2023届高考数学一轮复习讲义：第5讲 基本不等式

第5讲 基本不等式
1．基本不等式：ab ≤a ＋b
2
(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号．
(3)其中 称为正数a ，b 的算术平均数， 称为正数a ，b 的几何平均数． 2．利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则
(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当 时，x ＋y 有最小值是 ．(简记：积定和最小)
(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当 时，xy 有最大值是 ．(简记：和定积最大)
常用结论 几个重要的不等式
(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．
(2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22
(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a 2＋b 22≥
⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (4)b a ＋a
b ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号．
➢
考点1 利用基本不等式求最值
[名师点睛]
1.通过配凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 2.常数代换法求最值的步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 3.消元法求最值的方法
消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围． [典例]
1.（2022·河北·高三阶段练习）已知实数a ，b 满足条件
33b
a b ++，则22a b +的最小值
为（ ） A ．8
B ．6
C ．4
D ．2
2．（2022·湖南湖南·二模）函数()1
22
y x x x =+>-+的最小值为（ ） A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
3．（多选）（2022·河北石家庄·二模）设正实数m ，n 满足2m n +=，则下列说法正确的是（ ） A ．
11
m n
+上的最小值为2 B ．mn 的最大值为1
C 4
D ．22m n +的最小值为5
4
4.[2021河南平顶山模拟]若对于任意x >0，不等式x
x 2＋3x ＋1
≤a 恒成立，则实数a 的取值范围
为( )
A ．⎣⎡⎭⎫15，＋∞
B ．⎝⎛⎭⎫15，＋∞
C ．⎝⎛⎭⎫－∞，15
D ．⎝
⎛⎦⎤－∞，1
5 [举一反三]
1．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））函数413313y x x x ⎛⎫
⎪⎝=>-⎭
+的最小值为（ ）
A ．8
B ．7
C ．6
D ．5
2．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知0x >，0y >，22x y +=，则12
x y
+的最小值是（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．6
3．（2022·全国·模拟预测）已知a ，b 为非负数，且满足26a b +=，则()()22
14a b ++的最大
值为（ ） A ．40
B ．
167
4
C ．42
D ．
169
4
4．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（ ）
A ．2
B ．2
C ．2
D ．6
5．（多选）（2022·河北保定·一模）下面描述正确的是（ ） A ．已知0a >，0b >，且1a b +=，则22log log 2a b +≤-
B ．函数()lg f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，则2+a b 的最小值是C
．已知
()1210,012x y x x y
+=>>++，则3x y +的最小值为2+ D ．已知()22
200,0x y x y xy x y +---+=>>，则xy 的最小值为
712
6．（多选）（2022·重庆八中高三阶段练习）设001a b a b >>+=，，，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．114a b
+≥
B ．2212
a b +≥
C D ．10b +<
7．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）已知a ，b 为正实数，且2a b +=，则22
21
a b a b +++的最小值为____________，此时=a ____________． 8．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知1x y >>，则()
41x y x y xy y
-+++-的最小值为
___________.
9．（2022·天津·大港一中高三阶段练习）设0m n >>，那么()4
1m m n n
+-的最小值是___________.
10．（2022·天津河北·一模）已知0a >，0b >，且1a b +=，则11
a b
a b +++的最大值为__________.
11．（2022·全国·高三专题练习）已知0,0,0,233x y z x y z >>>++=，求222111
()(2)(3)462x y z y z x
+
++++ 的最小值；
➢
考点2 利用基本不等式证明不等式
[典例]
（2022·全国·高三专题练习）已知,,a b c 都是正数，求证： (1)()()2
4a b ab c
abc ++≥；
(2)若1a b c ++=，则1119
2
a b b c c a ++≥+++.
[举一反三]
1．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））已知a ，b ，c 为正数. (1)求2
4
a a +
的最小值； (2)求证：bc ac ab a b c a b c
++≥++.
2．（2022·陕西·西安工业大学附中高三阶段练习（文））已知0,0a b >>. (1)若2a b +=，求
14
11+++a b
的最小值； (2)求证：2222(1)++≥++a b a b ab a b .
