2020年年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题含答案

sin 3 t ⎰
⎰
⎰
x
t 2
⎰
⎰
( )
→ →
→
2020 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分. 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选选项前的字母填在答题纸指定的位置上.
（1） 当 x → 0+
下列无穷小的阶数最高的是（
）.
（A ） x
(e t 2
-1) dt
（C ）
sin x
sin t 2 dt
【答案】（D ）
（B ） ⎰
x
ln (1+ 1-cos x
（D ）
t
3
)dt
dt
解析： (A) (
⎰0 (e x
2
-1)dt )' = e x -1 x 2
(x → 0+ ) 3
(B) (
⎰
ln(1 + t 3
dt )'
= ln(1 + x 3
) x 2( x → 0 +)
(C) ( sin x
sin t 2dt )' = sin(sin 2 x ) cos x x 2 (x → 0+ )
0 1-cos x
(D) . (
sin 3 tdt )' = sin 3 (1- cos x ) sin x cx 4 (x → 0+ )
1 （2） 函数 f
( x ) =
的第二类间断点个数为（ ）.
（A ）1 (B)2
(C)3
(D)4
【答案】（C ）
解析：间断点为 x = -1, 0,1, 2
lim f x = ∞ 为无穷间断点， x →-1
lim f ( x ) = - 1 x 0 2e
为可去间断点 lim f ( x ) = ∞ 为无穷间断点，
x 1
lim f ( x ) = ∞ 为无穷间断点，
x 2
1 arcsin （3）
x = （ ） x (1- x )
π
2
(A) 4
π
2
(B) 8
π
(C)
4
π
(D)
8
e x -1
ln 1 + x
(e x
-1)( x - 2)
⎰
∂f ∂x
0 2 n n n ⎨ ( ) ( ) ⎪ 【答案】（A ） 1
2
1 ⎛π⎫
2
π2
解析：
⎰ dx = 2⎰
arcsin xd arcsin x = (
arcsin =
⎪ = ⎝ ⎭ 4
（4）函数 f ( x ) = x 2
ln (1- x ) ，当 n ≥ 3 时， f (
n )
(0) = （
）.
(A)
- ! n - 2
(B)
n ! n - 2
(C)
(
n - 2
)
! (D) n
(
n - 2
)
! n
【答案】（A ） 解析： f (
n )
( x ) = ln (n ) (1- x ) x 2 + C 1 ln (n -1) (1- x )2x + C 2 ln
(n -2 )
(1- x )2 f (n ) (0) = C 2 ln
(n -2) (1- x )2
x =0 = n (n -1 )(-1 )n -3
(-1 )n
(n - 3 )! = -
n ! n - 2
⎧xy , xy ≠ 0 （5）对函数 f ( x , y ) = ⎪
x , y = 0 ⎩
y , x = 0 ，给出下列结论
① (0,0) = 1 ② (0,0) = 1 ③ lim
( x , y )→(0,0)
f ( x , y ) = 0 ④ lim lim f x , y = 0
y →0 x →0
则正确的个数为（ ）.
(A)4 (B)3
(C)2 (D)1
【答案】（B ）
解析：
= lim f (x , 0) - f (0, 0) = lim x - 0 = 1 ，①对；
(0,0) x →0
x - 0 x →0 x - 0 lim ( x , y )→(0,0)
f ( x , y ) = lim (x , y )→(0,0 )
xy = 0 ，则lim lim f x , y = 0 ，③与④对；
y →0 x →0
f (0, y ) - f (0, 0) f (0, y ) -1 = lim x x = lim x ≠ 1 ，②错. (0,0) y →0
y - 0 y →0 y
于是正确的个数为 3 个.
（6）函数 f ( x ) 在[-2, 2]上可导，且 f '( x ) > f (x ) > 0 ，则(
).
