人教版数学八年级上册 第12章 12.1--12.3随堂测试题含答案

12.1全等三角形
一．选择题
1．已知△ABC≌△A1B1C1，若∠C＝60°，则∠C1的度数为（）
A．50°B．60°C．70°D．120°
2．下列各组中的两个图形属于全等图形的是（）
A．B．
C．D．
3．如图，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（）
A．∠ABD＝∠CBD B．△ABD和△CDB的周长相等
C．AD＝BC D．△ABD和△CDB的面积相等
4．如图，△ABN≌△ACM，AB＝AC，BN＝CM，∠B＝50°，∠ANC＝120°，则∠MAC 的度数等于（）
A．120°B．70°C．60°D．50°
5．下列判断正确的个数是（）
（1）能够完全重合的两个图形全等；
（2）两边和一角对应相等的两个三角形全等；
（3）两角和一边对应相等的两个三角形全等；
（4）全等三角形对应边相等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．若△ABC≌△DEF，∠A＝80°，∠B＝40°，那么∠F的度数是（）A．80°B．40°C．60°D．120°
7．如图所示，两个三角形全等，其中已知某些边的长度和某些角的度数，则x的度数是（）
A．45°B．50°C．55°D．60°
8．如图，△ABC≌△BAD，A与B，C与D是对应点，若AB＝4cm，BD＝4.5cm，AD＝1.5cm，则BC的长为（）
A．4cm B．4.5cm C．1.5cm D．不能确定
9．如果两个图形全等，则这个图形必定是（）
A．形状相同，但大小不同B．形状大小均相同
C．大小相同，但形状不同D．形状大小均不相同
10．如图，△ABC≌△DEF，EF＝4，则BC的长为（）
A．2B．3C．4D．5
二．填空题
11．如图，△ABC≌△ADE．若∠B＝45°，∠C＝30°，∠BAD＝40°，则∠BAE的度数为°．
12．如图，△ABC≌△DEF，F A＝1.1，AC＝3.3，则AD＝．
13．如图，如果△ABC≌△DEF，△DEF周长是30cm，DE＝12cm，EF＝13cm，则AC＝cm．
14．如图，△ABC≌△DEF，点A、D、B、E在同一直线上，若△DEF的周长是26cm，AC ＝7cm，BC＝10cm，BE＝3cm，则BD＝cm．
15．如图，若△ABC≌△A1B1C1，点A与A1对应，B与B1对应，∠A＝110°，∠B＝40°，则∠C1＝°．
三．解答题
16．如图，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE．
（1）求证：BD＝DE+CE；
（2）请你猜想△ABD满足什么条件时，BD∥CE．
17．如图，点B，M，N，C在同一直线上，且△ABM≌△ACN，∠B＝20°，∠CAN＝30°，求∠MAN的度数．
18．如图，指出图中的全等图形．
19．国昌实验中学八年级合作学习小组的同学学习了全等三角形的概念后，聪明的正宇同学代表本小组给其他小组内的同学出了这样一个问题：在直角坐标系中，点A（﹣3，0），B（﹣1，0），C（﹣1，3），若有一个直角三角形与Rt△ABC全等，且它们只有一条公共直角边．这样的直角三角形有几个？若有，请写出第三个顶点的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：∵△ABC≌△A1B1C1，
∴∠C1＝∠C＝60°，
故选：B．
2．【解答】解：A、两个图形不属于全等图形，故此选项不合题意；
B、两个图形不属于全等图形，故此选项不合题意；
C、两个图形不属于全等图形，故此选项不合题意；
D、两个图形属于全等图形，故此选项符合题意；
故选：D．
3．【解答】解：A、∵△ABD≌△CDB，∴∠ABD＝∠CDB，选项说法错误；
B、∵△ABD≌△CDB，
∴△ABD和△CDB的周长相等，选项说法正确；
C、∵△ABD≌△CDB，∴AD＝BC，选项说法正确；
D、∵△ABD≌△CDB，
∴△ABD和△CDB的面积相等，选项说法正确；
故选：A．
4．【解答】解：∵∠ANC＝120°，
∴∠ANB＝180°﹣120°＝60°，
∵∠B＝50°，
∴∠BAN＝180°﹣60°﹣50°＝70°，
∵△ABN≌△ACM，
∴∠BAN＝∠MAC＝70°．
故选：B．
5．【解答】解：（1）能够完全重合的两个图形全等，正确；
（2）两边和一角对应相等的两个三角形全等，必须是SAS才可以得出全等，错误；
