3-2二轮复习讲义：三角恒等变换与解三角形

第二讲三角恒等变换与解三角形

高考考点考点解读

三角函数的概念、同角三角函数的基本关系、

诱导公式的应用

1.根据三角函数的定义、诱导公式及同角公式

化简、求值

2．应用诱导公式或同角公式进行三角恒等变

换

三角恒等变换

1.利用和、差角公式、二倍角公式化简、求值

或求角

2．与三角函数图象与性质交汇考查

解三角形

1.在三角形中利用正、余弦定理进行边角计算

2．结合正、余弦定理进行面积计算

3．利用正、余弦定理解决距离、高度、角度

等实际问题

本部分内容在备考时应注意以下几个方面：

(1)加强对三角函数定义的理解，掌握同角三角函数的基本关系式和诱导公式．

(2)掌握两角和与差的三角公式及二倍角公式．

(3)掌握正弦定理及余弦定，掌握求三解形面积的方法．

预测2020年命题热点为：

(1)三角函数的概念与其他知识相结合；

(2)以三角变换为基础，考查三角函数式的求值、三角函数的图象和性质．

(3)结合向量或几何知识考查三角形中的边角互化、解三角形．

Z

知识整合

hi shi zheng he

1．同角三角函数之间的关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.

(2)商数关系tanα＝

sinα

cosα.

2．诱导公式

(1)公式：Sα＋2kπ；Sπ±α；S

π

2±α.

(2)巧记口诀：奇变偶不变，符号看象限，α当锐角看． 3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β

；

(4)辅助角公式：a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)＝a 2＋b 2cos(α＋θ). 4．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2α＝2sin αcos α；

(2)cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)tan2α＝2tan α

1－tan 2α.

5．降幂公式 (1)sin 2α＝

1－cos2α

2

； (2)cos 2α＝1＋cos2α

2.

6．正弦定理

a sin A ＝

b sin B ＝

c sin C

＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)． 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ． sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c

2R .

a ∶

b ∶

c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ． 7．余弦定理

a 2＝

b 2＋

c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ． 推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 2

2ac ，

cos C ＝a 2＋b 2－c 2

2ab

.

变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ， a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ． 8．面积公式

S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝1

2ab sin C ．

Y 易错警示

i cuo jing shi

1．同角关系应用错误：利用同角三角函数的平方关系开方时，忽略判断角所在的象限

或判断出错，导致三角函数符号错误．

2．诱导公式的应用错误：利用诱导公式时，三角函数名变换出错或三角函数值的符号出错．

3．忽视解的多种情况

如已知a ，b 和A ，应先用正弦定理求B ，由A ＋B ＋C ＝π，求C ，再由正弦定理或余弦定理求边c ，但解可能有多种情况．

4．忽略角的范围

应用正、余弦定理求解边、角等量的最值(范围)时，要注意角的范围． 5．忽视解的实际意义

求解实际问题，要注意解得的结果要与实际相吻合．

1．(2018·全国卷Ⅲ，6)函数f ()x ＝tan x

1＋tan 2x 的最小正周期为( C )

A ．π

4

B ．π

2

C ．π

D ．2π

[解析] f (x )＝sin x cos x 1＋sin 2x cos 2

x ＝sin x cos x cos 2x ＋sin 2x ＝sin x cos x ＝12sin2x ，所以f (x )的最小正周期为T ＝

2π

2＝π.

2．(2018·全国卷Ⅲ，8)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 2

4

，则C ＝( C )

A ．π2

B ．π3

C ．π4

D ．π6

[解析] 由题意S △ABC ＝1

2ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，即sin C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，由余弦定理可知sin C

＝cos C ，即tan C ＝1，

又C ∈(0，π)，所以C ＝π

4

.

3．(2018·全国Ⅰ卷，11)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A ()1，a ，B ()2，b ，且cos2α＝2

3

，则||a －b ＝( B )

A ．15

B ．

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