(A)
f
(-2)
f
(-1)
> 1
(B)
f (0)
1 0
x (1- x ) x
∂2 f ∂x ∂y ∂f
∂x ∂2 f ∂x ∂y
-
)
f
(-1) >e (C)
f (1)
f
(-1)
<e2(D)
f (2)
f (-1)
<e3
【答案】（B）
-112 1 3
4 解析：因为 f '( x ) > f (x ) > 0 ，所以 f '( x ) f ( x )
f '( x ) - x
f ( x )
则 F '( x ) > 0 ，F (0) = f (0), F (-1) = ef (-1) ，因为 F ( x ) 单调增，所以 F (0) > F (-1) ，
f (0)
即 f (0) > ef (-1) ，即
f (-1) > e
（7） 已知四阶矩阵 A = a ij 不可逆，a 12 的代数余子式 A 12 ≠ 0 ，α1 ,α2 ,α3 ,α4 为矩阵
A 的列 向量组， A * 为 A 的伴随矩阵，则方程组 A *
x = 0 的通解为（ ）.
(A) x = k 1α1 + k 2α2 + k 3α3 , 其中 k 1、k 2、k 3 为任意常数 (B) x = k 1α1 + k 2α2 + k 3α4 , 其中 k 1、k 2、k 3 为任意常数 (C) x = k 1α1 + k 2α3 + k 3α4 , 其中 k 1、k 2、k 3 为任意常数 (D) x = k 1α2 + k 2α3 + k 3α4 , 其中 k 1、k 2、k 3 为任意常数 【答案】（C ）
解析： 因为 A 不可逆， 所以 r ( A ) < 4 ， 又因为 A 12 ≠ 0 ， 所以 r ( A ) ≥ 3 ， 所以
r ( A ) =3，r ( A * )=1 ，又因为 A ≠ 0 ，所以α,α ,α 线性无关，又因为 AA * = O ，所以
A * x = 0 的通解 x = k α + k α + k α , 其中 k 、k 、k 为任意常数.
1 1
2 3
3 4
1
2
3
（8） 设 A 为三阶矩阵，α1 ,α2 为矩阵 A 的属于特征值 1 的两个线性无关的特征向量，α3 为
⎡1 0 0⎤
矩阵 A 的属于特征值-1的特征向量，则使得 P -1
AP = ⎢0 -1 0⎥ 的可逆矩阵 P 为（ ）. ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 1⎥⎦
(A) (α1 +α3 , (C) (α1 +α3 ,
α2 , -α3 , -α3 )
α2 )
(B) (α1 +α2 , (D) (α1 +α2 ,
α2 , -α3 , -α3 )
α2 )
【答案】（D ）
解析：由题知 A α1 =α1 , A α2 =α2 , A α3 = -α3 ，所以
A （α1 +α2）=α1 +α2 , A (-α3 )= - (-α3 ) ， > ，所以1
d 2 y
dx 2
2 d 2 y dx 2 2 1 1 (0,π)
(0,π) ⎡1 0 0⎤ 令 P = (α +α , -α ,α ) ，则 P -1
AP = ⎢0 -1 0⎥ .
1 2 3 2 ⎢ ⎥
⎢⎣0 0 1⎥⎦
二、填空题：9～14 题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定的位置上.
⎧⎪ x = （9） 设⎨
，则 = . ⎪⎩ y = ln(t + 答案：应填- .
dy t 2 +1)
t =1
1 (1+ t
) dy = dt
= t + t 2 + 1 t 2
+ 1 = 1
解析：
dx dx t t ，
dt
d 2
y = d 1 d 1
t = t ⋅ dt = - 1 ⋅ 1 = -
，则
= - . dx 2
dx dt dx t 2
t t 3 t =1
（10）
⎰0
dy ⎰
y
x 3 +1dx = .
答案：应填 2 (2 9
-1) .
解析：交换积分次序得，
1 1 3
1
x 2
3
1
2 3
⎰0
dy ⎰
y
x +1dx = ⎰0 dx ⎰0 x +1dy = ⎰0 x x +1dx
= 1 ⎰1 x 3 + 1d (x 3 + 1) = 2
(2 2 - 1) .
3 0 9
（11） 设 z = arctan(xy + sin(x + y )) ，则 dz = .
答案：应填(π-1)dx - dy .