（3）根据“ASA”或“AAS”定理，有两角和一边对应相等的两个三角形，比如一边是两角的夹边和一角对边相等，则这两个三角形就不全等，故原说法错误；
（4）全等三角形对应边相等，正确．
所以有2个判断正确．
故选：B．
6．【解答】解：∵∠A＝80°，∠B＝40°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝60°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠F＝∠C＝60°，
故选：C．
7．【解答】解：△ABC中，∠A＝65°，∠B＝55°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝60°，
∵两个三角形全等，
又∵∠A＝∠A′＝65°，AB＝A′C′＝5cm
∴点C的对应点是B′，
∴x＝∠B′＝∠C＝60°．
故选：D．
8．【解答】解：∵△ABC≌△BAD，A与B，C与D是对应点，∴BC＝AD．
又∵AD＝1.5cm，
∴BC＝1.5cm．
故选：C．
9．【解答】解：如果两个图形全等，则这个图形必定是形状大小完全相同．故选：B．
10．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，EF＝4，
∴BC＝EF＝4，
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠B＝∠D＝45°，∠C＝∠E＝30°，
∴∠DAE＝180°﹣45°﹣30°＝105°．
∵∠BAD＝40°，
∴∠BAE＝105°﹣40°＝65°．
故答案为：65．
12．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴AC＝DF，
∴AD＝FC，
∵F A＝1.1，AC＝3.3，
∴AD＝FC＝AC﹣F A＝3.3﹣1.1＝2.2，
故答案为：2.2．
13．【解答】解：
∵△DEF周长是30cm，DE＝12cm，EF＝13cm，
∴DF＝5cm，
∵△ABC≌△DEF，
∴AC＝DF＝5cm，
故答案为：5．
14．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴AB＝DE，AC＝FD，BC＝EF．
∴DE＝26﹣7﹣10＝9．
∴BD＝DE﹣BE＝9﹣3＝6cm．
故答案为：6．
15．【解答】解：∵△ABC≌△A1B1C1，
∴∠C1＝∠C，
又∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣110°﹣40°＝30°，∴∠C1＝∠C＝30°．
故答案为：30．
三．解答题（共4小题）
16．【解答】（1）证明：∵△BAD≌△ACE，
∴AD＝CE，BD＝AE，
∵A，D，E三点在同一直线上，
∴AE＝AD+DE，
∴BD＝CE+DE；
（2）解：假如BD∥CE，
则∠BDE＝∠E，
∵△BAD≌△ACE，
∴∠ADB＝∠E，
∴∠ADB＝∠BDE，
又∵∠ADB+∠BDE＝180°，
∴∠ADB＝∠BDE＝90°，
∴当∠ADB＝∠E＝90°时，BD∥CE．
17．【解答】解：∵△ABM≌△ACN，∠B＝20°，∠CAN＝30°，∴∠BAM＝∠CAN＝30°，AM＝AN，
∴∠AMN＝30°+20°＝50°，
∴∠ANM＝∠AMN＝50°，
∴∠MAN＝180°﹣50°﹣50°＝80°．
18．【解答】解：⑤和⑨是全等形；
故答案为：⑤和⑨．
19．【解答】解：如图：与Rt△ABC全等，且它们只有一条公共直角边的三角形有：△ABD、△ABE、△BCF、△BCE、△BCG、△ABH共6个．
第三个顶点点D的坐标（﹣1，﹣3）
点E的坐标（﹣3，3），
点F的坐标（1，0），
点G的坐标（1，3），
点H的坐标（﹣3，﹣3）．
12.2 全等三角形的判定
一、选择题（本大题共10道小题）
1. 如图，已知AB＝AD，若利用SSS证明△ABC≌△ADC，则需要添加的条件是()
A．AC＝AC
B．∠B＝∠D
C．BC＝DC
D．AB＝CD
2. 如图，已知∠1＝∠2，欲证△ABD≌△ACD，还需从下列条件中补选一个，则错误的选项是()
A．∠ADB＝∠ADC B．∠B＝∠C
C．DB＝DC D．AB＝AC
3. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是()
