224480k x k p p x k p -++=， 所以221212224k p p p x x x x k ++==,，所以()2122222222kpPQ x x p p p kk ⎛⎫⎪⎝⎭+=++==+>； 综上，当直线PQ 与x 轴垂直时，弦长最短， 又因为两平行光线间的最小距离为4，故24p =， 所以抛物线方程为24y x =． 故答案为：24y x =． 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线位置关系，解决这类问题通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，属于中档题．16．已知P 是双曲线221168x y -=右支上一点，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，O 为坐标原点，点,M N 满足()21220,,0PF PM F P PM PN PN F N PM PF λλμ⎛⎫⎪=>=+= ⎪⎝⎭⋅，若24PF =.则以O 为圆心，ON 为半径的圆的面积为________. 【答案】64π 【解析】 【分析】延长2F N 交PM 于点Q ，由向量数量积和线性运算可知PN 为线段2F Q 的垂直平分线，结合双曲线定义可求得1FQ ，利用中位线性质可求得ON ，进而得到结果. 【详解】延长2F N ，交PM 于点Q ，如下图所示：22PF PM PN PM PF μ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭，PN ∴为2QPF ∠的角平分线， 又20PN F N ⋅=，2PN NF ∴⊥，PN ∴为线段2F Q 的垂直平分线，24PQ PF ∴==.由双曲线定义知：12248PF PF -=⨯=，18412PF ∴=+=，141216FQ ∴=+=， ,O N 分别为122,F F QF 中点，1182ON FQ ∴==， ∴以O 为圆心，ON 为半径的圆的面积64S π=.故答案为：64π. 【点睛】本题考查双曲线性质和定义的综合应用，涉及到平面向量数量积和线性运算的应用；解题关键是能够通过平面向量的线性运算和数量积运算确定垂直和平分关系.四、解答题17．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,0B ，()2,0C -，设直线AB ，AC 的斜率分别为1k ，2k ，且1212k k =-，记点A 的轨迹为E ．（1）求E 的方程；（2）若直线l ：1y x =+与E 相交于P ，Q 两点，求PQ ．【答案】（1）22142x y +=，（0y ≠）；（245【解析】 【分析】（1）先设点(,)A x y ，再建立方程12122+2y y x k x k ⋅=--=，最后得到E 的方程：22142x y +=，（0y ≠）；（2）先联立方程221142y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得到23420x x +-=，再得到12124323x x x x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，最后求PQ 即可. 【详解】解：（1）设点(,)A x y ，则12y k x =-，2+2yk x =， 因为1212k k =-，则12122+2y y x k x k ⋅=--=， 整理得：22142x y +=，斜率存在，所以2x ≠±，所以E 的方程：22142x y +=，（0y ≠） （2）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由221142y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得到23420x x +-=，则2443(2)400∆=-⨯⨯-=>，所以12124323x x x x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，则12PQ x =-=，所以PQ =【点睛】本题考查求点的轨迹方程、利用弦长公式求弦长，是中档题.18．在椭圆2222:1(20)x y C b a b a b+=>>>上任取一点P （P 不为长轴端点），连结1PF 、2PF ，并延长与椭圆C 分别交于点A 、B 两点，已知2APF ∆的周长为8，12F PF ∆. （1）求椭圆C 的方程；（2）设坐标原点为O ，当P 不是椭圆的顶点时，直线OP 和直线AB 的斜率之积是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）是定值，值为920-. 【解析】（1）根据椭圆的定义，结合2APF ∆的周长为8，求出a 的值，设出点P 的坐标，结合三角形面积公式，椭圆的范围，12F PF ∆可以求出,c b 的关系，进而求出,a b 的值，最后求出椭圆C 的方程；（2）设出直线1PF 的方程与椭圆方程联立，利用解方程组，求出A 点坐标，同理求出B 的坐标，最后通过斜率公式，计算出直线OP 和直线AB 的斜率之积是定值. 【详解】（1）因为2APF ∆的周长为8，所以有11228482AF PF PF AF a a +++=⇒=⇒= 设00(,)P x y ，因为12F PF ∆所以1212y F F P ⋅当y P b =时，面积最大，因此有bc =a =，因为20b a b >>>，所以2,a b ==，所以椭圆标准方程为：22143x y +=；（2）当P 不是椭圆的顶点时，因此00120,0,(1,0),(1,0)x y F F ≠≠-. 