高中数学5-2三角函数的概念5-2-1三角函数的概念新人教A版必修第一册
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-
综上,cos θ=-1,tan θ=0 或 cos θ=- ,tan θ=- 或 cos θ=- ,
tan θ= .
二 三角函数定义的应用
典例剖析
2.已知角 α 的终边在直线 y=-3x 上,求
10sin α+的值.
解:由题意知,cos α≠0.
设角 α 的终边上任意一点为 P(k,-3k)(k≠0),
综上,2sin α+cos α=
, < .
规律总结
利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况
(1)若已知角,则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标,
即可求出各三角函数值.
(2)若已知角 α 终边上一点 P(x,y)(x≠0)是单位圆上一点,则 sin
α=y,cos α=x,tan α=.
四 诱导公式一的应用
典例剖析
4.(1)sin(-1 380°)的值为(
)
A.
B.
(2)cos - +tan =
答案:(1)D (2)
C.
D.
.
解析:(1)sin(-1 380°)=sin(-4×360°+60°)=sin 60°= .
(2)原式=cos + (-) × +tan(+2×2π)=cos+tan = +1=.
+
=sin
=
=
,cos
=
,cos
=cos(6π+
)=cos
.
=
.
课堂·重难突破
一 三角函数的定义
典例剖析
1.(1)在直角坐标系中,已知角α的终边与单位圆交于点A,点A
的纵坐标为 ,则tan α=
.
(2)已知角α的终边经过点P(4a,-3a)(a≠0),则2sin α+cos α=
A.sin(-100°)
B.cos 10
C.cos(-220°)
D.tan
(2)已知角 A 为第三象限角,且
象限角.
答案:(1)ABC (2)四
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
)
=-sin ,则角 是第
解析:(1)对于 A,因为-100°是第三象限角,所以 sin(-100°)<0;
对于 B,因为
又 =-sin,∴sin<0,∴角为第四象限角.
规律总结
判断三角函数值正负的两个步骤
(1)定象限:确定角α所在的象限.
(2)定符号:利用三角函数值的符号规律,即“一全正,二正弦,三
正切,四余弦”来判断.
学以致用
3.判断下列各式的符号:
(1)sin 145°cos(-210°);
综上,tan α+2sin α 的值为-3- 或-3+ .
规律总结
1.已知角α的终边所在的直线,求角α的三角函数值,常用的解
题方法有以下两种
(1)先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,再利用正弦函数、
余弦函数、正切函数的定义求出相应的三角函数值.
(2)在角 α 的终边所在直线上任取一点 P(x,y)(点 P 不与原点重
(-) =5|a|.
-
当 a>0 时,r=5a,sin α= =-,cos α= = ,则 2sin α+cos α=-.
-
当 a<0 时,r=-5a,sin α=
= ,cos α= =-,则 2sin α+cos α=.
-
-
- , > ,
解:设角 α 的终边上任意一点 P 的坐标为(4k,-3k)(k≠0),
则点 P 与原点的距离 r=|OP|=5|k|(O 为坐标原点).
当 k>0 时,r=5k,则 sin α=-,cos α=,tan α=-.
所以 sin α-3cos α+tan α=--3× − =- .
-
则
= , = =- ,
所以 10sin α+=10× +3×(- )=3 -3
综上所述,10sin α+
=0.
-
sin α=
-
=0.
互动探究
(变问法)若本例中条件不变,求tan α+2sin α的值.
小”.
把角先改写为2kπ+α,α∈[0,2π),k∈Z,或k·
360°+α,
0°≤α<360°,k∈Z的形式,再求角α的三角函数值,应熟记特殊
角(0°,30°,45°,60°,90°,120°,135°,150°)的三角函数值.
学以致用
4.求下列各式的值:
解:由本例解答知,
-
当 k>0 时,tan α= =-3,sin α=- ,
所以 tan α+2sin α=-3- .
-
当 k<0 时,tan α= =-3,sin α= ,
所以 tan α+2sin α=-3+ .
=sin 45°cos 30°+cos 60°sin 30°
= × +×
(2)原式=sin
+
= + = .
- + +cos +
tan(4π+0)=sin +cos ×0= .