A．AB＝DE B．AC＝DF
C．∠A＝∠D D．BF＝EC
4. 如图，添加下列条件，不能判定△ABD≌△ACD的是()
A．BD＝CD，AB＝AC
B．∠ADB＝∠ADC，BD＝CD
C．∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD
D．∠B＝∠C，BD＝CD
5. 如图，点B，E在线段CD上，若∠C=∠D，则添加下列条件，不一定能使△ABC≌△EFD 的是()
A.BC=FD，AC=ED
B.∠A=∠DEF，AC=ED
C.AC=ED，AB=EF
D.∠A=∠DEF，BC=FD
6. 如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是()
A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DC
C．BC＝DC，∠A＝∠D D．∠B＝∠E，∠A＝∠D
7. 如图，点A，E，B，F在同一直线上，在△ABC和△FED中，AC＝FD，BC
＝ED，当利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE ＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是()
A．①或②B．②或③
C．①或③D．①或④
8. 如图，AB⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为B，E，∠1=∠2，AD=AB，则下列结论正确的是()
A.∠1=∠EFD
B.BE=EC
C.BF=CD
D.FD∥BC
9. 现已知线段a，b(a<b)，∠MON=90°，求作Rt△ABO，使得∠O=90°，OA=a，AB=b.小惠和小雷的作法分别如下:
小惠:①以点O为圆心、线段a的长为半径画弧，交射线ON于点A;②以点A为圆心、线段b的长为半径画弧，交射线OM于点B，连接AB，△ABO即为所求.
小雷:①以点O为圆心、线段a的长为半径画弧，交射线ON于点A;②以点O为圆心、线段b的长为半径画弧，交射线OM于点B，连接AB，△ABO即为所求.
则下列说法中正确的是()
A.小惠的作法正确，小雷的作法错误
B.小雷的作法正确，小惠的作法错误
C.两人的作法都正确
D.两人的作法都错误
10. 如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，点O是AB的中点，且AB＝6，
将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC、BC相交，交点分别为D、E，则CD＋CE等于()
A. 2
B. 3
C. 2
D. 6
二、填空题（本大题共6道小题）
11. 如图，已知AB＝BC，要使△ABD≌△CBD，还需要添加一个条件，你添加的条件是____________．(只需写一个，不添加辅助线)
12. 如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D，②AC ＝DB，③AB＝DC，其中不能判定△ABC≌△DCB的是________(只填序号)．
13. 如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，过点C作平行于AB 的直线交DE的延长线于点F.若DE＝FE，AB＝5，CF＝3，则BD的长是________．
14. 如图，要测量河岸相对两点A，B之间的距离，从B点沿与AB成90°角方向，向前走50米到C处立一根标杆，然后方向不变继续向前走50米到D处，在D 处转90°沿DE方向再走17米到达E处，这时A，C，E三点在同一直线上，则A，B之间的距离为________米．
15. 如图，小明和小丽为了测量池塘两端A，B两点之间的距离，先取一个可以直接到达点A和点B的点C，沿AC方向走到点D处，使CD＝AC；再用同样的
方法确定点E，使CE＝BC.若量得DE的长为60米，则池塘两端A，B两点之间的距离是______米．
16. (2019•南通)如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠BAE=25°，则∠ACF=__________度．
三、解答题（本大题共4道小题）
17. 已知：如图，点C，F在AD上，AF＝DC，∠B＝∠E，∠A＝∠D.求证：AB ＝DE.
