福建省莆田第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

容器
2019-2020学年莆田一中高二年段期中考数学试卷
2019.11.14
高二集备组 审核人：高二集备组
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.“1<k <4”是“方程k x -42+1
2
-k y =1表示的曲线为椭圆”的( )
A ． 充分而不必要条件
B ． 必要而不充分条件
C ． 充分必要条件
D ． 既不充分也不必要条件
2.已知定义域为R 的函数()f x 不是偶函数,则下列命题一定为真命题的是（ ） A. ()(),x f x f x ∀∈-≠R B. ()(),x f x f x ∀∈-≠-R C. ()()000,x f x f x ∃∈-≠R D. ()()000,x f x f x ∃∈-≠-R
3.在四面体O ﹣ABC 中，设
，
，
．D 为BC 的中
点，E 为AD 的中点，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4.为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示.集光板由抛物面（抛物线绕对称轴旋转得到）形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2m ，镜深0.25m,为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点（ ） A.0.5米 B.1米 C.1.5米 D.2米
5. 椭圆14222=+a y x 与双曲线12
2
2=-y a x 有相同的焦点，则a 的值是（ ）
A.12
B.1或–2
C.1或12
D.1
6.已知抛物线M ：2y =4x ，圆F ：2
2(x-1)+y =1，过点F 作直线l ，自上而下依
次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D （如图所示），则|AB|•|CD|（ ） A.等于1 B.等于4 C.最小值是1 D.最大值是4
7.正方形ABCD ，沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，则折后的异面直线AB 与CD 所成的角的大小为( )
A ．30o
B ．45o
C ．60o
D ．90o
222221225
8.-1(0,,,2
60,),1F x y C a M b F b F S a F ⊥>==>V OM 左、右焦点分别为是双曲双曲线：离心率为,线的一条
渐近线上的点，0为坐标原点，OM M . 若则双曲线的方程为（ ）.
22-.16416x y A = 22
-1
164.x y B = 22-1369.x y C =
2
2
-1
4.x D y =
9.如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在A 1D ，AC 上，且A 1E ＝2
3A 1D ，
AF ＝1
3
AC ，则( )
A ．EF 至多与A 1D ，AC 之一垂直
B ．EF ⊥A 1D ，EF ⊥A
C C ．EF 与B
D 1相交 D ．EF 与BD 1异面
2112210.(,),(,)1
2A x y B x y m y 设是抛物线y=2x 上的两点，直线m 是AB 的垂直平分线， 当直线m 的斜率为时，直线在轴上的截距的取值范围是（ ）
3,)
4+∞ A.( 3,)4+∞ B.[
,)+∞ C.(2 ,1)∞- D.(- 11.已知双曲线22
22:1(0,0)x y E a b a b
-=>>的右顶点为A ，抛物线2:8C y ax =的焦点
为F ．若在E 的渐近线上存在点P ，使得AP FP ⊥u u u r u u u r
，则E 的离心率的取值范围是
（ ） A.
B.
C.
D.
12、如图所示，从双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝a 2的切线，
切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－ |MT |与b －a 的大小关系为( )
A ．|MO |－|MT |>b －a
B ．|MO |－|MT |＝b －a
C ．|MO |－|MT |<b －a
D ．不确定
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13.已知向量)1,10,()1,5,4()1,12,(k OC OB k OA -===，且A 、B 、C 三点共线，则=k ________。

14. 设1
2
F F 、是双曲线
2
214
x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上，且1
2
0PF PF ⋅=u u u r u u u u r
，则
12||||PF PF ⋅u u u r u u u u r
的值为_________
15.已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且与x 轴垂直的
直线交椭圆于A 、B 两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若 22||2||AF F C =，则椭圆的离心率为 ．
16.已知定圆M ：22(3)16x y -+=，点A 是圆M 所在平面内一定点，点P 是圆M 上的动点，若线段PA 的中垂线交直线PM 于点Q ，则点Q 的轨迹可能是：①椭圆；②双曲线；③拋物线；④圆；⑤直线；⑥一个点．其中所有可能的结果的序号为___________．
三．解答题 (本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.（10分）设a 是实数，命题p ：函数22()233f x x x a a =-++-的最小值小于0，命题q ：不等式23610ax x +-≤在R 上恒成立，命题r ：11m a m -≤≤+.