3．（2022·河南开封·二模（文））已知,,R a b c +∈，且abc =1. (1)求证：222111a b c a b c
++++≥；
(2)若a =b +c ，求a 的最小值.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知正数a ，b ，c 满足3a b c ++=． (1)求abc 的最大值；
(2)证明：3333a b b c c a abc ++≥．
➢
考点3 基本不等式中的恒成立问题
[典例]
1．（2022·全国·高三专题练习）若对任意220,1
x
x a x x >≥++恒成立，则实数a 的取值范围是
（ ） A ．[1,)-+∞
B ．[3,)+∞
C ．2,3
⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
D ．(,1]-∞
2．（2022·全国·高三专题练习）设,a b c >>，n N ∈，且2
110n a b b c a c
+≥
---恒成立，则n 的最大值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
[举一反三]
1．（2021·重庆梁平·高三阶段练习）已知正实数a ，b 满足19
1a b +=，若不等式
2418a b x x m +≥-++-对任意的实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．[)3,+∞
B ．(],3-∞
C ．(],6-∞
D ．[)6,+∞
2．（2021·浙江·模拟预测）对任意正实数,a b 不等式2(1)
2a b ab a b
λλ+-++则（ ） A ．实数λ有最小值1 B ．实数λ有最大值1 C ．实数λ有最小值1
2
D ．实数λ有最大值12
3．（多选）（2022·全国·高三专题练习）当0x >，0y >，R m ∈时，2222y x
m m k x y
+>-++恒成立，则k 的取值可能是（ ） A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
4．（2022·全国·高三专题练习）不等式2
2221122
xy yz a a x y z ++-++≤对任意正数x ，y ，z 恒成立，
则a 的最大值是__________．
5．（2021·重庆一中高三阶段练习）已知对任意正实数x ，y ，恒有()2222
x y a x xy y +-+≤，
则实数a 的最小值是___________.
6．（2022·全国·高三专题练习）若不等式()22x x y a x y +≤+对一切正实数,x y 恒成立，则实数a 的最小值为_____．
➢
考点4 基本不等式与其他专题综合
[名师点睛]
有关函数最值的实际问题的解题技巧
1．根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． 2．解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．
3．在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解． [典例]
1．（2022·安徽安庆·二模（文））若函数()41
sin 2cos 33
f x x x a x =-+在(),-∞+∞内单调递增，则实数a 的取值范围是___________.
2.[2021湖北鄂东南联考]方程(x 2 018＋1)(1＋x 2＋x 4＋…＋x 2 016)＝2 018x 2 017的实数解的个数为________．
3．（2022·广东·高三阶段练习）在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长BC 大约为40米，宽AB 大约为20米，球门长PQ 大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线BC 上某点M 处射门（假设球贴地直线运行），为使得张角PMQ ∠最大，则BM 大约为（ ）（精确到1米）
A ．8米
B ．9米
C ．10米
D ．11米
[举一反三]
1．（2022·北京·101中学高三阶段练习）已知某产品的总成本C （单位：元）与年产量Q （单位：件）之间的关系为2
3300010
C Q =
+．设该产品年产量为Q 时的平均成本为f （Q ）（单位：元/件），则f （Q ）的最小值是（ ） A ．30
B ．60
C ．900
D ．1800
2．（多选）（2022·重庆·模拟预测）已知ABC 为锐角三角形，且sin sin sin A B C =，则下列结论中正确的是（ ） A ．tan tan tan tan B C B C += B ．tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++ C ．4
1tan 3
A <≤
D ．tan tan tan A B C 的最小值为4
3．（2021·全国·高三专题练习）如图，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛
AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知4AB =，3AD =，
那么当BM =_______时，矩形花坛的AMPN 面积最小，最小面积为______.