18. 已知：∠AOB.
求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB.
(1)如图K－10－13①，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
(2)如图②，画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
(3)以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第(2)步中所画的弧交于点D′；
(4)过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB.
根据以上作图步骤，请你证明∠A′O′B′＝∠AOB.
19. 如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一面同时施工，工人师傅在AC上取一点B，在小山外取一点D，连接BD并延长，使DF＝BD，过点F作AB的平行线FM，连接MD并延长，在延长线上取一点E，使DE＝DM，在点E开工就能使A，C，E三点成一条直线，你知道其中的道理吗？
20. 在Rt△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，D为射线AB上一点，连接CD，过点C作线段CD 的垂线l，在直线l上，分别在点C的两侧截取与线段CD相等的线段CE和CF，连接AE，BF.
(1)当点D在线段AB上时(点D不与点A，B重合)，如图(a).
①请你将图形补充完整;
②线段BF，AD所在直线的位置关系为，线段BF，AD的数量关系为.
(2)当点D在线段AB的延长线上时，如图(b)，在(1)中②问的结论是否仍然成立?如果成立，请进行证明;如果不成立，请说明理由.
人教版 八年级数学 12.2 全等三角形的判定
培优训练-答案
一、选择题（本大题共10道小题）
1. 【答案】C
2. 【答案】C
[解析] 当添加条件A 时，可用“ASA”证明△ABD ≌△ACD ；当添
加条件B 时，可用“AAS”证明△ABD ≌△ACD ；当添加条件D 时，可用“SAS”证明△ABD ≌△ACD ；当添加条件C 时，不能证明△ABD ≌△ACD.
3. 【答案】C
[解析] 选项A 中添加AB ＝DE 可用“AAS”进行判定，故本选项不
符合题意；
选项B 中添加AC ＝DF 可用“AAS”进行判定，故本选项不符合题意； 选项C 中添加∠A ＝∠D 不能判定△ABC ≌△DEF ，故本选项符合题意； 选项D 中添加BF ＝EC 可得出BC ＝EF ，然后可用“ASA”进行判定，故本选项不符合题意． 故选C.
4. 【答案】D
[解析] A ．在△ABD 和△ACD 中，
⎩⎨⎧AD ＝AD ，AB ＝AC ，BD ＝CD ，
∴△ABD ≌△ACD(SSS)，故本选项不符合题意； B ．在△ABD 和△ACD 中，
⎩⎨⎧AD ＝AD ，
∠ADB ＝∠ADC ，BD ＝CD ，
∴△ABD ≌△ACD(SAS)，故本选项不符合题意； C ．在△ABD 和△ACD 中，
⎩⎨⎧∠BAD ＝∠CAD ，
∠B ＝∠C ，
AD ＝AD ，
∴△ABD ≌△ACD(AAS)，故本选项不符合题意；
D ．根据∠B ＝∠C ，AD ＝AD ，BD ＝CD 不能推出△ABD ≌△ACD(SSA)，故本选项符合题意．故选D.
5. 【答案】C [解析] A .添加BC=FD ，AC=ED ，可利用“SAS”判定△ABC ≌△EFD ;
B .添加∠A=∠DEF ，AC=ED ，可利用“ASA”判定△AB
C ≌△EF
D ; C .添加AC=ED ，AB=EF ，不能判定△ABC ≌△EFD ;
D .添加∠A=∠DEF ，BC=FD ，可利用“AAS”判定△ABC ≌△EFD.
6. 【答案】C
7. 【答案】A
[解析] 由题意可得，要用“SSS”判定△ABC 和△FED 全等，需要
AB ＝FE ，若添加①AE ＝FB ，则可得AE ＋BE ＝FB ＋BE ，即AB ＝FE ，故①可以；若添加AB ＝FE ，则可直接用“SSS”证明两三角形全等，故②可以；而③④都不可以．
8. 【答案】D [解析] 在△AFD 和△AFB 中，
∴△AFD ≌△AFB. ∴∠ADF=∠ABF. ∵AB ⊥BC ，BE ⊥AC ， ∴∠BEC=∠ABC=90°.
