黑龙江省哈尔滨六中19-20学年高一上学期期末数学试卷 (含答案解析)

黑龙江省哈尔滨六中19-20学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合A={x|x2<1}，B={x|x>0}，则A∩B=()
A. (−1,0]
B. (−1,1)
C. (−1,0)
D. (0,1)
2.若点P(m,n)(n≠0)为角225°终边上一点，则m
n
等于()
A. −√2
2B. √2
2
C. −1
D. 1
3.设a=log2e，b=ln2，c=log1
21
3
，则()
A. a<b<c
B. b<a<c
C. b<c<a
D. c<b<a
4.函数y=tan(x−π
3
)的定义域是()
A. R
B. {x|x≠5π
6
+kπ,k∈z}
C. {x|x≠π
2+kπ,k∈z} D. {x|x≠5π
6
+2kπ,k∈z}
5.根据表格中的数据，可以判断函数f(x)=e x−x−2的零点所在的区间是()
A. (−1,0)
B. (0,1)
C. (1,2)
D. (2,3)
6.函数f(x)=log2(−x2+2x+3)的单调递增区间是()
A. (−∞,1)
B. (−3,−1)
C. (−1,1)
D. (1,+∞)
7.函数f(x)=cosxlnx2的部分图象大致是图中的()
A.
B.
C.
D.
8. 在△ABC 中，若sin A =2sin Ccos B.那么此三角形是( )
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 等腰三角形
D. 等边三角形
9. 为了得到函数y =cos(2x +π
6)的图像，只需把函数y =cos2x 的图像上所有的点( )
A. 向左平移π
6个单位长度 B. 向右平移π
6个单位长度 C. 向左平移π
12个单位长度
D. 向右平移π
12个单位长度
10. 定义域为R 的奇函数f(x)满足f(x −2)=f(x +2)，且当x ∈(−2,0)时，f(x)=3x −1，则
f(9)= ( )
A. 2
B. −2
C. −2
3
D. 2
3
11. 已知α是第二象限角，且，则tan2α的值为( )
A.
B.
C.
D.
12. 已知ω>0，函数f(x)=sin(ωx +π
4)在(π
2,π)上单调递减，则ω的取值范围是( )
A. (0,1
2]
B. (0,2]
C. [12,5
4]
D. [12,3
4]
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 函数f (x )=sin 2x +√3cosx −3
4(x ∈[0,π
2])的最大值是________． 14. 已知函数y =Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π)的部分图象
如图所示，那么函数解析式是________．
15.已知函数f(x)=sin(ωx+π
4
)(x∈R,ω>0)的最小正周期为π，将y=f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得函数y=g(x)为偶函数时，则φ的最小值是__________．16.给出如下五个结论：
①存在α∈(0,π
2)使sinα+cosα=1
3
②存在区间(a,b)使y=cosx为减函数而sinx<0
③y=tanx在其定义域内为增函数
④y=cos2x+sin(π
2
−x)既有最大、最小值，又是偶函数
⑤y=|sin(2x+π
6
)|最小正周期为π
其中正确结论的序号是______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知曲线y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈(−π
2,π
2
))上的一个最高点的坐标为(π
8
,√2)，此点
与相邻最低点间的曲线与x轴交于点(3
8
π,0)．
(1)求这条曲线的函数解析式;
(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0,π]上的图像．
)+6sinxcosx−2cos2x+1,x∈R．
18.已知函数f(x)=−√2sin(2x+π
4
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期和对称轴方程；
(Ⅱ)求f(x)在区间[−π,0]上的单调增区间．