直线1PF 的方程为：00(1)1y y x x =++，与椭圆的方程联立，得： ()()()022*********22000(1)484131201113412y y x y y y x x x x x x x y ⎧⎛⎫=+⎪+ ⎪⇒+++-=⎨ ⎪+++⎪⎝⎭+=⎩， ()2200000152********A x x xx x x x x -++∴⋅==-++，0000583,2525A Ax y x y x x +-∴=-=++， 同理直线2PF 的方程为：00(1)1y y x x =--，与椭圆的方程联立，得： ()()()022*********22000(1)484131201113412y y x y y y x x x x x x x y ⎧⎛⎫=-⎪- ⎪⇒+-+-=⎨ ⎪---⎪⎝⎭+=⎩200005825B x x x x x -⇒⋅=⇒-0000583,2525B B x y x y x x -==--，()00002200123208054B AB A x y x y y y kAB x x x x -∴===---， ()220022003394205453AB OPy y k k x y ∴⋅===-⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭为定值.本题考查了椭圆的定义，考查了椭圆的范围，考查了求椭圆的标准方程，考查了通过直线与椭圆的位置关系判断两直线斜率之积为定值，考查了数学运算能力.19．已知点A 是椭圆22:154x y E +=的上顶点，斜率为(0)k k >的直线交椭圆E 于A 、M 两点，点N 在椭圆E 上，且MA NA ⊥；（Ⅰ）当||||AM AN =时，求AMN 的面积； （Ⅱ）当2||||AM AN =时，求证：2152k <<． 【答案】（Ⅰ）40081；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由A 为椭圆的上顶点及||||AM AN =，可得M ，N 的纵坐标相等，横坐标互为相反数，又MA NA ⊥且0k >有1k =，可得直线AN 的斜率，求出直线AN 的方程，设N 的坐标，代入椭圆的方程求出N 的坐标，进而求出AMN 的面积；（Ⅱ）设直线AM 的方程与椭圆联立求出M 的坐标，进而求出||AM 的值，同理可得||AN 的值，由2||||AM AN =可得关于k 的方程32851040k k k -+-=，设函数32()85104f x x x x =-+-，求导，由函数的单调性可得k 的取值范围． 【详解】（Ⅰ）由对称性知点M 、N 的纵坐标相等，横坐标互为相反数，又MA NA ⊥且||||AM AN =有△AMN 为等腰直角三角形，即可知1k =，而(0,2)A ∴直线AN 的斜率为1-，则直线AN 的方程为：2y x =-+设点(,2)N t t -其中0t >，有22(2)154t t -+=，解得209t =∴220400981AMNS⎛⎫==⎪⎝⎭（Ⅱ）据题意，直线:2AM y kx =+，联立椭圆E ，得：2245(2)200x kx ++-=，即：22(45)200k x kx ++=则22045M k x k =-+，那么||AM =AN ==； 由2||||AM AN =，得：222(54)45k k k +=+，即：32851040k k k -+-=令32()85104f x x x x =-+-，则22525()24101024()1002424f x x x x =+=-+-'->， 所以()f x 单调增，又236()05125f =-<，13()024f =>，故()f x 存在唯一零点021(,)52x ∈，即2152k <<得证 【点睛】本题考查直线与椭圆的综合，三角形面积求法和由求导得函数的单调性，属于中难题． 20．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为1(F ，且C经过点1)2P . （1）求C 的方程；（2）设C 与y 轴的正半轴交于点D ，直线l ：y kx m =+与C 交于A 、B 两点（l 不经过D 点），且AD BD ⊥.证明：直线l 经过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析，直线l 经过定点3(0,)5-. 【解析】 【分析】（1）根据一个焦点坐标得出另一个焦点坐标，结合椭圆的定义可得方程；（2）联立椭圆和直线的方程，结合AD BD ⊥，求出m 的值，从而可得定点的坐标. 【详解】（1）由题意，设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，焦距为2c ，则c =)2F ，由椭圆定义得12712422a PF PF =+=+=，2a =，1b ==， 所以C 的方程2214x y +=.（2）由已知得()0,1D ，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222148440k x kmx m +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122814km x x k -+=+，21224414m x x k-=+， ()121222214m y y k x x m k +=++=+，()()2212122414m k y y kx m kx m k-=++=+， 由AD BD ⊥得()()1212110DA DB x x y y ⋅=+--=，整理得22523014m m k--=+， 所以，25230m m --=，解得1m =或35m =-， ①当1m =时，直线l 经过点D ，舍去； ②当35m =-时，显然有>0∆，直线l 经过定点30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查椭圆的方程求解及定点问题，已知椭圆焦点及椭圆所过点常用椭圆的定义进行求解，直线过定点问题一般是求解直线方程中的斜率与截距的关系，侧重考查数学运算的核心素养.