（1）若p 是真命题、q 是假命题，求实数a 的取值范围； （2）若p 是r 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.
18.（12分）如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB 2AF ＝1，M 是线段EF 的中点． (1)求证：AM ⊥平面BDF .
(2)求AC 与平面BDF 所成角的大小.
19.（12分）已知菱形ABCD 的顶点A ，C 在椭圆x 2＋3y 2＝4上，对角线BD 所在直线的斜率为1.
(1)当直线BD 过点(0,1)时，求直线AC 的方程；
(2)当∠ABC ＝60°时，求菱形ABCD 面积的最大值．
20．（12分）如图，已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴上，抛物线上的点A 到F 的距离为2，且A 的横坐标为1. 过A 点作抛物线C 的两条动弦AD 、AE ，且AD 、AE 的斜率满足
（1）求抛物线C 的方程；
（2）直线DE 是否过定点？若过定点，请求出该点坐标； 若不过定点，请说明理由.
21.（本小题满分12分）如图，在几何体111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥底面ABC ，四边形11A ACC 是正方形，1l //B C BC ，Q
是1A B 的中点，
1122,3
AC BC B C ACB π
==∠=
（I ）求证：1//QB 平面11A ACC （Ⅱ）求二面角11A BB C --的余弦值.
22．（12分）2222:1(0)x y C a b a b
+=>>已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点恰好围成一个面积为
3的等边三角形．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程;
（Ⅱ）如图．设椭圆C 的左右顶点分别为A 、B,右焦点为F ，P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点,直线AP 与椭圆C 在点B 处
的切线交于点D ，当点P 运动时，试判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明．
2019-2020学年莆田一中高二年段期中考数学试卷参考答案
2019.11.14
一、BCABD ACABA DB
二、13. -2/3 14. 2 15.
5
5
16. ①②④⑥ 三、17.
18.【答案】（1）由题可知EC 垂直平面ABCD,故以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2，2，0)，B (0，2，0)，D (2，0,0)，F (2，2，1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2
2，22，1.所以AM →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－22，－22，1， DF →
＝(0, 2，1)，BD →
＝(2，－2，0)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BDF 的法向
量，则n ⊥BD →，n ⊥DF →
，所以⎩⎪⎨
⎪⎧
n ·BD →＝2x －2y ＝0，n ·DF →＝2y ＋z ＝0
⇒⎩⎨
⎧
x ＝y ，
z ＝－2y ，
取y ＝1，得x ＝1，z ＝－ 2.则n ＝(1,1，－2)．因为AM →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－22，－22，1.
O
F
E
P
D B
A
y x
所以n ＝－ 2 AM →，得n 与AM →
共线．所以AM ⊥平面BDF .（其他方法亦可）
000
(2).
1(1,1,2),(2,
2,0),
2
||,
||||[0,90]45CA n CA n CA n CA θθθθ=-=•==∈∴=r u u r
r u u r r u u r Q 设与平面BDF 所成角为由（）得平面BDF 的法向量为则sin
19、[详细分析] (1)由题意得直线BD 的方程为y ＝x ＋1.因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD .于是可设直线AC 的方程为y ＝－x ＋n .
由⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋3y 2＝4，
y ＝－x ＋n 得4x 2－6nx ＋3n 2－4＝0. 因为A ，C 在椭圆上，所以Δ＝－12n 2＋64>0，解得－433<n <433
.
设A ，C 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝3n
2，x 1x 2＝3n 2－44，y 1＝－x 1＋n ，y 2＝－x 2＋n .