19.已知y=f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0,+∞)时，f(x)=x2−2x．
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)若方程f(x)=a恰有3个不同的解，求实数a的取值范围．
20.已知f(x)=cos2x+4sinx，求：
)的值；
(1)f(−π
4
(2)f(x)的最大值以及取得最大值时x的值．
21.已知函数f(x)=cos2ωx+√3sin2ωx+t(ω>0)，若f(x)的图象上相邻两条对称轴的距离为π
，
4图象过点(0,0)．
(1)求f(x)的表达式和f(x)的单调递增区间；
(2)将函数f(x)的图象向右平移π
个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐
8
]上有且只有一个零点，标不变)，得到函数y=g(x)的图象，若函数F(x)=g(x)+k在区间[0,π
2
求实数k的取值范围．
22.已知函数g(x)=ax2−2ax+1+b(a≠0,b<1)，在区间[2,3]上有最大值4，最小值1，设f(x)=
g(x)
．
x
(1)求a,b的值；
(2)不等式f(2x)−k⋅2x⩾0在x∈[−1,1]上恒成立，求实数k的取值范围；
−3)=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．
(3)方程f(|2x−1|)+k(2
|2x−1|
-------- 答案与解析 --------
1.答案：D
解析：解：∵集合A={x|x2<1}={x|−1<x<1}，B={x|x>0}，
∴A∩B={x|0<x<1}=(0,1)．
故选：D．
先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．
本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
2.答案：D
解析：
本题考查任意角的三角函数的定义及诱导公式，属于基础题．利用任意角的三角函数的定义及诱导
公式可求得tan225°=n
m
，从而求答案．
解：n
m
=tan225°=tan(180°+45°)=tan45°=1．
∴m
n
=1
故选D．
3.答案：B
解析：解：∵c=log23>log2e=a>1>ln2=b．
∴b<a<c．
故选：B．
利用指数对数函数的单调性即可得出．
本题考查了指数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：B
解析：
本题主要考查了正切函数的定义域问题，属于基础题型．根据正切函数的定义域直接求解即可．
解：由题意可得x−π
3≠π
2
+kπ，k∈Z，
解得x≠5π
6
+kπ,k∈Z．
所以函数y=tan(x−π
3)的定义域是{x|x≠5π
6
+kπ,k∈z}
故选B．
5.答案：C
解析：
本题考查方程的根就是对应函数的零点，以及函数在一个区间上存在零点的条件．
解：令f(x)=e x−x−2，
由图表知，f(1)=2.72−3=−0.28<0，f(2)=7.39−4=3.39>0，
方程e x−x−2=0的根即函数f(x)=e x−x−2的零点，
由f(1)<0，f(2)>0知，
方程e x−x−2=0的一个根所在的区间为(1,2)．
故选C．
6.答案：C
解析：
本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题．
先求得函数的定义域，本题即求t=−x2+2x+3在定义域内的增区间，再利用二次函数的性质得出结论．
解：由函数f(x)=log2(−x2+2x+3)，可得−x2+2x+3>0，求得−1<x<3，故函数的定义域为{x|−1<x<3}．
函数f(x)=log2(−x2+2x+3)的单调递增区间，即t=−x2+2x+3在定义域内的增区间．
而t=−x2+2x+3在定义域内的增区间为(−1,1)，
故选：C．
7.答案：B
解析：由题意，函数f(x)=cosxlnx2为偶函数，∴函数的图象关于y轴对称，故可以排除C，D答案．又∵函数f(x)=cosxlnx2在区间(0,1)上为减函数，排除B，
故选：B．
运用奇偶性和特殊值法可解决此问题．
本题考查函数的图象，函数的性质的知识．
8.答案：C
解析：
本题考查了三角函数恒等变换，两角和、差的正弦公式应用，解三角形的应用．
解：∵A+B+C=π，
∴A=π−(B+C)，
∵sinA=sin(B+C)=2sinCcosB，