第5讲 基本不等式
1．基本不等式：ab ≤a ＋b
2
(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．
(3)其中a ＋b
2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数．
2．利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则
(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p ．(简记：积定和最小)
(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 2
4．(简记：和定积最大)
常用结论 几个重要的不等式
(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22
(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a 2＋b 22≥
⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．
(4)b a ＋a
b ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号．
➢
考点1 利用基本不等式求最值
[名师点睛]
1.通过配凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 2.常数代换法求最值的步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 3.消元法求最值的方法
消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围． [典例]
1.（2022·河北·高三阶段练习）已知实数a ，b 满足条件336a b
a b ++，则22a b +的最小值
为（ ） A ．8
B ．6
C ．4
D ．2
【答案】D
【解析】因为
33b
a b ++≥33a b
=，即a b =时取等号，
所以643a b a b ++≥⋅，所以24a b +≥，2a b +≥，()2
22
122
a b a b +≥
+=，当且仅当1a b ==时等号成立，所以22a b +的最小值为2 故选：D.
2．（2022·湖南湖南·二模）函数()1
22
y x x x =+>-+的最小值为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0
【答案】D
【解析】因为2x >-，所以20x +>，1
02
x >+，利用基本不等式可得
11222022x x x x +
=++-≥=++， 当且仅当1
22
x x +=+即1x =-时等号成立.
故选：D.
3．（多选）（2022·河北石家庄·二模）设正实数m ，n 满足2m n +=，则下列说法正确的是（ ） A ．
11
m n
+上的最小值为2 B ．mn 的最大值为1
C 4
D ．22m n +的最小值为5
4
【答案】AB
【解析】∵0,0,2m n m n >>+=，
∴
()1111111222222n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛
⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当
n m
m n
=，即1m n ==时等号成立，故A 正确；
2m n +=≥∴1mn ≤，当且仅当1m n ==时，等号成立，故B 正确；
(
2
2
2
24m ⎡⎤+≤+
=⎢⎥⎣
⎦
，2=，当且仅当1m n ==时等号成立，最大值为2，故C 错误；
()2
2222
m n m n ++≥
=，当且仅当1m n ==时等号成立，故D 错误．
故选：AB
4.[2021河南平顶山模拟]若对于任意x >0，不等式x
x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围
为( )
A ．⎣⎡⎭⎫15，＋∞
B ．⎝⎛⎭⎫15，＋∞
C ．⎝
⎛⎭⎫－∞，15 D ．⎝
⎛⎦⎤－∞，15 [答案] A [解析] 由x >0，x x 2＋3x ＋1
＝1x ＋1x ＋3，
令t ＝x ＋1
x
，则t ≥2
x ·1
x
＝2， 当且仅当x ＝1时，t 取得最小值2. x x 2＋3x ＋1取得最大值1
5，所以对于任意的
x >0，不等式x x 2＋3x ＋1
≤a 恒成立，则a ≥1
5.
[举一反三]
1．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））函数413313y x x x ⎛⎫
⎪⎝=>-⎭
+的最小值为（ ）
A ．8
B ．7
C ．6
D ．5
【答案】D
【解析】因为1
3
x >，所以3x －1>0，
所以()44
3311153131
y x x x x =+
=-++≥=--， 当且仅当4
3131
x x -=-，即x =1时等号成立， 故函数413313y x x x ⎛⎫
⎪⎝=>-⎭
+的最小值为5． 故选：D ．
2．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知0x >，0y >，22x y +=，则12
x y
+的最小值是（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．6
【答案】C
【解析】解：因为0x >，0y >，22x y +=，所以
()1211214122244222y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4y x x y =，即1
2
x =
，1y =时取等号；
故选：C
3．（2022·全国·模拟预测）已知a ，b 为非负数，且满足26a b +=，则()()22
14a b ++的最大
值为（ ） A ．40 B ．
167
4
C ．42
D ．
169
4
【答案】D 【解析】
()()2
22
222222214444444
a b a
b a b a b ab ab a b ++=+++=++-++()()()2
2
2
22362a b ab ab =++-=+-，
又21129
02(
)2222a b ab a b +≤=⋅⋅≤=，当且仅当3,32a b ==时取“=”，则229169
36(2)36(2)24
ab +-≤+-=，
所以当3,32a b ==时，()()22
14a b ++的最大值为
1694. 故选：D
4．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（ ）
A ．2
B ．2
C ．2
D ．6
【答案】B
【解析】由220ab a +-=，得2
2
a b =+，
所以()a b b b b b b +=
+=++-⋅=+++888422222222，
当且仅当,a b b b ==+++28222，即a b ==2取等号. 故选：B.
