2024届高考二轮复习文科数学课件：坐标系与参数方程

误区警示将曲线的参数方程化为普通方程时,要注意x,y的取值范围,即在
消去参数的过程中要保证普通方程与参数方程的等价性.
6.参数方程中参数 t 的几何意义
= 0 + cos,
过定点 P0(x0,y0),倾斜角为 α 的直线参数方程的标准形式为 = + sin (t
0
为参数),t 的几何意义是直线上的点 P 到点 P0(x0,y0)的向量,即|t|=|0 |,t 可正
19
19
19
5
2
∵-2≤y≤2,∴- 3 ≤3y -2y-6≤10,∴- 3 ≤4m≤10,即-12≤m≤2.
∴m 的取值范围为
19 5
- 12 , 2
.
3.(2020 全国Ⅰ,文 22)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为
= cos ,
(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲
半径之差为 2- 2,显然 3-2 2<2- 2,所以两圆没有公共点.
知识精要
1.极坐标与直角坐标的互化
(1)互化的前提:①直角坐标系的原点与极点重合;②x轴的正半轴与极轴重
合;③在两种坐标系中取相同的长度单位.
(2)互化公式:设M是平面内任一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),则
极坐标与直角
例1(2021全国乙,理22)在直角坐标系xOy中,☉C的圆心为C(2,1),半径为1.
(1)写出☉C的一个参数方程;
(2)过点F(4,1)作☉C的两条切线,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立
极坐标系,求这两条切线的极坐标方程.
= 2 + cos,
解 (1)☉C 的参数方程为
(θ 为参数).
2
2
2

=

+

,
= cos,
坐标的互化公式为

= sin, tan = ( ≠ 0).