∴sinB·cosC+cosB·sinC=2sinC·cosB，
∴sinB·cos C−cosB·sinC=0，
∴sin(B−C)=0．
∵0<B<π，0<C<π，
∴−π<B−C<π，
∴B=C，
∴△ABC为等腰三角形．
故选C．
9.答案：C
解析：
本题考查考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，y =cos (2x +π
6)=cos [2(x +π
12)]，再根据函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论． 解：y =cos (2x +π
6)=cos [2(x +π
12)]，
故把函数y =cos2x 的图象上所有的点向左平移π
12个单位长度，即可得到y =cos (2x +π
6)． 故选C ．
10.答案：D
解析：
本题考查函数奇偶性、周期性的应用，注意分析得到函数的周期．
根据题意，由f(x −2)=f(x +2)，分析可得f(x)=f(x +4)，即可得函数f(x)的周期为4，则有f(9)=f(1)，由函数的解析式以及奇偶性可得f(1)的值，即可得答案． 解：根据题意，函数f(x)满足f(x −2)=f(x +2)， 即f(x)=f(x +4)， 则函数f(x)的周期为4， f(9)=f(1)，
又由函数f(x)为奇函数， 则f(1)=−f(−1)，
又由当x ∈[−2,0]时，f(x)=3x −1， 则f(−1)=3−1−1=1
3−1=−2
3； 则有f(9)=f(1)=−f(−1)=2
3； 故选D ．
11.答案：C
解析：
本题考查了三角函数的二倍角公式，
利用可得sinα，然后进行后面的求解即可得．解：因为，
所以sinα=3
5
，
因为α是第二象限角，
所以cosα=−4
5
．
所以tanα==−3
4
．
所以．
故选C．
12.答案：C
解析：
本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．
由题意利用正弦函数的单调性可得π
2⋅ω+π
4
≥π
2
，且ωπ+π
4
≤3π
2
，由此求得ω的取值范围．
解：∵已知ω>0，函数f(x)=sin(ωx+π
4)在(π
2
,π)上单调递减，
可得π
2⋅ω+π
4
≥π
2
，且ωπ+π
4
≤3π
2
，求得1
2
≤ω≤5
4
．
故选：C．
13.答案：1
解析：
本题考查了同角的三角函数的关系以及二次函数的性质，属于基础题．根据同角三角函数的基本关系将f(x)化简，利用cosx=t换元得到一个关于t的二次函数，根据二次函数性质即可求出答案．
解：y=f(x)=sin2x+√3cosx−3
4
=1−cos2x+√3cosx−3 4
=−cos2x+√3cosx+1
4
，令cosx=t，则t∈[0,1]，
则y=−t2+√3t+1
4=−(t−√3
2
)
2
+1，
当t=√3
2
时，y max=1，
即f(x)的最大值为1，故答案为1．
14.答案：y=3sin(2x−2π
3
)
解析：
本题是基础题，考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，注意函数的周期的求法，考查计算能力，属于基础题．
根据函数的最值和周期分别求出A和ω，再根据当x=π
12
时函数取得最小值−3，求出φ即可．
解：由题意可知A=3，
，可得：ω=2π
π
=2，
由于当x=π
12
时函数取得最小值−3，
所以−3=3sin(2×π
12+φ)，可得：2×π
12
+φ=2kπ+3π
2
，k∈Z，
解得：φ=2kπ+4π
3
，k∈Z，
由于|φ|<π，
所以φ=−2π
3
，
函数的解析式：y=3sin(2x−2π
3
)．
故答案为y=3sin(2x−2π
3
)．
15.答案：π
8
解析：由已知先求得ω的值，从而确定解析式，根据图象变换规律求出平移后的解析式，由已知可
解得：φ=kπ
2+π
8
，k∈Z，从而得解．
解答
解：∵函数f(x)=sin(ωx+π
4
)(x∈R,ω>0)的最小正周期为π，
∴2 π 
 ω
=π，解得ω=2，
∴f(x)=sin(2x+π4 )
∴将y=f(x)的图象向左平移φ个单位长度，得到的函数解析式为：y=sin[2(x+φ)+π
4
]=sin(2x+
2φ+π
4
)
∵所得函数y=f(x)为偶函数，
∴2φ+π
4=kπ+π
2
，k∈Z可解得：φ=kπ
2
+π
8
，k∈Z
∴当k=0时，φ=π
8
．
故最小值为：π
8
．
16.答案：④
解析：解：对于①，sinα+cosα=√2sin(α+π
