“无穷小”从“冰冷美丽”到“火热的思考”
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１ 让 学生 了解 无穷小 概念 曲折的历 史 首先 应 该让 学 生 比较 全 面 了解 无穷 小 概 念 的
历 史 发展过 程 ， 让学 生 明 白数 学概 念 的产 生不是 凭
空想 象 的 ， 让学 生看 到 的不 只是教 科 书那 干 巴巴的 字眼， 而是 活 生生 的历 史． 以史 为镜 ， 让 学 生 明 白一
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３－ ０ ９—１ ７ 基金项 目： 福建省教育科学“ 十二五” 规划２ ０ １ ３年 度 课 题 （ 项 目编 号 Ｆ Ｊ Ｊ Ｋ Ｃ Ｇ ３—１ ５ ８ ）
作者 简介 ： 郑雪静 （ １ ９ ７ ８一 ） ， 女， 福建泉州人 ， 硕士 ， 泉州师范学院讲师 ， 主要从事数学教育研究
张奠 宙教 授 指 出 ， 一般 把数 学成果 分 为三 种不
同的形态 ： 第 一种 是 数 学 家 建 构数 学 思想 、 发现 数 学 定理 时 的原始 形 态 ； 第二种是公开发表的， 写 在 论 文里 、 教科 书 上 的学 术 形 态 ； 第 三 种 是 数 学 教 师
在 课 堂教学 中的教 育 形 态 ． 对 于数 学 教 师 ， 其 主 要
美丽． ” …
数 学教 学 的 目标 之一 ， 就是 要把 数学 知识 的学 术形
态转化 为教 育形 态 ． 本 文拟 就 高等 数 学 的重 要 概 念—— “ 无穷小 ” 为例 ， 探究 如何 将教 科 书 中那 “ 冰冷 美 丽 ” 背后“ 火 热 的思考 ” 揭示 出来 ， 让 学 生感 受 到 高等 数 学 的学 习不 是那 些冷 冰冰 的定 义 、 公式 、 定理 和计算 ， 而是 蕴含 着火 热 的思 考 ， 让 学 生 在 思考 中理 解 数 学 、 形 成 数学 素养 ， 以提 高 学生学 习 高等数 学 的兴趣 ．
等 四 个层 面 ， 将“ 无 穷小 ” 那“ 火热的 思考 ” 的本 质揭 示 出来 ， 从 而把 数 学的 原始 形 态 、 学术 形 态转
化 为教 育形 态．
关键词 ： 无 穷小 ； 教 育形 态； 冰 冷 美丽 ； 火热 的思 考
论文 编码 ： Ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ６ ７ ３． ９ ３ ２ ９ ． ２ ０ １ ３ ． ０ ６ ．
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｋ ｉ ｌ ｉ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
Ｖ０ Ｉ ． ３ １ Ｎ ｏ ． ６
Ｄｅ ｃ． ２０１ ３
“ 无 穷小 ＂ 从“ 冰冷美丽’ ’ 到“ 火热的思考＂
郑 雪 静
（ 泉州 师范学 院 ， 福建 泉州 ３ ６ ２ ０ ０ ０ ）
本文拟就高等数学的重要概念无穷小为例探究如何将教科书中那冰冷美丽背后火热的思考揭示出来让学生感受到高等数学的学习不是那些冷冰冰的定义公式定理和计算而是蕴含着火热的思考让学生在思考中理解数学形成数学素养以提高学生学习高等数学的兴趣
第３ ｌ 卷第 ６期 ２ ０ １ ３年 ｌ ２月
凯 里 学 院学 报
历史 可 以追 溯 到 文 艺 复兴 时 期 的不 可 分 量 （ ｉ ｎ ｄ ｉ —
ｖ ｉ ｓ ｉ ｂ ｌ ｅ ） ， 不可分量概念 的产生可 以从古希腊 的原 子论 和阿 基 米德 （ Ａ ｒ ｃ ｈ ｉ ｍ ｅ ｄ ｅ ｓ ） 解 决 一 些 问题 的方 法 中得 到某 种 根 源 性 的解 释 ． １ ７世 纪 意 大利 数 学 家卡瓦利列在其《 不可分量几何》 中将面和立体看
摘
要： 在 高等数 学教 学 中 ， “ 无 穷 小” 是 一 个重要 而学 生又较 难理 解的数 学概 念 ， 教科 书上展现
的是 其 “ 冰冷 美 丽” 的一 面 ． 本文 通过 让 学生 了解无 穷 小 曲折 的历 史 ， 追 随历 史 的脚 步 、 站在 哲 学