5．（多选）（2022·河北保定·一模）下面描述正确的是（ ） A ．已知0a >，0b >，且1a b +=，则22log log 2a b +≤-
B ．函数()lg f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，则2+a b 的最小值是
C ．已知
()1210,012x y x x y
+=>>++，则3x y +的最小值为2+
D ．已知()22
200,0x y x y xy x y +---+=>>，则xy 的最小值为
712
【答案】AC
【解析】对于选项A ，∵0a >，0b >，1a b +=，
∴1a b =+≥∴1
4
ab ≤，当且仅当12
a b ==
时取等号，∴22221
log log log log 24a b ab +=≤=-，∴A 正确；
对于选项B ：因为1ab =，所以2
2a b a a
+=+，又01a <<，所以由对勾函数的单调性可知函数()2
=+
h a a a
在()0,1上单调递减，所以()()3,h a ∈+∞，即23+>a b ，故B 不正确； 对于选项C ，根据题意，已知()()3121x y x x y +=+++-，则
()()(
)2112212331212x x y x x y x x y x x y +⎛⎫+++++=++≥+⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭
()21212++=++x x y x x y
，即1==x y
时，等号成立，所以32x y +≥+C 正确；
对于选项D ，()()2
222032x y x y xy x y x y xy +---+=⇒+-+=-，令0x y t +=>，所以214t t -≥-，所以1732412xy xy -≥-⇒≥，此时1,2
712x y xy ⎧
+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
无解，所以选项D 不正确，
故选：AC ．
6．（多选）（2022·重庆八中高三阶段练习）设001a b a b >>+=，，，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．11
4a b
+≥
B ．2212
a b +≥ C
D ．10b +<
【答案】AB
【解析】对于A ：因为001a b a b >>+=，，，所以
(
)11111124b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =，即12a b ==时取等
号，所以11
4a b
+≥成立.故A 正确；
对于B ：因为001a b a b >>+=，，，所以2
124
a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取等号.
所以()2
22
1
2122
a b a b ab ab +=+-=-≥
成立.故B 正确； 对于C ：因为001a b a b >>+=，，，所以()()113a b +++=，所以
()()
311a b =+++≥
记u =0u >，所以21111336u a
b b =+++++≤+
=，所以
0u <≤故C 错误；
对于D ：因为0,b >所以10+>b .故D 错误. 故选：AB
7．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）已知a ，b 为正实数，且2a b +=，则22
21
a b a b +++的最小值为____________，此时=a
____________． 【答案】 6-3
【解析】
a ,
b 为正实数, 且2a b +=,
222221111
a b b a a b a b +-+∴+=++
++2
111a b a b =++-++2111a b =+++ ()()1211131a b a b ⎛⎫=++++ ⎪
+⎝⎭()2111331b
a a
b ⎛⎫
+=++
+ ⎪+⎝⎭ (1133≥+
+=
当且仅当()2112b a
a b a b ⎧+=⎪
⎨+⎪
+=⎩
即6a =-
4b =
时取“=”
故答案为:6-3
8．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知1x y >>，则()
41x y x y xy y
-+++-的最小值为
___________. 【答案】9 【解析】()()()()41414411911x y x y x y x y x y xy y
x y x y -+⎡⎤-+⎛⎫⎡⎤⎣⎦++
=++=-++++ ⎪⎢⎥---⎣⎦⎝
⎭≥， 当且仅当3
2x y =⎧⎨=⎩
时等号成立，取等条件满足1x y >>，所以()41x y x y xy y -+++-的最小值为9.
故答案为：9
9．（2022·天津·大港一中高三阶段练习）设0m n >>，那么()4
1m m n n
+-的最小值是___________.
