2019年高二数学上学期期末考试试卷

2019年高二数学上学期期末考试试卷
一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的。

）
1、若复数满足，则的虚部为（）
A. B. C. D.
2、在下列各图中，两个变量具有相关关系的图是( )
A．(1)(2) B．(1)(3) C．(2)(3) D．(2)(4)
3、把红、蓝、黑、白4张纸牌分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（）
A. 对立事件
B. 互斥但不对立事件
C. 不可能事件
D. 以上都不对
4、按照程序框图(如右图)执行，第3个输出的数是( )
A．3
B．4
C．5
D．7
5、对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图
(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )
A．46,45,56 B．46,45,53 C．47,45,56 D．45,47,53
6、曲线C的方程为，其中是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件“方程表示焦点在轴上的椭圆”，那么( )
A. B. C. D.
7、为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是( )
A．5,10,15,20,25 B．2,4,8,16,32 C．5,6,7,8,9 D．5,15,25,35,45
8、以下命题中正确命题的个数是（）个
1）将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化；
≤
≥
1
2）调查剧院中观众观后感，从50排（每排人数相同）中任意抽取一排的人进行调查是分层抽样；
3）事件A,B 同时发生的概率一定比A,B 中恰有一个发生的概率小；
4）气象局预报说，明天本地降水概率为70%，则明天本地有70%的区域下雨，30%区域不下
雨；
5）同时掷两个骰子，则向上的点数之和是5的概率是.
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
9、如下图是牡一中高二学年每天购买烤肠数量的茎叶图，第1天到第14天的购买数量依次记为右图是统计茎叶图中烤肠数量在一定范围内购买次数的一个算法流程图,那么算法流程图输出的结果是（ ）
7 9 8 6 3 8
9
3 9 8 8
4 1 5
10 3 1 11 4 A.
B ．
C ．
D ．
10、某工厂对一批产品进行了抽样检测．下图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于102克的产品的个数是( ) A ．90 B ．75 C ．60
D ．45
11、在区间上随机取一个数，的值介于到之间的概率为( ) A .
B.
C.
D.
12、已知函数，若是从0,1,2三数中任取一个，是从1,2,3,4四数中任取一个，那么恒成立的概率为（ ）
A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）
13、抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件为出现奇数点，事件为出现2点，已知，则出现奇数点或2点的概率为________．
14、方程，若，则方程没有实根的概率为 .
15、已知{
}{}
A b A a b ax x R x
B A ∈∈=+-∈==,,0,3,2,12
，则的概率是 16、已知圆与圆，在下列说法中：
①对于任意的，圆与圆始终有四条公切线； ②对于任意的，圆与圆始终相切；
③分别为圆与圆上的动点，则的最大值为4．
④直线)(0)52()2(3)3(2:R m m y m x m l ∈=+-+++与圆一定相交于两个不同的点；其中正确命题的序号为_________________.
三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17、（本小题满分12分）从某小组的2名女生和3名男生中任选2人去参加一项公益活动． 1)求所选2人中恰有一名男生的概率； 2)求所选2人中至少有一名女生的概率． 18、(本题满分10分) 18.已知函数 （I ）当时，解关于的不等式；
（II ）若在上恒成立，求实数的取值范围.
19、（本小题满分12分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第个家庭的月收入(单位：千元)与月储蓄(单位：千元)的数据资料，算得，，，。