4
)，
∵α∈(0,π
2
)，
∴α+π
4∈(π
4
,3π
4
)，∴sinα+cosα>1.命题①错误；
对于②，若y=cosx为减函数，则x∈[2kπ,2kπ+π]，k∈Z，sinx≥0.命题②错误；
对于③，y=tanx在其定义域内不是增函数，在其定义域内有无数增区间．命题③错误；
对于④，y=cos2x+sin(π
2
−x)=cos2x+cosx=2cos2x+cosx−1，该函数既有最大、最小值，又是偶函数．命题④正确；
对于⑤，∵y=sin(2x+π
6)的最小正周期为π，∴y=|sin(2x+π
6
)|最小正周期为π
2
.命题⑤错误．
∴正确的命题是④．
故答案为：④．
把sinα+cosα化积后由α的范围求出其值域判断①；
求出y=cosx的减区间判断②；
由正切函数的单调性判断③；
利用倍角公式和诱导公式化简原函数后判断④；
求出y=sin(2x+π
6)的最小正周期后得y=|sin(2x+π
6
)|最小正周期判断⑤．
本题考查了命题的真假判断与应用，考查了三角函数的性质，是中档题．17.答案：解：(1)∵曲线上的一个最高点的坐标为(π
8
,√2)，
∴A=√2．
又此点与相邻最低点间的曲线与x轴交于点(3
8
π,0)，
∴T
4=3π
8
−π
8
，即T=π，
∴ω=2π
T
=2．
由题意得，2×π
8+φ=π
2
+2kπ，k∈Z，
∴φ=π
4
+2kπ，k∈Z，
又φ∈(−π
2,π
2 )，
∴φ=π
4
．
故这条曲线的函数解析式为y=√2sin(2x+π
4
)．(2)列出x，y的对应值表：
作图如下：
解析：本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件确定A，ω，φ的取值是解决本题的关键．(1)根据函数的最高点的坐标确定A，根据函数零点的坐标确定函数的周期，利用最值点的坐标同时求φ的取值，即可得到函数的解析式．
(2)利用五点法即可得到结论．
18.答案：解：(1)∵sinxcosx=1
2sin2x，cos2x=1
2
(1+cos2x)
∴f(x)=−√2sin(2x+π4 )
+6sinxcosx−2cos2x+1
=−sin2x−cos2x+3sin2x−(1+cos2x)+1
=2sin2x−2cos2x=2√2sin(2x−π4 )
因此，f(x)的最小正周期T=2π
2
=π；
令，
即，
所以对称轴为；
(2)设
，
∴在区间[−π,0]上的单调增区间为
解析：本题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式、三角函数的最小正周期和函数y=Asin(ωx+φ)的单调性等知识，考查基本运算能力，属于中档题．
(1)利用两角和的正弦公式将sin(2x+π
4
)展开，结合二倍角的正余弦公式化简合并，得f(x)=
2sin2x−2cos2x，再利用辅助角公式化简得f(x)=2√2sin(2x−π
4
)，最后利用正弦函数的周期公式即可算出f(x)的最小正周期；
(2)设，可解得在[−π,0]上的单调增区间．
19.答案：解：(1)当x∈(−∞,0)时，−x∈(0,+∞)，
∵y=f(x)是奇函数，
∴f(x)=−f(−x)=−((−x)2−2(−x))=−x2−2x，
∴f(x)={x 2−2x,x≥0
−x2−2x,x<0
．
(2)当x∈[0,+∞)时，f(x)=x2−2x=(x−1)2−1，最小值为−1；
∴当x∈(−∞,0)时，f(x)=−x2−2x=1−(x+1)2，最大值为1．
∴据此可作出函数y=f(x)的图象如下，
根据图象得，
若方程f(x)=a恰有3个不同的解，则a的取值范围是(−1,1)．
解析：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及方程根的个数问题，利用数形结合是解决本题的关键．
(1)利用函数的奇偶性，利用对称性，写出函数y=f(x)的解析式；
(2)求出函数f(x)的表达式，利用数形结合的思想求a的取值范围．
20.答案：解：f(x)=cos2x+4sinx =1−2sin2x+4sinx
=−2sin2x+4sinx+1．
(1)f(−π
4)=−2sin2(−π
4
)+4sin(−π
4
)+1
=−2×1
2−4×√2
2
+1=−2√2；
(2)f(x)=−2sin2x+4sinx+1=−2(sinx−1)2+3．
当sinx=1，即x=π
2
+2kπ,k∈Z时函数取得最大值3．
解析：展开二倍角的余弦，得到f(x)=−2sin2x+4sinx+1．
(1)直接取x=−π