2.直线的极坐标方程
在极坐标系中,若直线过点M(ρ0,θ0),且此直线与极轴所成的角为α,则它的
极坐标方程为ρsin(α-θ)=ρ0sin(α-θ0).
几个特殊位置的直线的极坐标方程:
(1)直线过极点:θ=θ0和θ=π+θ0;
= 3cos,
(φ 为参数),以坐标原点 O 为极点,以 x 轴的正半轴为极轴,建立
= 3sin + 3
极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为
π
ρsin(θ-3 )=2.
(1)写出 C1 的极坐标方程和 C2 的普通方程;
(2)设射线
5π
OP:θ= 与
6
C1,C2 的交点分别为 M,N,求|MN|的值.
写出 P 的轨迹 C1 的参数方程,并判断曲线 C 与轨迹 C1 是否有公共点.
解 (1)由已知得 ρ2=2 2ρcos θ,则曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2=2 2x,
即(x- 2)2+y2=2.
(2)设点 P(x,y),M(x0,y0),
由 = 2 ,得(x-1,y)= 2(x0-1,y0),即 x0=
= 0 + cos,
化公式:
或
-0
= 0 + sin
tan = - ( ≠ 0 ).
0
4.曲线的参数方程
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x,y 都是某个变数 t
= (),
的函数
并且对于 t 的每一个允许值,由方程组所确定的点 M(x,y)都
选做满分大题一
坐标系与参数方程(选修4—4)
考情
分析
备考
策略
从近几年高考情况来看,坐标系与参数方程主要考查两个方面:一是
极坐标方程、参数方程与普通方程三者之间的相互转化,二是极坐
标方程和参数方程的简单应用,难度较小.直线与圆的位置关系考查
较多,注意直线参数方程中参数的几何意义的应用,重点考查数形结
=
2+
,
6 消去参数
=
t,得 y2=6x-2(y≥0).
(2)C3:2cos θ-sin θ=0,两边乘 ρ,得 2ρcos θ-ρsin θ=0,∴C3:y=2x.
1
,
2 或
2
=
= 6-2( ≥ 0),
联立
解得
= 2,
= 1,
= 1,
= 2.
C2 消去参数 s,得 y2=-6x-2(y≤0),
x+y-3=0,
∴直线 l 的极坐标方程为 ρcos θ+ρsin θ=3.
5.(2021 全国甲,文 22)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为
极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2 2cos θ.
(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)设点 A 的直角坐标为(1,0),M 为曲线 C 上的动点,点 P 满足 = 2 ,
= 3cos,
= 3cos,
解 (1)因为
则
= 3sin + 3,
-3 = 3sin,
所以 C1 的普通方程为 x2+(y-3)2=9,即 x2+y2-6y=0,
= cos,
可负.使用该式时直线上任意两点 P1,P2 对应的参数分别为 t1,t2,则
1
|P1P2|=|t1-t2|,P1P2 的中点对应的参数为2(t1+t2).
特别提醒在应用直线参数方程的几何意义解题时,要注意参数前面的系数
应该是该直线倾斜角的正、余弦值,否则参数不具备该几何含义.
考点一
曲线方程的三种形式间的互化
2
1
3
的直角坐标方程为 y+ x+m=0,即
2
2
θ+m=0,
3x+y+2m=0.
(2)∵x= 3cos 2t= 3(1-2sin2t),y=2sin t,
∴x= 3 1-2
由
= 3-
2
2
3 2
y
,-2≤y≤2.
2
= 3−
3 2
,
2
消去 x,得 3y2-2y-6=4m,
3 + + 2 = 0,
(2)圆心为M(a,0),半径为a:ρ=2acos θ;
(3)圆心为
π
M(a, ),半径为
2
a:ρ=2asin θ.
名师点析当圆心(x0,y0)不在直角坐标系的坐标轴上时,要求圆的极坐标方程,
通常把极点放置在圆心处,极轴与 x 轴同向,然后运用极坐标与直角坐标的互
2 = (-0 )2 + (-0 )2 ,
= (),
在这条曲线上,那么此方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数 x,y 的变数 t
叫做参变数,简称参数.
5.一些常见曲线的参数方程
= 0 + cos,
(1)过点 P0(x0,y0),且倾斜角为 α 的直线的参数方程为
(t 为参
= 0 + sin
数).
= + cos,
.
= 2 + cos,
4.(2023 全国甲,文 22)已知点 P(2,1),直线 l:
(t 为参数),α 为 l 的
= 1 + sin
倾斜角,l 与 x 轴正半轴、y 轴正半轴分别交于 A,B,且|PA|·|PB|=4.
(1)求α;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求l的极坐标方程.
= 1 + sin
(2)☉C 的直角坐标方程为(x-2)2+(y-1)2=1.
①当直线斜率不存在时,直线方程为 x=4,此时圆心到直线的距离 d=2,有
d>r(r 为圆 C 的半径),不合题意,舍去;
②当直线斜率存在时,设直线方程为 y-1=k(x-4),化简得 kx-y-4k+1=0,
|2-1-4+1|
又点 M 在曲线 C 上,所以(2 Nhomakorabea3 2 2
2
x+1)
+