的 角度 去准 确地把 握 无 穷小的概 念 ， 体会 无 穷小 由有 限向无 限质 的 飞跃 ， 看到 无 穷小的认 识价 值
个数 学概 念从 产 生 、 发 展 到 成 熟再 到 应 用 ， 都 有 它 深 刻 的思辨 过程 ． 以此 告 慰 学 生 ， 让 他 们 明 白 自己
对 数学 概念 的 理 解 也 是 一 样 的 ， 也 需 要 一 个 从 了 解、 理解 、 掌 握再 到灵 活应 用 的过程 ， 只是 这 一认 识 过程 有快慢 之 分 ， 有 方式 方法 的 区别 ．
１ ． １ 无 穷 小概 念 的产 生
责任 是如 何把 数学 的原 始形 态 、 学术 形态 转化 为学 生容 易理 解 的 教 育 形 态 ， 以揭 示 “ 冰冷美丽 ” 背 后
无穷 小 （ ｉ ｎ ｉ ｆ ｎ ｉ ｔ ｅ ｓ ｉ ｍ ａ １ ） 是 一个 历史概 念 ， 它 的
“ 火热的思考” 的数学本质 ｊ ． 我们再来看一下《 学 记》 中所云 ： 道而弗牵 ， 强而弗抑 ， 开而弗达． “ 开而 弗达 ” 意 思就 是不 直 接把 结 论 告 诉 学 生 ， 而是 让 学 生在思考、 分析 、 探索中顺理成章地得出结论． 数学 教 学应 以培 养学 生 的数学 思考 和数 学素 养 为核 心．
为何 越来 越多 的大 学生 不喜 欢学 习高 等数 学 ， 为何学生普遍认为高等数学难学 ， 为何现今大学生 学习高等数学大多只是为了应付考试 ， 也许有一部 分 原 因跟教 师 的教学 是有关 系的． 现 行教 科 书上展 现 的是 数 学 “ 冰冷美丽” 的一 面 ， 却 没 能 将 数 学 那 “ 火 热 的思 考” 呈 现 出来 ， 教 师 的教 学 ， 往 往 就 只 是 教 授这 种 美丽 而 冰冷 的数 学 ． 著 名 数 学 教 育 家 Ｈ． 弗赖 登 塔 尔 （ Ｈ． Ｆ ｒ ｅ ｕ ｄ ｅ ｎ ｔ ｈ ａ ｌ ， １ ９ ０ ８—１ ９ ９ ０ ） 曾 经 有 这样 一句 名 言 ： “ 没有一种数 学的思想 ， 以它 被 发 现 时的那 个 样 子 公 开 发 表 出来 ． 一 个 问题 被 解 决 后， 相应 地发 展 为一 种 形 式 化 技 巧 ， 结 果 把求 解 过 程丢 在 一 边， 使 得 火 热 的 发 明 变 成 冰 冷 的
历 史 发展过 程 ， 让学 生 明 白数 学概 念 的产 生不是 凭
空想 象 的 ， 让学 生看 到 的不 只是教 科 书那 干 巴巴的 字眼， 而是 活 生生 的历 史． 以史 为镜 ， 让 学 生 明 白一
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３－ ０ ９—１ ７ 基金项 目： 福建省教育科学“ 十二五” 规划２ ０ １ ３年 度 课 题 （ 项 目编 号 Ｆ Ｊ Ｊ Ｋ Ｃ Ｇ ３—１ ５ ８ ）
作者 简介 ： 郑雪静 （ １ ９ ７ ８一 ） ， 女， 福建泉州人 ， 硕士 ， 泉州师范学院讲师 ， 主要从事数学教育研究
张奠 宙教 授 指 出 ， 一般 把数 学成果 分 为三 种不
同的形态 ： 第 一种 是 数 学 家 建 构数 学 思想 、 发现 数 学 定理 时 的原始 形 态 ； 第二种是公开发表的， 写 在 论 文里 、 教科 书 上 的学 术 形 态 ； 第 三 种 是 数 学 教 师
在 课 堂教学 中的教 育 形 态 ． 对 于数 学 教 师 ， 其 主 要
美丽． ” …
数 学教 学 的 目标 之一 ， 就是 要把 数学 知识 的学 术形
态转化 为教 育形 态 ． 本 文拟 就 高等 数 学 的重 要 概 念—— “ 无穷小 ” 为例 ， 探究 如何 将教 科 书 中那 “ 冰冷 美 丽 ” 背后“ 火 热 的思考 ” 揭示 出来 ， 让 学 生感 受 到 高等 数 学 的学 习不 是那 些冷 冰冰 的定 义 、 公式 、 定理 和计算 ， 而是 蕴含 着火 热 的思 考 ， 让 学 生 在 思考 中理 解 数 学 、 形 成 数学 素养 ， 以提 高 学生学 习 高等数 学 的兴趣 ．
等 四 个层 面 ， 将“ 无 穷小 ” 那“ 火热的 思考 ” 的本 质揭 示 出来 ， 从 而把 数 学的 原始 形 态 、 学术 形 态转
化 为教 育形 态．
