2017年高考通关讲练高考数学(理科)-课标通用-第3辑：五、定积分 含解析

五、定积分
考纲要求
1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想,了解定积分的概念。

2．了解微积分基本定理的含义。

命题规律
从近三年高考情况来看，高考中对此知识的考查频率不是很高，主要是考查定积分的概念和几何性质，以及利用微积分定理计算定积分、使用定积分求曲边梯形的面积,并能解决一些简单的物理问题等．在解题时要熟练运用微积分基本定理及定积分的相关运算性质求解，必要时运用数形结合的思想求解。

题型以选择题或填空题为主.
1．定积分的定义和相关概念
(1）如果函数f (x )在区间a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0〈x 1〈…<x i −1
〈x i 〈…<x n ＝b 将区间a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间x i −1,x i ］上任取一点ξi (i ＝1,2， …，n )，作和式
1
1
()()n
n
i
i i i b a
f x f n
ξξ==-∆=∑∑
;当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，
这个常数叫做函数f （x )在区间a ,b ]上的定积分，记作()d b a
f x x ⎰，
即()d b a
f x x ⎰
＝1
lim ()n
i n i b a
f n
ξ→∞
=-∑。

(2）在()d b
a
f x x ⎰
中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间a ，
b ]叫做积分区间,函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，f
（x )d x 叫做被积式．
2．定积分的性质 (1)()()d d b b a
a
kf x x k f x x =⎰
⎰(k
为常数）;
（2）[()()]d ()d ()d b
b
b a
a
a
f x
g x x f x x g x x ±=±⎰⎰
⎰;
（3）()d =()d +()d b
c b
a
a
c
f x x f x x f x x ⎰
⎰⎰(其中
a 〈c <
b )．
3．微积分基本定理
一般地,如果f (x )是区间a ，b ]上的连续函数，且F ′（x )＝f (x )，那么()d b a
f x x ⎰
＝F (b )−F (a )．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做
牛顿—莱布尼茨公式，其中F （x )叫做f （x )的一个原函数．为了方便,我们常把F (b )−F (a )记作()b
F x a ，即()d b
a
f x x ⎰
=()
b F x a
＝F （b )−F (a ）．
4．定积分的几何意义
（1）当函数f (x ）在区间a ,b ］上恒为正时,定积分b
a ⎰f （x ）d x 的
几何意义是由直线x ＝a ,x ＝b （a ≠b ），y ＝0和曲线y ＝f （x ）所围成的曲边梯形的面积（图①中阴影部分）．
（2）一般情况下，定积分b a
⎰f （x ）d x 的几何意义是介于x 轴、
曲线f (x )以及直线x ＝a ，x ＝b 之间的曲边梯形面积的代数和（图②中阴影部分所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．
若S 1＝21⎰x 2d x ，S 2＝21d 1
x x
⎰，S 3＝2
e d 1
x
x ⎰，则S 1，S 2，S 3的大小关系为
A ．S 1〈S 2<S 3
B ．S 2<S 1<S 3
C ．S 2<S 3<S 1
D ．S 3〈S 2<S 1
【答案】B
【解析】根据微积分基本定理得，31217
133
S
x ==，2
2ln ln 21S x ==，232e e e 1
x
S ==-。

又
ln 2〈1<73
，2
7
e
e=e(e 1)>e 3
-->
，所以S 2<S 1〈S 3。

选
B.
【考点定位】定积分的计算、微积分基本定理.
由曲线1=xy ,直线3,==y x y 所围成的平面图形的面积为 A ．329
B ．2−ln 3
C ．4＋ln 3
D ．4−ln 3 【答案】D
【解析】由曲线1=xy ,直线3,==y x y 所围成的平面图形如下图中的阴影部分所示：
其中1(,3),(1,1),(3,3)3
A B C ,所以阴影部分的面积
3
2
1311()d (ln )4ln 312
S y y y y y =-=-=-⎰,
故选D.
【
考点定
位】定积分的几何意义.
1．若1
2
()2()d f x x
f x x =+⎰，则1
()d f x x ⎰＝
【解题技巧】求定积分的关键是找到被积函数的原函数，为避免出错，在求出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行
【名师点睛】定积分的应用主要有两方面：一是能利用定积分求曲边梯形的面积;二是能利用定积分求变速直线运动的路程及变力做功问题，其中，应特别注意求定积分的运算与
A ．−1
B ．13
- C ．13
D ．1
2．设抛物线C ：y ＝x 2与直线l ：y ＝1围成的封闭图形为P ，则图形
P 的面积S 等于
A ．1
B ．13
C ．23
D ．43
3．在平面直角坐标系中，记抛物线y ＝x −x 2与x 轴所围成的平面区域为M ，该抛物线与直线y ＝kx (k >0)所围成的平面区域为A ,向区域M 内随机抛掷一点P ，若点P 落在区域A 内的概率为827
，则k
的值为
A ．13
B ．23
C ．12
D ．34
4．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车,以速度
25
()731v t t +
t
=-+（t 的单位：s,v 的单位：m/s ）行驶至停止．在此期
间汽车继续行驶的距离(单位：m ）是
A ．1＋25ln 5
B ．8＋25ln 113
C ．4＋25ln 5
D ．4＋50ln 2 5．e 1
(1ln )d =x x +⎰
________。

