广东省茂名市电白区2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷(图片版)

2023—2024 学年度第一学期期中考试
高二数学参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案
C
A
B
B
D
C
C
D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 12 答案
AC
BC
AD
ABC
三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 0; 14. ，（343232-; 15.102 ; 16. ②③
3. 解：c AA AD AB AA AM M A =-+=
-=)(21111 0,1,2
1
=++∴-===∴z y x z y x
7. 分析：设平面ABE 的法向量为
，然后由
可求出其法向量，
【解答】由题意可得A （0，0，0），E （0，2，1），B （2，0，0）， 所以
，
设平面ABE 的法向量为
，
所以，令y ＝1，则，
所以平面ABE 的一个法向量为，
)4,2,0(2-=m 所以是平面ABE 的法向量.
8.【答案】 0332=+--z y x
【分析】根据空间直角坐标系的特征判断即可，再由在空间直角坐标系中，若法向量为
),,(c b a u =，且平面过点),,(0000z y x P ，那么平面方程为
0)()()(000=-+-+-z z c y y b x x a 计算可得；
【详解】解：设),,(z y x P 是该平面内的任意一点，则)1,2,1(0---=z y x P P
过点)1,2,1(0P 且法向量为）
，，（312-=u 的平面的方程为0)1(3)2()12=-+-+--z y x （，整理得0332=+--z y x
【分析】应用两点距离公式求P 的轨迹方程为
16)62
2=+-y x （，即可判断A ，再由圆的性质求定弦与圆上点所成三角形的最大值判断B ，根据|
||||
|||MB AM PB PA =，结合角平分线的性质
判断C ，由已知有||||||||2PQ PA PQ PB +=+，利用三点共线求最小值判断D.
【详解】设),(y x P ，因为2|
|||=PB PA ，整理得点P 的轨迹方程为
16)62
2
=+-y x （． A ：点P 的轨迹是以（6，0）为圆心，4为半径的圆，正确； B ：圆的半径为4且|AB|=6，当△PAB 的底边AB 上的高最大时，面积最大，所以△PAB 面积的最大值是12，正确； C ：点M 的坐标为（2，0），当A ，B ，P 不共线时，由||||||||MB AM PB PA ==2，由角平分线定理的
逆定理知：射线PM 是∠APB 的平分线，正确；
D ：因为2|
|||=PB PA ，即2|PB|=|PA|，则||||2PQ PB +=|PA|+|PQ|，又P 在圆上，如图所示，
所以当P ，Q ，A 三点共线时，取最小值，此时25|AQ ||)PQ ||PB |2(min ==+，错误. 故选：ABC ．
【点睛】关键点点睛：利用两点距离公式及比例关系求 动点轨迹，再利用圆的性质求面积，应用等比转化求线 段和最值. 15【答案】102
【分析】根据直线过定点的求法可求得直线所过定点
()1,2Q -，当直线与PQ 垂直时，点P 到直线的距离最大.
【详解】直线方程可化为：()()2430x y m x y --+--=，
由24030x y x y --=⎧⎨
--=⎩得：1
2x y =⎧⎨=-⎩
，∴直线恒过定点()1,2Q -，
所以点P 到直线l 的距离的最大值为102436=+=PQ .
故答案为：102.
16【答案】②③
【详解】由题知，在正方体1111ABCD A B C D -中，Q
是棱1
DD 上的动点，
建立以A 为原点，分别以AB
，AD ，I AA 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向的空间直角坐标系A xyz -．
所以()10,0,1A ，()1,1,0C ，()11,1,1C ，设()0,1,Q a ，其中01a ≤≤，
所以()11,0,1C Q a =--
，()1
1,1,1AC =- ， 当11C Q A C λ= ，即()(1,0,1)1,1,1a λ--=-，所以101a λ
λλ-=⎧⎪
=⎨⎪-=-⎩
，
显然方程组无解，所以不存在λ使得11C Q AC λ=
，
即不存在点Q ，使得11//C Q A C ，故①错误；
当111010C Q A C a ⋅=-++-=
时，解得0a =，故②正确；
因为1(0,1,1)A Q a =-
，其中01a ≤≤，
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 17【答案】0532=++y x
解：（1）两平行直线1l 与2l 间的距离为1329
4|
818|=++=
d （2）设3l 的方程为)188032<<-=++C C y x （
. 由题意知3l 与1l 之间的距离为13，所以有139
4|
18|=+-C ,解得C =5或C =31(舍去） 所以3l 的方程为0532=++y x
解法2：在1l 取一点A(0,-6),在2l 上取一点B(4,0),AB 的中点为(2,-3)，则3l 与2l 平行且过点(2,-3)，设3l 的方程为032=++C y x ，则4-9+C=0,所以C=5. 所以3l 的方程为0532=++y x
18.【答案】四点在同一个圆上.
【分析】根据不共线的三点确定一个圆，求出圆的方程，再把第四个点的坐标代入，如果满足方程，则四点在同一个圆上，否则，不在同一个圆上。