关键词 ： 无 穷小 ； 教 育形 态； 冰 冷 美丽 ； 火热 的思 考
论文 编码 ： Ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ６ ７ ３． ９ ３ ２ ９ ． ２ ０ １ ３ ． ０ ６ ．
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｋ ｉ ｌ ｉ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
Ｖ０ Ｉ ． ３ １ Ｎ ｏ ． ６
Ｄｅ ｃ． ２０１ ３
“ 无 穷小 ＂ 从“ 冰冷美丽’ ’ 到“ 火热的思考＂
郑 雪 静
（ 泉州 师范学 院 ， 福建 泉州 ３ ６ ２ ０ ０ ０ ）
本文拟就高等数学的重要概念无穷小为例探究如何将教科书中那冰冷美丽背后火热的思考揭示出来让学生感受到高等数学的学习不是那些冷冰冰的定义公式定理和计算而是蕴含着火热的思考让学生在思考中理解数学形成数学素养以提高学生学习高等数学的兴趣
第３ ｌ 卷第 ６期 ２ ０ １ ３年 ｌ ２月
凯 里 学 院学 报
历史 可 以追 溯 到 文 艺 复兴 时 期 的不 可 分 量 （ ｉ ｎ ｄ ｉ —
ｖ ｉ ｓ ｉ ｂ ｌ ｅ ） ， 不可分量概念 的产生可 以从古希腊 的原 子论 和阿 基 米德 （ Ａ ｒ ｃ ｈ ｉ ｍ ｅ ｄ ｅ ｓ ） 解 决 一 些 问题 的方 法 中得 到某 种 根 源 性 的解 释 ． １ ７世 纪 意 大利 数 学 家卡瓦利列在其《 不可分量几何》 中将面和立体看
摘
要： 在 高等数 学教 学 中 ， “ 无 穷 小” 是 一 个重要 而学 生又较 难理 解的数 学概 念 ， 教科 书上展现
的是 其 “ 冰冷 美 丽” 的一 面 ． 本文 通过 让 学生 了解无 穷 小 曲折 的历 史 ， 追 随历 史 的脚 步 、 站在 哲 学
的 角度 去准 确地把 握 无 穷小的概 念 ， 体会 无 穷小 由有 限向无 限质 的 飞跃 ， 看到 无 穷小的认 识价 值
个数 学概 念从 产 生 、 发 展 到 成 熟再 到 应 用 ， 都 有 它 深 刻 的思辨 过程 ． 以此 告 慰 学 生 ， 让 他 们 明 白 自己
对 数学 概念 的 理 解 也 是 一 样 的 ， 也 需 要 一 个 从 了 解、 理解 、 掌 握再 到灵 活应 用 的过程 ， 只是 这 一认 识 过程 有快慢 之 分 ， 有 方式 方法 的 区别 ．
１ ． １ 无 穷 小概 念 的产 生
责任 是如 何把 数学 的原 始形 态 、 学术 形态 转化 为学 生容 易理 解 的 教 育 形 态 ， 以揭 示 “ 冰冷美丽 ” 背 后
无穷 小 （ ｉ ｎ ｉ ｆ ｎ ｉ ｔ ｅ ｓ ｉ ｍ ａ １ ） 是 一个 历史概 念 ， 它 的
“ 火热的思考” 的数学本质 ｊ ． 我们再来看一下《 学 记》 中所云 ： 道而弗牵 ， 强而弗抑 ， 开而弗达． “ 开而 弗达 ” 意 思就 是不 直 接把 结 论 告 诉 学 生 ， 而是 让 学 生在思考、 分析 、 探索中顺理成章地得出结论． 数学 教 学应 以培 养学 生 的数学 思考 和数 学素 养 为核 心．
为何 越来 越多 的大 学生 不喜 欢学 习高 等数 学 ， 为何学生普遍认为高等数学难学 ， 为何现今大学生 学习高等数学大多只是为了应付考试 ， 也许有一部 分 原 因跟教 师 的教学 是有关 系的． 现 行教 科 书上展 现 的是 数 学 “ 冰冷美丽” 的一 面 ， 却 没 能 将 数 学 那 “ 火 热 的思 考” 呈 现 出来 ， 教 师 的教 学 ， 往 往 就 只 是 教 授这 种 美丽 而 冰冷 的数 学 ． 著 名 数 学 教 育 家 Ｈ． 弗赖 登 塔 尔 （ Ｈ． Ｆ ｒ ｅ ｕ ｄ ｅ ｎ ｔ ｈ ａ ｌ ， １ ９ ０ ８—１ ９ ９ ０ ） 曾 经 有 这样 一句 名 言 ： “ 没有一种数 学的思想 ， 以它 被 发 现 时的那 个 样 子 公 开 发 表 出来 ． 一 个 问题 被 解 决 后， 相应 地发 展 为一 种 形 式 化 技 巧 ， 结 果 把求 解 过 程丢 在 一 边， 使 得 火 热 的 发 明 变 成 冰 冷 的