规律总结
应用诱导公式一求三角函数值的主体思路是“负化正,大化
5.求下列各式的值:
(1)sin(-1 395°)cos 1 110°+cos(-1 020°)sin 750°;
(2)sin
+cos tan
4π.
解:(1)原式=sin(-4×360°+45°)cos(3×360°+30°)
+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)
解析:因为根据三角函数在单位圆中的定义,可知 sin α=y=- .
微拓展利用角 α 终边上一点的坐标定义三角函数.
如图所示,设 α 是一个任意角,它的终边上任意一点 P(不与原
点 O 重合)的坐标为(x,y),点 P 与原点的距离为 r,则 sin α=,cos
α= ,tan α= ,其中 r= + .
位圆上的点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数,称为
正切函数 .
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为 三角函数 .
微训练 1 若角 α 的终边与单位圆交于点( ,- ),则 sin α 的值
为
.
答案:-
解析:因为根据三角函数在单位圆中的定义,可知 sin α=y=- .
合),点 P 到原点的距离为 r(r>0),则 sin α= ,cos α= ,tan α=
(x≠0).已知角 α 的终边所在的直线,求角 α 的三角函数值时,用
这几个公式更方便.
2.当角α的终边上的点的坐标以参数形式给出时,要根据问题
的实际情况对参数分类讨论.
学以致用
2.在平面直角坐标系中,角α的终边在直线3x+4y=0上,求sin α3cos α+tan α的值.
2.正弦函数、余弦函数、正切函数在弧度制下的定义域
三角函数
定义域
y=sin x
R
y=cos x
R
y=tan x
∈ ≠ + ,∈
3.三角函数值在各象限的符号
口诀概括为:一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图).
微训练2若 -<α<0 ,则点(tan α,cos
A.第一象限
5.2.1
三角函数的概念
素养·目标定位
课前·基础认知
课堂·重难突破
随 堂 训 练
素养·目标定位
目 标 素 养
知 识 概 览
1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、
正切)的定义.了解三角函数是以实数为自变量
的函数,体会数学抽象素养.
2.会求给定角的三角函数值,提升数学运算素养.
3.借助任意角的三角函数的定义,理解并掌握正
(1)把点P的纵坐标y叫做α的 正弦函数 ,
记作 sin α ,即y=sin α;
(2)把点P的横坐标x叫做α的 余弦函数 ,
记作 cos α ,即x=cos α;
(3)把点P的纵坐标与横坐标的比值 叫做α的 正切 ,记作
tan α ,即 =tan α(x≠0).当x≠0时,它也是以角为自变量,以单
当 k<0 时,r=-5k,则 sin α=,cos α=-,tan α=-.
所以 sin α-3cos α+tan α=-3× - − = .
综上,sin α-3cos α+tan α 的值为- 或 .
三 三角函数值符号的判断
典例剖析
3.(1)(多选题)下列选项中,符号为负的是(
则点 P 到原点的距离 r=
+ (-) = |k|.
当 k>0 时,r= k,
则 sin α=
-
=- ,
=
= ,
所以
10sin α+=10× -
+3 =-3 +3 =0.
当 k<0 时,r=- k,
(2)sin 3cos 4tan 5.
解:(1)∵145°是第二象限角,∴sin 145°>0.
∵-210°=-360°+150°,∴-210°是第二象限角,
∴cos(-210°)<0.∴sin 145°cos(-210°)<0.
(2)∵<3<π<4< <5<2π,
∴sin 3>0,cos 4<0,tan 5<0,∴sin 3cos 4tan 5>0.
所以 m=
,解得
+
m=0 或 m= 或 m=- .
-
①当 m=0 时,P(- ,0),r= ,cos θ= =-1,tan θ=0;
②当 m= 时,P(- , ),r=2 ,cos θ=- ,tan θ= =- ;
-
-
③当 m=- 时,P(- ,- ),r=2 ,cos θ=- ,tan θ= = .
(3)若已知角 α 终边上一点 P(x,y)(x≠0)不是单位圆上一点,则先
求点 P 与原点 O 的距离 r= + ,再求 sin α= ,cos α= ,tan
α=.
(4)若已知角α终边上的点的坐标含参数,则需进行分类讨论.