所以y 1＋y 2＝n
2
，所以AC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫3n 4，n 4. 由四边形ABCD 为菱形可知，点⎝⎛⎭⎫3n 4，n 4在直线y ＝x ＋1上，所以n 4＝3n
4＋1， 解得n ＝－2.所以直线AC 的方程为y ＝－x －2，即x ＋y ＋2＝0. (2)因为四边形ABCD 为菱形，且∠ABC ＝60°，所以|AB |＝|BC |＝|CA |. 所以菱形ABCD 的面积S ＝3
2
|AC |2. 由(1)可得|AC |2＝(x
1－x 2)2＋(y 1－y 2)2
＝
－3n 2＋162，所以S ＝34(－3n 2＋16)⎝⎛⎭⎫
－433
<n <433.所以当n ＝0时，菱形ABCD 的面积取得最大值4 3.
21.（I ）证明：如图所示，连接11,AC A C 交于M 点，连接MQ. ∵四边形11A ACC 是正方形，.∴点M 是1AC 的中点， 又已知点Q 是1A B 的中点，所以//MQ BC ，且1
2
MQ BC =
， 又因为11//B C BC ，且112BC B C =，所以11//MQ B C ，且11MQ B C =， ∴四边形11MQB C 是平行四边形，故11//B Q C M ，
1B Q ⊄Q 平面11A ACC ，1C M ⊂平面11A ACC ，故1//B Q 平面11A ACC .
（Ⅱ）解：∵四边形11A ACC 是正方形.1C C AC ∴⊥
∵平面11A ACC ⊥底面ABC ，且平面11A ACC ⋂平面ABC AC =
1C C ∴⊥平面ABC 如图所示，以C 为原点，1,CB CC 分别为y 轴
和z 轴建立空间直角坐标系，
不妨设1122AC BC B C ===，则11(3,1,0),(3,1
,2),(0,2,0),(0,1,2)A A B B --
111(3,2,0),(0,1,2)B A B B ∴=-=-u u u u r u u u r 设平面11A BB 的法向量为(,,)m x y z =r
则11100
m B A m B B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r r u u u r r 即320
20x y y z ⎧-=⎪⎨
-=⎪⎩取4x =，则(4,23,3)m =r 9分 平面1CBB 的一个法向量(1,0,0)n =r
10分
cos(,
||||
m n
m n
m n
⋅
∴〉===
⋅
r r
r r
r r分
故二面角
11
A B
B C
--
的平面角的余弦值为
31
12分
22、解：（Ⅰ）设椭圆半焦距为c，
依题意有3
,2
2
,1
,3
3
2
2
1
=
=
=
=
∴
=
⋅
⋅b
c
a
c
c
c故C的方程为
22
1
43
x y
+=，3分（Ⅱ）以BD为直径的圆与直线PF相切…………4分
证明如下：易知()()0,2
,
0,2B
A-,)0,1(
F，在点B处的切线方程为2
=
x.
由题意可设直线AP的方程为(2)
y k x
=+(0)
k≠.
则点D坐标为(2, 4)k，BD中点E的坐标为(2, 2)k．
由22
(2),
1
43
y k x
x y
=+
⎧
⎪
⎨
+=
⎪⎩
得2222
(34)1616120
k x k x k
+++-=．
设点P的坐标为00
(,)
x y，则
2
02
1612
2
34
k
x
k
-
-=
+
．
所以
2
02
68
34
k
x
k
-
=
+
，
002
12
(2)
34
k
y k x
k
=+=
+
．………………7分
①当
1
2
k=±时，点P的坐标为
3
(1,)
2
±，点D的坐标为(2,2)
±.
直线PF x
⊥轴，此时以BD为直径的圆22
(2)(1)1
x y
-+=
m与直线PF相切．②当1
2
k≠±时，则直线PF的斜率0
2
4
114
PF
y k
k
x k
==
--
.
所以直线PF的方程为
2
4
(1)
14
k
y x
k
=-
-
．……10分
点E到直线PF的距离
d=
3
2
2
2
28
14
2||
14
|14|
k k
k
k
k
k
+
-
==
+
-
．
又因为k R BD 42== ，故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．
综上得，当直线AP 绕点A 转动时，以BD 为直径的圆与直线PF 相切．…12分。