高中数学--《集合与逻辑》测试题(含答案)

高中数学--《集合与逻辑》测试题（含答案）
1.已知集合A＝{0，1，2}，集合B＝{x|x﹣1≥0}，则A∩B的真子集个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案解析】
C
解：因为集合A＝{0，1，2}，集合B＝{x|x﹣1≥0}＝{x|x≥1}，
所以A∩B＝{1，2}，
故A∩B的真子集个数为22﹣1＝3．
故选：C．
2.设集合A＝{y|y＝3x，x∈R}，B＝{x|y＝，x∈R}，则A∩B＝．
【答案解析】
解：因为集合A＝{y|y＝3x，x∈R}＝{y|y＞0}，B＝{x|y＝，x∈R}＝{x|}，
所以A∩B＝．
故答案为：．
3.设z是复数，则“z2＝1”是“|z|＝1”的（）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
【答案解析】
A
解：设z＝x+yi（x，y∈R），
①若z2＝1时，则z2＝（x+yi）2＝x2﹣y2+2xyi＝1，∴，∴，∴|z|＝1，∴充分性成立，
②若z＝+i，满足|z|＝1，但z2＝＝﹣+i，∴必要性不成立，
∴z2＝1是|z|＝1的充分不必要条件，
故选：A．
4.已知集合A＝{m|m＝x2﹣y2，x、y∈Z），将A中的正整数从小到大排列为：a1，a2，a3，…．若an＝2021，则正整数n＝．
【答案解析】
1516
解：m＝x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），当x﹣y＝1时，m＝2y﹣1表示奇数；当x﹣y＝2时，m＝4y+4表示4的倍数，所以A中的整数从小到大排列为：1，3，4，5，7，8，9，11，
12，13……即数列{an}满足a3k＝4k（k∈N+），又2021＝505×4+1，
所以n＝505×3+1＝1516．
故答案为：1516．
5.已知函数f（x）＝2sin（x+φ），则“”是“f（x）为偶函数”的（）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案解析】
A
解：①当φ＝时，f（x）＝2sin（x+）＝2cosx，
∵f（﹣x）＝2cos（﹣x）＝2cosx＝f（x），∴f（x）为偶函数，
②当f（x）为偶函数时，φ＝+kπ，k∈Z，
综上所述，φ＝是f（x）为偶函数的充分不必要条件．
故选：A．
6.“0＜a+b≤4”是“ab≤4”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案解析】
A
解：当a+b＞0，ab＜0时，显然ab≤4成立，反之不成立，
当a＞0，b＞0时，则4≥a+b≥2，
故≤2，ab≤4，充分性成立，
令a＝4，b＝，由ab≤4推不出a+b≤4，
故“0＜a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件，
故选：A．
7.已知集合A＝{y|y＜1}，B＝{x|3x＜1}，则（）
A．A∪B＝R B．A∩B＝{x|x＜0} C．A∪B＝{x|x＞1} D．A∩B＝∅【答案解析】
B
解：∵A＝{y|y＜1}＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}＝{x|x＜0}，
∴A∪B＝{x|x＜1}∪{x|x＜0}＝{x|x＜1}，
A∩B＝{x|x＜1}∩{x|x＜0}＝{x|x＜0}．
故选：B．
8.给定正整数n（n≥3），集合Un＝{1，2，…，n}．若存在集合A，B，C，同时满足下列条件：
①Un＝A∪B∪C，且A∩B＝B∩C＝A∩C＝∅；
②集合A中的元素都为奇数，集合B中的元素都为偶数，所有能被3整除的数都在集合C 中（集合C中还可以包含其它数）；
③集合A，B，C中各元素之和分别记为SA，SB，SC，有SA＝SB＝SC；则称集合Un为可分集合．
（Ⅰ）已知U8为可分集合，写出相应的一组满足条件的集合A，B，C；
（Ⅱ）证明：若n是3的倍数，则Un不是可分集合；
（Ⅲ）若Un为可分集合且n为奇数，求n的最小值．
【答案解析】
【分析】（I）取A＝{5，7}，B＝{4，8}，C＝{1，2，3，6}，即可满足条件．