解析： dz = d arctan(xy + sin(x + y )) = 则 dz = (π-1)dx - d y .
ydx + xdy + cos(x + y )(dx + dy )
1+ (xy + sin(x + y ))
2
，
（12） 斜边为 2a 的等腰直角三角形平板铅直地沉浸在水中，斜边与水平面齐平，重力加
速度为 g ，水的密度为ρ，则该平板一侧受到的水压力为 .
答案：应填 1
ρga 3
.
3
t 2 +1 t 2 +1 t 2 +1
t 2
+1 2
a
a
⎰
=
- 解析：水压力为 F =
⎰
ρg (a - y ) ⋅ 2ydy = 2ρg ⎰0
(a - y ) ⋅ ydy = 1
ρga 3
.
3
（13）设 y = y (x ) 满足 y ' + 2 y ' + y = 0 ，且 y (0) = 0 ， y '(0) = 1，则 +∞
y (x ) d x = .
答案：应填1.
解析： y ' + 2 y ' + y = 0 的特征方程为 r 2
+ 2r +1 = 0 ，则 r = -1 为二重根，微分方程的
通解为 y = (C + C x ) e - x
.
1
2
+∞
+∞
- x 由 y (0) = 0 ， y '(0) = 1得C = 0 ， C = 1 ，则 y = x e - x
，
y (x ) d x x e d
x = 1. 1
2
⎰
⎰
（14）行列式
答案：应填 a 4 - 4a 2
.
a a a a
=
1 1 1 1 1 1 1 1 0
解析：原式= a 1 -1 = a 0 a 1 -1 = a 0 a 1 -1 = a 4 - 4a 2
-1 1 a 0 -1 1 a 0 0 2 a +1
1 1 -1 0 a
1 -1 0 a 0 -
2 -1
a -1
三、解答题：15～23 小题，共 94 分，请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分 10 分）
x 1+ x
求曲线 y =
(1+ x )
x
(x > 0) 的斜渐近线.
解析：只考虑 x > 0 的情形
y
x x ⎛ x ⎫
x
1
k = lim
x →+∞ x = lim
x →+∞ (1+ x ) = lim = ， x →+∞ ⎝1+ x ⎭ e ⎛ 1 ⎫
⎡ x 1+ x x ⎤ ex 1+ x - x (1+ x )x b = lim y - x ⎪ = lim ⎢ x ⎥ = lim x
x →+∞ ⎝ e ⎭ x →+∞ ⎣(1+ x ) e ⎦ x →+∞
e (1+ x )
1 ⎡ ⎛ x ⎫x ⎤ 1 ⎛ x ln x ⎫ 1 ⎛ 1 +x ln x ⎫
= lim x ⎢e ⎪ -1⎥ = lim x e ⋅ e 1+ x -1 ⎪= lim x e 1+ x -1 ⎪
e x →+∞ ⎣⎢ ⎝ 1+ x ⎭ ⎦⎥ e
x →+∞
⎝ ⎭ e x →+∞ ⎝ ⎭ a 0 -1 1 0 a 1
-1 -1 1 a 0
1 -1 0 a
⎨ ( ) ( ) + - 解析： 时， ⎰0 = x ⎰0 ， x
2 ⎰0 x
= 1 lim x ⎛1+ x ln
x ⎫
= 1 lim
1+ x l n
1 1+ 1 x = 1 lim
1+ 1 ln t
1
1+ t e
x →+∞ 1+ x ⎪ e x →+∞1 e t →0+
t
⎝ ⎭
x
= 1
lim t - ln(1+ t ) 1 = ， e t →0+ t 2 2e
1 1
于是，曲线的斜渐近线方程为 y = x + .
e 2e
（16）（本题满分 10 分）
已知函数 f (
x ) 连续，且lim f ( x )
= 1, g ( x ) = ⎰1 f ( xt )dt ,求 g '( x ) ，并证明 g '( x ) 在 x = 0 连续.
x →0
x
当 x ≠ 0 g ( x ) = 1
f ( x t )dt u = x t
1 f (u )du g '( x ) = - 1 x
f ( u ) du + f ( x )
当 x = 0 时
1
⎰x
f (u ) d u - 0
f (u ) du
g '(0) = lim g ( x ) - g (0) = lim x 0 = lim ⎰0
= lim f ( x ) = 1 ，
x →0 x x →0 x
x →0 x 2 x →0 2x 2 ⎧- 1 1 f (u ) du +
f ( x ), x ≠ 0 所以
g '( x ) = ⎪ x 2 ⎰0 x 1 ⎪ , x = 0 ⎪⎩ lim g '( x ) = lim[- 1
2
f (u ) d u + f x 1 ] = lim -
1 f ( x ) f u du lim = lim f ( x ) +1 = 1 =g '(0) x →0 x →0 x
2 ⎰0 x x →0 x 2 ⎰0 x →0 x
x →0 2x 2 所以 g '( x ) 在 x = 0 连续.