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，)2F ，离心率为2.（1）若P 为椭圆C 上任意一点，且横坐标为0x ，求证：2022PF x =-； （2）不经过1F 和2F 的直线():0,0l y kx m k m =+<>与以坐标原点为圆心，短半轴为半径的圆相切，且与椭圆C 交于M ，N 两点，试判断2MF N 的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）是，定值为4. 【解析】 【分析】（1）根据题意，先求出椭圆方程，设()00,P x y ，根据两点间距离公式，以及椭圆的性质，即可得出结论成立；（2）先由直线与圆相切，得到221m k =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与椭圆方程，根据弦长公式，求出241MN k =-+，再由（1）的结论，得到2122MF x =-，2222NF x =-，进而可求出周期，即可得出结果. 【详解】（1）由题意，可得c =，又2c e a ==，∴2a =，1b =，所以椭圆22:14x C y +=；设()00,P x y ，则202PF x ==-.∵022x -≤≤，∴202PF =. （2）记以坐标原点为圆心，短半轴为半径的圆的半径为r ， 则1r b ==，因为直线l 与圆相切，所以圆心到直线距离为11=，∴221m k =+.设()11,M x y ，()22,N x y ，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()()222418410k x kmx m +++-=， 则()()()222222264164111641480k m k m k m k ∆=-+-=-+=>，122841kmx x k +=-+，()21224141m x x k -=+，因此12MN x =-===由（1）得2122MF x =-，2222NF x =-，所以)2212244241MF NF x x k +=-+=++， 因此2MNF的周长为2244MF NF MN ++=+=； 即2MNF 周长为定值4. 【点睛】本题主要考查椭圆的简单应用，考查求椭圆的方程，考查椭圆的弦长的求法，考查椭圆中的定值问题，属于常考题型.22．在直角坐标系xOy 中，点()1,0F ，D 为直线l ：1x =-上的动点，过D 作l 的垂线，该垂线与线段DF 的垂直平分线交于点M ，记M 的轨迹为C .(1)求C 的方程；(2)若过F 的直线与曲线C 交于P ，Q 两点，直线OP ，OQ 与直线1x =分别交于A ，B 两点，试判断以AB 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.【答案】(1)24y x =；(2)是，()1,0-和()3,0.【解析】 【分析】(1)根据抛物线的定义直接判定求解方程即可.(2)设直线PQ 的方程为1x my =+,联立与抛物线的方程,再根据韦达定理求得以AB 为直径的圆的方程,进而化简求解定点即可. 【详解】(1)连接MF ,则MD MF =, 则根据抛物线的定义,点M 的轨迹是以()1,0F 为焦点,直线1x =-为准线的抛物线. 则点M 的轨迹的方程为24y x =.(2)设直线PQ 的方程为1x my =+,()11,P x y ,()22,Q x y ,联立241y x x my ⎧=⎨=+⎩整理得：2440y my --=,216160m ∆=+>, 124y y m +=,124y y =-,直线OP 的方程为1114y y x x x y ==, 同理：直线OQ 的方程为24y x y =, 令1x =得,141,A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,241,B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 设AB 中点T 的坐标为(),T T x y ,则1T x =,()12121244222T y y y y y my y ++===-, 所以()1,2T m -.122112444A y y y y y yB -==-==.圆的半径为2r =.所以以AB 为直径的圆的方程为()()2221244x y m m -++=+. 展开可得()22144x y my -++=,令0y =,可得()214x -=,解得3x =或1x =-. 所以以AB 为直径的圆经过定点()1,0-和()3,0.(2)①当直线PQ 不与x 轴垂直时,设其方程为()()10y k x k =-≠,()11,P x y ,()22,Q x y ,由()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得,()2222240k x k x k -++=, 所以()224224416160k k k ∆=+-=+>,212224k x x k++=,121=x x . 所以()()()22121212121114y y kx x k x x x x =-⎡⎤⎣-=++⎦-=-,()()2112211211x y x y kx x kx x +=-+-()121242k x x x x k=-+=-⎡⎤⎣⎦, 直线OP 的方程为11y y x x =,同理可得,直线OQ 的方程为22y y x x =, 令1x =得,111,y A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,221,y B x ⎛⎫⎪⎝⎭, 所以以AB 为直径的圆的方程为()2121210y y x y y x x ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 即()22212112121210x y x y y yx y y x x x x +-+-+=,即()220144y x y k++-=-, 令0y =,可得()214x -=,解得3x =或1x =-. 所以以AB 为直径的圆经过定点()1,0-和()3,0.②当直线PQ 与x 轴垂直时,()1,2A ,()1,2B -,以AB 为直径的圆的方程为()2214x y -+=,也经过点()1,0-和()3,0.综上,以AB 为直径的圆经过定点()1,0-和()3,0. 【点睛】本题主要考查了根据抛物线的定义求解抛物线方程的方法以及联立直线与抛物线方程求解韦达定理解决定点的问题.属于难题.。