（II）假设存在n是3的倍数且Un是可分集合．设n＝3k，则依照题意{3，6，…，3k}⊆C，可得SC≥3+6+…+3k，而这n个数的和为，即可得出矛盾．
（Ⅲ）n＝35．由于所有元素和为，又SB中元素是偶数，所以＝3SB＝6m （m为正整数），可得以n（n+1）＝12m，由（Ⅱ）知道，n不是3的倍数，所以一定有n+1是3的倍数．当n为奇数时，n+1为偶数，而n（1+n）＝12m，一定有n+1既是3的倍数，又是4的倍数，所以n+1＝12k，
所以n＝12k﹣1，k∈N*．可得：k（12k﹣1）＝m．定义集合D＝{1，5，7，11，…}，即集合D由集合Un中所有不是3的倍数的奇数组成，定义集合E＝{2，4，8，10，…}，即集合E由集合Un中所有不是3的倍数的偶数组成，可得k≥3．即可得出．
解：（I）依照题意，可以取A＝{5，7}，B＝{4，8}，C＝{1，2，3，6}．
（II）假设存在n是3的倍数且Un是可分集合．
设n＝3k，则依照题意{3，6，…，3k}⊆C，
故SC≥3+6+…+3k＝，
而这n个数的和为，故SC＝＝，矛盾，
所以n是3的倍数时，Un一定不是可分集合．
（Ⅲ）n＝35．
因为所有元素和为，又SB中元素是偶数，所以＝3SB＝6m（m为正整数），所以n（n+1）＝12m，因为n，n+1为连续整数，故这两个数一个为奇数，另一个为偶数．由（Ⅱ）知道，n不是3的倍数，所以一定有n+1是3的倍数．
当n为奇数时，n+1为偶数，而n（1+n）＝12m，
所以一定有n+1既是3的倍数，又是4的倍数，所以n+1＝12k，
所以n＝12k﹣1，k∈N*．…
定义集合D＝{1，5，7，11，…}，即集合D由集合Un中所有不是3的倍数的奇数组成，
定义集合E＝{2，4，8，10，…}，即集合E由集合Un中所有不是3的倍数的偶数组成，
根据集合A，B，C的性质知道，集合A⊆D，B⊆E，
此时集合D，E中的元素之和都是24k2，而，
此时Un中所有3的倍数的和为，24k2﹣（24k2﹣2k）＝2k，（24k2﹣2k）﹣（24k2﹣6k）＝4k
显然必须从集合D，E中各取出一些元素，这些元素的和都是2k，
所以从集合D＝{1，5，7，11，…}中必须取偶数个元素放到集合C中，所以2k≥6，
所以k≥3，此时n≥35
而令集合A＝{7，11，13，17，19，23，25，29，31，35}，
集合B＝{8，10，14，16，20，22，26，28，32，34}，
集合C＝{3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，1，5，2，4}，
检验可知，此时U35是可分集合，所以n的最小值为35．…
9.已知数列{an}的通项公式为，则“a2＞a1”是“数列{an}单调递增”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案解析】
C
【分析】数列{an}单调递增⇔an+1＞an，可得a的范围．由“a2＞a1”可得：2+＞1+a，可得a的范围．即可判断出关系．
解：数列{an}单调递增⇔an+1＞an，可得：n+1+＞n+，化为：a＜n2+n．
∴a＜2．
由“a2＞a1”可得：2+＞1+a，可得：a＜2．
∴“a2＞a1”是“数列{an}单调递增”的充要条件，
故选：C．
10.已知集合A＝{a1，a2，…，an，n∈N*且n＞2}，令TA＝{x|x＝ai+aj}，ai∈A，aj∈A，1≤i≤j≤n，card（TA）表示集合TA中元素的个数．
①若A＝{2，4，8，16}，则card（TA）＝；
②若ai+1﹣ai＝c（1≤i≤n﹣1，c为非零常数），则card（TA）＝．
【答案解析】
6；2n﹣3
解：①若A＝{2，4，8，16}，
则TA＝{6，10，18，12，20，24}，
∴card（TA）＝6；
②若ai+1﹣ai＝c（1≤i≤n﹣1，c为非零常数），说明数列a1，a2，…，an，构成等差数列，取特殊的等差数列进行计算，
取A＝{1，2，3，…，n}，则TA＝{3，4，5，…，2n﹣1}，
由于（2n﹣1）﹣3+1＝2n﹣3，
∴TA中共2n﹣3个元素，
利用类比推理可得
若ai+1﹣ai＝c（1≤i≤n﹣1，c为非零常数），则card（TA）＝2n﹣3．故答案为：6；2n﹣3．。