（17）（本题满分 10 分）
求函数 f ( x , y ) = x 3 + 8 y 3 - xy 的极值．
⎧ ∂f ⎪ ∂x = 3x 2 - y = 0
⎛ 1 1 ⎫
解析：令⎨∂f
得驻点(0, 0), , ⎪
⎪ = 24 y 2 - x = 0 ⎪⎩ ∂y
⎝ 6 12 ⎭
∂2 f 且 ∂x 2
= 6x , ∂2 f ∂x ∂y
= -1, ∂2 f
∂y 2
= 48 y . x x
1
， ，
3 3 3 3 2 3 3 ( x , y )
∂2 f A =
∂x
2
∂2 f B = ∂x ∂y
∂2 f C = ∂y 2
AC - B 2
极值
(0, 0)
0 -1 0 < 0 无 ⎛ 1 1 ⎫ , ⎪ ⎝ 6 12 ⎭
1
-1
4
> 0
极小
故 在⎛ 1 , 1 ⎫ 处取得极小值且极小值 ⎛ 1 , 1 ⎫
= - 1 6 12 6 12 216
⎝
⎭
⎝
⎭
.
（18）（本题满分 10 分）
2
⎛ 1 ⎫
x 2 + 2x
设函数 f ( x ) 的定义域为（0，+∞）且满足 2 f ( x ) + x f ⎪ = ，求 f ( x ) ，并
⎝ x ⎭ 1+ x 2
求曲线 y =
f ( x ), y = 1 , y = 3
及 y 轴所围图形绕 x 轴旋转所成旋转体的体积. 2 2
1 +
2 1 + 2 1 1 1
t 2 t
t 解析：令 x = ，得 2 f ( ) + f (t ) = =
，即
t t t 2 1+ 1
1+ t 2
t
2
2
1 2t
2 + t 2
1 2 x 2 + x 2t f ( ) + f (t ) = ，即 2x f ( ) + f (x ) = ，
t 1+ t 2 x 1+ x 2
2
⎛ 1 ⎫ x 2
+ 2x
x 与题中的 2 f ( x ) + x f ⎪ = 联立得， f (x ) = ，
⎝ x ⎭ 1+ x 2 1+ x 2
由 y = f (x ) = 1
, 得
x = ，由 y = 得 x = . 2
3
2
3 2 1 2 ⎡ 3 x
1 2 3 ⎤
体积为V = π( 2 ) 3 -π( 2) 3 - ⎢⎰ 3π( ) d x -π( ) ( 3 - 1+ x 2 2 3 ) ⎥ ⎣ 3
⎦
π π2
= π-π( - ) + π= . 2 3 6 6 6
（19）（本题满分 10 分）
⎰ ⎰ 1
⎰ 0 ⎰
4 π
3 π 设平面区域 D 由直线 x = 1, x = 2, y = x 与 x 轴所围,计算
⎰⎰
D
dxdy .
解析：令 I =
⎰⎰
D
dxdy = π
1 0 cos θ π
1
2 d θ cos θ rdr cos θ
2
r 2 cos θ
= ⎰ 4 (
)d θ 0 cos θ 2 1
cos θ
3 π
1
=
⎰
4
3
d θ
2 0 cos θ
= 3 4 sec θd tan θ 2 0
π
= sec θtan θ 4 - 2 2
π 4 tan 2θsec θd θ 0
= 3 2 - 3 2 2 π
4 (sec 2 θ-1) sec θd θ
= 3 2 - 3 2 2 4 sec 3
θ+ 3 0 2 π 4 sec θd θ
π = 3 2 - I + 3
ln(sec θ+ tan θ) 4
2 2 0 =
3 2 - I + 3
ln( 2 + 1)
2 2
I = 3
[ 4 + ln(1+ 2)]
（20）（本题满分 11 分） 设函数 f (x ) = x
e t 2
dt ；
1
（1）证明：存在ξ∈(1, 2) ，使得 f (ξ) = (2 -ξ) e ξ2
.