∴∠ABF+∠EBC=90°，∠C+∠EBC=90°. ∴∠ADF=∠ABF=∠C. ∴FD ∥BC.
9. 【答案】A [解析] AB=b ，AB 是斜边，小惠作的斜边长是b 符合条件，而小雷作的是一条
直角边长是b.故小惠的作法正确，小雷的作法错误.
10. 【答案】B
【解析】如解图，连接OC ，由已知条件易得∠A ＝∠OCE ，CO
＝AO ，∠DOE ＝∠COA ，∴∠DOE －∠COD ＝∠COA －∠COD ，即∠AOD ＝∠COE ，∴△AOD ≌△COE (ASA)，∴AD ＝CE ，进而得CD ＋CE ＝CD ＋AD ＝AC
＝2
2AB ＝3，故选B.
二、填空题（本大题共6道小题）
11. 【答案】答案不唯一，如
AD ＝CD [解析] 因为AB ＝BC ，BD ＝BD ，所以：
(1)当AD ＝CD 时，△ABD ≌△CBD(SSS)； (2)当∠ABD ＝∠CBD 时，△ABD ≌△CBD(SAS)； (3)当∠A ＝∠C ＝90°时，Rt △ABD ≌Rt △CBD(HL)．
12. 【答案】②
[解析] ∵已知∠ABC ＝∠DCB ，且BC ＝CB ，
∴若添加①∠A ＝∠D ，则可由“AAS”判定△ABC ≌△DCB ； 若添加②AC ＝DB ，则属于“SSA”，不能判定△ABC ≌△DCB ； 若添加③AB ＝DC ，则可由“SAS”判定△ABC ≌△DCB.
13. 【答案】2
[解析] ∵CF ∥AB ，∴∠A ＝∠FCE.
在△ADE 和△CFE 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠FCE ，∠AED ＝∠CEF ，DE ＝FE ，
∴△ADE ≌△CFE(AAS)． ∴AD ＝CF ＝3.
∴BD ＝AB －AD ＝5－3＝2.
14. 【答案】17
[解析] 在△ABC 和△EDC 中，
⎩⎨⎧∠ABC ＝∠EDC ＝90°
，
BC ＝DC ，
∠ACB ＝∠ECD ， ∴△ABC ≌△EDC(ASA)．
∴AB ＝ED ＝17米．
15. 【答案】60
[解析] 在△ACB 和△DCE 中，
⎩⎨⎧AC ＝DC ，
∠ACB ＝∠DCE ，BC ＝EC ，
∴△ACB ≌△DCE(SAS)．∴DE ＝AB. ∵DE ＝60米，∴AB ＝60米．
16. 【答案】70
【解析】∵∠ABC=90°，AB=AC ，∴∠CBF=180°–∠ABC=90°，∠ACB=45°， 在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，AB CB
AE CF
=⎧⎨
=⎩，∴Rt △ABE ≌Rt △CBF ，
∴∠BCF=∠BAE=25°，∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=45°+25°=70°，故答案为：70．
三、解答题（本大题共4道小题）
17. 【答案】
证明：∵AF ＝DC ，∴AC ＝DF.
在△ABC 和△DEF 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠D ，
∠B ＝∠E ，AC ＝DF ，
∴△ABC ≌△DEF(AAS)．∴AB ＝DE.
18. 【答案】
证明：由作法得OD ＝OC ＝O′D′＝O′C′，CD ＝C′D′.
在△OCD 和△O′C′D′中，⎩⎨⎧OC ＝O′C′，
OD ＝O′D′，CD ＝C′D′，
∴△OCD ≌△O′C′D′. ∴∠COD ＝∠C′O′D′， 即∠A′O′B′＝∠AOB.
