北师大版六年级数学下册：1-4单元专题练习(附答案和解析)

北师大版六年级下册数学爬坡专题练习
第一单元 圆柱与圆锥
例1 如图，一个圆柱高8厘米，如果它的高增加2厘米，那么它的表面积将增加25.12平方厘米，原来圆柱的体积是多少立方厘米？
【详解】观察发现：高增加2厘米，表面积将增加25.12平方厘米，求出圆柱的周长，通过周长计算出圆柱的底面半径，然后再运用圆柱的体积公式求出原来圆柱的体积。

即：
圆柱的底面圆的半径：25.12÷2÷3.14÷2=2（厘米）；
原来圆柱的体积：3.14×22×8=100.48（立方厘米）
【答案】25.12÷2÷3.14÷2 3.14×2²×8
=12.56÷3.14÷2 =12.56×8
=4÷2 =100.48（立方厘米）
=2（厘米）
答：原来圆柱的体积是100.48立方厘米。

例2 张师傅要把一根圆柱形木料（如下图）削成一个圆锥．削成的圆锥的体积最大是多少立方分米？
【详解】根据题意可知，要使削成的圆锥的体积最大，也就是圆锥和圆柱等底等高，根据等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的31，由圆锥的体积公式：v=3
1sh ，把数据代入公式解答。

【答案】3
1×3.14×（2÷2）²×3 =3
1×3.14×1×3 =3.14（立方分米）
答：削成的圆锥的体积最大是3.14立方分米。

例3 求出下面图形的体积。

（单位：分米）
方法一
【详解】观察发现：这个图形的体积就等于底面直径为2分米，高为3分米的圆柱的体积，再加上底面直径为2分米高为4-3=1分米的圆柱的体积的一半。

【答案】3.14×（2÷2）²×3+3.14×（2÷2）²×（4-3）÷2
=3.14×1×3+3.14×1×1÷2
=9.42+1.57
=10.99（立方分米）
答：它的体积是1099立方分米。

方法二
【详解】观察发现：两个完全这样的立体图形可以拼成一个底面直径是2分米，高是4+3=7（分米）的圆柱，每个图形的体积就是拼成的圆柱体积的一半。

【答案】3.14×（2÷2）²×（4+3）÷2
=3.14×1×7÷2
=21.98÷2
=10.99（立方分米）
答：它的体积是10.99立方分米。

例4 A和B都是高度为12厘米的圆柱形容器，底面半径分别是1厘米和2厘米，一水龙头单独向A注水，一分钟可注满．现将两容器在它们的高度的一半出用一根细管连通（连通管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，求2分钟容器A中的水有多高？
【详解】已知B容器的底面半径是A容器的2倍，高相等，B容器的容积就是A 容器的4倍；因此，单独注满B容器需要4分钟，要把两个容器都注满一共需要1+4=5（分钟），已知现在两个容器在它们高度一半处用一个细管连通，2分钟后A中的水位是容器高的一半，即12÷2=6（厘米）（其余的水流到B容器了）【答案】A容器的容积是：3.14×1²=3.14×1=3.14（立方厘米），
B容器的容积是：3.14×2²=3.14×4=12.56（立方厘米）， 12.56÷3.14=4，
即B容器的容积是A容器容积的4倍，
因为一水龙头单独向A注水，一分钟可注满，所以要注满B容器需要4分钟，
因此注满A 、B 两个容器需要1+4=5（分钟），已知现在两个容器在它们高度一半处用一个细管连通， 2分钟后A 中的水位是容器高的一半，即12÷2=6（厘米）。

第二单元 比例
例1 下面是学校操场的平面图，已知比例尺是1:4000，请你计算操场的实际面积是多少平方米？
【详解】已知图上的长3厘米，宽2厘米，先根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”求出实际的长和宽，再利用长方形的面积公式计算。

