等差数列前n项和

高斯（1777---1855）， 德 国数学家、物理学家和天文学家。 他和牛顿、阿基米德，被誉为有 史以来的三大数学家。有“数学 王子”之称。
求 S=1+2+3+······+100=？ 你知道高斯是
高斯算法：
怎么计算的吗？
首项与末项的和：
1＋100＝101，
第2项与倒数第2项的和： 2＋99 =101，
（2）当d<0时,Sn有最大值 若a1<0,则S1最大； 若a1>0,则所有正数项的和最大。
另法：前n项和Sn的公式是关于n的二次函数，故 可利用二次函数来求最值（注意：n为正整数）。
例5 已知一个等差数列中满足3a4 7a7,且a1 0 Sn是数列{an}的前n项和，求n为何值时Sn取最大值.
则: b1,b2,b3, ,成等差数列,公差为:kd
(等差数列等分若干段后,各段和依序成等差数列)
数列a
n
是公差为d的等差数列，则S n
An2
Bn
Sn n
An B
Sn n
是等差数列，公差为A.
2.已知an是公差为d的等差数列，Sn为数列an的前n项和，则
Sn n
是等差数列，公差为
d 2
解：方法一
3a4
7a7
d
4 33 a1
0
an
a1
(n
1)
•
(
4 33
)a1
0
n
37 4
当n 9时，an 0; 当n 9时，an 0
故当n=9时，Sn取最大值.
方法二
3a4
7a7
d
4 33
a1
0
Sn
na1
n(n 1) 2
(
4 33
a1
)
2 33
a1n2
35 33
a1n,
2 33
a1(n
35)2 4
500.
(2)a1 100 , d 2, n 50;
S50
50100
5（ 0 50 1) (2) 2
2
3
(3)a1
3 , an
,n 2
14;
Sn
Sn
2550
Sn
na1
n（a1 an 2
n（n 1) d 2
n（a1 an 2
)
)
S14
14[2 / 3 (3 / 2
2)]
35 . 6
2 33
( 35 )2 4
对称轴n
35 4
[8,
9] 且更接近9，所以n=9.
等差数列的性质三
1、SK，S2K
SK，S3K
S2
，
K
，也成等差数列
推广：在等差数列中，每次有规律地 取出若干项相加，这些和仍等差。
2、设两等差数列{an}、{bn}分别为Sn、Tn 则 an S2n1 bn T2n1
3、等差数列奇，偶项和问题
2、已知等差数列an中，a6 20,求S11.
解: a6 20 a1 a11 2a6
S11
11(a1 2
a11 )
11a6
220.
Sn
（n a1 2
an )
Sn
na1
（n n 1) 2
d
小结
1、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式;
2、已求知和首公项式、末(项)S用n 公n式(aⅠ12；a已n )知(首)S项n 、n公a1差用n(公n2式 1Ⅱ) d.
第二章 数列
2.3.1 等差数列的前n项和
复习
1.等差数列的定义：
an是等差数列 an an1 d(n 2)
2.通项公式：
an a1 (n 1)d . an am (n m)d .
3.重要性质:
m n p q am an ap aq .
引入
一个堆放铅笔的 V形架，最下面第一 层放一支铅笔，往上 每一层都比它下面多 放一支，就这样一层 一层地往上放。最上 面一层放100支。求 这个V形架上共放着 多少支铅笔？
.
例1 求集合M m | m 7n, n N*,且m 100
的元素个数，并求这些元素的和.
解： 7n 100 n 100 14 2
7
7
, 所以集合M中的元素共有14个. 将它们从小到大列出，得
7, 27, 37, 47, 14 7,
即 7，14，21，28，…，98 这个数列是成等差数列，
即求：S=1+2+3+······+100=？
高斯“神速求和”的故事:
高斯出生于一个工匠 家庭，幼时家境贫困， 但聪敏异常。上小学四 年级时，一次老师布置 了一道数学习题：“把 从1到100的自然数加起 来，和是多少？”年仅 10岁的小高斯略一思索 就得到答案5050，这使 老师非常吃惊。那么高 斯是采用了什么方法来 巧妙地计算出来的呢？
(4 10)7. S (4 10) 7 49.