学以致用
1.(1)已知角 α 的终边与单位圆交于点
( + ·) =
,其中∈.
利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为求0~2π(或
0°~360°)角的三角函数值.
微点拨 三角函数值有“周而复始”的变化规律,角α的终边每
绕原点旋转一周,函数值将重复出现.
微训练 3 计算:sin +
答案:
解析:sin
C.第三象限
B.第二象限
D.第四象限
答案:B
解析:∵-<α<0,
∴tan α<0,cos α>0,
∴点(tan α,cos α)位于第二象限.
α)位于(
)
4.诱导公式一
(1)语言表示:终边相同的角的 同一 三角函数的值相等.
( + ·) = ,
(2)式子表示: ( + ·) = ,
弦函数值、余弦函数值、正切函数值在各象限
内的符号,提升数学抽象素养.
4.通过对任意角的三角函数定义的理解,掌握终
边相同的角的同一三角函数值相等,并应用诱导
公式一化简求值,提升数学运算素养.
课前·基础认知
1.利用单位圆定义任意角的三角函数
如图,设α是一个任意角,α∈R,它的
终边OP与 单位圆 相交于点P(x,y).
A.
B.
-,
C.
答案:B
解析:根据三角函数的定义,知 cos α=-.
,则 cos α 等于
(
)
D.
(2)已知角 θ 的终边上有一点 P(- ,m),且 sin
与 tan θ 的值.
θ= m,求
cos θ
解:由已知得点 P 到原点的距离 r= + ,
3π<10< ,所以
10 是第三象限角,所以 cos 10<0;
对于 C,因为-220°是第二象限角,所以 cos(-220°)<0;
对于
所以
D,因为 =2π+ ,所以 是第三象限角,
tan >0.
故选 ABC.
(2)∵角 A 为第三象限角,∴为第二或第四象限角.
.
答案:(1)±
(2)±
解析:(1)由题意,设点 A 的坐标为
所以
当
当
x2+
=1,解得
x=时,tan
α=
x=- 时,tan
故 tan
=
x=或
;
α= =- .
-
α=或-.
x=-.
,
,
(2)点 P 到原点的距离 r=
( ) +
综上,cos θ=-1,tan θ=0 或 cos θ=- ,tan θ=- 或 cos θ=- ,
tan θ= .
二 三角函数定义的应用
典例剖析
2.已知角 α 的终边在直线 y=-3x 上,求
10sin α+的值.
解:由题意知,cos α≠0.
设角 α 的终边上任意一点为 P(k,-3k)(k≠0),
综上,2sin α+cos α=
, < .
规律总结
利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况
(1)若已知角,则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标,
即可求出各三角函数值.
(2)若已知角 α 终边上一点 P(x,y)(x≠0)是单位圆上一点,则 sin
α=y,cos α=x,tan α=.
四 诱导公式一的应用
典例剖析
4.(1)sin(-1 380°)的值为(
)
A.
B.
(2)cos - +tan =
答案:(1)D (2)
C.
D.
.
解析:(1)sin(-1 380°)=sin(-4×360°+60°)=sin 60°= .
(2)原式=cos + (-) × +tan(+2×2π)=cos+tan = +1=.
+
=sin
=
=
,cos
=
,cos
=cos(6π+
)=cos
.
=
.
课堂·重难突破
一 三角函数的定义
典例剖析
1.(1)在直角坐标系中,已知角α的终边与单位圆交于点A,点A
的纵坐标为 ,则tan α=
.
(2)已知角α的终边经过点P(4a,-3a)(a≠0),则2sin α+cos α=
A.sin(-100°)
B.cos 10
C.cos(-220°)
D.tan
(2)已知角 A 为第三象限角,且
象限角.
答案:(1)ABC (2)四
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
)
=-sin ,则角 是第
解析:(1)对于 A,因为-100°是第三象限角,所以 sin(-100°)<0;
对于 B,因为
又 =-sin,∴sin<0,∴角为第四象限角.
规律总结
判断三角函数值正负的两个步骤
(1)定象限:确定角α所在的象限.
(2)定符号:利用三角函数值的符号规律,即“一全正,二正弦,三
正切,四余弦”来判断.