（2）证明：存在η∈(1, 2) ，使得 f (2) = ln 2 ⋅ηe η
2
.
证明：(1)令F (x ) = (2 - x ) f (x ),由题意 f (1) = 0, F (1) = 0, F (2) = 0
因为 F (x ) 在[1, 2]上连续，在(1, 2) 可导，所以由罗尔定理可知∃ξ∈(1, 2) 使 F '(ξ) = 0 ,即
x 2 + y 2
x 2 + y 2
2 ⎰ ⎰ ⎰ ⎰ 3
x
=
f (ξ) = (2 -ξ)e
ξ2
（2）令 g (x ) = ln x , f (x ), g (x ) 在[1,2]上连续，在
(1,2)可导，且 g '(x ) ≠ 0, 所以由柯西中
值定理可知存在η∈(1, 2) ,使得
f '(η) =
g '(η) f (2) - f (1) ，即 f (2) = ln 2 ⋅ηe η
2 . g (2) - g (1)
（21）（本题满分 11 分）
设函数 f (x ) 可导，且 f '(x ) > 0 ，曲线 y =
f (x ) （
x > 0 ）经过坐标原点，其上任意一
点 M 处的切线与 x 轴交于T ，又 MP 垂直 x 轴于点 P ，已知曲线 y = f (x ) ，直线 MP 以
及 x 轴所围图形的面积与三角形 MPT 面积之比恒为3 : 2 ，求满足上述条件的曲线方程.
解析：设所求曲线方程为 y = y (x ) ，任一点 M 坐标为(x , y ) ，
由题意得 tan θ= y ' =
MP
，即TP = y
，
TP y '
三角形 MPT 的面积为
1
1 y y
2 S = 2 MP ⨯ TP = 2 ⨯ y ⨯ y ' = 2 y
' ，
曲边三角形OMP 的面积 S =
⎰
y (x )dx ，
y 2
2 x
由两面积之比为常数得
2 y ' = 3
⎰0 y (x )dx ，
两边关于 求导得 2 yy 'y ' - y 2 y ' 4 y (x ) ， 即 yy ' = 2 '2
，
x
y '2 3
3 y
令 p ( y ) = y ' ， 则 y '' = p dp
，
dy
原方程化为 yp
dp = 2 p 2 ， 即 p [ y dp - 2
p ] = 0 。

dy 3 dy 3
由 p = 0 得 y = C ， 这是原方程的一个解. 但不合题意舍去。

由 y dp - 2 dy 3
p = 0 ，得 2 p = C 1 y 3 ，即 y ' 2
= C 1 y 3 ，
y
= 0 1
y
1 3
从而
C 1x + C 2 = 1 ，
3
由曲线过原点，得 x =0
，代入得C 2 = 0 .
1
所求曲线为 y 3
=
1 3
C 1x ，
由C 的任意性，曲线可表示为 y = Cx 3
， C 为任意常数.
（22）（本题满分 11 分）
求 二 次 型 f (x , x , x ) = x 2 + x 2 + x 2 + 2ax x + 2ax x + 2ax x
经 可 逆 线 性 变 换
1 2
3
1
2
3
1 2
2 3
1 3
⎛ x 1 ⎫ ⎛ y 1 ⎫ x ⎪ = P y ⎪
化为二次型 g ( y , y , y ) = y 2 + y 2 + 4 y 2 + 2 y y ， 2 ⎪ 2 ⎪ 1 2 3 1 2 3 1 2 x ⎪ y ⎪ ⎝ 3 ⎭ ⎝ 3 ⎭
（1） 求 a ；
（2） 求可逆矩阵 P .
