新【湘教版】八年级下册数学优质公开课课件1.4 第2课时 角平分线的性质定理的逆定理
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平分线上呢？ 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
讲授新课
一 角平分线的性质定理的逆定理
问题：交换角的平分线的性质中的条件和结论，你能
得到什么命题，这个新命题正确吗？ 角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等. D 几何语言 P ： ∵ OC平分∠AOB， O E 且PD⊥OA， PE⊥OB 思考：这个命 ∴ PD= PE
经典
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第1章 直角三角形
1.4 角平分线的性质
第2课时 角平分线的性质定理的逆定理
学习目标
1.理解角平分线性质定理的逆定理.(难点）
2.掌握角平分线性质定理的逆定理的证明方法并应用其
解题.（重点）
3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上.
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 证明：过点P作PD，PE， PF分别垂直于AB，BC， CA，垂足分别为D，E，F. ∵BM是△ABC的角平分线， 点P在BM上， ∴PD=PE.同理PE=PF. ∴PD=PE=PF.
B A N
D
P
F M C
E
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形 的三条内角平分线有什么关系？ A
变式1：如图，在△ABC中，AP平分∠BAC，BD平分 ∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,OM＝4.
(2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.
解：连接OC，过O作ON⊥BC，OE⊥AB，垂足分别 为N，E.
S ABC S AOC S BOC S AOB 1 2 1 2 1 2 AC OM 1 2 BC ON 1 2 AB OE
二 三角形的内角平分线
活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你
发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点
活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一
量，每组垂线段，你发现了什么？
你能证明这 个结论吗？ 发现：过交点作三角形三边的垂线段相等
证一证 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
D P E A C
B
典例精析 例1：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公
路的距离相等，并且离公路与铁路交叉处距离为500米，
这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？ 解：作夹角的角平分线OC，
O
截取OD=2.5cm ,D即为所求.
S D
C
方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到 两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平 分线，再在这条角平分线上根据要求取点.
题正确吗？ A C B
猜想: 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
证明猜想 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E， PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上. 证明：作射线OP，∵PD⊥OA,PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90° ，Rt△PDO和Rt△PEO 中， 在 OP=OP（公共边） PD= PE（已知 ）， ，
点P在∠A的平分线上 .
B
D
N P
F M C
E
结论：三角形的三条内角平分线交于一点，并且这点到 三边的距离相等.
变式1：如图，在△ABC中，AP平分∠BAC， BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作 OM⊥AC,若OM＝4,
(1)求点O到△ABC三边的距离和.
12
O B
P
A
D M
C
温馨提示：不存在垂线段———构造应用
B
O
OM (AC BC AB) 4 32 64
P
A
D M
C
知识与方法
1.应用角平分线性质： 存在角平分线
涉及距离问题
条件
2.联系角平分线性质： 距离 面积 周长
s 1 2 ch
例2 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O 到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的 度数为( A ) A．110° B．120° C．130° D．140°
方法总结 由已知，O 到三角形三边的距离相等，得O是
三条内角平分线的交点，再利用三角形内角和定理
即可求出∠BOC的度数．
归纳总结 角的平分线的性质 角的平分线的判定 C P OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE C P PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E OP平分∠AOB
解析：由已知，O到三角形三边的距离 相等，所以O是三条内角平分线 的交点，AO，BO，CO都是角平分线， 1 所以有∠CBO＝∠ABO＝ ∠ABC， 2 1 ∠BCO＝∠ACO＝ ∠ ACB， 2 ∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°， ∠OBC＋∠OCB＝70°， ∠BOC＝180°－70°＝110°.
图形
已知 条件
结论
当堂练习
1. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路
MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得
它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P.
A M P 小区C
O
N
B
2. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E
，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D 到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分 ∠BAC，并说明理由． 解：AD平分∠BAC．理由如下： ∵D到PE的距离与到PF的距离相等，
O D A
ห้องสมุดไป่ตู้
P
B ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）. ∴∠AOP=∠BOP（全等三角形的对应角相等）.
E
∴点P在∠AOB 的平分线上.
知识总结
角平分线性质定理的逆定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等 . 定理的作用：判断点是否在角平分线上 . 应用格式： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE. O ∴点P 在∠AOB的平分线上.
导入新课
复习回顾 1.叙述角平分线的性质定理 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
几何语言描述 ：
∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB.