计算时要先统一单位。

【答案】2÷40001=8000（厘米）=80（米） 3÷4000
1=12000（厘米）=120（米） 120×80=9600（平方米）
答：操场的实际面积是9600平方米。

例2 变速自行车前齿轮的齿数为36个，后齿轮有2档，其齿数分别为9和12个，如果前轮转了3圈，那么不同档位下的后齿轮分别转了多少圈？
【详解】自行车前齿轮的齿数与后齿轮齿数的比和前轮转动圈数与后齿轮转动圈数的比相反。

即：前轮齿数：后轮齿数=后轮转动圈数：前轮转动圈数。

找出对应量的数，列出比例即可。

【答案】解：设9齿的后轮转动了x 圈。

36:9=x ：3
9x =36×3
x =108÷9
x =12
答：9齿的后轮转动了12圈。

解：设12齿的后轮转动了y 圈。

36:12=y ：3
12y =36×3
y =108÷12
y =9
答：12齿的后轮转动了9圈。

第三单元 图形的运动
例1 如图，这个图案是由一个什么样的图形经过怎样的变化得到的？是由这个图案旋转了多少度？几次呢？
【详解】解答的关键是结合旋转的三要素进行分析。

参考上图，OC和OD之间的夹角是360°÷6=60°，所以整个图形可以看作是由长方形ABOC绕点O旋转60°，再将得到的图形按同样的方式旋转，总共五次以后得到的。

【答案】如下图，可以看作是由一个长方形ABOC通过五次旋转得到的，每次旋转的角度都是60°。

例2 请你用图（1）的四块拼板，在图（2）中评出图（3），并说一说你的操作过程。

【详解】将图（1）中左上角的一块绕某一点顺时针旋转90°拼在图（2）的左上角；将图（1）中右上角的一块绕某一点按逆时针旋转90°拼在图（2）的左下角；将图（1）中左下角的一块绕某一点顺时针（或逆时针）旋转180°拼在图（2）的右下角；最后将图（1）中右下角的一块绕某一点逆时针旋转90°拼在图（2）的右上角。

【答案】
第四单元正比例与反比例
例1 哥哥和弟弟周末分别骑车去森林动物园游玩，下面的图象表示他们骑车的
路程和时间的关系，请根据哥哥、弟弟行程图填空。

①哥哥骑车行驶的路程和时间成_____比例。

②弟弟骑车每分钟行_____千米。

【详解】此题是行程问题中的数量关系，根据成正比例的意义可知，行驶的路程与时间成正比例关系；通过观察统计图可得出弟弟行驶的路程为30千米，时间为3：40-2：00=100分钟，根据速度=路程÷时间即可解决问题。

因为路程=速度×时间，所以哥哥骑车行驶的路程与时间成正比例
3：40-2：00=100（分钟）
30÷100=0.3（千米）
哥哥骑车行驶的路程与时间成正比例，弟弟骑车每分钟行0.3千米。

【答案】正 0.3
例2 甲、乙两人比赛120米滑雪，乙让甲先滑10秒。

他们两人滑的路程与时间的关系如图。

（1）在滑完全程中，（ ）滑行的路程和时间成正比例。

（2）甲滑完全程的平均速度是每秒（ ）米；乙滑完全程的平均速度是每秒（ ）米。

【详解】（1）由图可以看出，路程与时间成正比例关系，那么在统计图中就是一条直线，图中虚线是一条直线，实线是折线，虚线表示乙滑的路程与时间的关系，所以乙滑行的路程与时间成正比例关系；
（2）由图可以看出，甲滑行的路程是120米，用的时间是65秒，根据速度=路程÷时间即可求出甲的滑行速度，即平均每秒行的米数；乙滑行的路程是120米，用的时间是45秒，根据速度=路程÷时间即可求出乙的滑行速度，即平均每秒行的米数。