人教版高中数学必修1--第三章 抽象函数或复合函数的定义域 章末回顾与提升
故集合 M＝{m|0＜m＜4}．
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第三章 函数的概念与性质
[训练 4] 已知函数 f(x)＝－x|x－a|＋1(x∈R). (1)当 a＝2 时，试写出函数 g(x)＝f(x)－x 的单调区间； (2)当 a＞1 时，求函数 f(x)在[1，3]上的最大值．
1＜x≤4.故选 B．
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第三章 函数的概念与性质
二、求函数的解析式 1.求函数的解析式最常用的方法是换元法和待定系数法． 2．掌握常见的基本初等函数的类型和求解析式的方法，提升数学 运算和逻辑推理素养．
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第三章 函数的概念与性质
已知二次函数 f(x)的最小值为 1，且 f(0)＝f(2)＝3. (1)求函数 f(x)的解析式； (2)求 f(x)在－12，32 上的最大值． 解：(1)由题意，设 f(x)＝a(x－1)2＋1， 因为 f(0)＝3，即 a(－1)2＋1＝3.解得 a＝2， 所以函数 f(x)的解析式为 f(x)＝2x2－4x＋3.
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第三章 函数的概念与性质
(2)若函数 f(x)的定义域为[－1，2]，则函数 g(x)＝f（xx－－21） 的定
义域是( B )
A．[1，4]
B．(1，4]
C．[1，2)
பைடு நூலகம்
D．(1，2]
解析：由函数 f(x)的定义域为[－1，2]，令－ x－11≤＞x－0，2≤2， 解得
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第三章 函数的概念与性质
人教a版·数学·高一必修1第三章_章末检测卷
第三章章末检测卷一、选择题(12×5分＝60分)1．函数f(x)＝x ln x的零点为()A．0或1B．1C．(1,0) D．(0,0)或(1,0)【解析】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由f(x)＝0得x＝0或ln x＝0，即x＝0或x＝1.又因为x∈(0，＋∞)，所以x＝1.故选B.【答案】 B2．下列函数中能用二分法求零点的是()【解析】能用二分法求零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反，由图象可得，只有C能满足此条件，故选C.【答案】 C3．若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16)，(0,8)，(0,6)，(2,4)内，那么下列命题中正确的是()A．f(x)在区间(2,3)内有零点B．f(x)在区间(3,4)内有零点C．f(x)在区间(3,16)内有零点D．f(x)在区间(0,2)内没零点【解析】由于函数y＝f(x)的零点同时在区间(0,16)，(0,8)，(0,6)内，因此函数零点在区间(0,6)内，又函数零点在(2,4)内，因此函数零点不可能在(0,2)内，故选D.【答案】 D4．若函数f(x)＝x2＋4x＋a没有零点，则实数a的取值范围为()A．(－∞，4) B．(4，＋∞)C．(－∞，4] D．[4，＋∞)【解析】由题意知关于方程x2＋4x＋a＝0，Δ＝42－4×1×a<0，即16－4a<0，解得a>4.故选B.【答案】 B5．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是()【解析】兔子在中间一段时间内路程是不变的，且当乌龟到达终点时兔子还差一点，选B.【答案】 B6．方程0.9x－221x＝0的实数解的个数是() A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】设f(x)＝0.9x－221x，则函数f(x)为减函数，值域为R，所以函数f(x)的图象必与x轴有一个交点，即方程0.9x－221x＝0有一解．【答案】 B7．如表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据，判断它最可能的函数模型是()x 45678910y 15171921232527A.一次函数模型B．二次函数模型C．指数函数模型D．对数函数模型【解析】画出散点图，如图．由图可知其最可能的函数模型为一次函数模型，故选A.【答案】 A8．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，由题意，作函数y＝x与y＝－ln |x|的图象如下，与y＝－ln |x|的图象有两个交点，即函数B.a，在区间(－1,1)上存在一个零点有两个零点，则实数k的取值范围是x)的图像如图所示．＝f(x)－k有两个零点，．(x)＝x2－2x.－x)＝(－x)2－2(－x)＝，函数的图象如图所示．k与y＝f(x)的图象有＝k与y＝f(x)的图象有。