【详解】设经过)1,3(),5,5(),5,1(--C B A 三点的圆的方程为022=++++F Ey Dx y x ,则
⎪⎩⎪⎨⎧=++-+=++++=++-+0319055252505251F E D F E D F E D 即⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+++=++-0310055500526F E D F E D F E D ,解得⎪⎩
⎪
⎨⎧-=-=-=2024F E D
所以过C B A 、、三点的圆的方程为0202422=---+y x y x ，
把点D 的坐标代入圆的方程，得020424436202264262
2=-+-+=--⨯-⨯--+）（）（ 即点D 的坐标满足圆的方程，所以点D 在该圆上，
所以这四点在同一个圆上。

解法二：AB 的垂直平分线为2=x ，AC 的中点为（-2，3），直线AC 的斜率为2，所以线段AC 的垂直平分线为042),2(2
1
3=-++-
=-y x x y 即 解方程组⎩
⎨⎧
=-+=0422y x x 得三角形ABC 的外接圆圆心为P （2，1），半径为
51521||2
2=-+--=）（）（AP ，所以三角形ABC 的外接圆为25)1()2(22=-+-y x ，把点
D 的坐标代入方程的左边得25)12()26(2
2=--+-所以点D 也在圆上. 所以A,B,C,D 四点在同一个圆上。

19.
【答案】（1）
22；（2）2
2
GF =||2）利用向量的数量积求直线的方向向量的夹角即可.
【详解】（1）
CD DF CD GC GF ++=AC AD AB AC )(21-+-
=
因为四面体ABCD 的所有棱长都等于1 ，所以
060=∠=∠=∠BAD CAD BAC ，2
1=⋅=⋅=⋅AD AB AD AC AC AB 所以.
2(AD AD AC
.21212121212121414141=⨯-⨯-⨯+++=
(2)
=⋅GF GE 4
1)(41)](21[=⋅-⋅+⋅=-+-AD AC AC AC AB AC AD AC AB。

夹角的余弦值为，所以，2
2GF ,GE 22GF ,GE cos =
< 20．【答案】3
3421）
）略；（（ 【分析】（1）以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证明EF//平面ADP. (2)利用空间向量法可求得点P 到平面AEF 的距离．
【解答】（1）证明：因为PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，所以
以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系： 则E （0，2，0）、F （1，2，1）,所以)1,0,1(=EF
因为DC ⊥平面ADP ，所以)0,1,0(=n 是平面ADP 的法向量.
因为n EF ⋅=0，所以n EF ⊥，又因为PAD EF 平面⊄,所以PAD EF 平面// （2）由题意知A(2,0,0)，P （0，0，2），得)2,0,2(-=AP ,)0,2,2(-=AE
设),,(z y x m =是平面AEF 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00EF m AE m 即⎩
⎨
⎧=+=+-0022z x y x
得z y x -==，取)1,1,1(-=m .所以点P 到平面AEF 的距离为 3
343
|22|=--=AP m
21. 答案：（1）（1，3）（2）5
【分析】根据BC 过点B(3,1)且与AH 垂直，可求BC 的方
程，求BC 与CM 的交点得点C 的坐标；利用AB 的中点M 在直线CM 上 可求点A 的坐标，再求点A 到BC 的距离 求得三角形ABC 的高，即可求面积。

【详解】（1）因为AH BC ⊥,1=AH k ,所以1-=BC k ,BC 的方程为
)3(1--=-x y ， 即04=-+y x ，解方程组⎩
⎨⎧=-+=041y x x
得⎩⎨
⎧==3
1
y x ，所以点C 的坐标为（1，3）.
（2）设)1,(00+x x A ，因为AB 的中点M 在直线CM 上，所以
12
3
0=+x ， 得0x =1-，所以点A 的坐标为（1-，0），点A 到BC 的距离为
252|401|=-+-，2244||=+=BC .所以ABC ∆的面积是=⨯⨯2
5
2221 5
22.【分析】（1）利用等腰三角形的性质找DM 、DN 的垂线，证明线面垂直，再证明面面垂直；(2)利用空间向量法可求得直线DN 与平面BC A '所成角的正弦值，再求余弦值.
，且，的法向量为3(,,)n a b c = ，因为故，得设直线DN 与平面A BC '所成角为α2DN ,n cos sin =〉〈=αBC A '所成角的余弦值为。