教学课件第四章边值问题

•当所有的内点都计算完后，用他们的新值代替旧值，完成 一次迭代。再进行下一次迭代。直到每一点计算得到的新值 与旧值之差小于指定的范围。 •这种方法的特点是用前一次迭代的得到的结点电位作为下 一次迭代时的初值。
如（j，k）点在第n＋1次迭代时按下式计算：
( ＋ ) n 1 4 j,k
2
x 2
o
1
2 o
h2
3
同理
2
y2
o
2
2 o
h2
4
二维场的泊松方程的差
分形式表示成
1
＋
2
3
4
4
＝
o
h2F
二维场的拉普拉斯方程 的差分形式可表示成
1
＋
2
3
4
4
＝
o
0
•边界条件也可进行离散化处理，对第一类边值，可直接 把点函数f(s)的值赋予各边界结点。
3．差分方程的解法
•设将场域划分如图. •边 界 上 的 值 分 别 为 f1,………f16。 •在 各 内 点 上 作 出 差 分 ， 泊松方程变成下列差分方 程组
解： •二维场第一类边值问题。 •将二维场域划分成正方形 网格，步距h＝a/4。 •场 域 内 任 一 点 电 位 应 满 足二维拉普拉斯方程的差 分计算格式。
•采用超松弛迭代方法。迭代公式
n 1 n 4 ( 4) j , k j , k
n
n
n 1 n 1
j 1 , k j , k 1 j 1 , k j , k 1
4.5 有限差分法
当场域边界的几何形状比较复杂时，很难用解析法进行分 析。应采用数值计算法。
有限差分法将连续场域内的问题转化为离散系统的问题，
通过离散化模型上各离散点的数值解来逼近连续场域内的 真实解。
1．差分原 设理有一函数f(x)，当独立变量x有一微小增量x＝h， 相应f(x)的增量为：。
f(x)=f(x+h)-f(x),称为函数f(x)的差分
n j 1 ,k
n j,k 1
n j 1 ,k
n j,k 1
超松弛法 •简单迭代法收敛慢。
•超松弛法的改进：
（1）
( ) / 4 n 1
j , k
n j 1 , k
n
n 1
j , k 1 j 1 , k
n 1 j , k 1
即计算（j，k）点时，左边点（j-1,k）和下面点（j，k1）用的是新值。这种迭代方法称为高斯赛德尔迭代法。
•从 结 果 看 电 位 分 布 关 于 y 轴 有对称性。实际计算可只一 半区域，而将网格划分得更 细。以得到更理想到数值解。
•解出关于1，2….. 9的代数联立方程组，即可求出各点的 函数值。
•算法 简单迭代法，以解拉普拉斯方程为例。 （1）设定内点初值，用计算机解题时，可都取零值。 （2）按一固定顺序(从左到右，从下到上)依次利用
1 2＋3 4 4o＝0
即o＝1
2＋3
4
4
•计算内点o点的新值。即o点的新值就是围绕该点的4个点的 电位的平均值。
•任一点x的电位
xo x o (x x o ) 2 1 ! x 2 2 o (x x o )2 3 1 ! 3 x 3 o (x x o )3 . . . . . . .
•考虑1，3两点x1=xo+h, x3=xo-h
1
o
x
h o
（2）将上式写成增量的形式，
n j , k 1 n j , k (n j 1 , k n j , k 1 n j 1 1 , k n j , k 1 1 4 n j , k ) / 4
•引进加速收敛因子，在1－2之间。
n 1 n 4 ( 4) j ,k j ,k
不同于增量为无限小的微分，差分被称为有限差分。 当h很小时，f(x)df(x).
•中心差分f(x)=f(x+h/2)-f(x-h/2)
•一阶差商：
f f(xh)f(x)df
x
x
dx
•二阶差商
2f(x) f(xh)f(x) d2f
(x)2
h2
d2x
•偏导数也可用差商近似表示。因而偏微分方程可表示为 差分方程（代数方程）。
n
n
n 1 n 1
j 1 ,k j ,k 1 j 1 ,k j ,k 1
n j ,k
•加速解的收敛。2时，迭代过程将发散。
•最佳收敛因子0的取值随问题而异。对第一类边值 问题，正方形场域，网格按正方形划分，每边结点 数p＋1，则
0
1
2
sin(
)
p
例
一长直接地金属槽截面如图。其侧壁与底面的电位均为零， 而顶盖电位4＝100。求槽内电位分布。
n j , k
按
0
Байду номын сангаас
1
2 sin(
)
p
•可算得＝1.17, •所有内点从零值初始值开 始迭代求解。
•本题第一类边值，结点与 边界重合，所有网格点迭代 前的初值如图。
•迭代次数N分别 为1，2，3，4时 各网格内点的数 值解如图。
•若规定各网格内点相邻两次迭代值的绝对误差应小于10 －5，得到各内点的电位数值解如图。此时N＝13。
1 2!
2
x 2
h 2 o
1 3!
3
x 3
h 3 o
........
3
o
x
h o
1 2!
2
x 2
h 2 o
1 3!
3
x 3
h 3 o
........
如果 h足够小，忽略三次以上 项，将上二式相减
1 3
x o
2h
上式用 o点的中心差商代替该点
的偏导数。
步距越小，误差越小。
2．以二维场为例，将边值问题转化为一组差分方程组 （代数方程组）。
•设边值问题是
2 2 2 F
x2 y2
f (s) L
(1)决定离散点的分布方式。 •按正方网格划分，网格边长（步长）h，网格线的交点称结 点。 •设结点O上的电位为(xo,yo)= o, 结点1，2，3，4上的电位 为1，2，3，4。