（1）路程与时间成正比例关系，那么在统计图中就是一条直线，图中虚线是一条直线，实线是折线，虚线表示乙滑的路程与时间的关系，所以乙滑行的路程与时间成正比例关系；
（2）甲：120÷65=11311（米/秒） 乙：120÷45=23
2（米/秒）
【答案】乙 1
13
11 例3 如图所示，刻度数和所放的球子个数成（ ）比例。

【详解】判断两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例． 因为刻度数×所放的球子个数=8（一定），是乘积一定，符合反比例的意义， 所以刻度数和所放的球子个数成反比例。

【答案】反
第六单元 总复习
例1 两个数的最大公因数是30，最小公倍数是180。

其中的一个数是90，另一个数是多少？
【详解】求最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积，此题是求最大公因数和最小公倍数的逆运算，首先180除以90得到另一个数的独有因数，然后用最大公因数30乘另一个数的独有因数，即可得解。

【答案】
180÷90=2
30×2=60
答：另一个数是60。

例2 四个自然数的乘积是11880，求这四个自然数。

【详解】根据自然数的排列规律，相邻的自然数相差1，首先把11880分解质因数，然后适当的调整计算，即可求出这四个连续的自然数，再求出它们的和。

【答案】把11880分解质因数：
11880=2×2×2×3×3×3×5×11；
3×3=9
2×5=10
2×2×3=12
这四个自然数数是9，10，11，12．
9+10+11+12=42
答：这四个数的和是42。

例3 商场有“长虹”和“海尔“液晶电视机75台，售出“长虹”电视机的3
1和“海尔”电视机的5
3后，两种电视机共剩下42台。

原来两种电视机各有多少台？
【详解】此题的两个分数单位“1”不同，我们可假设都卖了3
1，这样的话一共就卖了75的3
1，即25台，还剩50台。

其实是剩余42台，差的8台，是把海尔的也假设为售出31造成的。

因此，8台和154对应，也就是海尔的15
4是那8台，所以，先求出了海尔的台数。

【答案】75×（1-3
1） =75×3
2 =50（台）
（50-42）÷（53-3
1） =8÷15
4 =30（台）
答：“海尔”电视机有30台。

例4 一个文具盒卖价5元，如果小东买了这个文具盒，小东与小鹏的钱数之比是2：5，如果小鹏买了这个文具，则小东与小鹏的钱数之比是8：13，小东原来有多少钱？
【详解】由题意可知：小东和小鹏剩余的钱数的是不变的，把二人剩余的钱数看
作单位“1”，则小东买了这个文具盒后，他剩余的钱数占总剩余钱数的2
52+，当小鹏买了这个文具盒后，小东的钱数，占总剩余钱数的1388+，增加了（13
88+-252+），增加的分率所对应的量是5元，于是用对应量5除以对应分率（1388+-2
52+），就得到二人剩余钱数的总量，进而根据求一个数的几分之几是多少，用乘法即可求解。

【答案】5÷（1388+-252+）×13
88+ =5÷21
8)72218(⨯- =5÷21
8212⨯ =20（元）
答：小东原来有20元钱。

例5 甲、乙、丙三人同时从A 向B 跑，当甲跑到B 地时，乙离B 还有35米，丙离B 还有68米；当乙跑到B 时，丙离B 还有40米，A 、B 相距多少米？
【详解】依据题意：当甲跑到B 地时，乙离B 还有35米，丙离B 还有68米；
当乙跑到B 时，丙离B 还有40米，也就是说当乙跑35米到达B 地时，丙跑了68-40=28米，据此先求出乙和丙的速度比，设A 、B 相距x 米，依据路程和速度成正比可列方程：（x-35）：（x-68）=4：5，依据等式的性质即可求解。

【答案】设A 、B 相距x 米。

68-40=28（米）
35：28=5：4
（x -35）：（x -68）=5：4
5x -340=4x -140
5x -340+340=4x -140+340
5x -4x =4x +200-4x
x=200
答：A 、B 相距200米。

