2011年长郡中学实验班招生数学试卷20110420(初赛卷)

数学试题
欢迎你参加考试！做题时要认真审题，积极思考，细心答题，充分发挥你的水平，祝梦想成真！
（考试时量：60分钟 满分：100分 注意合理分配时间 ）
一． 填空题：（每小题6分，本题满分36分） 1．观察下列一组数的排列：1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1、…，那么第2011个数是 （ ）
2．如图，在⊙O 中，弦AB =1cm ，圆周角∠ACB =30︒，则⊙O 的直径．．为__________cm.
3．钟表上12时15分钟时，时针与分针的夹角为 °
4．在平面直角坐标系中，入射光线经过y 轴上点A （0，3），由x 轴上点C 反射， 反射光线经过点B （－3，1），则点C 的坐标为 ；
5. 已知在△ＡＢＣ中,∠Ａ、∠Ｂ是锐角,且sin Ａ= 5
13
,tan Ｂ=2,AB=29ｃｍ. 则△ABC 的面积等于___________ｃｍ2.
6. 某电影院的票价是：个人每张6元，每10人一张团体票为40元，学生团体票和个人票都享受九折优惠，某校1258名学生看电影(教师免票)，学校应向电影院至少付___________元钱。

二．选择题：（每小题6分，本题满分36分）
7. 将棱长相等的正方体按如图所示的形状摆放,从上往下依次为第一层、第二层、
第三层…….则第2004层正方体的个数为( )
A.2009010
B.2005000 C ．2007005 D. 2004
8. 某种产品按质量分为10个档次，生产最低档次产品，每件获利润8元，每提高一个档次，每件产品利润增加2元。

用同样工时，最低档次产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件。

如果获利润最大的产品是第k 档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量增加），那么k 等于（ ）
（A ） 9 （B ）8 （C ）7 （D ）5
9. 若方程组31
2433
x y k x y k x y x y +=+⎧<<-⎨
+=⎩的解为，，且，则的取值范围是（ ）
． A ．1
02
x y <-<
B ．01x y <-<
C ．31x y -<-<-
D ．11x y -<-<
学校 姓名 联系电话
A
（第2题）
10．如图，在锐角△ABC 中，以BC 为直径的半圆O 分别交AB ， AC 与D ，E 两点，且cos A
=
3
，则S △ADE ∶S 四边形DBCE 的值为
（A ） 12 （B ） 13 （C ） 2 （D ） 3
11．小莉与小明一起用A 、B 两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）玩游戏，以小莉掷的．．．．A 立方体朝上的数字为x,小明掷的．．．．B 立方体朝上的数字为y ，来确定点P （x,y ）,那么他们各掷一次所确定的点P （x,y ）落在已知抛物线24y x x =-+上的概率为（ ）
A 、
118 B 、112 C 、19 D 、16
12．矩形纸片ABCD 中，AB=3cm ，BC=4cm ，现将纸片折叠压平，使C 与A 重合， 设折痕为EF ，则重叠部分△AEF 的面积等于（ ）．
（A ）
73
757375()
()
()
8
8
16
16
B C D 三．解答题：（7分+7分+14分，满分28分） 13．（7分）在一次抗击地震灾害而募捐的演出中，长郡中学有A 、B 、C 、D 四个班的同学参加演出，已知A 、B 两个班共16名演员，B 、C 两个班共20名演员，C 、D 两个班共34名演员，且各班演员的人数正好按A 、B 、C 、D 次序从小到大排列，求各班演员的人数．
（7分）②已知关于x 的方程014
1)1(2
2
=+++-k x k x 的两根是一个矩形两邻边的长. ⑴k 取何值时，方程有两个实数根； ⑵当矩形的对角线长为5时，求k 的值.
14．(14分) 如图所示，在直角坐标系中，⊙P 经过原点O ，且与x 轴、y 轴分别相交于A （－6，0）、B （0，－8）两点，两点．
（1）求直线AB 的函数表达式；
（2）有一开口向下的抛物线过B 点，它的对称轴平行于y 轴且经过点P ，顶点C 在⊙P 上，求该抛物线的函数表达式；
（3）设（2）中的抛物线交x 轴于D ，E 两点，在抛物线上是否存在点Q ，使得S △QDE
＝
15
1
S △ABC ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案及评分标准:
一.填空（每小题6分，本题满分36分）
1、1 2 、2 3、82.5 4、（－
4
9
，0） 5、145 6、4536（最后8人购10人的票） 二.选择题: （每小题6分，本题满分36分） 7-12:AAB ， ABD;
三．13. 解：依题意得：A+B=16，B+C=20，C+D=34
∵A ＜B ＜C ＜D ，
∴A ＜8，B ＞8，B ＜10，C ＞10，C ＜17，D ＞17 3分 由8＜B ＜10且B 只能取整数得，B=9 5分 ∴C=11，D=23，A=7
答：A 、B 、C 、D 各班演员人数分别是7人、9人、11人、23人。