2
2
2
2
2
2
x+1- ,y0= y.
2
2
2
2
=2,即(x+ 2-3)2+y2=4.所以轨迹
C1 是以(3- 2,0)为圆心,2 为半径的圆,所以轨迹 C1 的参数方程为
= 3- 2 + 2cos,
(α 为参数).
= 2sin
两圆的圆心分别为( 2,0),(3- 2,0),半径分别为 2和 2,两圆心的距离是 3-2 2,
解 (1)令 x=0,则
2
t1=;令
cos
∴|PA|·
|PB|=|t1t2|=
∴sin
2
sincos
π
2α=±1,α= (舍)或
4
y=0,则
1
t2=- ,
sin
=4,
3π
α= ,
4
3π
∴α= 4 .
(2)由(1)知,直线 l 的斜率 k=-1,∴直线 l 的直角坐标方程为 y-2=-(x-1),即
此时圆心 C(2,1)到直线的距离 d=
由 d=r=1,得 2|k|=
2
2 +1
=
|2|
,
2 +1
+ 1,两边平方得 4k =k +1,解得
2
2
3
k=± 3 .
代入直线方程并化简得 x- 3y+ 3-4=0 或 x+ 3y- 3-4=0,化为极坐标方程为
ρcos θ- 3ρsin θ=4- 3或 ρcos θ+ 3ρsin θ=4+ 3.
适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程;
3.解决极坐标系与参数方程中求曲线交点、距离、线段长度等几何
问题时,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求
解,或者直接利用直线参数的几何意义或极坐标的几何意义求解,解
题时要结合题目自身特点,确定选择恰当方程形式.
真题感悟
1.(2022 全国甲,文 22)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为
= sin
线 C2 的极坐标方程为 4ρcos θ-16ρsin θ+3=0.
(1)当k=1时,C1是什么曲线?
(2)当k=4时,求C1与C2的公共点的直角坐标.
= cos,
解 (1)当 k=1 时,C1: = sin, 消去参数 t 得 x2+y2=1,
故曲线 C1 是圆心为坐标原点,半径为 1 的圆.
为参数),曲线 C2 的参数方程为
=
2+
,
6 (s
=-
=
2+
,
6 (t
=
为参数).
(1)写出C1的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C3的极坐标方
程为2cos θ-sin θ=0,求C3与C1交点的直角坐标,及C3与C2交点的直角坐标.
解 (1)由 C1:
(2)直线过点M(a,0),且垂直于极轴:ρcos θ=a;
(3)直线过点
π
M(b, ),且平行于极轴:ρsin
2
θ=b.
3.圆的极坐标方程
在极坐标系中,若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r,则圆的极坐标方程为
ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+02 -r2=0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程:
(1)圆心位于极点,半径为r:ρ=r;
= 3cos2,
(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,
= 2sin
已知直线 l 的极坐标方程为 ρsin
π
+
3
(1)写出l的直角坐标方程;
(2)若l与C有公共点,求m的取值范围.
+m=0.
解 (1)∵ρsin
∴l
π
+3
1
+m=0,∴2ρsin
θ+
3
ρcos
1
-2,
=
= -1,
= -6-2( ≤ 0),
联立
解得
或
= 2,
= -2,
= -1.
2
综上所述,C3 与 C1 的交点为
1
,1
2
和(1,2),C3 与 C2 的交点为(-1,-2)和
1
- ,-1
2
.
2.(2022 全国乙,文 22)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为
= cos4 ,
(2)当 k=4 时,C1:
4 消去参数 t 得 C1 的直角坐标方程为 + =1.C2
= sin ,
的直角坐标方程为 4x-16y+3=0.
由
+ = 1,
4-16 + 3 = 0
解得
=
=
1
,
4
1
.
4
故 C1 与 C2 的公共点的直角坐标为
1 1
,
4 4
解题心得1.无论是将参数方程化为极坐标方程,还是将极坐标方程化为参
数方程,都要先化为普通方程,再由普通方程化为需要的方程.
2.求解与极坐标方程有关的问题时,可以转化为熟悉的普通方程求解.若最
终结果要求用极坐标表示,则需将普通方程转化为极坐标方程.
对点训练 1
(2023 四川自贡三模)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为
(2)圆(x-a) +(y-b) =r 的参数方程为
(θ 为参数).
= + sin
2
2
(3)椭圆 2
+
2
2
2
=1(a>b>0)的参数方程为
2
= cos,
(θ 为参数).
= sin
2

=
2
,
(4)抛物线 y2=2px(p>0)的参数方程为
(t 为参数).
= 2
合的数学思想和转化与化归能力.
1.极坐标系的复习建议从以下几个方面着手:一是从理解极坐标系的
作用入手,要求学生了解和掌握极坐标系是刻画描述平面中点的位
置;二是要求学生会进行极坐标和直角坐标的互化;三是通过图形比
较,理解极坐标系中和平面直角坐标系中的方程的区别;
2.参数方程复习时,注意强调参数方程中参数的意义,另外要能选择