19. 【答案】
解：在△BDE 和△FDM 中，
⎩⎨⎧BD ＝FD ，
∠BDE ＝∠FDM ，DE ＝DM ，
∴△BDE ≌△FDM(SAS)． ∴∠BEM ＝∠FME.∴BE ∥MF. 又∵AB ∥MF ，
∴A ，C ，E 三点在一条直线上．
20. 【答案】
解:(1)①如图所示.
②∵CD ⊥EF ，∴∠DCF=90°.
∵∠ACB=90°， ∴∠ACB=∠DCF. ∴∠ACD=∠BCF.
又∵AC=BC ，CD=CF ，∴△ACD ≌△BCF ，
∴AD=BF ，∠BAC=∠FBC ，
∴∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°，即BF ⊥AD.
故答案为:互相垂直，相等. (2)成立.
证明:∵CD ⊥EF ，∴∠DCF=90°.
∵∠ACB=90°，∴∠DCF=∠ACB. ∴∠DCF+∠BCD=∠ACB+∠BCD ，
即∠BCF=∠ACD.
又∵AC=BC ，CD=CF ，∴△ACD ≌△BCF.
∴AD=BF ，∠BAC=∠FBC.
∴∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°，即BF ⊥AD.
12.3角平分线的性质
一．选择题
1．下列作图语句正确的是（）
A．以点O为顶点作∠AOB
B．延长线段AB到C，使AC＝BC
C．作∠AOB，使∠AOB＝∠α
D．以A为圆心作弧
2．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（）
A．10B．7C．5D．4
3．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，BC＝10，则△BDC的面积是（）
A．10B．15C．20D．30
4．△ABC是一个任意三角形，用直尺和圆规作出∠A、∠B的平分线，如果两条平分线交于点O，那么下列选项中不正确的是（）
A．点O一定在△ABC的内部
B．∠C的平分线一定经过点O
C．点O到△ABC的三边距离一定相等
D．点O到△ABC三顶点的距离一定相等
5．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S
△P AB ＝S
，则满足此条件的点P（）
△PCD
A．有且只有1个
B．有且只有2个
C．组成∠E的角平分线
D．组成∠E的角平分线和外角平分线所在的直线（E点除外）
6．如图，∠MON＝60°，OP平分∠MON，P A⊥ON于点A，点Q是射线OM的一个动点，若OP＝4，则PQ的最小值为（）
A．B．4C．2D．
7．如图，若OP平分∠AOB，PM⊥OA于M点，PM＝3，N是OB上一个动点，线段PN 的最小值是（）
A．2B．3C．4D．5
8．如图，在△ABC中，∠C是直角，AD平分∠BAC，交BC于点D；如果AB＝8，CD＝2，那么△ABD的面积等于（）
A．4B．6C．8D．10
9．如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，若DP＝6，则PE的长为（）
A．5B．6C．7D．8
10．如图，已知AD∥BC，AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，点P恰好在CD上，王玲同学根据给定的条件写出了四个结论：①AP⊥BP；②点P到AD，BC的距离相等；③PD＝PC；④AD+BC＝AB，其中结论正确的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AD＝5，AC＝4，则D点到AB的距离是．
12．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是28cm2，AB＝20cm，AC＝8cm，则DE的长为．
13．如图，已知：四边形ABCD 中，对角线BD 平分∠ABC ，∠ACB ＝72°，∠ABC ＝50°，并且∠BAD +∠CAD ＝180°，那么∠BDC 的度数为 ．
14．如图，已知△ABC 的三边AB 、AC 、BC 的长分别为20、30、40，其三条角平分线交于点O ，则S △AOB ：S △AOC ：S △BOC ＝ ．
15．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，若AB ＝10，BC ＝8，BD ＝5，则△ABD 的面积为 ．
三．解答题
16．如图，在△ABC 中，∠CAB ＝60°，∠CAB 的平分线AP 与∠CBA 的平分线BP 相交于点P ，连接CP ．