【答案】8
【解析】解：0m n >>，所以()()2
2
24m n n m m n n ⎡⎤-+-≤=
⎢⎥⎣⎦
，当且仅当m n n -=，即2m n =时取等号；
所以214()m n n m ≥-，所以()(
)
424
22448114m m m m n n
m m +≥+-⨯≥+==，当且仅当2
244m m =，即1m =时取等号，所以()481m m n n
+≥-，当且仅当1m =、12n =时取等号；
故答案为：8
10．（2022·天津河北·一模）已知0a >，0b >，且1a b +=，则11
a b a b +++的最大值为__________. 【答案】2
3
【解析】
1111111
111211111111a b a b a b a b a b a b +-+-⎛⎫+=+=-+-=-+ ⎪++++++++⎝⎭
. 因为0a >，0b >，且1a b +=，
所以()1111111111311a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+⋅=++++ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭
()1111142222311333b a a b ⎛++⎛⎫=++≥+=+= ⎪ ++⎝⎭⎝，当且仅当11
111
b a a b a b ++⎧=⎪
++⎨⎪+=⎩即1
2
a b ==时取等.
所以
114222111133a b a b a b ⎛⎫+=-+≤-= ⎪++++⎝⎭
.，即11a b a b +++的最大值为2
3. 故答案为：23
.
11．（2022·全国·高三专题练习）已知0,0,0,233x y z x y z >>>++=，求222111
()(2)(3)462x y z y z x
+
++++ 的最小值；
【答案】
274
【解析】由222111[()(2)(3)]462x y z y z x
+
++++ 222(111)++2111[()1(2)1(3)1]462x y z y z x ≥+
⨯++⨯++⨯2111
[(23)()]462x y z y z x
=+++++2
1232323[3()]623x y z x y z x y z x y z
++++++=+++
212332[3(3)]62323y x z x z y x y x z y z =+++++++2381(3)24
≥+=.
所以222111()(2)(3)462x y z y z x +++++≥27
4，当且仅当231x y z ===时等号成立，
综上，222111()(2)(3)462x y z y z x +++++的最小值为27
4
.
➢
考点2 利用基本不等式证明不等式
[典例]
（2022·全国·高三专题练习）已知,,a b c 都是正数，求证： (1)()()2
4a b ab c
abc ++≥；
(2)若1a b c ++=，则
1119
2
a b b c c a ++≥+++. 【解】(1)()()22222
44a b ab c abc a b ac ab bc abc ++-=+++-
()()()()2
2
222222b a ac c a b bc c b a c a b c =-++-+=-+-，
∵,,a b c 都是正数，∴()()22
0b a c a b c -+-≥， 当且仅当“a b c ==”时等号成立，∴()()2
4a b ab c abc ++≥.
(2)
()()()11111112a b b c c a a b b c c a a b b c c a ⎛⎫++=+++++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭
132a b b c b c c a c a a b b c a b c a b c a b c a ⎡++++++⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
132⎛≥+ ⎝ ()19
322222
=
+++=， 当且仅当“13
a b c ===”时等号成立，∴
1119
2a b b c c a ++≥+++. [举一反三]
1．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））已知a ，b ，c 为正数. (1)求2
4
a a +
的最小值； (2)求证：bc ac ab a b c a b c
++≥++. 【解】
(1)因为24a a
+2
4=322a a a ++≥，当且仅当“2a =”时等号成立，
所以当2a =时，24
a a
+的最小值为3.
(2)
因为2bc ac c a b +≥=，同理2ac ab a b c +
≥，2bc ab b a c +≥， 所以三式相加得22()bc ac ab a b c a b
c ⎛⎫
++≥++ ⎪⎝⎭，
所以
bc ac ab
a b c a b c
++≥++，当且仅当“a b c ==”时等号成立 2．（2022·陕西·西安工业大学附中高三阶段练习（文））已知0,0a b >>. (1)若2a b +=，求
14
11+++a b
的最小值； (2)求证：2222(1)++≥++a b a b ab a b .