例6 如图，四边形ABCD 是直角梯形，其中AE=EB=CD=3厘米，BC=ED=2厘米。

以CD 边为轴将该梯形旋转一周，形成的物体体积是多少？
【详解】将梯形ABCD 以CD 为轴旋转一周后形成的物体，是一个底面半径是2厘米、高为6厘米的圆柱中挖去一个底面半径是2厘米、高为3厘米的圆锥，分别计算出圆柱的体积和圆锥的体积，然后相减即可。

也可以这样分析：圆锥的体积是与其等底等高圆柱体积的3
1，则旋转后上半部分的物体体积相当于下半部分圆柱体积的32，于是该物体的体积是下半部分圆柱体积的35，列式可得3
5×3.14×2²×3=62.8（立方厘米）。

【答案】3.14×2²×6-3.14×2²×3×3
1 =12.56×6-12.56×3×3
1 =75.36-12.56
=62.8（立方厘米）
答：形成的物体体积是62.8立方厘米。

例7 一个密封容器由等高的圆锥体和圆柱体组成，圆锥体的底面半径为3分米，圆柱体的底面半径为2分米．容器内装有水，如果按图1放置，水深比圆柱高的2
1多2分米，如果颠倒这个容器(如图2)，那么容器中的水刚好装满圆锥部分。

这个容器中圆柱部分的高是（ ）分米，这个容器的容积是（ ）升。

【详解】首先根据圆锥的容积公式：v=3
1sh ，求出容器中水的体积，再根据圆柱的容积公式：v=sh ，由于水的体积不变这个等量关系，列出方程求出容器的高，进而求出这个容器的容积．
解：设圆柱、圆锥的高为x 分米。

31π×3²x =π×2²×（2
1x +2） 3πx =4π（2
1x +2） 3πx =2πx +8π
πx =8π
x =8
3
1×3.14×3²×8+3.14×2²×8 =3
1×3.14×9×8+3.14×4×8 =75.36+100.48
=175.84（立方分米）
=175.84（升）
【答案】8 175.84
例8 如果用“”表示一个立方体，用“”表示两个立方体叠加，用“”表示三个立方体叠加，那么图中由7个立方体叠加的几何体，从正面观察，可画出的平面图是（ ）。

【详解】先找到从正面看所得到的图形（注意所有看到的棱都应表现在视图中），再根据题意进行分析：从正前方观察，应看到下层一行有三个立方体且中间的为三个立方体叠加，上层中间位置有两个立方体叠加。

所以选A。

【答案】A
例9 用8个棱长5cm的正方体拼成一个长方体（如图），这个长方体的表面积是多少？如果拿走一个小正方体后，它的表面积是多少？
【详解】（1）观察图形可知，这个长方体的长是4个小正方体的棱长之和，是20厘米，宽是10厘米，高是5厘米，据此利用长方体的表面积=（ab+ah+bh）×2计算即可；
（2）如果是拿走顶点处的小正方体，表面积在减少4个面的同时，也增加了2个面，所以比原来的长方体的表面积是减少了2个小正方体的面的面积；如果拿走的不是顶点处的小正方体，则表面积在减少3个面的同时，也增加了3个面，所以与原长方体的表面积相等，据此即可解答。

【答案】
（1）5×4=20（厘米）
5×2=10（厘米）
（20×10+20×5+10×5）×2
=350×2
=700（平方厘米）
（2）若从顶点处拿走一个小正方体，表面积是：
700-5×5×2
=700-50
=650（平方厘米）
若不是从顶点处拿走小正方体，则表面积在减少3个面的同时，也增加了3个面，所以表面积还是700平方厘米。

答：长方体的表面积是700平方厘米．如果拿走一个小正方体后，它的表面积是650平方厘米或700平方厘米。

例10 一个小正方形内接于一个圆，而这个圆则内接于一个大正方形（如图所示），若外面的大正方形的边长是3厘米，则阴影部分的面积是多少？（取3.14）
【详解】由大正方形的边长是3厘米，可知这个圆的半径是1.5厘米。