4求f(−π
4
)的值；
(2)利用配方法配方，求得f(x)的最大值并求得f(x)取得最大值时x的值．
本题考查了三角函数中恒等变换应用，考查了配方法求函数的最值，是中档题．21.答案：解：(1)f(x)=cos2ωx+√3sin2ωx+t=2sin(2ωx+π
6
)+t，
f(x)的最小正周期为2π
2ω=π
2
，
∴ω=2，
∵f(x)的图象过点(0,0)，
∴2sinπ
6
+t=0，
∴t=−1，
∴f(x)=2sin(4x+π
6
)−1．
令2kπ−π
2≤4x+π
6
≤2kπ+π
2
，k∈Z，
求得kπ
2−π
6
≤x≤kπ
2
+π
12
，k∈Z，
故f(x)的单调递增区间为[kπ
2−π
6
,kπ
2
+π
12
]，k∈Z．
(2)将函数f(x)的图象向右平移π
8
个单位长度，可得
y=2sin(4x−π
2+π
6
)−1=2sin(4x−π
3
)−1的图象，
再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)=2sin(2x−π
3
)−1的图象．
∵x∈[0,π
2
]，
∴2x−π
3∈[−π
3
,2π
3
]，
∴sin(2x−π
3)∈[−√3
2
,1]，
故g(x)=2sin(2x−π
3)−1在区间[0,π
2
]上的值域为[−√3−1,1]．
若函数F(x)=g(x)+k在区间[0,π
2
]上有且只有一个零点，
由题意可知，函数g(x)=2sin(2x−π
3
)−1的图象和直线y=−k有且只有一个交点，
作出函数g(x)=2sin(2x−π
3)−1在[0,π
2
]上图象，
根据图象可知，k=−1或1−√3<k≤√3+1．故实数k的取值范围是{−1}∪(1−√3,√3+1]．
解析：本题考查两角和与差的三角函数，考查正弦函数的性质，考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质，考查函数的零点与方程的根之间的关系，属于中档题． (1)化简f(x)，求出函数的解析式，进而求出函数的单调区间；
(2)由三角函数的变换得到g(x)的解析式，求出函数g(x)的值域，作出函数g(x)的图象，利用函数的图象求解即可．
22.答案：解：(1)g(x)=a(x −1)2+1+b −a ，
当a >0时，g(x)在[2,3]上为增函数，
故{g(3)=4g(2)=1⇒{9a −6a +1+b =44a −4a +1+b =1⇒{a =1
b =0，
当a <0时，g(x)在[2,3]上为减函数，
故{g(3)=1g(2)=4⇒{9a −6a +1+b =14a −4a +1+b =4
⇒{a =−1
b =3，
∵b <1
∴a =1，b =0；
(2)由(1)得g(x)=x 2−2x +1，f(x)=x +1
x −2， 方程f(2x )−k ·2x ≥0化为2x +1
2x −2≥k ·2x ， k ≤1+(1
2x )2−2·1
2x ， 令1
2x =t ，k ≤t 2−2t +1， ∵x ∈[−1,1]， ∴t ∈[12,2]，
记φ(t)=t 2−2t +1， ∴φ(t)min =0， ∴k ≤0；
(3)方程f(|2x −1|)+k(2
|2x −1|−3)=0， 化为|2x −1|+1+2k
|2x −1|−(2+3k)=0，
|2x −1|2−(2+3k)|2x −1|+(1+2k)=0，|2x −1|≠0，
令|2x −1|=m ，则方程化为m 2−(2+3k)m +(1+2k)=0(m ≠0)，
∵方程|2x −1|+1+2k
|2x −1|−(2+3k)=0有三个不同的实数解， ∴由m =|2x −1|的图象知，
m 2−(2+3k)m +(1+2k)=0有两个根m 1、m 2， 且0<m 1<1<m 2或0<m 1<1，m 2=1， 记P(m)=m 2−(2+3k)m +(1+2k)， 则{P(0)=1+2k >0P(1)=−k <0或{P(0)=1+2k >0
P(1)=−k =00<2+3k
2
<1
, ∴k >0．
解析：本题考查的是函数与方程以及恒成立问题以及解的个数的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、恒成立的思想以及数形结合和问题转化的思想．值得同学们体会反思． (1)对g(x)在[2,3]上的单调性进行讨论列方程组解出；
(2)要结合(1)的结论将问题具体化，再通过分离参数化为求函数φ(t)=t 2−2t +1最小值问题即可获得问题的解答；
(3)可直接对方程进行化简、换元结合函数图象即可获得问题的解答．。