【解】(1)因为0,0a b >>，所以10,10a b +>+>， 又2a b +=，所以1++14a b +=，所以
14114114(1)19()[(1)(1)][5](54)1141141144b a a b a b a b a b +++=++++=++≥+=++++++ 当且仅当14(1)112b a a b a b ++⎧=⎪++⎨⎪+=⎩，即13
53a b ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
时取等号，所以1411+++a b 的最小值为94.
(2)因为22222a b a a b +≥①，222a b ab +≥②，22222a b b ab +≥③，
所以，由①②③，同向不等式相加可得：
222222222222a b a b a b ab ab ++≥++，当且仅当ab a b ==，即1a b ==时取等号. 即2222(1)++≥++a b a b ab a b 成立.
3．（2022·河南开封·二模（文））已知,,R a b c +∈，且abc =1. (1)求证：222111a b c a b c
++++≥；
(2)若a =b +c ，求a 的最小值. 【解】
(1)111abc abc abc
bc ac ab a b c a b c
++=
++=++ 222222222222
b c a c a b a b c +++≤++=++，
当且仅当1a b c ===时等号成立. (2)依题意,,R a b c +∈，11,abc bc a
==，
所以a b c =+≥=b c =时等号成立. 所以233
2
2,2a a ≥≥，
所以a 的最小值为232，此时2
3222a b c ===.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知正数a ，b ，c 满足3a b c ++=． (1)求abc 的最大值；
(2)证明：3333a b b c c a abc ++≥．
【解】(1)由a b c ++≥，当且仅当a b c ==时，取得等号． 又3a b c ++=，所以3
313abc ⎛⎫
≤= ⎪⎝⎭
．
故当且仅当1a b c ===时，abc 取得最大值1．
(2)证明：要证3
3
3
3a b b c c a abc ++≥，需证222
3a b c c a b
++≥．
因为()222
222a b c a b c a b c c a b c a b c a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()26a b c ≥=++=，
即222
3a b c c a b
++≥，当且仅当1a b c ===时取得等号．故3333a b b c c a abc ++≥．
➢
考点3 基本不等式中的恒成立问题
[典例]
1．（2022·全国·高三专题练习）若对任意220,1
x
x a x
x >≥++恒成立，则实数a 的取值范围是
（ ） A ．[1,)-+∞ B ．[3,)+∞
C ．2,3
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
D ．(,1]-∞
【答案】C
【解析】解：因为0x >，所以2
222
1131x x x x x ==++++，当且仅当1
x x =即1x =时取等号，因为2
21x a x x ≥++恒成立，所以23
a ≥，即2,3a ⎡⎫
∈+∞⎪⎢⎣⎭； 故选：C
2．（2022·全国·高三专题练习）设,a b c >>，n N ∈，且2
110n a b b c a c
+≥---恒成立，则n 的
最大值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
【答案】C
【解析】解：2110n a b b c a c
+≥---等价于2110()a c n a b b c ⎛⎫+-≥
⎪--⎝⎭
， ()110110()a c a b b c a b b c a b b c ⎛⎫⎛⎫+-=+-+- ⎪ ⎪----⎝
⎭⎝⎭
10()111111b c a b a b b c --=+
+≥++--故得到211,n n N +∈则n 的最大值是4.
故选：C. [举一反三]
1．（2021·重庆梁平·高三阶段练习）已知正实数a ，b 满足19
1a b +=，若不等式
2418a b x x m +≥-++-对任意的实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．[)3,+∞
B ．(],3-∞
C ．(],6-∞
D ．[)6,+∞
【答案】D
【解析】因为0a >，0b >，19
1a b
+=，
所以(
)199101016a a b a b a b a b b ⎛⎫
+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
，当且仅当9b a a b =，即4a =，
12b =时取等号．
由题意，得241186x x m ≥-++-，即242x x m --≥-对任意的实数x 恒成立，又
()2
242266x x x --=--≥-，所以6m -≥-，即6m ≥． 故选：D ．
2．（2021·浙江·模拟预测）对任意正实数,a b
不等式2(1)
2a b ab a b
λλ+-++则（ ） A ．实数λ有最小值1 B ．实数λ有最大值1 C ．实数λ有最小值12
D ．实数λ有最大值1
2
【答案】C
【解析】2(1)
2a b ab a b λλ+-++
故222a b ab ab a b a b λ+⎛⎫- ⎪++⎝⎭，()()
2
2022a b a b ab a b a b -+-=≥++， 当a b =时，不等式恒成立；
当a
b
时，222ab
a b a b ab a b
λ+≥=+-+
1
2
=
，a b =时等号成立，a b
12=
，故12
λ≥. 故选：C.