2
两种求和法 ： 高斯算法 倒序相加法
探究
设等差数列an的前n项和为Sn,即Sn a1 a2 an.
怎样求一般等差数列的前n项和呢？
思路1 Sn a1 a2 an.
Sn an an1 a1.
2Sn (a1 an ) (a2 an1) (an a1)
又解解：：由由aaaaS118810aaaa129290aaa1aa3103101107212， 5729， 5d a11 45aaa.11108dad24，a295SSnna3n（nada11aa182（n31a，nn.82)71.) d
a1 a10 a2 a9 a3 a8，
3(a1 a10 ) 87即(a1 a10 ) 29.
整体运算 的思想!
S10
10(a1 a10 ) 2
5(a1
a10 )
529 145.
例6、在等差数列an 中，
已知a2 a5 a12 a15 36, 求S16 .
解：a2 a5 a12 a15 36 a2 a15 a5 a12 a1 a16 18
S16
16(a1 2
结论：设数列{an}是等差数列，且公差为 d ， （Ⅰ）若项数为偶数，设共有2n 项，
则① S 偶
S 奇 nd ；②
S奇 S偶
an an1
；
结论：设数列{an}是等差数列，且公差为 d ， （Ⅱ）若项数为奇数，设共有 2n 1项，
则① S
奇
S
偶
an1
S奇
a中 ；② S偶
n 1
n．
例6、已知一个有限项等差数列，前5项的和是34， 后五项的和是146，所有项的和是234，求第7项．
0.
又 n N*, n 12.
法二 an 25 2n, 又可得a1 23,
Sn
n(a1 2
an )
(n
12)2
144.
根据二次函数的性质可知当n=12时Sn最大.
结论：
Sn有最大值还是最小值取决于公差d的正负 （1）当d>0时,Sn有最小值
若a1>0,则S1最小； 若a1<0,则所有负数项的和最小。
整理得 n2 6n 27 0
解得 n1 9, n2 3（舍去）
因此，等差数列-10，- 6，- 2，2， 前9项的和是54
注：本题体现了方程的思想.
Sn
（n a1 2
an )
Sn
na1
（n n 1) 2
d
例4、数列an为等差数列，若a1 a2 a3 12,
a8 a9 a10 75, 求 S10.
即求：S=4+5+6+7+8+9+10.
高斯算法：
还有其它算 法吗？
S=（4+10) +（5+9）+（6+8）+7 = 14×3+7=49.
S=4+5+6+7+8+9+10. S=10+9+8+7+6+5+4. 相加得：
倒序相加法
2S (410) (59)(68) (77)(86)(95)(10 4)
又解：原式 (1 2) (3 4) (5 6) [(2n 1) 2n].
例2
例3、 等差数列10, 6, 2, 2, 前多少项的和是54？
解：设该等差数列为an,其前n项和是Sn ,
则a1 10, d 6 (10) 4, Sn 54. 根据等差数列前项和公式，得
-10n n(n -1) 4 54 2
相加得：2Sn (a1 an ) (a1 an )
n个
n(a1 an ).
(a1 an )
Sn
n(a1 an ) 2
.
思路3
Sn a1 a2 an a1 (a1 d ) (a1 2d ) [a1 (n 1)d ].
Sn an an1 a1 [a1 (n 1)d] [a1 (n 2)d] [a1 (n 3)d] a1.
（3）通项特征：一次形式
（4）前n项和特征：无常数项的二次形式
Sn的深入认识
an an = 4n-14
Sn = 2n2-12n
Sn
6
O
n
O
n
例4、已知一个等差数列中an 25 2n(n N *),
求使其前n项和Sn最大时的n值.
