天津专用2018版高考数学总复习专题05平面向量分项练习含解析理201710013108

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专题05 平面向量
一.基础题组
1.【2006天津,理12】设向量与b的夹角为,且a (3,3),2b a
(1,1)
,则cos
__________.
【答案】310
10
【解析】设向量与的夹角为,且a (3,3),2b a (1,1),∴b (1,2),则
cos
a b9
310
||||325
a b
10
m
2.【2007天津,理10】设两个向量a
(2,2cos2)和b (m,sin),其中,m ,为
2
实数.若a 2b,

m
的取值范围是( )
A.[6,1]
B.[4,8]
C.
(,1] D. [1,6]
【答案】A
【解析】
(16t 18t
2)[0,4]
2
111
t [1,]1
8k28
解得6k 1.故
选A
解不等式得因而
3.【2007天津,理15】如图,在ABC中,BAC 120,AB 2,AC 1,D是边BC上一点,
DC 2BD,则AD A BC
.
A
B D
C
1
【答案】 8 3 【解析】
cos 由余弦定理得 B AB AC BC AB AD BD
2 2 2 2 2 2
2 AB AC 2 AB BD
可得 BC 7
, AD 13 3 , BD 2
AD 2 AB 2
32 9 8 cos ADB
BD AD
, 又 AD , BC 夹角大小为 ADB ,
2
9 4 13 7 91
8
AD BC cos ADB
所以 AD A BC
. 3
4.【2008天津,理 14】如图,在平行四边形 ABCD 中, AC
1,2, BD
3,2
,则
AD AC
.
【答案】3
5.【2009天津,理 15】在四边形 ABCD 中,AB DC (1,1) ,
|
1 1
BA
BC
BA |
| BC |
3 BD
BD
,则四边形 ABCD 的面积为_________________.
【答案】 3 【解析】由于 AB DC (1,1) ,则四边形 ABCD 是平行四边形且| AB | 2 ,又由
| 1
1
BA
BC
BA |
| BC |
3 BD
BD
,得 BC 、CD(BA)与 BD 三者之间的边长之比

1∶1∶3,那么可知∠DAB=120°,所以AB边上的高为
6
2
.所以四边形ABCD的面积

6
23.
2
6.【2010天津,理15】如图,在△ABC中,AD⊥AB,BC3BD,|AD|=1,则AC AD=__________.
2
【答案】3
【解析】
解析:∵AC AB BC AB 3BD AB 3(BA AD)(13)AB 3AD ∴AC·AD=(1-3)AB+3AD]·AD=(1-3)AB·AD+3A D2=3
AD=3.
2
7.【2012天津,理7】已知△ABC为等边三角形,AB=2.设点P,Q满足AP=λAB,AQ=(1-λ) AC,λ∈R.若BQ CP
3
2
,则λ=()
A.
1
2
12
B.
2
110
C.
2
D.
32
2
2
【答案】A
3
即(2λ-1)2=0,∴1 2

8.【2013天津,理12】在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若AC·BE=1,则AB的长为__________.
【答案】1 2
【解析】如图所示,在平行四边形ABCD中,AC=AB+AD,BE=BC+CE =
1 AB 2
+AD.
4
1
AB AD
所以 AC ·BE =(AB + AD )·
2
1 |AB |2+|AD |2+ =
2 1 2 AB ·AD 1 1 1
|AB |2+

|AB |+1=1,解方程得|AB |= (舍去|AB |=0),所以线段 AB 的长
2 4 2
1
为 .
2
9. 【2017天津,理 13】在△ABC 中,∠A
60 , AB 3, AC 2 .若 BD 2DC ,
AE
AC AB
R ,且 AD AE
4 ,则 的值为___________
( )
3
【答案】
11
【考点】向量的数量积
【名师点睛】根据平面向量基本定理,利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向 量,利用向量的定比分点公式表示向量,则可获解.本题中 AB , AC 已知模和夹角,作为基底 易于计算数量积. 二.能力题组
1.【2005天津,理 14】在直角坐标系 xOy 中,已知点 A (0,1)和点 B (3,4),若点 C 在∠AOB 的平分线上且| OC | = 2,则 OC = __________。

【答案】 (
10 , 3 10 )
5
5 【解析】设OC
2cos
,2sin
,则的终边在第 2象限,即
sin
0且
cos 0 ,
14134
arctan
arctan 又
223223
由cos22cos21,得
2cos1cos arctan1sin arctan1
23444
1
23355
5
所以:cos21
,sin2
10
9
10
13
cos ,sin
1010
22
310310
得:
OC 2cos
,2sin,,
1010
55
10310
(,)
5 5
本题答案填写:
2.【2014天津,理8】已知菱形ABCD的边长为2,ÐBAD=120,点E,F分别在边BC,DC
上,BE=l BC,DF=m DC.若AE×AF=1,CE×CF=
-
2
3
,则l+m=
()
(A)
1
2
(B)
2
3
(C)
5
6
7
(D)
12
【答案】C.
【解析】
考点:1.平面向量共线充要条件;2.向量的数量积运算.
3. 【2015高考天津,理14】在等腰梯形ABCD中,已知
AB//DC,AB 2,BC 1,ABC
60,动点E和F分别在线段BC和DC上,且,
1
BE BC,DF DC,则AE AF的最小值为.
9
29
【答案】
18
1
1
【解析】因为
DF DC,DC
AB

92 11919
CF DF DC DC DC DC AB
9918

AE AB BE AB
BC,
1919
AF AB BC CF AB BC AB
AB BC
1818

6
1
9
1 9
1 9
2
2
AE AF
AB BC AB BC AB BC 1
AB BC
18
18
18
1 9
19 9
4
2
1
cos120
18
18
2 1 17 2 1 17 29 2
9 2
18 9 2 18 18 当且仅当
2
1
时 AE AF 的最小值为 29

2 9 2
3
18
. F
D C E
B
A
【考点定位】向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.
三.拔高题组
1.【 2011天 津 , 理 14】 已 知 直 角 梯 形
ABCD 中 , AD
//BC ,
ADC 900 ,AD 2, BC 1,P 是腰 DC 上的动点,则 PA 3PB 的最小值为
____________. 【答案】5
y C
B
D
A
o x
2. 【2016高考天津理数】已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的
7
中点,连接 DE 并延长到点 F ,使得 DE =2EF ,则 AF BC 的值为
5 1
(B )
(A )
8
8
(C )
1 4
11 8
(D )
【答案】B 【解析】
试题分析:设 BA a , BC b ,∴
1
1 (
)
2
2
2 4
3 3
DE
AC
b
a , DF
DE
(b a ),
1 3 5 3
AF AD DF a (b a ) a b ,∴
2 4 4
4
5 3 5 3 1
AF BC a b b
.
2
4
4 8 4 8
【考点】向量数量积
【名师点睛】研究向量的数量积问题,一般有两个思路,一是建立直角坐标系,利用坐标研究 向量数量积;二是利用一组基底表示所有向量,两种实质相同,坐标法更易理解和化简. 平 面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”,实质是将“形”化为“数”.向 量的坐标运算,使得向量的线性运算都可用坐标来进行,实现了向量运算完全代数化,将数与 形紧密结合起来.
8。

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