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章末检测一、选择题1．函数y ＝1＋1x的零点是( )A ．(－1,0)B ．－1C ．1D ．02．设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)3．某企业2010年12月份的产值是这年1月份产值的P 倍，则该企业2010年度产值的月平均增长率为( ) A.P P －1B.11P －1C.11PD.P －1114．如图所示的函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是( )A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④5．如图，直角梯形OABC 中，AB ∥OC ，AB ＝1，OC ＝BC ＝2，直线l ：x ＝t 截此梯形所得位于l 左方图形面积为S ，则函数S ＝f (t )的图象大致为图中的( )6．已知在x 克a %的盐水中，加入y 克b %(a ≠b )的盐水，浓度变为c %，将y 表示成x的函数关系式为( ) A ．y ＝c －ac －bxB ．y ＝c －ab －cxC ．y ＝c －b c －a xD ．y ＝b －cc －ax7．若方程f (x )－2＝0在(－∞，0)内有解，则y ＝f (x )的图象是( )8．在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：则x 、y 的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a 、b 为待定系数)( ) A ．y ＝a ＋bx B ．y ＝a ＋b x C ．y ＝ax 2＋bD ．y ＝a ＋bx9．根据统计资料，我国能源生产自1986年以来发展得很快，下面是我国能源生产总量(折合亿吨标准煤)的几个统计数据：1986年8.6亿吨，5年后的1991年10.4亿吨，10 年后的1996年12.9亿吨，有关专家预测，到2001年我国能源生产总量将达到16.1亿 吨，则专家是以哪种类型的函数模型进行预测的？( ) A ．一次函数B ．二次函数C ．指数函数D ．对数函数10．用二分法判断方程2x 3＋3x －3＝0在区间(0,1)内的根(精确度0.2)可以是(参考数据：0.753＝0.421 875，0.6253＝0.244 14)( ) A ．0.25B ．0.375C ．0.635D ．0.82511．有浓度为90%的溶液100 g ，从中倒出10 g 后再倒入10 g 水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝ 0.477 1) ( ) A ．19 B ．20C ．21D ．22二、填空题12．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋2x －1的零点，第一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次计算的f (x )的值为f (________)．13．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围为________． 14．一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b %，则n 年后这批设备的价值为________万元．15．函数f (x )＝x 2－2x ＋b 的零点均是正数，则实数b 的取值范围是________． 三、解答题16．华侨公园停车场预计“十·一”国庆节这天停放大小汽车1 200辆次，该停车场的收费标准为：大车每辆次10元，小车每辆次5元．(1)写出国庆这天停车场的收费金额y (元)与小车停放辆次x (辆)之间的函数关系式，并指 出x 的取值范围．(2)如果国庆这天停放的小车占停车总辆数的65%～85%，请你估计国庆这天该停车场收 费金额的范围．17．光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为a ，通过x 块玻璃后强度为y . (1)写出y 关于x 的函数关系式；(2)通过多少块玻璃后，光线强度减弱到原来的13以下？(lg 3≈0.477 1)18．某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用，服用药后每毫升中的含药量y (微克)与服药的时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线，其中OA 是 线段，曲线AB 是函数y ＝ka t (t ≥1，a >0，且k ，a 是常数)的图象．(1)写出服药后y关于t的函数关系式；(2)据测定，每毫升血液中的含药量不少于2微克时治疗疾病有效．假设某人第一次服药为早上6∶00，为保持疗效，第二次服药最迟应当在当天几点钟？(3)若按(2)中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后3小时，该病人每毫升血液中的含药量为多少微克(精确到0.1微克)?19．某公司试销一种新产品，规定试销时销售单价不低发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可近似看做一次函数y＝kx＋b的关系(图象如右图所示)．(1)根据图象，求一次函数y＝kx＋b的表达式；(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S元，①求S关于x的函数表达式；②求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价．