3．（多选）（2022·全国·高三专题练习）当0x >，0y >，R m ∈时，2222y x m m k x y
+>-++恒成立，则k 的取值可能是（ ）
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
【答案】AB
【解析】因为0x >，0y >
，所以
222y x x y +≥=，当且仅当2x y =时，等号成立． 因为()2
22111m m k m k k -++=--++≤+．
若
2222y x
m m k x y
+>-++恒成立，则12k +<，解得1k <． 故选：AB.
4．（2022·全国·高三专题练习）不等式2
2221122
xy yz a a x y z ++-++≤对任意正数x ，y ，z 恒成立，
则a 的最大值是__________． 【答案】1 【解析】因为
2222222
1
2222
xy yz xy yz xy yz x y z x y y z xy yz +++==++++++≤，当x y z ==时取等号，所以 2
222xy yz x y z +++的最大值是1
2，即211122
a a +-≥， 解得1
12
a -≤≤，所以a 的最大值是1．
故答案为：1
5．（2021·重庆一中高三阶段练习）已知对任意正实数x ，y ，恒有()2222
x y a x xy y +-+≤，
则实数a 的最小值是___________. 【答案】2
【解析】解：因为0,0x y >>，则()2
220x xy y x y xy -+=-+>， 则(
)
2
2
22
x y a x xy y +-+≤，即22
22
x y a x xy y
+-+≤， 又2222
2
2
1
1x y xy x xy y x y +=
-+-+， 因为22
2x y xy +≥，所以22112
xy x y -≥+，所以221
21xy x y
≤-
+， 即22
2
2
2x y x xy y +≤-+，当且仅当x y =时，取等号，
所以2222max
2x y x xy y ⎛⎫
+= ⎪-+⎝⎭， 所以2a ≥，即实数a 的最小值是2. 故答案为：2.
6．（2022·全国·高三专题练习）若不等式()2x x y a x y +≤+对一切正实数,x y 恒成立，则实数a 的最小值为_____． 【答案】2
【解析】()()22222=22x x y a x y x x y x x y x y +≤+∴+≤+++，当且仅当=2x y 时取等号，
0,0x y >>0
x y ∴+>()22x x y a x y +≤+max
2x y
a y ⎫
∴≥⎪⎪⎝
⎭ 22222x x y x y
x y x y ++≤=++max
2=2x y a y ⎫∴≥⎪⎪⎝⎭，a ∴的最小值为2 故答案为：2
➢
考点4 基本不等式与其他专题综合
[典例]
1．（2022·安徽安庆·二模（文））
若函数()4
1
sin 2cos 33
f x x x a x =-+在(),-∞+∞内单调递增，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】[ 【解析】因函数()f x 在(),-∞+∞内单调递增，则R x ∀∈，42
()cos 2sin 033
f x x a x '=
--≥，
即42sin cos 233a x x ≤
-，整理得242sin sin 33
a x x ≤+， 当sin 0x =时，则2
03
≤
成立，R a ∈， 当sin 0x >时，42sin 33sin a x x ≤+，而42214
sin (2sin )233sin 3sin 3x x x x +
=+≥， 当且仅当1
2sin sin x x
=
，即2sin 2x 时取“=”，则有42
3
a ≤， 当sin 0x <时，42sin 33sin a x x ≥+，而42214
sin [(2sin )]233sin 3sin 3
x x x x +
=--+≤--， 当且仅当12sin sin x x -=-，即2sin 2x =-时取“=”，则有42
3
a ≥-， 综上得，4242
33
a -
≤≤
所以实数a 的取值范围是4242
[,]33
-. 故答案为：4242,33⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
2.[2021湖北鄂东南联考]方程(x 2 018＋1)(1＋x 2＋x 4＋…＋x 2 016)＝2 018x 2 017的实数解的个数为________．
[答案] 1 [解析] 由题意知x >0，∴(x 2 018＋1)(1＋x 2＋x 4＋…＋x 2 016)≥ 2x 2 018·1×
1
2(21·x 2 016＋2x 2·x 2 014＋…＋2x 2 016·1)＝2 018x 2 017，当且仅当x ＝1时等号成立，因此实数解的个数为1.