1)求家庭的月储蓄y 关于月收入x 的线性回归方程；
2)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
20、（本小题满分12分）某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六组[90,100)，[100,110)，…，[140,150)后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题： 1)求分数在[120,130)内的频率；
2)若在同一组数据中，将该组区间的中点值(如：组区间[100,110)的中点值为
100＋110
2
＝105)作为这组数据的平均分，据此，估计本次考试的平均分； 3)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120,130)内的概率．
21、（本小题满分12分）等边三角形的边长为3,点、分别是边、上的点,且满足 (如图1)．将△沿折起到△的位置,使二面角为直二面角,连结 (如图2)． 1）求证:平面；
2）在线段上是否存在点,使直线与平面所成的角为?若存在,求出的长,若不存在,请说明理由．
图2
图1
C
B
B
22、（本小题满分12分）已知椭圆的长轴长为，离心率为， 分别为其左右焦点．一动圆过点，且与直线相切. 1）（ⅰ）求椭圆的方程；
（ⅱ）求动圆圆心轨迹的方程；
2） 在曲线上有两点，椭圆上有两点，满足与共线，与共线，且，求四边形面积的最小值.
xx 学年度上学期期末考试高二数学试题答案
一、选择题：
三、解答题：
17、（本小题满分12分）
解：设2名女生为a 1，a 2,3名男生为b 1，b 2，b 3，从中选出2人的基本事件有：(a 1，a 2)，
(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)，共10种．
1)设“所选2人中恰有一名男生”的事件为A ，则A 包含的事件有：(a 1，b 1)，(a 1，b 2)， (a 1，b 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，共6种，∴P (A )＝610＝35，
故所选2人中恰有一名男生的概率为3
5
.
2)设“所选2人中至少有一名女生”的事件为B ，则B 包含的事件有：(a 1，a 2)，(a 1，b 1)， (a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，共7种，∴P (B )＝7
10，
故所选2人中至少有一名女生的概率为7
10.
18、（本小题满分10分） 选修4-4：坐标系与参数方程：
1）⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+-=+-=x y C t t y t
x l 2:,(2
2422
2:2为参数）
2）
选修4-1：几何证明选讲： :1)∵PC 切圆O 于点C ， ∴∠PCB ＝∠P AC ，
又∵∠CPM ＝∠APM ，∴∠CNM ＝∠CPM ＋∠PCB ＝∠APM ＋∠P AM ＝∠CMN ， ∴CM ＝CN .
2)∵∠CPN ＝∠APM ，∠PCN ＝∠P AM ， ∴△PCN ∽△P AM ，∴PC P A ＝CN
AM ，①
同理△PNB ∽△PMC ，∴PB PC ＝BN
CM .②
又∵PC 2＝P A ·PB ，③
由①②③可知CM ·CN ＝AM ·BN ， ∵CM ＝CN ，∴CM 2＝AM ·BN . ∵AB 是圆O 的直径，∴∠ACB ＝90°. ∴MN 2＝2CM 2，即MN 2＝2AM ·BN . 19、（本小题满分12分） 1)由题意知n ＝10，， 又，
24281018410
1
=⨯⨯-=-=∑=i i i xy y x n y x I ，
由此得，
＝2－0.3×8＝－0.4，
故所求线性回归方程为y ^
＝0.3x －0.4.
2) 将x ＝7代入回归方程，可以预测该家庭的月储蓄约为y ^
＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)． 20、（本小题满分12分） 1)分数在[120,130)内的频率为
1－(0.1＋0.15＋0.15＋0.25＋0.05)＝1－0.7＝0.3. 2)估计平均分为
x ＝95×0.1＋105×0.15＋115×0.15＋125×0.3＋135×0.25＋145×0.05＝121. 3)由题意，[110,120)分数段的人数为60×0.15＝9(人)． [120,130)分数段的人数为60×0.3＝18(人)．
∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，
∴需在[110,120)分数段内抽取2人，并分别记为m，n；
在[120,130)分数段内抽取4人，并分别记为a，b，c，d；设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120,130)内”为事件A，则基本事件共有(m，n)，(m，a)，…，(m，d)，(n，a)，…，(n，d)，(a，b)，…，(c，d)共15种．
则事件A包含的基本事件有(m，n)，(m，a)，(m，b)，(m，c)，(m，d)，(n，a)，(n，b)，(n，c)，(n，d)共9种．
∴P(A)＝9
15＝3 5.
21、（本小题满分12分）
1)因为等边△的边长为3,且,
所以,．在△中,,
由余弦定理得．因为,
所以
折叠后有,因为二面角是直二面角,
所以平面平面,又平面平面,
平面,, 所以平面
2)解法1:假设在线段上存在点,使直线与平面所成的角为．
如图,作于点,连结、，
由(1)有平面,而平面,
所以,又, 所以平面
,
所以是直线与平面所成的角,
设,则,,
在△中,,所以,
在△中,, ,
由, 得 ,解得,满足,符合题意
所以在线段上存在点,使直线与平面所成的角为,此时 解法2:由(1)的证明,可知,平面．
以为坐标原点,以射线、、分别为轴、轴、轴的正半轴,建立空间直角坐标系如图 ,设, 则,, , 所以,,,所以 ,
因为平面, 所以平面的一个法向量为 , 因为直线与平面所成的角为, 所以, , 解得 ,
即,满足,符合题意,
所以在线段上存在点,使直线与平面所成的角为,此时 ． 22、（本小题满分12分）
1）（ⅰ）由已知可得312214
2222=-=⇒⎩⎨
⎧==⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧===c a b c a a c e a ， 则所求椭圆方程.
（ⅱ）由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线的焦点为，准线方程为，则动圆圆心
轨迹方程为.
2）当直线MN 的斜率不存在时，|MN|=4， 此时PQ 的长即为椭圆长轴长，|PQ|=4， 从而.
设直线的斜率为，则,直线的方程为： 直线PQ 的方程为， 设
由，消去可得 由抛物线定义可知：
2
2221224
424211||||||k
k k x x NF MF MN +=++=+++=+= 由，消去得， 从而，
∴
222
2242 11412(1)(1)
||||(4)24
223434 PMQN
k k
S MN PQ
k k k k
++ =⋅=+=
++
令，∵，则
则
22
22
2 1242424
||||
21 23(1)4(1)3213
PMQN
t t
S MN PQ
t t t t
t t =⋅===
-+-----
所以
所以四边形面积的最小值为8. .。