20．截止到2009年底，我国人口约为13.56亿，若今后能将人口平均增长率控制在1%，经过x年后，我国人口为y亿．(1)求y与x的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数y＝f(x)的定义域；(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出函数增减的实际意义．21．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数的表达式；(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)答案1．B 2．B 3．B 4．A 5．C6．B 7．D 8．B 9．B 10．C 11．C 12．(0,0.5) 0.25 13．(1，＋∞) 14．a (1－b %)n 15．(0,1]16．解 (1)依题意得y ＝5x ＋10(1 200－x )＝－5x ＋12 000，0≤x ≤1 200. (2)∵1 200×65%≤x ≤1 200×85%， 解得780≤x ≤1 020，而y ＝－5x ＋12 000在[780,1 020]上为减函数， ∴－5×1 020＋12 000≤y ≤－5×780＋12 000. 即6 900≤y ≤8 100，∴国庆这天停车场收费的金额范围为[6 900,8 100]． 17．解 (1)依题意：y ＝a ·0.9x ，x ∈N *.(2)依题意：y ≤13a ，即：a ·0.9x ≤a 3，0.9x ≤13＝0.9log 0.913，得x ≥log 0.913＝－lg 32lg 3－1≈－0.477 10.954 2－1≈10.42.答 通过至少11块玻璃后，光线强度减弱到原来的13以下．18．解 (1)当0≤t <1时，y ＝8t ；当t ≥1时，⎩⎪⎨⎪⎧ka ＝8，ka 7＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝22，k ＝8 2.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧8t ， 0≤t <1，82(22)t， t ≥1. (2)令82·(22)t≥2，解得t ≤5.∴第一次服药5小时后，即第二次服药最迟应当在当天上午11时服药． (3)第二次服药后3小时，每毫升血液中含第一次所服药的药量为y 1＝82×(22)8＝22(微克)；含第二次服药后药量为y 2＝82×(22)3＝4(微克)，y 1＋y 2＝22＋4≈4.7(微克)． 故第二次服药再过3小时，该病人每毫升血液中含药量为4.7微克．19．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧400＝k ×600＋b300＝k ×700＋b ⇒k ＝－1，b ＝1 000，∴y ＝－x ＋1 000(500≤x ≤800)．(2)①由(1)，S ＝x ×y －500y ＝(－x ＋1 000)(x －500) ＝－x 2＋1 500x －500 000(500≤x ≤800)．②由①可知，S ＝－(x －750)2＋62 500，其图象开口向下，对称轴为x ＝750， ∴当x ＝750时，S max ＝62 500，即该公司可获得的最大毛利润为62 500元，此时相应 的销售单价为750元/件．20．解 (1)2009年底人口数：13.56亿．经过1年，2010年底人口数：13．56＋13.56×1%＝13.56×(1＋1%)(亿)． 经过2年，2011年底人口数：13．56×(1＋1%)＋13.56×(1＋1%)×1% ＝13.56×(1＋1%)2(亿)． 经过3年，2012年底人口数：13．56×(1＋1%)2＋13.56×(1＋1%)2×1%＝13.56×(1＋1%)3(亿)． ∴经过的年数与(1＋1%)的指数相同． ∴经过x 年后人口数为13.56×(1＋1%)x (亿)． ∴y ＝f (x )＝13.56×(1＋1%)x . (2)理论上指数函数定义域为R . ∵此问题以年作为时间单位． ∴此函数的定义域是{x |x ∈N *}． (3)y ＝f (x )＝13.56×(1＋1%)x . ∵1＋1%>1,13.56>0，∴y ＝f (x )＝13.56×(1＋1%)x 是增函数，即只要递增率为正数，随着时间的推移，人口的总数总在增长． 21．解 (1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x 0个，则x 0＝100＋60－510.02＝550.因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元． (2)当0<x ≤100时，P ＝60；当100<x <550时，P ＝60－0.02·(x －100)＝62－x50；当x ≥550时，P ＝51. 所以P ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0<x ≤10062－x50， 100<x <550，51， x ≥550(x ∈N )．(3)设销售商的一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为L 元， 则L ＝(P －40)x＝⎩⎪⎨⎪⎧20x ， 0<x ≤10022x －x250， 100<x <550，11x ，x ≥550(x ∈N )．当x ＝500时，L ＝6 000； 当x ＝1 000时，L ＝11 000.因此，当销售商一次订购500个零件时， 该厂获得的利润是6 000元；如果订购1 000个，利润是11 000元．。