学以致用
3.判断下列各式的符号:
(1)sin 145°cos(-210°);
综上,tan α+2sin α 的值为-3- 或-3+ .
规律总结
1.已知角α的终边所在的直线,求角α的三角函数值,常用的解
题方法有以下两种
(1)先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,再利用正弦函数、
余弦函数、正切函数的定义求出相应的三角函数值.
(2)在角 α 的终边所在直线上任取一点 P(x,y)(点 P 不与原点重
(-) =5|a|.
-
当 a>0 时,r=5a,sin α= =-,cos α= = ,则 2sin α+cos α=-.
-
当 a<0 时,r=-5a,sin α=
= ,cos α= =-,则 2sin α+cos α=.
-
-
- , > ,
解:设角 α 的终边上任意一点 P 的坐标为(4k,-3k)(k≠0),
则点 P 与原点的距离 r=|OP|=5|k|(O 为坐标原点).
当 k>0 时,r=5k,则 sin α=-,cos α=,tan α=-.
所以 sin α-3cos α+tan α=--3× − =- .
-
则
= , = =- ,
所以 10sin α+=10× +3×(- )=3 -3
综上所述,10sin α+
=0.
-
sin α=
-
=0.
互动探究
(变问法)若本例中条件不变,求tan α+2sin α的值.
小”.
把角先改写为2kπ+α,α∈[0,2π),k∈Z,或k·
360°+α,
0°≤α<360°,k∈Z的形式,再求角α的三角函数值,应熟记特殊
角(0°,30°,45°,60°,90°,120°,135°,150°)的三角函数值.
学以致用
4.求下列各式的值:
解:由本例解答知,
-
当 k>0 时,tan α= =-3,sin α=- ,
所以 tan α+2sin α=-3- .
-
当 k<0 时,tan α= =-3,sin α= ,
所以 tan α+2sin α=-3+ .
=sin 45°cos 30°+cos 60°sin 30°
= × +×
(2)原式=sin
+
= + = .
- + +cos +
tan(4π+0)=sin +cos ×0= .
规律总结
应用诱导公式一求三角函数值的主体思路是“负化正,大化
5.求下列各式的值:
(1)sin(-1 395°)cos 1 110°+cos(-1 020°)sin 750°;
(2)sin
+cos tan
4π.
解:(1)原式=sin(-4×360°+45°)cos(3×360°+30°)
+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)
解析:因为根据三角函数在单位圆中的定义,可知 sin α=y=- .
微拓展利用角 α 终边上一点的坐标定义三角函数.
如图所示,设 α 是一个任意角,它的终边上任意一点 P(不与原
点 O 重合)的坐标为(x,y),点 P 与原点的距离为 r,则 sin α=,cos
α= ,tan α= ,其中 r= + .
位圆上的点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数,称为
正切函数 .
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为 三角函数 .
微训练 1 若角 α 的终边与单位圆交于点( ,- ),则 sin α 的值
为
.
答案:-
解析:因为根据三角函数在单位圆中的定义,可知 sin α=y=- .
合),点 P 到原点的距离为 r(r>0),则 sin α= ,cos α= ,tan α=
(x≠0).已知角 α 的终边所在的直线,求角 α 的三角函数值时,用
这几个公式更方便.
2.当角α的终边上的点的坐标以参数形式给出时,要根据问题
的实际情况对参数分类讨论.
学以致用
2.在平面直角坐标系中,角α的终边在直线3x+4y=0上,求sin α3cos α+tan α的值.
2.正弦函数、余弦函数、正切函数在弧度制下的定义域
三角函数
定义域
y=sin x
R
y=cos x
R
y=tan x
∈ ≠ + ,∈
3.三角函数值在各象限的符号
口诀概括为:一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图).
微训练2若 -<α<0 ,则点(tan α,cos
A.第一象限
5.2.1
三角函数的概念
素养·目标定位
课前·基础认知
课堂·重难突破
随 堂 训 练
素养·目标定位
目 标 素 养
知 识 概 览
1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、
正切)的定义.了解三角函数是以实数为自变量
的函数,体会数学抽象素养.
2.会求给定角的三角函数值,提升数学运算素养.