∴ PD= PE. 不必再证全等
A
D C
P到OA的距离
角平分线上的点
P到OB的距离
P
O E B
2.我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离
相等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的
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一 角平分线的性质定理的逆定理
问题：交换角的平分线的性质中的条件和结论，你能
得到什么命题，这个新命题正确吗？ 角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等. D 几何语言 P ： ∵ OC平分∠AOB， O E 且PD⊥OA， PE⊥OB 思考：这个命 ∴ PD= PE
经典
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第1章 直角三角形
1.4 角平分线的性质
第2课时 角平分线的性质定理的逆定理
学习目标
1.理解角平分线性质定理的逆定理.(难点）
2.掌握角平分线性质定理的逆定理的证明方法并应用其
解题.（重点）
3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上.
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 证明：过点P作PD，PE， PF分别垂直于AB，BC， CA，垂足分别为D，E，F. ∵BM是△ABC的角平分线， 点P在BM上， ∴PD=PE.同理PE=PF. ∴PD=PE=PF.
B A N
D
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F M C
E
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形 的三条内角平分线有什么关系？ A
变式1：如图，在△ABC中，AP平分∠BAC，BD平分 ∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,OM＝4.
(2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.
解：连接OC，过O作ON⊥BC，OE⊥AB，垂足分别 为N，E.
S ABC S AOC S BOC S AOB 1 2 1 2 1 2 AC OM 1 2 BC ON 1 2 AB OE
二 三角形的内角平分线
活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你
发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点
活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一
量，每组垂线段，你发现了什么？
你能证明这 个结论吗？ 发现：过交点作三角形三边的垂线段相等
证一证 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
D P E A C
B
典例精析 例1：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公
路的距离相等，并且离公路与铁路交叉处距离为500米，
这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？ 解：作夹角的角平分线OC，
O
截取OD=2.5cm ,D即为所求.
S D
C
方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到 两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平 分线，再在这条角平分线上根据要求取点.
题正确吗？ A C B
猜想: 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
证明猜想 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E， PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上. 证明：作射线OP，∵PD⊥OA,PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90° ，Rt△PDO和Rt△PEO 中， 在 OP=OP（公共边） PD= PE（已知 ）， ，
点P在∠A的平分线上 .
B
D
N P
F M C
E
结论：三角形的三条内角平分线交于一点，并且这点到 三边的距离相等.
变式1：如图，在△ABC中，AP平分∠BAC， BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作 OM⊥AC,若OM＝4,
(1)求点O到△ABC三边的距离和.
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O B
P
A
D M
C
温馨提示：不存在垂线段———构造应用
B
O
OM (AC BC AB) 4 32 64
P
A
D M
C
知识与方法
1.应用角平分线性质： 存在角平分线
涉及距离问题
条件
2.联系角平分线性质： 距离 面积 周长
s 1 2 ch
例2 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O 到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的 度数为( A ) A．110° B．120° C．130° D．140°
方法总结 由已知，O 到三角形三边的距离相等，得O是
三条内角平分线的交点，再利用三角形内角和定理
即可求出∠BOC的度数．
归纳总结 角的平分线的性质 角的平分线的判定 C P OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE C P PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E OP平分∠AOB
解析：由已知，O到三角形三边的距离 相等，所以O是三条内角平分线 的交点，AO，BO，CO都是角平分线， 1 所以有∠CBO＝∠ABO＝ ∠ABC， 2 1 ∠BCO＝∠ACO＝ ∠ ACB， 2 ∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°， ∠OBC＋∠OCB＝70°， ∠BOC＝180°－70°＝110°.
图形
已知 条件
结论
当堂练习
1. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路
MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得
它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P.
A M P 小区C
O
N
B
2. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E
，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D 到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分 ∠BAC，并说明理由． 解：AD平分∠BAC．理由如下： ∵D到PE的距离与到PF的距离相等，
O D A
ห้องสมุดไป่ตู้
P
B ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）. ∴∠AOP=∠BOP（全等三角形的对应角相等）.
E
∴点P在∠AOB 的平分线上.
知识总结
角平分线性质定理的逆定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等 . 定理的作用：判断点是否在角平分线上 . 应用格式： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE. O ∴点P 在∠AOB的平分线上.
导入新课
复习回顾 1.叙述角平分线的性质定理 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
几何语言描述 ：
∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB.
∴ PD= PE. 不必再证全等
A
D C
P到OA的距离
角平分线上的点
P到OB的距离
P
O E B
2.我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离
相等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的