⎛ 1
a a ⎫
⎛ 1 1 0 ⎫ 解析：（1）设 A = a 1 a ⎪ ，B = 1 1 0 ⎪
，由题意可得，r ( A ) = r (B ) ，而 r (B ) = 2 ，
⎪ ⎪ a a 1 ⎪ 0 0 4 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭
则 r ( A ) = 2 ，于是可得 a = - 1
.
2
（2）对于二次型 f ，
f (x , x , x ) = x 2 + x 2 + x 2 - x x - x x - x x 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 3
= (x - 1 x
- 1 x )2 + 3 2
3 2 - 3
x x
1 2 2 2
3
4 x 2 + 4 x 3 2 2 3 = (x - 1 x - 1 x )2 + 3 (x - x )2
1
2 2 2
3
4 2 3
⎧z = x - 1 x - 1 x
⎧x = z + 1 z + z
⎛ 1 1 1⎫
⎪ 1 1 2 2 2 3 ⎪ 1 1
3 2 3 3
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 令⎪ z = 3 (x - x ) ， 即 ⎪ x = 2 z + z ， 得 f = z 2 + z 2
，取 P = 0 2 1⎪ ，
⎨ 2 2 2 3 ⎨ 2 3 2 3 1 2 1 3
⎪ ⎪ ⎪ z 3 = x 3 ⎪ ⎩
⎪ ⎪ x 3 = z 3 ⎪ ⎩
⎪ 0
0 1⎪
⎪ ⎝ ⎭
对于二次型 g ， g ( y , y , y ) = y 2 + y 2 + 4 y 2 + 2 y y = ( y + y )2 + 4 y 2 ，
1
2
3
1
2
3
1 2
1
2
3
3 ⎪
⎪ ⎧ ⎛
⎫ ⎧z 1 = y 1 + y 2 ⎪ y 1 = z 1 - z 3 1 0
-1⎪ ⎪ z = 2 y ，即⎪ y = z ，得 g = z 2 + z 2
，取 P ⎪ =
0 0 1 ， ⎨ 2 3 ⎨ 2 3
1 2 2 ⎪ ⎪ z = y ⎪1 1
⎪ ⎩ 3 2 ⎪ y = z 0
0 ⎪ ⎩ 3 2 2 ⎝
2
⎭
⎛ 1 2 2 ⎫ 3 ⎪ 4 ⎪ ⎛ x 1 ⎫ ⎛ y 1 ⎫
取 P = PP -1
= 0 1
⎪ ，存在变换 x ⎪ = P y ⎪ 使得 f (x , x , x ) 化为 g ( y , y , y ) . 1 2 2 ⎪ 2 ⎪ 1 2
3
1
2
3
x ⎪ y ⎪ 0 1 0 ⎪ ⎝ 3 ⎭
⎝ 3 ⎭
⎪ ⎝
⎭
（23）（本题满分 11 分）
设 A 为 2 阶矩阵， P = (α, A α) ，其中α是非零向量且不是 A 的特征向量.
（1） 证明 P 可逆；
（2） 若 A 2
α+ A α- 6α= 0 ，求 P -1
AP ，判定 A 是否相似于对角阵.
【证明】（1）因为α是非 0 向量，且不是 A 的特征向量，所以 A α≠ λα ，λ为任一实数， 所以， P = (α, A α)
的 2 列向量不成比例
所以，α、 A α线性无关，从而 R (P ) = 2 ，所以 P 可逆.
（2）由于 AP = A (α, A α) = (A α, A 2
α) = (A α, 6α- A α) = (α, A α)
⎛ 0 6 ⎫
1 -1⎪
⎝ ⎭
所以， AP =P ⎛ 0 6 ⎫ ，又因为 P 可逆，所以 P -1
AP = ⎛ 0 6 ⎫ ， 1 -1⎪ 1 -1⎪
⎝ ⎭ ⎝ ⎭
所以， B = ⎛ 0 6 ⎫
，又 B -λE = 0 ，所以， λ2 + λ- 6 = 0 1 -1⎪
⎝ ⎭
从而λ1 = -3,λ2 = 2
所以 B 的 2 个特征值互不相同从而 B 可对角化
又 A 与 B 相似，所以 A 可对角化。