解方程与不等式错误例析

解方程与不等式错误例析

作者：车勇

来源：《初中生·考试》2011年第03期

方程与不等式是初中数学的基础知识，是解其他问题的工具，也是历年中考的考查重点. 现以2010年的中考题为例，把解方程与不等式的常见错误归纳如下，供你复习时参考.

一、不会利用方程知识进行数学推理

例1（2010年威海卷）如图1，在第一个天平上，砝码A的质量等于砝码B加上砝码C的质量；如图2，在第二个天平上，砝码A加上砝码B的质量等于3个砝码C的质量.请你判断：1个砝码A与个砝码C的质量相等.

错解：填1或3.

剖析：设一个砝码A的质量为x，砝码B的质量为y，砝码C的质量为z，则x=y+z，

x+y=3z.两式相加可得x=2z，即填2.

温馨小提示：填1或3的考生，很可能是没有进行推理而随意填的.我们要善于利用方程或不等式表示生活中的相等关系或不等关系，并进行推理，从而得出结论.

二、没有理解数轴上的实心点与空心点的区别

例2（2010年湘潭卷）不等式组的解集在数轴上表示如图3所示，则该不等式组可能为（）

A. x>-1，x≤2.

B. x≥-1，x

C. x≥-1，x≤2.

D. x

错解：C.

剖析：“空心点”表示解集没有包括-1本身，不等式为x>-1，“实心点”表示解集包括2，不等式应该为x≤2. 正确答案是A.

温馨小提示：利用数轴表示不等式的解集需注意两点，表示区域的方向要用对，大于向右画，小于向左画；“实心点”包含这个数，“空心点”不含这个数.

三、没有理解“有实数根”与“有两个实数根”的区别

例3（2010年芜湖卷）关于x的方程（a-5）x2-4x-1=0有实数根，则a满足（）.

A. a≥1

B. a＞1且a≠5

C. a≥1且a≠5

D. a≠5

错解：选A.

剖析：关于x的方程（a-5）x2-4x-1=0有实数根，它不一定就是一元二次方程，还可以是一元一次方程，要分类思考.

一元二次方程“有实数根”，此时a-5≠0，Δ=b2-4ac≥0，

即16-4（a-5）×（-1）≥0. 解得a≥1且a≠5.

当a-5=0，即a=5时，原方程是一元一次方程，有实数根，符合题意. 所以选A.

温馨小提示：一元二次方程有实数根，有相等的实数根和不相等的实数根两种情况，此时Δ=b2-4ac≥0，不能漏掉等号.研究含字母系数方程的实数根时，若未指明方程是一元二次方程，“有实数根”需分a=0和a≠0两种情况讨论.

四、解分式方程时出现的符号错误

例4（2010年青海卷）分式方程■+■=■的解为.

错解：方程两边同乘以（x+1）（x-1）得（x-1）+6（x+1）=3.

解得x=-■. 填-■.

剖析：因为（1-x）=-（x-1），去分母时，第二项的符号为负号. 即（x-1）-6（x+1）=3. 解得x=-2. 经检验，-2是原方程的根. 故填-2.

温馨小提示：解分式方程有歌诀如下：同乘最简公分母，化成整式写清楚，求得解后需验根，原（根）留增（根）舍别含糊.

五、方程两边因同除以含有未知数的代数式而失根

例5（2010年大兴安岭卷）方程（x-5）（x-6）=x-5的解是（）.

A. x=5

B. x=5或x=6

C. x=7

D. x=5或x=7

错解：两边同除以（x-5）得x-6=1，所以x=7. 选C.

剖析：方程两边同除以一个不为零的数，才是同解变形. 因为（x-5）可能为零，所以错解中的变形就可能失根.

正解：移项，得（x-5）（x-6）-（x-5）=0.

方程可变形为（x-5）（x-6-1）=0，所以x-5=0或x-7=0.

解得x=5或x=7. 选D.

温馨小提示：解方程时，方程两边一般不同除以含有未知数的代数式（这个代数式恒不为零的除外），因为这样可能产生失根.

六、没有理解不等式的整数解与取值范围之间的关系

例6（2010年荆门卷）试确定实数a的取值范围，使不等式组■+■>0，（1）x+■>■

（x+1）+a （2）恰有两个整数解.

错解：由不等式（1）得x>-■.

由不等式（2）得3x+5a+4＞4（x+1）+3a，即x

∴原不等式组的解为-■

剖析：由于没理解不等式的整数解与取值范围之间的关系，也就无法用上“恰有两个整数解”的条件，就不能进一步确定实数a的取值范围. 其实应补上：

∵原不等式组恰有2个整数解，∴ x=0，1.

∴ 1＜2a≤2，∴ ■＜a≤1.

温馨小提示：不等式的整数解与解集存在一定的关系. 从解集中很容易找出整数解，其实，已知整数解，也可以确定解集，如本例.

七、根据方程（或不等式）编写应用题，语言表达离题

例7（2010年淮安卷）小明根据方程5x+2=6x-8编写了一道应用题.请你把空缺的部分补充完整.

某手工小组计划教师节前做一批手工品赠给老师，如果每人做5个，那么就比计划少2个；. 请问手工小组有几人?（设手工小组有x人）

错解：若每人做6x个，就比原计划少8个

剖析：错解的原因在于审题不细心，只看方程中的右边部分6x-8与左边5x+2构成等式，于是就补写了“若每人做6x个……”，其实，“6x个”是手工小组做的总个数，每人做的手工品是6个.

正解：若每人做6个，比原计划多8个

温馨小提示：这道语言表达题有一定的难度. 补充文字时要注意两点：语言情景与已出现的情景要一致；设计的数字要与左边代数式相符.最后验证补充的文字是否正确. ■