（1）求证：CP 平分∠ACB ；
（2）若AP ＝4，△ABC 的周长为20，求△ABC 的面积．
17．已知，如图，∠C＝∠D＝90°，E是CD的中点，BE平分∠ABC．求证：AE平分∠DAB．
18．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）求∠CAD的度数；
（2）求证：DE平分∠ADC；
＝15，求△ABE的面积．（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S
△ACD
19．知识储备：
＝BCAD．（1）如图1，AD是△ABC的高，则△ABC的面积S
△ABC
比例的性质：若，则．
知识运用：
（2）如图2，BE是△ABC的角平分线，运用上述知识，求证：；
知识延展：
（3）如图3，△ABC的角平分线BE平分△ABC的周长，求证：△ABC是等腰三角
形．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：A、画角既需要顶点，还需要角度的大小，错误；
B、延长线段AB到C，则AC＞BC，即AC＝BC不可能，错误；
C、作一个角等于已知角是常见的尺规作图，正确；
D、画弧既需要圆心，还需要半径，缺少半径长，错误．
故选：C．
2．【解答】解：作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴EF＝DE＝2，
＝BCEF＝×5×2＝5，
∴S
△BCE
故选：C．
3．【解答】解：过D作DE⊥BC于E，
∵∠A＝90°，
∴DA⊥AB，
∵BD平分∠ABC，
∴AD＝DE＝3，
∴△BDC的面积是×DE×BC＝×10×3＝15，
故选：B．
4．【解答】解：∵三角形角平分线的性质为：三角形的三条角平分线在三角形内部且相交于一点，到三角形三条边的距离相等，
∴A、B、C三个选项均正确，D选项错误．
故选：D ．
5．【解答】解：作∠E 的平分线，
可得点P 到AB 和CD 的距离相等，
因为AB ＝CD ，
所以此时点P 满足S △P AB ＝S △PCD ．
组成∠E 的角平分线和外角平分线所在的直线（E 点除外）
故选：D ．
6．【解答】解：过点P 作PQ ⊥OM ，垂足为Q ，则PQ 为最短距离，
∵OP 平分∠MON ，P A ⊥ON ，PQ ⊥OM ，
∴P A ＝PQ ，
∵∠AOP ＝∠MON ＝30°，
∴OP ＝2，
∴PQ ＝2，
故选：C ．
7．【解答】解：由垂线段最短可得PN ⊥OB 时，PN 最短，
∵OP 平分∠AOB ，PM ⊥OA ，
∴PN ＝PM ＝3，
即线段PN 的最小值是3．
故选：B ．
8．【解答】解：过点D 作DE ⊥AB ，
∵AD 平分∠BAC ，
∴DE ＝CD ＝2，
∴S △ABD ＝ABDE ＝×8×2＝8．
故选：C ．
9．【解答】解：∵∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，∴PE＝PD，
又PD＝6，
∴PE＝PD＝6．
故选：B．
10．【解答】解：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∠DAP＝∠P AB，∠ABP＝∠PBC，
∴∠P AB+∠ABP＝90°，
∴AP⊥BP，故结论①正确；
∵AP平分∠DAB，
∴点P到AD，AB的距离相等，
∵BP平分∠ABC，
∴点P到AB，BC的距离相等，
∴点P到AD，BC的距离相等，故结论②正确；
如图，延长AP，与BC的延长线交于点E．
在△APB和△EPB中，
，
∴△APB≌△EPB（ASA），
∴AP＝EP．
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠ECP，∠DAP＝∠E．
在△APD和△EPC中，
，
∴△APD≌△EPC（AAS），
∴PD＝PC，AD＝EC，故结论③正确；
∵AP＝EP，BP⊥AE，
∴BP是AE的垂直平分线，
∴AB＝BE，
∵BE＝EC+BC，AD＝EC，
∴AD+BC＝AB，故结论④正确；
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵AD＝5，AC＝4，∠C＝90°，
∴CD＝＝＝3，
∵AD平分∠CAB，
∴DE＝CD＝3．
故答案为：3．
12．【解答】解：∵在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE＝DF，