3．（2022·广东·高三阶段练习）在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长BC 大约为40米，宽AB 大约为20米，球门长PQ 大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线BC 上某点M 处射门（假设球贴地直线运行），为使得张角PMQ ∠最大，则BM 大约为（ ）（精确到1米）
A ．8米
B ．9米
C ．10米
D ．11米
【答案】C
【解析】由题意知，8,12PB QB ==，设,,PMB QMB BM x ∠=∠==αβ，则
812
tan ,tan x x
==αβ，所以
(
)2
128
44tan tan 12896961x x x PMQ x x x x x -
∠=-===≤=++⋅+βα，当且仅当96x x =，
即x =
10，所以BM 大约为10米.
故选：C. [举一反三]
1．（2022·北京·101中学高三阶段练习）已知某产品的总成本C （单位：元）与年产量Q （单位：件）之间的关系为2
3300010
C Q =
+．设该产品年产量为Q 时的平均成本为f （Q ）（单位：元/件），则f （Q ）的最小值是（ ） A ．30 B ．60
C ．900
D ．1800
【答案】B
【解析】2
3300010
()Q C f Q Q Q +==3300010Q Q =+
23060≥=⨯=，当且仅当33000
10Q Q =，即当100Q =时等号成立. 所以f （Q ）的最小值是60. 故选：B.
2．（多选）（2022·重庆·模拟预测）已知ABC 为锐角三角形，且sin sin sin A B C =，则下列结论中正确的是（ ） A ．tan tan tan tan B C B C += B ．tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++ C ．4
1tan 3
A <≤
D ．tan tan tan A B C 的最小值为4
【答案】ABC
【解析】解：因为()sin sin sin cos sin cos sin sin A B C B C C B B C =+=+=， 两边同除cos cos B C 得tan tan tan tan B C B C +=，故A 正确；
由均值不等式tan tan tan tan B C B C +=≥tan tan 4B C ≥当且仅当
tan tan 2B C ==时取等号，
()tan tan tan tan 1tan tan B C
A B C B C
+=-+=-
-，所以tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故B 正确；
tan tan 1tan 1tan tan 1tan tan 1
B C A B C B C =
=+--，由tan tan 4B C ≥，所以11
0tan tan 13B C <
≤-，所以得3
1tan 1ta 1n tan 14
A B C =+
≤-<，故C 正确；
22tan tan 1
tan tan 12tan tan t 1ta t n t 1
a n t n a n an a A B C B C B C B B C C ==-++--，
由tan tan 13B C -≥且1
y x x =+在[)3,+∞上单调递增，所以tan tan tan A B C 的最小值为163，
故D 错误． 故选：ABC
3．（2021·全国·高三专题练习）如图，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛
AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知4AB =，3AD =，
那么当BM =_______时，矩形花坛的AMPN 面积最小，最小面积为______.
【答案】 4 48 【解析】解：设BM x =，则
34x x AN =+，则12
3AN x
=+， 则()12484843324232448AMPN S x x x x x x ⎛⎫
=++=++⋅
= ⎪⎝⎭， 当且仅当48
3x x
=
，即4x =时等号成立，故矩形花坛的AMPN 面积最小值为48． 即当4BM =时，矩形花坛的AMPN 面积最小，最小面积为48. 故答案为：4；48.。