解：法一
an 0, an1 0
25 25
2n 0, 2(n 1)
n(a1 an ).
a1 an a2 an1 an a1
Sn
n(a1 an ) . 2
思路2
Sn a1 a2 an
a1 (a1 d ) (a1 2d) [a1 (n 1)d]. Sn an an1 a1
an (an d ) (an 2d ) [an (n 1)d].
第3项与倒数第3项的和： 3＋98 ＝101， ······
第50项与倒数第50项的和：50＋51＝101，
于是所求的和是： 101100 5050.
2
高斯算法用到了等差数列的什么性质？
m n p q am an ap aq .
如图，是一堆钢管，自上而下每层钢管数为4、 5、6、7、8、9、10，求钢管总数。
记为 an a1 7, a14 98, n 14
14 (7 98)
S14
2
735.
Sn
n（a1 2
an )
答：集合M共有14个元素，它们的和等于735.
规律
思考： 其前30项和S30呢？ S30=2730
a1+…+a10=310
a21+…+a30=1510
a11+…+a20=910
3、应用公式求和.“知三求二”，方程的思想. 当已知条件不足以求出a1和d时，要认真观察，灵活应用 等差数列的性质，看能否用整体思想求a1+an的值. 4、数学方法：观察、尝试、归纳、类比等.
数学思想：类比思想、整体思想、方程思想等.
作业
课本P46（A） 2
2.3.2 等差数列的前n项和性质
复习
性质二 若等差数列an的前n项和为Sn，
则SK，S2K SK，S3K S2K， ，构成等差数列
an与Sn的关系：
an
S1 Sn
,
Sn1
,
n 1 n2
（1）当r≠0时，{an}不是等差数列； （2）当r=0时，{an} 是等差数列：首项p+q，公差2p. 判断数列等差的依据： （1）定义：an+1-an=d （2）等差中项
an a1 (n 1)d
(4)a1 14.5, d 0.7, an 32.
32 14.5
26 (14.5 32)
n 0.7 1 26, S26
2
604.5.
等差数列前n项和性质一：
1.已知an是公差为d的等差数列，若b1 a1 a2 ak ,
b2 ak1 ak2 a2k，b3 a2k1 a2k2 a3k , ,
a16 )
8(a1
a16 )
818 144.
Sn
（n a1 2
an )
Sn
na1
（n n 1) 2
d
练习
1、一个等差数列前4项的和是24，前5项的和 与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通 项公式。
解：
S4 S5
24， S2 27
(45aa1161d0d)24，(2a1
d
)
27
ad123， an 3 2(n 1) 2n 1.
相加得 2Sn [2a1 (n 1)d ] n.
Sn
na1
（n n 1) 2
d.
等差数列的前n项和公式
公
公式2
说明：
an a1 (n 1)d
Sn
na1
n（n 2
1)
d
1、已知首项、末项用公式Ⅰ；已知首项、公差用公式Ⅱ.
2、等差数列五个基本量 a1,an,d,n,Sn，“知三求二”(方 程的思想).
1.当知道首项a1和末项an时用
Sn
n(a1 an ) . 2
2.当知道首项a1和公比d时用
Sn
na1
n(n 1) 2
d.
Sn ,n, a1,an ,d 知三求二.
课前练习 根据下列条件，求相应的等差数列 {an}的Sn。
(1)a1 5, an 95, n 10;
S10
10 (5 95) 2
举例
例1、计算：
(1)1 2 3 (2)1 3 5 (3)2 4 6
Sn
（n a1 2
an )
n；
n(n
1)
Sn
na1
（n n 1) 2
d
2
(2n 1)； n2
2n； n(n 1)
(4)1 2 3 4 5 6
(2n 1) 2n.
n
(4)解：原式 [1 3 5 (2n 1)] (2 4 6 2n).