……7分 ② 解⑴ 要使方程有两个实数根，必须△≥0，
即)14
1(4)]1([2
2
+-+-k k ≥0 ………………………………1分 化简得：2k －3≥0 ……………………………… 解之得：k ≥
2
3
………………………………3分 ⑵ 设矩形的两邻边长分别为a 、b ，则有
2222311
144
a b a b k ab k ⎧
⎪+=⎪
+=+⎨⎪⎪=+⎩ 分 分
解之得：k 1＝2，k 2＝－6 ………………………………5分 由⑴可知，k ＝－6时，方程无实数根，所以，只能取k ＝2 ……………7分 19．解：（1）设直线AB 的函数表达式为y ＝kx ＋b （k ≠0），把A （－6，0）、B （0，－8）代入
得⎩⎨⎧806－＋－＝＝b b k 解得⎪⎩
⎪⎨⎧8
34－－＝＝b k
····························
∴直线AB 的函数表达式为y ＝－3
4x －8． 4分 （2）在Rt △AOB 中，AB ＝22OB OA ＋＝2286＋＝10．∵⊙P 经过O ，A ，B 三点，且∠AOB ＝90°．
∴AB 为⊙P 的直径，∴⊙P 的半径P A ＝5． ·············设抛物线的对称轴交x 轴于点N ．
∵PN ⊥x 轴，∴AN ＝ON ＝2
1
OA ＝3．
在Rt △APN 中，PN ＝22AN PA －＝2235－＝4． ∴CN ＝PC －PN ＝5－4＝1．
∴顶点C 的坐标为（－3，1）． ··································· 6分 设抛物线的函数表达式为y ＝a (x ＋3)2
＋1，把B （0，－8）代入 得－8＝a (0＋3)2
＋1，解得a ＝－1．
∴抛物线的函数表达式为y ＝－(x ＋3)2＋1，即y ＝－x
2
－6x －8． ·············· 9分
（3）如图，连结AC ，BC ．
S △ABC
＝S △APC ＋
S △BPC
＝
21PC ²AN ＋21PC ²ON ＝21PC ²OA ＝2
1
×5×6＝15． ····································································································· 10分
在y ＝－x
2
－6x －8中，令y ＝0，得－x
2
－6x －8＝0，解得x 1＝－2，x 2＝－4．
∴D ，E 的坐标分别为（－4，0），（－2，0）．
∴DE ＝2． ······································································································ 11分 设Q （x ，y ），若S △QDE
＝
151S △ABC
，则21DE ²|
y
|＝15
1
×15＝1． 即
2
1
×2×|
y
|＝1，∴y ＝±1． 当y ＝1时，－x
2
－6x －8＝1，解得x 1＝x 2＝－3．
∴Q 1(－3，1)． ····························································································· 12分 当y ＝－1时，－x
2
－6x －8＝－1，解得x 3＝－3＋2，x 4＝－3－2．
····································································································· 13分
∴Q 2(－3＋2，－1)，Q 3(－3－2，－1)．
综上所述，在抛物线上存在点Q 1(－3，1)，Q 2(－3＋2，－1)，Q 3(－3－2，－1)，使得S △QDE
＝
15
1
S △ABC
． ··················································································· 14分。