∴S
△ABC ＝S
△ABD
+S
△ACD
＝ABDE+ACDF，
∵△ABC面积是28cm2，AB＝20cm，AC＝8cm，
∴×20DE+×8DF＝10DE+4DF＝14DE＝28，解得DE＝2cm．
故答案为：2cm．
13．【解答】解：延长BA和BC，过D点作DE⊥BA于E点，过D点作DF⊥BC于F点，
∵BD是∠ABC的平分线
在△BDE与△BDF中，
，
∴△BDE≌△BDF（ASA），
∴DE＝DF，
又∵∠BAD+∠CAD＝180°
∠BAD+∠EAD＝180°
∴∠CAD＝∠EAD，
∴AD为∠EAC的平分线，
过D点作DG⊥AC于G点，
在Rt△ADE与Rt△ADG中，
，
∴△ADE≌△ADG（HL），
∴DE＝DG，
∴DG＝DF．
在Rt△CDG与Rt△CDF中，
，
∴Rt△CDG≌Rt△CDF（HL）
∴CD为∠ACF的平分线
∠ACB＝72°
∴∠DCA＝54°，
△ABC中，
∵∠ACB＝72°，∠ABC＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣72°﹣50°＝58°，
∴∠DAC＝＝61°，
∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠DCA＝180°﹣61°﹣54°＝65°，∴∠BDC＝180°﹣25°﹣54°﹣72°＝29°．
故答案为：29°．
14．【解答】解：先过点O 作OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，OF ⊥BC 于点D 、E 、F ， ∵点O 是三条角平分线的交点，
∴OD ＝OE ＝OF ，
∴S △AOB ：S △AOC ：S △BOC ＝AB ：AC ：BC ＝20：30：40＝2：3：4．
故答案为：2：3：4．
15．【解答】解：如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ，
∵BC ＝8，BD ＝5，
∴CD ＝BC ﹣BD ＝8﹣5＝3，
∵AD 是∠BAC 的角平分线，∠C ＝90°，
∴DE ＝CD ＝3，
∴△ABD 的面积＝ABDE ＝×10×3＝15．
故答案为：15．
三．解答题（共4小题）
16．【解答】（1）证明：过点P 作PD ⊥AB 于D ，作PE ⊥BC 于E ，作PF ⊥AC 于F ， 则PD ，PE ，PF 分别是P 到AB ，BC ，CA 的距离，
∵P 是△ABC 角平分线的交点，
∴PD ＝PE ＝PF ，
∴CP平分∠ACB；
（2）解：∵∠CAB＝60°，∴∠P AB＝30°，
在Rt△P AD中，P A＝4，
∴PD＝2，
∴S
△ABC ＝S
△APB
+S
△BPC
+S
△CP A
＝ABPD+BCPE+CAPF
＝（AB+BC+CA）PD
＝×20×2
＝20．
17．【解答】证明：过E点作EF⊥AB于F，如图，∵BE平分∠ABC，EC⊥BC，EF⊥AB，
∴EC＝EF，
∵E是CD的中点，
∴ED＝EC，
∴EF＝ED，
而EF⊥AB，ED⊥AD，
∴AE平分∠DAB．
18．【解答】（1）解：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，
∴∠F AE＝90°﹣50°＝40°，
∵∠BAD＝100°，
∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°；
（2）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，
∵∠FEA＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，
∴EF＝EG，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，
∴EF＝EH，
∴EG＝EH，
∵EG⊥AD，EH⊥BC，
∴DE平分∠ADC；
（3）解：∵S
＝15，
△ACD
∴×AD×EG+×CD×EH＝15，即×4×EG+×8×EG＝15，
解得，EG＝EH＝，
∴EF＝EH＝，
∴△ABE的面积＝×AB×EF＝×7×＝．
19．【解答】2．证明：作EF⊥AB，EG⊥BC，BH⊥AC，垂足分别是F，G，H，∵BE平分∠ABC，
∴EF＝EG，
∵，，∴，
∵，，∴，
∴，
3．证明：由（1）知，
∴，
∵AB+AE＝BC+CE，
∴，
∴AB＝BC，
∴△ABC是等腰三角形．。