3.借助任意角的三角函数的定义,理解并掌握正
(1)把点P的纵坐标y叫做α的 正弦函数 ,
记作 sin α ,即y=sin α;
(2)把点P的横坐标x叫做α的 余弦函数 ,
记作 cos α ,即x=cos α;
(3)把点P的纵坐标与横坐标的比值 叫做α的 正切 ,记作
tan α ,即 =tan α(x≠0).当x≠0时,它也是以角为自变量,以单
当 k<0 时,r=-5k,则 sin α=,cos α=-,tan α=-.
所以 sin α-3cos α+tan α=-3× - − = .
综上,sin α-3cos α+tan α 的值为- 或 .
三 三角函数值符号的判断
典例剖析
3.(1)(多选题)下列选项中,符号为负的是(
则点 P 到原点的距离 r=
+ (-) = |k|.
当 k>0 时,r= k,
则 sin α=
-
=- ,
=
= ,
所以
10sin α+=10× -
+3 =-3 +3 =0.
当 k<0 时,r=- k,
(2)sin 3cos 4tan 5.
解:(1)∵145°是第二象限角,∴sin 145°>0.
∵-210°=-360°+150°,∴-210°是第二象限角,
∴cos(-210°)<0.∴sin 145°cos(-210°)<0.
(2)∵<3<π<4< <5<2π,
∴sin 3>0,cos 4<0,tan 5<0,∴sin 3cos 4tan 5>0.
所以 m=
,解得
+
m=0 或 m= 或 m=- .
-
①当 m=0 时,P(- ,0),r= ,cos θ= =-1,tan θ=0;
②当 m= 时,P(- , ),r=2 ,cos θ=- ,tan θ= =- ;
-
-
③当 m=- 时,P(- ,- ),r=2 ,cos θ=- ,tan θ= = .
(3)若已知角 α 终边上一点 P(x,y)(x≠0)不是单位圆上一点,则先
求点 P 与原点 O 的距离 r= + ,再求 sin α= ,cos α= ,tan
α=.
(4)若已知角α终边上的点的坐标含参数,则需进行分类讨论.
学以致用
1.(1)已知角 α 的终边与单位圆交于点
( + ·) =
,其中∈.
利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为求0~2π(或
0°~360°)角的三角函数值.
微点拨 三角函数值有“周而复始”的变化规律,角α的终边每
绕原点旋转一周,函数值将重复出现.
微训练 3 计算:sin +
答案:
解析:sin
C.第三象限
B.第二象限
D.第四象限
答案:B
解析:∵-<α<0,
∴tan α<0,cos α>0,
∴点(tan α,cos α)位于第二象限.
α)位于(
)
4.诱导公式一
(1)语言表示:终边相同的角的 同一 三角函数的值相等.
( + ·) = ,
(2)式子表示: ( + ·) = ,
弦函数值、余弦函数值、正切函数值在各象限
内的符号,提升数学抽象素养.
4.通过对任意角的三角函数定义的理解,掌握终
边相同的角的同一三角函数值相等,并应用诱导
公式一化简求值,提升数学运算素养.
课前·基础认知
1.利用单位圆定义任意角的三角函数
如图,设α是一个任意角,α∈R,它的
终边OP与 单位圆 相交于点P(x,y).
A.
B.
-,
C.
答案:B
解析:根据三角函数的定义,知 cos α=-.
,则 cos α 等于
(
)
D.
(2)已知角 θ 的终边上有一点 P(- ,m),且 sin
与 tan θ 的值.
θ= m,求
cos θ
解:由已知得点 P 到原点的距离 r= + ,
3π<10< ,所以
10 是第三象限角,所以 cos 10<0;
对于 C,因为-220°是第二象限角,所以 cos(-220°)<0;
对于
所以
D,因为 =2π+ ,所以 是第三象限角,
tan >0.
故选 ABC.
(2)∵角 A 为第三象限角,∴为第二或第四象限角.
.
答案:(1)±
(2)±
解析:(1)由题意,设点 A 的坐标为
所以
当
当
x2+
=1,解得
x=时,tan
α=
x=- 时,tan
故 tan
=
x=或
;
α= =- .
-
α=或-.
x=-.
,
,
(2)点 P 到原点的距离 r=
( ) +