题型专项研究：一次函数与反比例函数的图象与性质

题型7 一次函数与反比例函数的图象与性质

,备考攻略)

1．已知交点确定一次函数、反比例函数解析式． 2．求一次函数和反比例函数的交点．

3．一次函数与反比例函数的图象与性质的结合． 4．利用函数图象确定不等式ax ＋b>k x 或ax ＋b<k

x

的解集．

一次函数与反比例函数的图象与性质运用失误；

利用函数图象确定不等式ax ＋b>k x 或ax ＋b<k

x

的解集，经常找错解集或无从下手．

本专题是对一次函数与反比例函数的图象与性质进行复习与深化，这类综合题考查的知识点多，能力要求强．试题呈现形式活泼多样，既有一次函数、反比例函数与代数的综合，又有与空间几何的综合．解决这类问题首先要理清头绪，挖掘题目中的已知条件和隐含条件，根据实际问题情境或图象列出相应关系式，从而建立函数模型．

1．已知交点确定一次函数、反比例函数解析式：在一次函数与反比例函数相交求函数解析式的过程中，通常把交点坐标代入反比例函数解析式，再利用图象的对称性或题中其他条件，求出一次函数的解析式．

2．求一次函数和反比例函数的交点：当一次函数与反比例函数有交点时，通常利用方程思想，联立两个函数解析式，消去y ，构造一个关于x 的一元二次方程，根据一元二次方程的解法求得x 的值，进而得到交点坐标(x ，y)．(或者求某一待定系数的取值范围，若两函数图象有两个交点，则对应的一元二次方程的Δ>0；若两函数图象有1个交点，则对应的一元二次方程的Δ＝0；若两函数图象没有交点，则对应的一元二次方程的Δ<0.)

3．一次函数与反比例函数的图象与性质的结合：一次函数与或反比例函数有部分相同的待定系数，知道取值范围，利用性质，得到另一个函数的大致图象．

4．利用函数图象确定不等式ax ＋b>k x 或ax ＋b<k

x 的解集：一般先找出图象的交点，再过交点作出y 轴

的平行线，连同y 轴，将平面分成几个区域，在每一个区域里比较图象的高低，从而确定所求不等式的解

集．

,典题精讲)

◆确定一次函数、反比例函数解析式

【例1】(2019烟台中考)如图，直线y ＝x ＋2与反比例函数y ＝k

x 的图象在第一象限交于点P ，若OP

＝10，则k 的值为______．

【解析】据直线y ＝x ＋2可设点P(m ，m ＋2)，从而用勾股定理建立方程求出m 的值，得到点P 的坐标，进而求k.

【答案】3

1．(2019西双版纳中考)已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝n

x 的图象交于点B(m ，1)，与y 轴交于点C ，且△BOC 的面积为3，点A(－1，3)在反比例函数的图象

上．

求：(1)反比例函数的解析式； (2)直线BC 的解析式．

解：(1)∵点A 在函数y ＝n

x 的图象上，

∴把点A(－1，3)代入解析式y ＝n

x ，

得3＝n

－1，解得n ＝－3，

∴反比例函数解析式为：y ＝－3

x ；

(2)把点B(m ，1)代入解析式y ＝－3

x ，

得1＝－3

m

，解得m ＝－3，

∴B(－3，1)．

过点B 作y 轴的垂线，垂足为点D ，则BD ＝3， ∵S △BOC ＝12·OC·BD＝1

2

·OC·3＝3，

∴OC ＝2，

即点C 的坐标为(0，－2)．

把点B(－3，1)，C(0，－2)代入解析式y ＝kx ＋b ，得

⎩⎪⎨⎪⎧1＝－3k ＋b ，－2＝b ，解得⎩

⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝－2， ∴直线BC 的解析式是y ＝－x －2. ◆求一次函数和反比例函数的交点

【例2】(2019广东中考)如图，在同一平面直角坐标系中，直线y ＝k 1x(k 1≠0)与双曲线y ＝k 2

x (k 2≠0)

相交于A ，B 两点，已知点A 的坐标为(1，2)，则点B 的坐标为( )

A ．(－1，－2)

B ．(－2，－1)

C ．(－1，－1)

D ．(－2，－2)

【解析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【答案】A

2．(2019徐州中考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y ＝kx ＋b(k≠0)与y ＝m

x (m≠0)的图象相

交于点A(2，3)，B(－6，－1)，

则不等式kx ＋b>m

x

的解集为( B )

A ．x<－6

B ．－6<x<0或x>2

C ．x>2

D ．x<－6或0<x<2

◆一次函数与反比例函数的图象与性质的结合

【例3】(2019昆明中考)如图是反比例函数y ＝k

x (k 为常数，k ≠0)的图象，则一次函数y ＝kx －k 的

图象大致是( )

,A B C D )

【解析】本题考查反比例函数和一次函数的图象与性质．依据反比例函数图象可知k 的取值范围，进而确定－k 的取值范围，再根据一次函数的图象及性质可知函数y ＝kx －k 的图象经过的象限．

【答案】B

3．(2019日照中考)反比例函数y ＝kb

x 的图象如图所示，则一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)的图象大致是

( D )

,A),B),C),D)

◆利用函数图象确定不等式ax ＋b>k x 或ax ＋b<k

x

解集