小正方形
可以看作是由底为3厘米、高为1.5厘米的两个三角形组合而成。

再用圆的面积减去小正方形的面积就可以求出阴影部分的面积。

【答案】如下图
正方形内接圆的面积为3.14×1.52=7.065（平方厘米）
小正方形的面积为3×1.5÷2×2=4.5（平方厘米）
7.065-4.5=2.565（平方厘米）
答：阴影部分的面积是2.565平方厘米。

例11 用同样长的小棒摆成如下图所示的图形，照这样继续摆，图形⑥一共用了（）根小棒。

【详解】图形①用5根小棒摆成，图形②用9根小棒摆成，图形③由13根小棒摆成……仔细观察发现：在图形①的基础上，每增加一个五边形，小棒的根数增加4。

图形⑥可以看作是在图形①的基础上增加了5个五边形，所用小棒的根数为5+5×4=25。

【答案】25
例12 星期天，阳光明媚．淘气的三个伙伴A、B、C在楼下喊他，约他去打球，淘气站在阳台上不能看到（）。

【详解】淘气站在阳台上，只能朝前下方看，即右下方，向后看可是有楼板挡着呢．如下图，连接淘气和A、B、C三个伙伴。

A在左下方，淘气站在阳台上不能看到；B、C在右下方，淘气站在阳台上能看得到。

【答案】A
例13 点A处有一电灯，画出立杆BC在地面上的影子。

【详解】光在同一均匀介质中是沿直线传播的，当光照在不透明的物体上就在物体的背面形成一个黑暗的区域，这就是影子；过光源和立杆的顶点做一条光线，这条光线和地面的交点就是影子的最右端的位置，从而得出结果。

【答案】
例14 小明假期随爸爸去旅游，他把汽车从A城到B城的行驶情况制成下面的图，请看图后回答下列问题。

（1）汽车从A城行驶到高速公路收费站C处行驶了（）千米。

（2）汽车在距B城（）千米处时休息了一段时间，休息了（）小时。

（3）在A城到B城这段公路上，汽车的平均速度是每小时（）千米。

（休息时间除外）
【详解】（1）根据统计图纵轴所示，每一格表示60千米，因此汽车从A城行驶到高速公路收费站C处行驶了60千米。

（2）从横轴上看，1小时是4个格，因此每一格是15分钟，因此汽车休息了15×2=30（分钟），即0.5小时；汽车休息的地点距B城：360-240=120（千米）。

（3）要求平均速度，用总路程除以总时间，但要注意：休息时间除外。

即：（1）汽车从A城行驶到高速公路收费站C处行驶了（60）千米。

（2）360-240=120（千米），15×2=30（分钟）=0.5（小时）；
（3）在A 城到B 城这段公路上，汽车的平均速度是每小时行：
360÷（4.5-0.5）=90（千米）
【答案】60 120 0.5 90
例15 下面是一辆汽车与一列火车的行程图表，根据图示回答问题。

（1）汽车的速度是每分钟（ ）千米；
（2）火车停站时间是（ ）分钟；
（3）火车停站后时速比汽车每分钟快（ ）千米；
（4）汽车比火车早到（ ）分钟。

【详解】观察折线统计图可得：第（1）题根据统计图可知：汽车出发的时刻是7:55，行驶到15千米时的对应时刻是8:20，所以用路程（15千米）除以时间（25分钟）即可；第（2）题从图中可知火车在8:00到8:10之间停站，也就是停站时间是10分钟；第（3）题可先求出火车停站后的时速，再减去汽车的时速即可；第（4）题，由图中得出信息可知汽车到达时刻为8:20，火车到达时刻为8:25，汽车比火车早到5分钟。

【答案】（1）53；（2）10；（3）15
1；（4）5。