6．正方形的四个顶点A (−1，−1)，B （1，−1),C (1,1），D (−1,1）分别在抛物线y ＝−x 2和y ＝x 2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．
7．一物体在力5,02,()=34,2x F x x x ≤≤⎧⎨+>⎩
(单位:N)的作用下沿与力F 相同的方向，
从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m ）处,则力F （x ）做的功为________焦．
参考答案
1．B 【解析】令10
()d =f x x m ⎰
,则2()=+2f x x m ，所以
1
1
2
3
0111()d =(+2)d (2)203
3f x x x m x x mx m m =+=+=⎰
⎰，解得13m =-，所以101()d =3f x x -⎰，故选B. 2．D
【解析】由2
1
y x y ⎧=⎨=⎩，得1x =±。

如图,由对称性可知，
1
230114
2(11d )2(11)033
S x x x =⨯-=⨯-=⎰，选D 。

3．A 【解析】∵M 的面积为1
2
2
30
111
1()d ()02
3
6x x x x
x -=-=⎰,
A 的面积为1223230
1111()d ()(1)02326
k
k k
x x kx x x x x k ----=--=-⎰
,
∴3
1
(1)86,127
6
k -=∴1=3k ，故选
A.
4．C 【解析】令v (t ）＝0得,3t 2−4t −32＝0,解得t ＝4(83
t =-舍去）。

汽车的刹车距离是4
2
04253(73)d [725ln(1)]425ln 5.012
t +t t t t t -=-++=++⎰故选
C 。

5．e 【解析】∵（x ln x )′＝1＋ln x ，∴e
1(1ln )d =e
ln =e 1
x x x x +⎰
. 6．23
【解析】由几何概型的概率计算公式可知,所求概率
1
212
8
2(1)d 23=243
x x
S P =
S --==⎰阴影
正方形
. 7．36 【解析】由题意知,力F （x ）所做的功为
424200243
()d 5d (34)d 52(4)22
W F x x x x x x x ==++=⨯++⎰⎰⎰
2233
10[444(242)]3622
=+⨯+⨯-⨯+⨯=(焦)．
1．求定积分的三种方法
（1）利用定义求定积分（定义法），可操作性不强; （2）利用微积分基本定理求定积分；
（3）利用定积分的几何意义求定积分．当曲边梯形面积易求时，
可通过求曲边梯形的面积求定积分．例如，定积分
x ⎰
的
几何意义是求单位圆面积的1
4
，所以0π=4x ⎰。

2．用牛顿-莱布尼茨公式求定积分的步骤
（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；
（2）把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分;
（3）分别用求导公式找到一个相应的原函数;
（4）利用牛顿—莱布尼茨公式求出各个定积分的值； （5）计算原始定积分的值.
3．利用定积分求平面图形面积问题的常见类型及解题策略 （1）利用定积分求平面图形面积的步骤
①根据题意画出图形；
②借助图形确定出被积函数,求出交点坐标，确定积分的上、下限;
③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分,写出答案． （2）知图形的面积求参数
求解此类题的突破口:画图，一般是先画出它的草图;然后确定积分的上、下限，确定被积函数,由定积分求出其面积，再由已知条件可找到关于参数的方程，从而可求出参数的值． （3）与概率相交汇问题
解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积，再用相应概率公式进行计算.
4．利用定积分解决变速直线运动与变力做功问题
利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时,关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间,得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求.
5．定积分与曲边梯形的面积的关系(必记结论）
定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形来确定：
设阴影部分面积为S ,则 （1) ()d b a S f x x =⎰；
（2）
()d b a
S f x x =-⎰；
（3)
()()d d c
b
a
c
S f x x f x x =-⎰⎰；
（4）
()()()()d d []d b b
b
a
a
a
S f x x g x x f x g x x =-=-⎰⎰⎰.
利用定积分求平面图形的面积出错
如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．
【错解】1211
建立平面直角坐标系（如正解中的图)。

过B 作BE ⊥x 轴于点E .∵∠BAE =45°，BE =2,∴AE =2.又OE =5，∴A (3,0)，B （5,2)。

设抛物线的方程为2
2x py =（0p >)，代入
B 点坐标，得254
p =，故抛物
线的方程为2
225
y x =
，从而曲边三角形OEB 的面积为52
35002210d 25753x x x ==⎰，又12222
ABE S =⨯⨯=△，故曲边三角形OAB 的面积为43，又易知等腰梯形的面积为6+102162⨯=，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为1612411163
=-.
【错因分析】本题的错解中忽略了图象的对称性，计算结论时,阴影部分的面积应为83
.
【正解】建立平面直角坐标系（如图).过B 作BE ⊥x 轴于点E . ∵∠BAE =45°，BE =2，∴AE =2.又OE =5，∴A （3,0）,B （5,2）。

设抛物线的方程为2
2x py =（0p >），代入
B 点坐标，得254
p =，故抛
物线的方程为2
225y x =
，从而曲边三角形OEB 的面积为5
23
5
2210
d 2575
3x x x ==⎰
，又12222ABE S =⨯⨯=△,故曲边三角形OAB 的面积为43
，
学必求其心得，业必贵于专精 从而图中阴影部分的面积为83。

又易知等腰梯形的面积为6+102162⨯=,则原始的最大流量与当前最大流量的比值为16
1.28163=-.
【名师点晴】在利用定积分求曲边梯形的面积时，要注意结合图形分析，否则易造成对实际情况的考虑不全而失误。

本题主要考查的是抛物线的方程和定积分的几何意义，属于难题．解题时一定要抓住重要字眼“原始”和“当前"，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是定积分的几何意义，即由直线x a =，x b =,0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积是()d b
a
f x x ⎰．。